GSEB 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया आव्यूह समीकरण:
$2\begin{bmatrix} 5 & x \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,पहले आव्यूह को अदिश $2$ से गुणा करें:
$\begin{bmatrix} 10 & 2x \\ 6 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
अब,बाईं ओर के दोनों आव्यूहों को जोड़ें:
$\begin{bmatrix} 10+0 & 2x+1 \\ 6+1 & 8+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 10 & 2x+1 \\ 7 & 8+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2x + 1 = 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$8 + y = 0 \implies y = -8$
अतः,$x = 2$ और $y = -8$.

(A) दिए गए समीकरण:
$A - B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 0 \end{bmatrix}$ (समीकरण $1$)
$A + B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(A - B) + (A + B) = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 2+6 & 5+3 \\ 9+(-1) & 0+0 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
$2$ से भाग देने पर:
$A = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) सबसे पहले,पहले दो आव्यूहों का गुणा करें:
$\begin{bmatrix} 1 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+x(0)+1(0) & 1(3)+x(5)+1(3) & 1(2)+x(1)+1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5x+6 & x+4 \end{bmatrix}$
अब,इस परिणाम को तीसरे आव्यूह से गुणा करें:
$\begin{bmatrix} 1 & 5x+6 & x+4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ x \end{bmatrix} = 1(1) + (5x+6)(1) + (x+4)(x) = 0$
$1 + 5x + 6 + x^2 + 4x = 0$
$x^2 + 9x + 7 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हुए:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4(1)(7)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 28}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{53}}{2}$
हमें $2x + 9$ का मान ज्ञात करना है:
$2x + 9 = 2 \left( \frac{-9 \pm \sqrt{53}}{2} \right) + 9 = -9 \pm \sqrt{53} + 9 = \pm \sqrt{53}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) प्रश्न एक मानक आव्यूह समानता या सम्मिश्र संख्याओं से संबंधित बीजीय रूप को दर्शाता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$x = a^2+b^2$ और $y = 2ab$ एक मानक सर्वसमिका है जो अक्सर सम्मिश्र संख्याओं के आव्यूह निरूपण में मापांक और गुणन गुणों से जुड़ी होती है। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(D) दी गई आव्यूह समानता से:
$\left[\begin{array}{cc}x-1 & 2y \\ x+y & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3x-7 & y^2-3 \\ 6 & y\end{array}\right]$
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$1) \ x-1 = 3x-7 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
$2) \ 3 = y \implies y = 3$
$3) \ 2y = y^2-3 \implies 2(3) = (3)^2-3 \implies 6 = 9-3 \implies 6 = 6$ (संतुष्ट है)
$4) \ x+y = 6 \implies 3+3 = 6$ (संतुष्ट है)
अतः,हल $(x, y) = (3, 3)$ है।

(A) $2 \times 2$ आव्यूह $A = [a_{ij}]$ के लिए,अवयव $a_{ij} = \frac{i + 2j^2}{3}$ द्वारा दिए गए हैं।
$i=1, j=1$ के लिए: $a_{11} = \frac{1 + 2(1)^2}{3} = \frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$i=1, j=2$ के लिए: $a_{12} = \frac{1 + 2(2)^2}{3} = \frac{1 + 8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$i=2, j=1$ के लिए: $a_{21} = \frac{2 + 2(1)^2}{3} = \frac{2 + 2}{3} = \frac{4}{3}$.
$i=2, j=2$ के लिए: $a_{22} = \frac{2 + 2(2)^2}{3} = \frac{2 + 8}{3} = \frac{10}{3}$.
अतः,आव्यूह $A = \left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \frac{4}{3} & \frac{10}{3} \end{array}\right]$ है।

(B) $n$ क्रम के किसी भी विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए,हमारे पास $A^T = -A$ होता है।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $|A^T| = |-A|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A^T| = |A|$ और $|-A| = (-1)^n |A|$,इसलिए $|A| = (-1)^n |A|$ होता है।
$3 \times 3$ आव्यूह के लिए,$n = 3$ है,इसलिए $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि $2|A| = 0$,जिसका अर्थ है कि $|A| = 0$।

(B) सीमांत राजस्व (Marginal Revenue) को कुल राजस्व फलन $R(x)$ के $x$ के सापेक्ष अवकलज के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $MR = \frac{dR}{dx}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है $R(x) = 10x^2 + 20x + 1500$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(10x^2 + 20x + 1500) = 20x + 20$.
जब $x = 1500$ हो,तब सीमांत राजस्व ज्ञात करने के लिए:
$MR = 20(1500) + 20 = 30000 + 20 = 30020$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए गोले की त्रिज्या $r$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र से,हमारे पास $r^2 = \frac{S}{4 \pi}$ है,जिसका अर्थ है $r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$।
हमें $\frac{dV}{dS}$ ज्ञात करना है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr}$।
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$।
$\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr} (4 \pi r^2) = 8 \pi r$।
अतः,$\frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dV}{dS} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}) = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वक्र $y = f(x)$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x = a$ तथा $x = b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$f(x) = 5 \sin x$,$a = 0$,और $b = \frac{\pi}{2}$ है।
चूँकि $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए $\sin x \geq 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5 \sin x \, dx$
$A = 5 [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = 5 [-\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0))]$
$A = 5 [0 + 1]$
$A = 5 \times 1 = 5$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) वक्र $y=x$ और रेखाओं $x=1$ तथा $x=10$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम निश्चित समाकलन का उपयोग करते हैं:
क्षेत्रफल $= \int_{a}^{b} y \, dx$
यहाँ,$a = 1$,$b = 10$,और $y = x$ है।
क्षेत्रफल $= \int_{1}^{10} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{10}$
$= \frac{10^2}{2} - \frac{1^2}{2}$
$= \frac{100}{2} - \frac{1}{2}$
$= \frac{99}{2} \text{ वर्ग इकाई.}$