GUJCET 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) तात्क्षणिक धारा $i = i_{m} \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
$rms$ मान पर, $i = i_{rms} = \frac{i_{m}}{\sqrt{2}}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} = i_{m} \sin(\omega t)$.
$\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, जिसका अर्थ है कि $\omega t = \frac{\pi}{4}$.
चूंकि $\omega = 2 \pi f$, इसलिए $2 \pi f t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{1}{8f}$.
यहाँ $f = 50 \text{ Hz}$ दिया गया है, इसलिए $t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400} \text{ s}$.
$t = 0.0025 \text{ s} = 2.5 \text{ ms}$.

(A) दिया गया है: स्व-प्रेरकत्व $L = 0.04 \ H$,प्रतिरोध $R = 12 \ \Omega$,वोल्टेज $V = 220 \ V$,आवृत्ति $f = 50 \ Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = \omega L = 2 \pi f L$
$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.04 = 12.56 \ \Omega$.
इसके बाद,$RL$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$
$Z = \sqrt{12^2 + 12.56^2} = \sqrt{144 + 157.75} = \sqrt{301.75} \approx 17.37 \ \Omega$.
अंत में,$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम का उपयोग करके धारा $I$ ज्ञात करें:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{17.37} \approx 12.66 \ A \approx 12.7 \ A$.

(D) $AC$ परिपथ में औसत शक्ति क्षय $P$ का सूत्र $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ होता है,जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलांतर (phase difference) है।
एक आदर्श संधारित्र के लिए,धारा वोल्टेज से $\phi = \frac{\pi}{2}$ रेडियन के कला कोण से आगे होती है।
इस मान को शक्ति के सूत्र में रखने पर:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos(\frac{\pi}{2})$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ होता है,इसलिए औसत शक्ति क्षय $P = 0$ प्राप्त होता है।

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में, कुल प्रयुक्त वोल्टेज $V$ घटकों के सिरों पर व्यक्तिगत वोल्टेज के फेजर योग द्वारा दिया जाता है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिए गए मान $V_R = 5 \,V$, $V_L = 10 \,V$ और $V_C = 10 \,V$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{5^2 + (10 - 10)^2}$
$V = \sqrt{25 + 0^2}$
$V = \sqrt{25}$
$V = 5 \,V$
अतः, प्रयुक्त $AC$ वोल्टेज $5 \,V$ है।

(B) श्रेणीक्रम संयोजन के लिए:
प्रत्येक बल्ब का तुल्य प्रतिरोध $R = \frac{V^2}{P} = \frac{250^2}{100} = 625 \ \Omega$ है।
जब दो समान बल्ब श्रेणीक्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रतिरोध $R_s = R + R = 2R = 1250 \ \Omega$ होता है।
श्रेणीक्रम में कुल खपत शक्ति $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{250^2}{1250} = \frac{62500}{1250} = 50 \ W$ है।
वैकल्पिक रूप से,$P_s = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2} = \frac{100 \times 100}{100 + 100} = 50 \ W$।
समांतर क्रम संयोजन के लिए:
जब दो समान बल्ब समांतर क्रम में जुड़े होते हैं,तो कुल प्रतिरोध $R_p = \frac{R}{2} = \frac{625}{2} = 312.5 \ \Omega$ होता है।
समांतर क्रम में कुल खपत शक्ति $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{250^2}{312.5} = \frac{62500}{312.5} = 200 \ W$ है।
वैकल्पिक रूप से,$P_p = P_1 + P_2 = 100 + 100 = 200 \ W$।
अतः,श्रेणीक्रम और समांतर क्रम स्थितियों में कुल शक्ति क्रमशः $50 \ W$ और $200 \ W$ है।

(C) तार का कुल प्रतिरोध $R = 24 \Omega$ है।
जब तार को एक वृत्त में मोड़ा जाता है,तो व्यास तार को दो समान अर्धवृत्ताकार भागों में विभाजित करता है।
प्रत्येक अर्धवृत्ताकार भाग का प्रतिरोध $R' = \frac{R}{2} = \frac{24 \Omega}{2} = 12 \Omega$ होता है।
ये दोनों अर्धवृत्ताकार भाग व्यास पर स्थित दो बिंदुओं के बीच समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ समानांतर प्रतिरोधों के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \Omega^{-1}$.
अतः,$R_{eq} = 6 \Omega$ है।

(A) चरण $1$: परिपथ का विश्लेषण करें। $6 \Omega$ और $2 \Omega$ के प्रतिरोधक समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका समतुल्य प्रतिरोध $R' = (6 \times 2) / (6 + 2) = 1.5 \Omega$ होगा।
चरण $2$: यह $1.5 \Omega$ का प्रतिरोध $1.5 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणी क्रम में जुड़ा है,इसलिए $R'' = 1.5 + 1.5 = 3 \Omega$ होगा।
चरण $3$: यह $3 \Omega$ का प्रतिरोध ऊपर वाले $3 \Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर क्रम में है,इसलिए कुल प्रतिरोध $R_{eq} = (3 \times 3) / (3 + 3) = 1.5 \Omega$ होगा।
चरण $4$: ओम के नियम के अनुसार कुल धारा $I = V / R_{eq} = 9 \text{ V} / 1.5 \Omega = 6 \text{ A}$ प्राप्त होती है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो प्रोटॉन (जिनका आवेश $q = e$ है) के बीच लगने वाला कूलम्ब बल है:
$F = \frac{k e^2}{r^2}$
एक अल्फा कण ($\alpha$-particle) में $2$ प्रोटॉन और $2$ न्यूट्रॉन होते हैं, इसलिए इसका आवेश $q_{\alpha} = 2e$ होता है।
$2r$ दूरी पर स्थित दो अल्फा कणों के बीच लगने वाला बल $F^{\prime}$ इस प्रकार होगा:
$F^{\prime} = \frac{k (2e)(2e)}{(2r)^2}$
$F^{\prime} = \frac{4 k e^2}{4 r^2}$
$F^{\prime} = \frac{k e^2}{r^2}$
अतः, मूल बल से तुलना करने पर, हमें $F^{\prime} = F$ प्राप्त होता है।

(D) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखे विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बलाघूर्ण $\tau$ सूत्र $\tau = p E \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ $\vec{p}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
बलाघूर्ण को अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,जब $\vec{p}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है,तब बलाघूर्ण अधिकतम होता है।

(D) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,प्रेरित emf $\varepsilon$ चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन की दर के ऋणात्मक मान के बराबर होता है: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$.
यहाँ $\phi = 5t^2 + 2t + 3$ दिया गया है।
$t$ के सापेक्ष $\phi$ का अवकलन करने पर: $\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 + 2t + 3) = 10t + 2$.
अतः,$\varepsilon = -(10t + 2)$.
$t = 1 \ s$ पर,प्रेरित emf का परिमाण $|\varepsilon| = |-(10(1) + 2)| = |-(12)| = 12 \ V$ होगा।

(C) विकिरण की तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आपतित शक्ति के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $I = \frac{P}{A}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
तीव्रता $I = 10^{3} \,W m^{-2}$
क्षेत्रफल $A = 6 \,m \times 30 \,m = 180 \,m^{2}$
छत पर आपतित कुल शक्ति $P$ ज्ञात करने के लिए:
$P = I \times A$
$P = 10^{3} \,W m^{-2} \times 180 \,m^{2}$
$P = 180 \times 10^{3} \,W$
$P = 1.8 \times 10^{5} \,W$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर संचित आवेश $Q$ समान होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
$C_1 = 2 \mu F$ और $C_2 = 4 \mu F$ धारिता वाले दो संधारित्रों के लिए,संचित ऊर्जा क्रमशः $U_1 = \frac{Q^2}{2C_1}$ और $U_2 = \frac{Q^2}{2C_2}$ है।
ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{U_1}{U_2} = \frac{Q^2 / 2C_1}{Q^2 / 2C_2} = \frac{C_2}{C_1}$ है।
मान रखने पर,$\frac{U_1}{U_2} = \frac{4 \mu F}{2 \mu F} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,संचित ऊर्जा का अनुपात $2: 1$ है।

(C) सही विकल्प $C$ है।
जब बैटरी को डिस्कनेक्ट किया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,$\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है,और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर रहता है और $Q = CV$ होता है,इसलिए विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ बढ़ जाएगा क्योंकि $C$ घट रहा है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$.
दिया गया है:
$q_1 = q_2 = -2 \mu C = -2 \times 10^{-6} \text{ C}$
$r = 1 \text{ m}$
$k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{(9 \times 10^9) \times (-2 \times 10^{-6}) \times (-2 \times 10^{-6})}{1}$
$U = 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}$
$U = 36 \times 10^{-3} \text{ J}$
$U = 3.6 \times 10^{-2} \text{ J}$.

(C) कोश $A$ की सतह पर विद्युत विभव तीनों कोशों $A$,$B$ और $C$ के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$V_A = V_a + V_b + V_c$
चूंकि कोश $A$ की सतह पर स्थित बिंदु कोश $B$ और $C$ के अंदर है,इसलिए इस बिंदु पर कोश $B$ और $C$ के कारण विभव उनकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{a} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right]$
दिए गए पृष्ठीय आवेश घनत्व: $\sigma_a = \sigma$,$\sigma_b = -\sigma$,$\sigma_c = \sigma$ हैं।
आवेश $q_a = 4 \pi a^2 \sigma$,$q_b = 4 \pi b^2(-\sigma)$,और $q_c = 4 \pi c^2 \sigma$ हैं।
इन मानों को विभव के सूत्र में रखने पर:
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{4 \pi a^2 \sigma}{a} + \frac{4 \pi b^2(-\sigma)}{b} + \frac{4 \pi c^2 \sigma}{c} \right]$
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [4 \pi a \sigma - 4 \pi b \sigma + 4 \pi c \sigma]$
$V_A = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (a - b + c)$

(A) सही उत्तर $A$ है।
एक छड़ चुंबक के लिए,केंद्र से $Z$ दूरी पर उसकी अक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:
$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\overrightarrow{M}}{Z^3}$
जहाँ $\overrightarrow{M}$ चुंबक का चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र का व्यंजक चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण सदिश $\overrightarrow{M}$ के सीधे समानुपाती होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ की दिशा चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण $\overrightarrow{M}$ की दिशा के समान ही होती है।

(D) लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र और वृत्ताकार लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र का योग है।
$R$ दूरी पर स्थित सीधे तार के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi R}$ (अंदर की ओर)।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के कारण केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_{\text{loop}} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \times \frac{2 \pi}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 \pi I}{R}$ (अंदर की ओर)।
चूंकि दोनों चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल चुंबकीय क्षेत्र $B$ है:
$B = B_{\text{wire}} + B_{\text{loop}}$
$B = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi R} + \frac{2 \mu_0 I \pi}{4 \pi R}$
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I}{R} (\pi + 1)$ (अंदर की ओर)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में अपने वेग $v$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$
जहाँ $p = mv$ कण का रैखिक संवेग है और $q$ उसका आवेश है।
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन का रैखिक संवेग समान $(p_e = p_p = p)$ है और वे समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में प्रवेश करते हैं,इसलिए त्रिज्या आवेश $q$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है:
$r \propto \frac{1}{q}$
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात होगा:
$\frac{r_e}{r_p} = \frac{q_p}{q_e}$
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के आवेश का परिमाण समान होता है $(|q_e| = |q_p| = e)$,
$\frac{r_e}{r_p} = \frac{e}{e} = 1$