GSEB 2015 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ શ્રેણિક સમીકરણ:
$2\begin{bmatrix} 5 & x \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
પ્રથમ,પ્રથમ શ્રેણિકને અદિશ $2$ વડે ગુણતા:
$\begin{bmatrix} 10 & 2x \\ 6 & 8 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
હવે,ડાબી બાજુના બે શ્રેણિકોનો સરવાળો કરતા:
$\begin{bmatrix} 10+0 & 2x+1 \\ 6+1 & 8+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 10 & 2x+1 \\ 7 & 8+y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$2x + 1 = 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$
$8 + y = 0 \implies y = -8$
તેથી,$x = 2$ અને $y = -8$.

(A) આપેલ સમીકરણો:
$A - B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 0 \end{bmatrix}$ (સમીકરણ $1$)
$A + B = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(A - B) + (A + B) = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 2+6 & 5+3 \\ 9+(-1) & 0+0 \end{bmatrix}$
$2A = \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix}$
$2$ વડે ભાગતા:
$A = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 8 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 0 \end{bmatrix}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) પ્રથમ,પ્રથમ બે શ્રેણિકોનો ગુણાકાર કરો:
$\begin{bmatrix} 1 & x & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+x(0)+1(0) & 1(3)+x(5)+1(3) & 1(2)+x(1)+1(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 5x+6 & x+4 \end{bmatrix}$
હવે,આ પરિણામનો ત્રીજા શ્રેણિક સાથે ગુણાકાર કરો:
$\begin{bmatrix} 1 & 5x+6 & x+4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ x \end{bmatrix} = 1(1) + (5x+6)(1) + (x+4)(x) = 0$
$1 + 5x + 6 + x^2 + 4x = 0$
$x^2 + 9x + 7 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 4(1)(7)}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 28}}{2} = \frac{-9 \pm \sqrt{53}}{2}$
આપણે $2x + 9$ શોધવાનું છે:
$2x + 9 = 2 \left( \frac{-9 \pm \sqrt{53}}{2} \right) + 9 = -9 \pm \sqrt{53} + 9 = \pm \sqrt{53}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પ્રશ્ન એક પ્રમાણિત શ્રેણિક સમાનતા અથવા સંકર સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત બીજગણિતીય સ્વરૂપ સૂચવે છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$x = a^2+b^2$ અને $y = 2ab$ એ એક પ્રમાણિત નિત્યસમ છે જે ઘણીવાર સંકર સંખ્યાઓના શ્રેણિક નિરૂપણમાં માનાંક અને ગુણાકારના ગુણધર્મો સાથે સંકળાયેલ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક સમાનતા પરથી:
$\left[\begin{array}{cc}x-1 & 2y \\ x+y & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3x-7 & y^2-3 \\ 6 & y\end{array}\right]$
અનુરૂપ ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) \ x-1 = 3x-7 \implies 2x = 6 \implies x = 3$
$2) \ 3 = y \implies y = 3$
$3) \ 2y = y^2-3 \implies 2(3) = (3)^2-3 \implies 6 = 9-3 \implies 6 = 6$ (સંતોષાય છે)
$4) \ x+y = 6 \implies 3+3 = 6$ (સંતોષાય છે)
આમ,ઉકેલ $(x, y) = (3, 3)$ છે.

(A) $2 \times 2$ શ્રેણિક $A = [a_{ij}]$ માટે,ઘટકો $a_{ij} = \frac{i + 2j^2}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$i=1, j=1$ માટે: $a_{11} = \frac{1 + 2(1)^2}{3} = \frac{1 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$i=1, j=2$ માટે: $a_{12} = \frac{1 + 2(2)^2}{3} = \frac{1 + 8}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$i=2, j=1$ માટે: $a_{21} = \frac{2 + 2(1)^2}{3} = \frac{2 + 2}{3} = \frac{4}{3}$.
$i=2, j=2$ માટે: $a_{22} = \frac{2 + 2(2)^2}{3} = \frac{2 + 8}{3} = \frac{10}{3}$.
આમ,શ્રેણિક $A = \left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ \frac{4}{3} & \frac{10}{3} \end{array}\right]$ છે.

(B) $n$ કક્ષાના કોઈપણ વિસંમિત શ્રેણિક $A$ માટે,આપણી પાસે $A^T = -A$ છે.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,આપણને $|A^T| = |-A|$ મળે છે.
કારણ કે $|A^T| = |A|$ અને $|-A| = (-1)^n |A|$,તેથી $|A| = (-1)^n |A|$ થાય.
$3 \times 3$ શ્રેણિક માટે,$n = 3$ છે,તેથી $|A| = (-1)^3 |A| = -|A|$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $2|A| = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = 0$.

(B) સીમાંત આવક (Marginal Revenue) એ કુલ આવક વિધેય $R(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન છે,જેને $MR = \frac{dR}{dx}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $R(x) = 10x^2 + 20x + 1500$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(10x^2 + 20x + 1500) = 20x + 20$.
જ્યારે $x = 1500$ હોય ત્યારે સીમાંત આવક શોધવા માટે:
$MR = 20(1500) + 20 = 30000 + 20 = 30020$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીના ક્ષેત્રફળના સૂત્ર પરથી,આપણી પાસે $r^2 = \frac{S}{4 \pi}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$.
આપણે $\frac{dV}{dS}$ શોધવાની જરૂર છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને,$\frac{dV}{dS} = \frac{dV/dr}{dS/dr}$.
$\frac{dV}{dr} = \frac{d}{dr} (\frac{4}{3} \pi r^3) = 4 \pi r^2$.
$\frac{dS}{dr} = \frac{d}{dr} (4 \pi r^2) = 8 \pi r$.
તેથી,$\frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2}{8 \pi r} = \frac{r}{2}$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dV}{dS} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\pi}}) = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{S}{\pi}}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વક્ર $y = f(x)$,$X$-અક્ષ અને રેખાઓ $x = a$ તથા $x = b$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$f(x) = 5 \sin x$,$a = 0$,અને $b = \frac{\pi}{2}$ છે.
$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ માટે $\sin x \geq 0$ હોવાથી:
$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5 \sin x \, dx$
$A = 5 [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$A = 5 [-\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0))]$
$A = 5 [0 + 1]$
$A = 5 \times 1 = 5$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વક્ર $y=x$ અને રેખાઓ $x=1$ તથા $x=10$ દ્વારા આવરીત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે નિશ્ચિત સંકલનનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{a}^{b} y \, dx$
અહીં,$a = 1$,$b = 10$,અને $y = x$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{1}^{10} x \, dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{10}$
$= \frac{10^2}{2} - \frac{1^2}{2}$
$= \frac{100}{2} - \frac{1}{2}$
$= \frac{99}{2} \text{ ચોરસ એકમ.}$