'$INVOLUTE$' शब्द के अक्षरों से $3$ स्वर और $2$ व्यंजन वाले कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

एक पार्टी में,$12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित किया जाना है। यदि दो विशेष व्यक्ति एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं,तो कुल व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

बिंदु $A$ से $D$ तक के सबसे छोटे रास्तों की संख्या (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है) है:

'$DETAIL$' शब्द के अक्षरों को कितनी अलग-अलग तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है कि स्वर केवल विषम स्थानों पर ही आएं?

एक पात्र में $5$ लाल कंचे,$4$ काले कंचे और $3$ सफेद कंचे हैं। $4$ कंचों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि उनमें से अधिकतम $3$ लाल हों।

दो अमेरिकी,दो ब्रिटिश,एक चीनी,एक डच और एक मिस्रवासी एक गोल मेज पर कितनी तरह से बैठ सकते हैं कि समान राष्ट्रीयता वाले व्यक्ति अलग-अलग रहें?