GUJCET 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) તત્કાલીન પ્રવાહ $i = i_{m} \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$rms$ મૂલ્ય પર, $i = i_{rms} = \frac{i_{m}}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} = i_{m} \sin(\omega t)$.
$\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, જેનો અર્થ છે કે $\omega t = \frac{\pi}{4}$.
કારણ કે $\omega = 2 \pi f$, તેથી $2 \pi f t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{1}{8f}$.
અહીં $f = 50 \text{ Hz}$ આપેલ છે, તેથી $t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400} \text{ s}$.
$t = 0.0025 \text{ s} = 2.5 \text{ ms}$.

(A) આપેલ છે: આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = 0.04 \ H$,અવરોધ $R = 12 \ \Omega$,વોલ્ટેજ $V = 220 \ V$,આવૃત્તિ $f = 50 \ Hz$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 2 \pi f L$
$X_L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 0.04 = 12.56 \ \Omega$.
ત્યારબાદ,$RL$ સર્કિટના ઈમ્પીડન્સ $Z$ ની ગણતરી કરો:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$
$Z = \sqrt{12^2 + 12.56^2} = \sqrt{144 + 157.75} = \sqrt{301.75} \approx 17.37 \ \Omega$.
છેલ્લે,$AC$ સર્કિટ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવાહ $I$ શોધો:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{17.37} \approx 12.66 \ A \approx 12.7 \ A$.

(D) $AC$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર વ્યય $P$ નું સૂત્ર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત છે.
આદર્શ કેપેસિટર માટે,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\phi = \frac{\pi}{2}$ રેડિયન જેટલો આગળ હોય છે.
આ કિંમત પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos(\frac{\pi}{2})$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ થાય છે,તેથી સરેરાશ પાવર વ્યય $P = 0$ મળે છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં, કુલ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ ઘટકો પરના વ્યક્તિગત વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ કિંમતો $V_R = 5 \,V$, $V_L = 10 \,V$ અને $V_C = 10 \,V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{5^2 + (10 - 10)^2}$
$V = \sqrt{25 + 0^2}$
$V = \sqrt{25}$
$V = 5 \,V$
તેથી, લાગુ પાડવામાં આવેલ $AC$ વોલ્ટેજ $5 \,V$ છે.

(B) શ્રેણી જોડાણ માટે:
દરેક બલ્બનો સમતુલ્ય અવરોધ $R = \frac{V^2}{P} = \frac{250^2}{100} = 625 \ \Omega$ છે.
જ્યારે બે સમાન બલ્બ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_s = R + R = 2R = 1250 \ \Omega$ થાય.
શ્રેણીમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_s = \frac{V^2}{R_s} = \frac{250^2}{1250} = \frac{62500}{1250} = 50 \ W$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$P_s = \frac{P_1 P_2}{P_1 + P_2} = \frac{100 \times 100}{100 + 100} = 50 \ W$.
સમાંતર જોડાણ માટે:
જ્યારે બે સમાન બલ્બ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ અવરોધ $R_p = \frac{R}{2} = \frac{625}{2} = 312.5 \ \Omega$ થાય.
સમાંતરમાં વપરાતો કુલ પાવર $P_p = \frac{V^2}{R_p} = \frac{250^2}{312.5} = \frac{62500}{312.5} = 200 \ W$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$P_p = P_1 + P_2 = 100 + 100 = 200 \ W$.
આમ,શ્રેણી અને સમાંતર કિસ્સાઓમાં કુલ પાવર અનુક્રમે $50 \ W$ અને $200 \ W$ છે.

(C) તારનો કુલ અવરોધ $R = 24 \Omega$ છે.
જ્યારે તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે વ્યાસ તારને બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.
દરેક અર્ધવર્તુળાકાર ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{24 \Omega}{2} = 12 \Omega$ થાય છે.
આ બે અર્ધવર્તુળાકાર ભાગો વ્યાસ પરના બે બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં હોય છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ સમાંતર અવરોધોના સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \Omega^{-1}$.
તેથી,$R_{eq} = 6 \Omega$ મળે છે.

(A) પગલું $1$: સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરો. $6 \Omega$ અને $2 \Omega$ ના અવરોધકો સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R' = (6 \times 2) / (6 + 2) = 1.5 \Omega$ થશે.
પગલું $2$: આ $1.5 \Omega$ નો અવરોધ શ્રેણીમાં $1.5 \Omega$ ના અવરોધ સાથે જોડાયેલ છે,તેથી $R'' = 1.5 + 1.5 = 3 \Omega$ થશે.
પગલું $3$: આ $3 \Omega$ નો અવરોધ ઉપરના $3 \Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી કુલ અવરોધ $R_{eq} = (3 \times 3) / (3 + 3) = 1.5 \Omega$ થશે.
પગલું $4$: ઓહ્મના નિયમ મુજબ કુલ પ્રવાહ $I = V / R_{eq} = 9 \text{ V} / 1.5 \Omega = 6 \text{ A}$ મળે છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે પ્રોટોન (જેનો વીજભાર $q = e$ છે) વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{k e^2}{r^2}$
આલ્ફા કણ ($\alpha$-particle) $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન ધરાવે છે, તેથી તેનો વીજભાર $q_{\alpha} = 2e$ થાય।
$2r$ અંતરે રહેલા બે આલ્ફા કણ વચ્ચે લાગતું બળ $F^{\prime}$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$F^{\prime} = \frac{k (2e)(2e)}{(2r)^2}$
$F^{\prime} = \frac{4 k e^2}{4 r^2}$
$F^{\prime} = \frac{k e^2}{r^2}$
આમ, મૂળ બળ સાથે સરખાવતા, આપણને $F^{\prime} = F$ મળે છે.

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવેલ વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = p E \sin \theta$,જ્યાં $p$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $\theta$ એ $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક મહત્તમ હોવા માટે,$\sin \theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે,જે $\theta = 90^{\circ}$ હોય ત્યારે મળે છે.
તેથી,જ્યારે $\vec{p}$ અને $\vec{E}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોય ત્યારે ટોર્ક મહત્તમ હોય છે.

(D) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત emf $\varepsilon$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$.
અહીં $\phi = 5t^2 + 2t + 3$ આપેલ છે.
$t$ ની સાપેક્ષે $\phi$ નું વિકલન કરતા: $\frac{d\phi}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2 + 2t + 3) = 10t + 2$.
તેથી,$\varepsilon = -(10t + 2)$.
$t = 1 \ s$ સમયે,પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = |-(10(1) + 2)| = |-(12)| = 12 \ V$ થાય.

(C) વિકિરણની તીવ્રતા $I$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ આપાત થતા પાવર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $I = \frac{P}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે:
તીવ્રતા $I = 10^{3} \,W m^{-2}$
ક્ષેત્રફળ $A = 6 \,m \times 30 \,m = 180 \,m^{2}$
છાપરા પર આપાત થતો કુલ પાવર $P$ શોધવા માટે:
$P = I \times A$
$P = 10^{3} \,W m^{-2} \times 180 \,m^{2}$
$P = 180 \times 10^{3} \,W$
$P = 1.8 \times 10^{5} \,W$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે।

(A) શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
$C_1 = 2 \mu F$ અને $C_2 = 4 \mu F$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર માટે,સંગ્રહિત ઉર્જા અનુક્રમે $U_1 = \frac{Q^2}{2C_1}$ અને $U_2 = \frac{Q^2}{2C_2}$ છે.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \frac{Q^2 / 2C_1}{Q^2 / 2C_2} = \frac{C_2}{C_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{U_1}{U_2} = \frac{4 \mu F}{2 \mu F} = \frac{2}{1}$ મળે.
આમ,સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $2: 1$ છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
જ્યારે બેટરીને ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
જેમ કે વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે અને $Q = CV$ છે,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$ વધશે કારણ કે $C$ ઘટે છે.

(B) $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$.
આપેલ છે:
$q_1 = q_2 = -2 \mu C = -2 \times 10^{-6} \text{ C}$
$r = 1 \text{ m}$
$k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{(9 \times 10^9) \times (-2 \times 10^{-6}) \times (-2 \times 10^{-6})}{1}$
$U = 9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}$
$U = 36 \times 10^{-3} \text{ J}$
$U = 3.6 \times 10^{-2} \text{ J}$.

(C) કવચ $A$ ની સપાટી પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન એ ત્રણેય કવચ $A$,$B$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V_A = V_a + V_b + V_c$
કવચ $A$ ની સપાટી પરનું બિંદુ એ કવચ $B$ અને $C$ ની અંદર હોવાથી,આ બિંદુએ કવચ $B$ અને $C$ ને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન તેમની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q_a}{a} + \frac{q_b}{b} + \frac{q_c}{c} \right]$
આપેલ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા: $\sigma_a = \sigma$,$\sigma_b = -\sigma$,$\sigma_c = \sigma$.
તેથી વિદ્યુતભારો $q_a = 4 \pi a^2 \sigma$,$q_b = 4 \pi b^2(-\sigma)$,અને $q_c = 4 \pi c^2 \sigma$ થશે.
આ કિંમતોને સ્થિતિમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{4 \pi a^2 \sigma}{a} + \frac{4 \pi b^2(-\sigma)}{b} + \frac{4 \pi c^2 \sigma}{c} \right]$
$V_A = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} [4 \pi a \sigma - 4 \pi b \sigma + 4 \pi c \sigma]$
$V_A = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (a - b + c)$

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
ગજિયા ચુંબક માટે,તેના કેન્દ્રથી $Z$ અંતરે તેની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\overrightarrow{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2\overrightarrow{M}}{Z^3}$
જ્યાં $\overrightarrow{M}$ એ ચુંબકની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું સૂત્ર ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ $\overrightarrow{M}$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\overrightarrow{B}$ ની દિશા એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{M}$ ની દિશામાં જ હોય છે.

(D) લૂપના કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વર્તુળાકાર લૂપને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સરવાળો છે.
$R$ અંતરે રહેલા સીધા તારને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{\text{wire}} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi R}$ (અંદરની તરફ).
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{\text{loop}} = \frac{\mu_0 I}{2 R} = \frac{\mu_0 I}{2 R} \times \frac{2 \pi}{2 \pi} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{2 \pi I}{R}$ (અંદરની તરફ).
બંને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = B_{\text{wire}} + B_{\text{loop}}$
$B = \frac{2 \mu_0 I}{4 \pi R} + \frac{2 \mu_0 I \pi}{4 \pi R}$
$B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2 I}{R} (\pi + 1)$ (અંદરની તરફ).
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં તેના વેગ $v$ ને લંબ ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{mv^2}{r} = qvB$
$r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$
જ્યાં $p = mv$ એ કણનું રેખીય વેગમાન છે અને $q$ એ તેનો વિદ્યુતભાર છે.
આપેલ છે કે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન સમાન રેખીય વેગમાન $(p_e = p_p = p)$ ધરાવે છે અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,તેથી ત્રિજ્યા એ વિદ્યુતભાર $q$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$r \propto \frac{1}{q}$
તેથી,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર:
$\frac{r_e}{r_p} = \frac{q_p}{q_e}$
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોનના વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન હોવાથી $(|q_e| = |q_p| = e)$,
$\frac{r_e}{r_p} = \frac{e}{e} = 1$