Compound Interest Questions in Hindi

(C) माना मूलधन $P$ है। ब्याज की दर $R = 5 \%$ प्रति वर्ष और समय $T = 3$ वर्ष है।
साधारण ब्याज $(SI)$ इस प्रकार है: $SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{P \times 5 \times 3}{100} = \frac{15P}{100} = \frac{3P}{20}$.
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ इस प्रकार है: $CI = P \left[ (1 + \frac{R}{100})^T - 1 \right] = P \left[ (1 + \frac{5}{100})^3 - 1 \right] = P \left[ (\frac{21}{20})^3 - 1 \right] = P \left[ \frac{9261}{8000} - 1 \right] = P \left[ \frac{1261}{8000} \right]$.
प्रश्न के अनुसार,$CI - SI = 183$.
मान रखने पर: $\frac{1261P}{8000} - \frac{3P}{20} = 183$.
घटाने के लिए,हर को समान करने पर: $\frac{1261P}{8000} - \frac{1200P}{8000} = 183$.
$\frac{61P}{8000} = 183$.
$P = \frac{183 \times 8000}{61} = 3 \times 8000 = 24000$.
अतः,वह राशि $Rs. 24000$ है।

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^{n}-1\right]$ है।
यहाँ $CI = 504.40$,$R = 5\%$,और $n = 3$ वर्ष दिया गया है।
$504.40 = P \left[\left(1+\frac{5}{100}\right)^{3}-1\right]$
$504.40 = P \left[\left(\frac{21}{20}\right)^{3}-1\right]$
$504.40 = P \left[\frac{9261}{8000}-1\right]$
$504.40 = P \left[\frac{1261}{8000}\right]$
$P = \frac{504.40 \times 8000}{1261} = 3200$.
अतः,मूलधन $P = Rs. 3200$ है।
अब,साधारण ब्याज की गणना करें: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$.
$SI = \frac{3200 \times 5 \times 3}{100} = 32 \times 15 = 480$.
इस प्रकार,साधारण ब्याज $Rs. 480$ है।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P) = Rs. 1500$,दर $(R) = 25 \% \text{ प्रति वर्ष}$.
हमें वर्षों की न्यूनतम संख्या $(n)$ ज्ञात करनी है ताकि मिश्रधन $(A)$ मूलधन के दोगुने से अधिक हो जाए,अर्थात $A > 2P$.
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + R/100)^n$ है।
मान रखने पर: $P(1 + 25/100)^n > 2P$.
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर: $(1 + 1/4)^n > 2$,जो सरल होकर $(5/4)^n > 2$ हो जाता है।
$n$ के विभिन्न मानों के लिए गणना करने पर:
$n = 1$ के लिए: $(1.25)^1 = 1.25 < 2$.
$n = 2$ के लिए: $(1.25)^2 = 1.5625 < 2$.
$n = 3$ के लिए: $(1.25)^3 = 1.953125 < 2$.
$n = 4$ के लिए: $(1.25)^4 = 2.44140625 > 2$.
अतः,आवश्यक कम से कम पूर्ण वर्षों की संख्या $4$ है।

(C) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R\%$ है।
$3$ वर्षों का साधारण ब्याज $(SI)$ $= Rs. 240$ है।
अतः,$1$ वर्ष का साधारण ब्याज $= \frac{240}{3} = Rs. 80$ है।
$2$ वर्षों का साधारण ब्याज $= 80 \times 2 = Rs. 160$ है।
हम जानते हैं कि $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$,इसलिए $2$ वर्षों के लिए: $160 = \frac{P \times R \times 2}{100} \Rightarrow PR = 8000$।
$2$ वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ $= Rs. 164$ है।
$2$ वर्षों के लिए $CI$ और $SI$ के बीच का अंतर $CI - SI = P \left( \frac{R}{100} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$164 - 160 = P \left( \frac{R}{100} \right)^2 \Rightarrow 4 = P \left( \frac{R}{100} \right)^2$।
चूंकि $PR = 8000$ है,इसलिए $R = \frac{8000}{P}$ होगा।
समीकरण में $R$ का मान रखने पर: $4 = P \left( \frac{8000/P}{100} \right)^2 = P \left( \frac{80}{P} \right)^2 = P \times \frac{6400}{P^2} = \frac{6400}{P}$।
$P = \frac{6400}{4} = 1600$।
अतः,धनराशि $Rs. 1600$ है।

(A) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[\left(1+\frac{R}{100}\right)^{n}-1\right]$ है।
दिया गया है: मूलधन $(P)$ = $Rs. 7850$,दर $(R)$ = $14\%$,समय $(n)$ = $2$ वर्ष।
सूत्र में मान रखने पर:
$CI = 7850 \times \left[\left(1+\frac{14}{100}\right)^{2}-1\right]$
$CI = 7850 \times \left[(1.14)^{2}-1\right]$
$CI = 7850 \times [1.2996 - 1]$
$CI = 7850 \times 0.2996$
$CI = 2351.86$
अतः,चक्रवृद्धि ब्याज $Rs. 2351.86$ होगा।

(A) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ है।
यहाँ $CI = 6500.52$,$R = 15$,और $n = 3$ दिया गया है।
$6500.52 = P \left[ \left( 1 + \frac{15}{100} \right)^3 - 1 \right]$
$6500.52 = P \left[ \left( 1.15 \right)^3 - 1 \right]$
$6500.52 = P \left[ 1.520875 - 1 \right]$
$6500.52 = P \times 0.520875$
$P = \frac{6500.52}{0.520875} = 12480$.
अतः,मूलधन राशि $Rs. 12480$ है।

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ है।
दिया गया है: मूलधन $(P)$ = $Rs. 7400$,दर $(R)$ = $13.5\%$,समय $(n)$ = $2$ वर्ष।
$CI = 7400 \left[ \left( 1 + \frac{13.5}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 7400 \left[ (1.135)^2 - 1 \right]$
$CI = 7400 \left[ 1.288225 - 1 \right]$
$CI = 7400 \times 0.288225$
$CI = 2132.865$
दशमलव के दो अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $Rs. 2132.87$ प्राप्त होता है।

(B) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[\left(1 + \frac{R}{100}\right)^n - 1\right]$ है।
यहाँ $CI = 1414.4$,$R = 8$,और $n = 2$ दिया गया है।
$1414.4 = P \left[\left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 - 1\right]$
$1414.4 = P \left[(1.08)^2 - 1\right]$
$1414.4 = P \left[1.1664 - 1\right]$
$1414.4 = P \times 0.1664$
$P = \frac{1414.4}{0.1664} = 8500$.
प्राप्त कुल राशि = मूलधन + चक्रवृद्धि ब्याज = $8500 + 1414.4 = 9914.4$.

(B) विभिन्न ब्याज दरों के साथ चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र इस प्रकार है:
$A = P \left(1 + \frac{R_1}{100}\right) \left(1 + \frac{R_2}{100}\right) \left(1 + \frac{R_3}{100}\right)$
दिया गया है:
$A = 5305.53$
$R_1 = 1\%$,$R_2 = 2\%$,$R_3 = 3\%$
मान रखने पर:
$5305.53 = P \left(1 + \frac{1}{100}\right) \left(1 + \frac{2}{100}\right) \left(1 + \frac{3}{100}\right)$
$5305.53 = P \times (1.01) \times (1.02) \times (1.03)$
$5305.53 = P \times 1.061106$
$P$ के लिए हल करने पर:
$P = \frac{5305.53}{1.061106}$
$P = 5000$
अतः,मूलधन $Rs. 5000$ है।

(A) $3$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच के अंतर का सूत्र इस प्रकार है:
अंतर $= \frac{P \times r^2}{100^2} \times \left(\frac{r}{100} + 3\right)$
यहाँ,$r = 15$ और अंतर $= 595.35$ है।
मान रखने पर:
$595.35 = \frac{P \times 15^2}{100^2} \times \left(\frac{15}{100} + 3\right)$
$595.35 = \frac{P \times 225}{10000} \times (0.15 + 3)$
$595.35 = \frac{P \times 225}{10000} \times 3.15$
$595.35 = \frac{P \times 708.75}{10000}$
$P = \frac{595.35 \times 10000}{708.75}$
$P = \frac{5953500}{708.75} = 8400$
अतः,मूलधन राशि $Rs. 8400$ है।

(C) चरण $1$: मूल मूलधन $(P)$ की गणना करें।
साधारण ब्याज $(SI)$ $= \frac{P \times R \times T}{100}$
$1000 = \frac{P \times 5 \times 4}{100}$
$1000 = \frac{P \times 20}{100}$
$P = \frac{1000 \times 100}{20} = Rs. 5000$
चरण $2$: नए मूलधन $(P')$ और चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ की गणना करें।
नया मूलधन $(P')$ $= 2 \times P = 2 \times 5000 = Rs. 10000$
दर $(R)$ $= 5\%$,समय $(T)$ $= 2$ वर्ष।
$CI = P' \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \left( \frac{105}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \frac{11025}{10000} - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \frac{11025 - 10000}{10000} \right]$
$CI = 10000 \times \frac{1025}{10000} = Rs. 1025$

(B) चरण $1$: साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके ब्याज की दर $(R)$ ज्ञात करें।
$SI = \frac{P \times R \times T}{100}$
$7200 = \frac{20000 \times R \times 3}{100}$
$7200 = 600 \times R$
$R = \frac{7200}{600} = 12\% \text{ प्रति वर्ष}$.
चरण $2$: समान मूलधन,दर और समय के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ की गणना करें।
$CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$
$CI = 20000 \left[ \left( 1 + \frac{12}{100} \right)^3 - 1 \right]$
$CI = 20000 \left[ (1.12)^3 - 1 \right]$
$CI = 20000 \left[ 1.404928 - 1 \right]$
$CI = 20000 \times 0.404928 = 8098.56$.
अतः,चक्रवृद्धि ब्याज $Rs. 8098.56$ होगा।

(D) जनसंख्या वृद्धि चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र का पालन करती है: $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$.
यहाँ,प्रारंभिक जनसंख्या $P = 15$ लाख है।
वृद्धि की दर $r = 10 \%$ प्रति वर्ष है।
समय अवधि $n = 2005 - 2003 = 2$ वर्ष है।
सूत्र में मान रखने पर:
$A = 15 \times (1 + \frac{10}{100})^2$
$A = 15 \times (1 + 0.1)^2$
$A = 15 \times (1.1)^2$
$A = 15 \times 1.21$
$A = 18.15$ लाख।
अतः,वर्ष $2005$ में जनसंख्या $18.15$ लाख थी।

(B) मशीन का वर्तमान मूल्य $P = Rs. 29644.032$ है।
मूल्यह्रास की दर $r = 12\%$ प्रति वर्ष है।
समय अवधि $n = 3$ वर्ष है।
मूल्यह्रास के बाद का मूल्य ज्ञात करने का सूत्र $V = P_0 \times (1 - \frac{r}{100})^n$ है,जहाँ $P_0$ प्रारंभिक क्रय मूल्य है।
क्रय मूल्य $P_0$ ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं:
$P_0 = \frac{V}{(1 - \frac{r}{100})^n}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P_0 = \frac{29644.032}{(1 - \frac{12}{100})^3}$
$P_0 = \frac{29644.032}{(0.88)^3}$
$P_0 = \frac{29644.032}{0.681472}$
$P_0 = 43500$
अतः,मशीन का क्रय मूल्य $Rs. 43500$ था।

(A) $2008$ में प्रवेश लेने वाले छात्रों की प्रारंभिक संख्या $(P)$ $5000$ है।
वृद्धि की दर $(r)$ प्रति वर्ष $24\%$ है।
$2008$ से $2010$ तक की समयावधि $(n)$ $2010 - 2008 = 2$ वर्ष है।
चूंकि छात्रों की संख्या निरंतर प्रतिशत दर से बढ़ रही है,हम चक्रवृद्धि वृद्धि के सूत्र का उपयोग करते हैं: $A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$.
मान रखने पर: $A = 5000 \left(1 + \frac{24}{100}\right)^2$.
$A = 5000 \times (1.24)^2$.
$A = 5000 \times 1.5376$.
$A = 7688$.
अतः,वर्ष $2010$ में प्रवेश लेने वाले छात्रों की संख्या $7688$ होगी।

(B) दिया गया है: मूलधन $(P) = Rs. 19800$,साधारण ब्याज $(SI) = Rs. 7128$,समय $(T) = 3$ वर्ष।
सबसे पहले,ब्याज की दर $(R)$ की गणना सूत्र का उपयोग करके करें: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$।
$7128 = \frac{19800 \times R \times 3}{100} \Rightarrow 7128 = 198 \times R \times 3$।
$7128 = 594 \times R \Rightarrow R = \frac{7128}{594} = 12 \%$।
अब,चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ की गणना सूत्र का उपयोग करके करें: $CI = P \left[ (1 + \frac{R}{100})^T - 1 \right]$।
$CI = 19800 \left[ (1 + \frac{12}{100})^3 - 1 \right] = 19800 \left[ (1.12)^3 - 1 \right]$।
$(1.12)^3 = 1.404928$।
$CI = 19800 \times (1.404928 - 1) = 19800 \times 0.404928$।
$CI = Rs. 8017.5744$।

(B) $2$ $\text{वर्ष}$ की अवधि के लिए,चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच का अंतर निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{अंतर} = P \times \left( \frac{R}{100} \right)^2$
जहाँ:
$P$ = मूलधन
$R$ = ब्याज की दर $(5\%)$
$\text{अंतर} = 16$
मान रखने पर:
$16 = P \times \left( \frac{5}{100} \right)^2$
$16 = P \times \left( \frac{1}{20} \right)^2$
$16 = P \times \frac{1}{400}$
$P = 16 \times 400$
$P = 6400$
अतः,मूलधन की राशि $Rs. 6400$ है।

(B) वर्ष $2008$ में कारखाने का उत्पादन $P = 70$ $lakh$ टन दिया गया है।
वृद्धि दर $R = 8 \%$ $p.a.$ है।
वर्ष $2008$ से $2010$ तक की समयावधि $n = 2$ वर्ष है।
चूंकि उत्पादन चक्रवृद्धि दर से बढ़ता है,इसलिए हम चक्रवृद्धि वृद्धि के सूत्र का उपयोग करेंगे:
$A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n$
मान रखने पर:
$A = 70 \left(1 + \frac{8}{100}\right)^2$
$A = 70 \left(1 + 0.08\right)^2$
$A = 70 \times (1.08)^2$
$A = 70 \times 1.1664$
$A = 81.648$ $lakh$ टन।
अतः,वर्ष $2010$ में उत्पादन $81.648$ $lakh$ टन होगा।

(B) के लिए (साधारण ब्याज):
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{6000 \times 5 \times 2}{100} = Rs. 600$.
$B$ के लिए (चक्रवृद्धि ब्याज):
मिश्रधन $= P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n = 5000 \left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 = 5000 \left(\frac{108}{100}\right)^2 = 5000 \times 1.1664 = Rs. 5832$.
$CI = \text{मिश्रधन} - P = 5832 - 5000 = Rs. 832$.
उनके ब्याज के बीच का अंतर $= 832 - 600 = Rs. 232$.

(A) विभिन्न ब्याज दरों $R_1, R_2, R_3$ के साथ कुल राशि $A$ ज्ञात करने का सूत्र $A = P \times (1 + \frac{R_1}{100}) \times (1 + \frac{R_2}{100}) \times (1 + \frac{R_3}{100})$ है।
यहाँ $P = 10000$,$R_1 = 4$,$R_2 = 5$,$R_3 = 6$ दिया गया है।
$A = 10000 \times (1 + \frac{4}{100}) \times (1 + \frac{5}{100}) \times (1 + \frac{6}{100})$
$A = 10000 \times \frac{104}{100} \times \frac{105}{100} \times \frac{106}{100}$
$A = 10000 \times \frac{26}{25} \times \frac{21}{20} \times \frac{53}{50}$
$A = 10000 \times \frac{28938}{25000} = 4 \times 2893.8 = 11575.20$
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI) = A - P = 11575.20 - 10000 = Rs. 1575.20$.

(C) मूलधन $(P) = Rs. 5000$,दर $(R) = 10\%$ वार्षिक,समय $(T) = 2$ वर्ष।
साधारण ब्याज $(SI) = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{5000 \times 10 \times 2}{100} = Rs. 1000$।
अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज के लिए:
दर $(r) = \frac{10}{2} = 5\%$ प्रति छमाही।
समय $(n) = 2 \times 2 = 4$ छमाही।
मिश्रधन $(A) = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n = 5000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^4 = 5000 \left(1.05\right)^4$।
$A = 5000 \times 1.21550625 = Rs. 6077.53125$।
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI) = A - P = 6077.53125 - 5000 = Rs. 1077.53$।
अंतर $= CI - SI = 1077.53 - 1000 = Rs. 77.53$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,अंतर $Rs. 77.50$ है।

(C) माना मूलधन राशि $P$ है।
दिया गया है: चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ = $Rs. 101.50$,दर $(r)$ = $3 \%$,समय $(t)$ = $2$ $\text{वर्ष}$.
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^t - 1 \right]$ है।
मान रखने पर: $101.50 = P \left[ \left( 1 + \frac{3}{100} \right)^2 - 1 \right]$.
$101.50 = P \left[ (1.03)^2 - 1 \right] = P [1.0609 - 1] = P(0.0609)$.
$P = \frac{101.50}{0.0609} = \frac{1015000}{609} = Rs. \frac{5000}{3}$.
अब,साधारण ब्याज $(SI)$ की गणना करने के लिए $SI = \frac{P \times r \times t}{100}$ का उपयोग करें।
$SI = \frac{(5000/3) \times 3 \times 2}{100} = \frac{5000 \times 2}{100} = Rs. 100$.

(D) दिया गया है: चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ = $Rs. 1272$,समय $(t)$ = $2$ वर्ष,दर $(r)$ = $12 \%$ प्रति वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: $CI = P \left[\left(1 + \frac{r}{100}\right)^t - 1\right]$
मान रखने पर: $1272 = P \left[\left(1 + \frac{12}{100}\right)^2 - 1\right]$
$1272 = P \left[(1.12)^2 - 1\right]$
$1272 = P [1.2544 - 1]$
$1272 = P \times 0.2544$
$P = \frac{1272}{0.2544} = 5000$
अब,साधारण ब्याज $(SI)$ की गणना सूत्र द्वारा करें: $SI = \frac{P \times r \times t}{100}$
$SI = \frac{5000 \times 12 \times 2}{100}$
$SI = 50 \times 24 = 1200$
अतः,साधारण ब्याज $Rs. 1200$ होगा।

(A) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^t$ है,जहाँ $A$ मिश्रधन है,$P$ मूलधन है,$r$ ब्याज की दर है और $t$ वर्षों में समय है।
$t = 4$ वर्ष के लिए,$3840 = P(1 + \frac{r}{100})^4$ --- $(i)$
$t = 5$ वर्ष के लिए,$3936 = P(1 + \frac{r}{100})^5$ --- (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3936}{3840} = \frac{P(1 + \frac{r}{100})^5}{P(1 + \frac{r}{100})^4}$
$\frac{3936}{3840} = 1 + \frac{r}{100}$
$\frac{3936}{3840} - 1 = \frac{r}{100}$
$\frac{3936 - 3840}{3840} = \frac{r}{100}$
$\frac{96}{3840} = \frac{r}{100}$
$r = \frac{96 \times 100}{3840} = \frac{9600}{3840} = 2.5$
अतः,ब्याज की दर $2.5 \%$ प्रति वर्ष है।

(A) $2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच के अंतर का सूत्र इस प्रकार है:
अंतर $= \frac{P \times r^2}{100^2}$
जहाँ $P$ मूलधन है और $r$ वार्षिक ब्याज दर है।
दिया गया है: अंतर $= 4$,$r = 4 \%$,समय $= 2$ वर्ष।
सूत्र में मान रखने पर:
$4 = \frac{P \times 4^2}{100^2}$
$4 = \frac{P \times 16}{10000}$
$P = \frac{4 \times 10000}{16}$
$P = \frac{10000}{4}$
$P = 2500$
अतः,वह धनराशि $Rs. 2500$ है।

(B) दिया गया है: मूलधन $(P) = 64000$,दर $(R) = 5 \%$ वार्षिक,समय $(n) = 18$ महीने।
चूंकि ब्याज अर्धवार्षिक रूप से संयोजित होता है,अर्धवार्षिक दर $(r) = \frac{5}{2} = 2.5 \%$.
अर्धवार्षिक अवधियों की संख्या $(n) = \frac{18}{6} = 3$.
मिश्रधन $(A)$ का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ है।
मान रखने पर: $A = 64000(1 + \frac{2.5}{100})^3$.
$A = 64000(1 + 0.025)^3 = 64000(1.025)^3$.
$A = 64000 \times (\frac{41}{40})^3 = 64000 \times \frac{68921}{64000}$.
$A = 68921$.

(B) $2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच के अंतर का सूत्र इस प्रकार है: $\text{अंतर} = P \times \left(\frac{r}{100}\right)^2$।
यहाँ,मूलधन $P = ₹ 12500$ और दर $r = 4 \%$ है।
मान रखने पर:
$\text{अंतर} = 12500 \times \left(\frac{4}{100}\right)^2$
$\text{अंतर} = 12500 \times \left(\frac{1}{25}\right)^2$
$\text{अंतर} = 12500 \times \frac{1}{625}$
$\text{अंतर} = 20$।
अतः,साधारण ब्याज और चक्रवृद्धि ब्याज के बीच का अंतर ₹ $20$ है।

(C) $3$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच के अंतर का सूत्र इस प्रकार है: $\text{अंतर} = \frac{P \times r^2(300 + r)}{100^3}$.
यहाँ,$P = 8000$,$r = 7.5$,और $n = 3$ वर्ष है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\text{अंतर} = \frac{8000 \times (7.5)^2 \times (300 + 7.5)}{100^3}$
$\text{अंतर} = \frac{8000 \times 56.25 \times 307.5}{1000000}$
$\text{अंतर} = \frac{450000 \times 307.5}{1000000}$
$\text{अंतर} = \frac{138375000}{1000000} = ₹ 138.375$.

(C) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R \%$ है।
$n$ वर्षों के बाद मिश्रधन का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$ है।
$2$ वर्षों के लिए: $2809 = P(1 + \frac{R}{100})^2$ --- $(i)$
$3$ वर्षों के लिए: $2977.54 = P(1 + \frac{R}{100})^3$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2977.54}{2809} = 1 + \frac{R}{100}$
$1.06 = 1 + \frac{R}{100}$
$\frac{R}{100} = 0.06 \implies R = 6 \%$.
अब,समीकरण $(i)$ में $R = 6$ रखने पर:
$2809 = P(1 + \frac{6}{100})^2$
$2809 = P(1.06)^2$
$2809 = P(1.1236)$
$P = \frac{2809}{1.1236} = 2500$.
अतः,ब्याज की दर $6 \%$ है और मूल राशि ₹ $2500$ है।

(B) $3$ वर्षों की अवधि के लिए,चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच का अंतर $(D)$ ज्ञात करने का सूत्र है: $D = P \times \left(\frac{r}{100}\right)^2 \times \left(\frac{300+r}{100}\right)$.
दिया गया है: $D = ₹ 122$,$r = 5 \%$,$t = 3$ वर्ष।
मान रखने पर: $122 = P \times \left(\frac{5}{100}\right)^2 \times \left(\frac{300+5}{100}\right)$.
$122 = P \times \left(\frac{1}{20}\right)^2 \times \left(\frac{305}{100}\right)$.
$122 = P \times \frac{1}{400} \times \frac{305}{100}$.
$122 = P \times \frac{305}{40000}$.
$P = \frac{122 \times 40000}{305}$.
$P = \frac{122 \times 8000}{61}$.
$P = 2 \times 8000 = ₹ 16000$.

(C) माना मूलधन $P$ है और वार्षिक ब्याज दर $R$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज पर $n$ वर्षों के बाद मिश्रधन का सूत्र $A = P(1 + R/100)^n$ है।
$3$ वर्षों के लिए: $P(1 + R/100)^3 = 800$ --- (समीकरण $1$)
$4$ वर्षों के लिए: $P(1 + R/100)^4 = 840$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P(1 + R/100)^4}{P(1 + R/100)^3} = \frac{840}{800}$
$(1 + R/100) = 1.05$
$R/100 = 1.05 - 1 = 0.05$
$R = 0.05 \times 100 = 5 \%$
अतः,वार्षिक ब्याज दर $5 \%$ है।

(B) माना मूलधन $P$ है।
$10 \%$ प्रति वर्ष की दर से $2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(SI)$:
$SI = P \times \frac{10 \times 2}{100} = 0.2P$
अर्ध-वार्षिक संयोजित होने वाले $2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$:
दर $R = 10 \% / 2 = 5 \%$ प्रति अर्ध-वर्ष।
समय $n = 2 \times 2 = 4$ अर्ध-वर्ष।
$CI = P \left(1 + \frac{5}{100}\right)^4 - P = P \left(1.05^4 - 1\right)$
$CI = P (1.21550625 - 1) = 0.21550625P$
अंतर $= CI - SI = 0.21550625P - 0.2P = 0.01550625P$
दिया गया है,$0.01550625P = 124.05$
$P = \frac{124.05}{0.01550625} = 8000$
अतः,मूलधन ₹ $8000$ है।

(A) माना मूलधन $P$ है।
$2$ वर्षों के लिए,साधारण ब्याज $(SI)$ का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{P \times 4 \times 2}{100} = \frac{8P}{100} = 0.08P$ है।
वार्षिक संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ का सूत्र $CI = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T - P = P \left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 - P = P \left(1.04^2 - 1\right) = P(1.0816 - 1) = 0.0816P$ है।
$CI$ और $SI$ के बीच का अंतर ₹ $1$ दिया गया है।
$0.0816P - 0.08P = 1$
$0.0016P = 1$
$P = \frac{1}{0.0016} = \frac{10000}{16} = 625$.
अतः,वह धनराशि ₹ $625$ है।

(C) माना मूलधन राशि $P$ है।
$3$ वर्षों के लिए $8 \%$ प्रति वर्ष की दर से साधारण ब्याज ($S$.$I$.) इस प्रकार है:
$S.I. = \frac{P \times 3 \times 8}{100} = \frac{24P}{100} = 0.24P$ (समीकरण $1$)
₹ $4000$ पर $2$ वर्षों के लिए $10 \%$ प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज ($C$.$I$.) इस प्रकार है:
$C.I. = 4000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 - 4000$
$C.I. = 4000 \left(\frac{11}{10}\right)^2 - 4000 = 4000 \times 1.21 - 4000 = 4840 - 4000 = 840$ (समीकरण $2$)
प्रश्न के अनुसार,साधारण ब्याज,चक्रवृद्धि ब्याज का आधा है:
$S.I. = \frac{1}{2} \times C.I.$
$0.24P = \frac{1}{2} \times 840$
$0.24P = 420$
$P = \frac{420}{0.24} = \frac{42000}{24} = 1750$
अतः,साधारण ब्याज पर रखी गई राशि ₹ $1750$ है।

(D) माना मूलधन $P$ है।
दी गई दर $R = 12 \frac{1}{2} \% = \frac{25}{2} \% = 12.5 \% = \frac{1}{8}$ प्रति वर्ष।
समय $T = 2$ वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज ($C$.$I$.) का सूत्र: $C.I. = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$.
$510 = P \left[ \left(1 + \frac{1}{8} \right)^2 - 1 \right]$.
$510 = P \left[ \left( \frac{9}{8} \right)^2 - 1 \right] = P \left[ \frac{81}{64} - 1 \right] = P \left( \frac{17}{64} \right)$.
$P = \frac{510 \times 64}{17} = 30 \times 64 = ₹ 1920$.
अब,साधारण ब्याज ($S$.$I$.) = $\frac{P \times R \times T}{100} = \frac{1920 \times 12.5 \times 2}{100} = \frac{1920 \times 25}{100} = 1920 \times 0.25 = ₹ 480$.

(D) माना मूलधन $P$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$ है।
दिया गया है: $A = 4913$,$R = 6 \frac{1}{4} \% = \frac{25}{4} \%$,$n = 3$ वर्ष।
मान रखने पर:
$4913 = P(1 + \frac{25/4}{100})^3$
$4913 = P(1 + \frac{25}{400})^3$
$4913 = P(1 + \frac{1}{16})^3$
$4913 = P(\frac{17}{16})^3$
$P = 4913 \times (\frac{16}{17})^3$
चूँकि $17^3 = 4913$,इसलिए:
$P = 4913 \times \frac{4096}{4913} = 4096$।
अतः,मूलधन ₹ $4096$ है।

(A) माना जमा की अवधि $N$ वर्ष है।
दिया गया है,मूलधन $(P)$ = ₹ $30000$,दर $(R)$ = $7 \%$,चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ = ₹ $4347$.
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100} \right)^N - 1 \right]$ है।
मान रखने पर: $4347 = 30000 \left[ \left(1 + \frac{7}{100} \right)^N - 1 \right]$.
$4347 = 30000 \left[ \left(1.07 \right)^N - 1 \right]$.
दोनों पक्षों को $30000$ से विभाजित करने पर: $\frac{4347}{30000} = (1.07)^N - 1$.
$0.1449 = (1.07)^N - 1$.
$(1.07)^N = 1.1449$.
चूंकि $(1.07)^2 = 1.1449$,इसलिए $(1.07)^N = (1.07)^2$.
अतः,$N = 2$ वर्ष।

(D) $1000$ रुपये पर $10 \%$ प्रति वर्ष की दर से $4$ वर्ष के लिए साधारण ब्याज ($S$.$I$.) की गणना इस प्रकार की जाती है:
$S.I. = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{1000 \times 10 \times 4}{100} = ₹ 400$.
$1000$ रुपये पर $10 \%$ प्रति वर्ष की दर से $4$ वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज ($C$.$I$.) की गणना इस प्रकार की जाती है:
$C.I. = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right] = 1000 \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^4 - 1 \right]$
$= 1000 \left[ (1.1)^4 - 1 \right] = 1000 [1.4641 - 1] = 1000 \times 0.4641 = ₹ 464.10$.
चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर:
$C.I. - S.I. = 464.10 - 400 = ₹ 64.10$.

(C) दिया गया है: मूलधन $(P) = ₹ 15625$,दर $(R) = 16 \%$ वार्षिक,समय $(n) = 9$ महीने।
चूंकि ब्याज त्रैमासिक संयोजित है,इसलिए त्रैमासिक दर $R' = 16 / 4 = 4 \%$ और त्रैमासिक अवधि की संख्या $n' = 9 / 3 = 3$ होगी।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ (1 + R'/100)^{n'} - 1 \right]$ है।
मान रखने पर: $CI = 15625 \left[ (1 + 4/100)^3 - 1 \right]$.
$CI = 15625 \left[ (1 + 1/25)^3 - 1 \right] = 15625 \left[ (26/25)^3 - 1 \right]$.
$CI = 15625 \times \left( \frac{17576 - 15625}{15625} \right)$.
$CI = 17576 - 15625 = ₹ 1951$.

(B) ब्याज की गणना $5 \%$ वार्षिक दर पर अर्ध-वार्षिक आधार पर की जाती है,इसलिए अर्ध-वार्षिक दर $r = 2.5 \% = 0.025$ है।
$1^{st}$ जनवरी को जमा की गई पहली ₹ $1600$ की राशि पर दो अर्ध-वार्षिक अवधियों (एक वर्ष) के लिए ब्याज मिलता है।
पहली जमा राशि के लिए एक वर्ष बाद की राशि $= 1600(1 + 0.025)^2 = 1600(1.025)^2 = 1600(1.050625) = 1681$.
$1^{st}$ जुलाई को जमा की गई दूसरी ₹ $1600$ की राशि पर एक अर्ध-वार्षिक अवधि (छह महीने) के लिए ब्याज मिलता है।
दूसरी जमा राशि के लिए छह महीने बाद की राशि $= 1600(1 + 0.025)^1 = 1600(1.025) = 1640$.
वर्ष के अंत में कुल राशि $= 1681 + 1640 = 3321$.
कुल जमा किया गया मूलधन $= 1600 + 1600 = 3200$.
कुल अर्जित ब्याज $= 3321 - 3200 = ₹ 121$.

(C) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ है।
दिया गया है: मूलधन $(P) = ₹ 25000$,दर $(R) = 12 \%$,समय $(n) = 3 \text{ वर्ष}$.
$CI = 25000 \left[ \left( 1 + \frac{12}{100} \right)^3 - 1 \right]$
$CI = 25000 \left[ \left( 1.12 \right)^3 - 1 \right]$
$CI = 25000 \left[ 1.404928 - 1 \right]$
$CI = 25000 \times 0.404928$
$CI = ₹ 10123.20$

(D) चक्रवृद्धि ब्याज के तहत कुल राशि $A$ ज्ञात करने का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^N$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है और $N$ वर्षों में समय अवधि है।
दिया गया है: $P = ₹ 8000$,$R = 5 \%$,$N = 2$ वर्ष।
सूत्र में मान रखने पर:
$A = 8000(1 + \frac{5}{100})^2$
$A = 8000(1 + 0.05)^2$
$A = 8000(1.05)^2$
$A = 8000 \times 1.1025$
$A = 8820$
अतः,परिपक्वता पर अल्बर्ट को ₹ $8820$ प्राप्त होंगे।

(C) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{n \times 100})^{n \times T}$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ वार्षिक दर है,$n$ प्रति वर्ष ब्याज संयोजित होने की संख्या है,और $T$ समय वर्षों में है।
दिया गया है: $P = 15000$,$R = 10 \%$,$T = 1$ वर्ष,और ब्याज अर्ध-वार्षिक संयोजित है $(n = 2)$।
अर्ध-वार्षिक दर = $\frac{10 \%}{2} = 5 \%$.
अर्ध-वर्षों की संख्या $(N)$ = $1 \times 2 = 2$.
मिश्रधन $A = 15000(1 + \frac{5}{100})^2$.
$A = 15000(1 + 0.05)^2 = 15000(1.05)^2$.
$A = 15000 \times 1.1025 = 16537.50$.
अतः,वर्ष के अंत में प्राप्त राशि ₹ $16537.50$ होगी।

(A) मूलधन $(P)$ = ₹ $5000$,दर $(R)$ = $4 \%$ प्रति वर्ष,समय $(n)$ = $1 \frac{1}{2}$ वर्ष = $3$ अर्ध-वर्ष।
स्थिति $1$: वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज।
पहले वर्ष के लिए ब्याज वार्षिक रूप से गिना जाता है। शेष आधे वर्ष के लिए साधारण ब्याज लागू होता है।
राशि $= 5000 \times (1 + \frac{4}{100})^1 \times (1 + \frac{2}{100})^1 = 5000 \times \frac{26}{25} \times \frac{51}{50} = 200 \times 26 \times \frac{51}{50} = 4 \times 26 \times 51 = ₹ 5304$।
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI_1)$ $= 5304 - 5000 = ₹ 304$।
स्थिति $2$: अर्ध-वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज।
दर $(r)$ = $4/2 = 2 \%$ प्रति अर्ध-वर्ष,समय $(n)$ = $3$ अर्ध-वर्ष।
राशि $= 5000 \times (1 + \frac{2}{100})^3 = 5000 \times (1.02)^3 = 5000 \times 1.061208 = ₹ 5306.04$।
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI_2)$ $= 5306.04 - 5000 = ₹ 306.04$।
अंतर $= CI_2 - CI_1 = 306.04 - 304 = ₹ 2.04$।

(B) माना कि प्रत्येक वार्षिक किस्त ₹ $x$ है।
किस्तों का वर्तमान मूल्य कुल ऋण के बराबर होना चाहिए:
$\frac{x}{(1 + \frac{5}{100})^1} + \frac{x}{(1 + \frac{5}{100})^2} = 1025$
भिन्नों को सरल करने पर:
$\frac{x}{1.05} + \frac{x}{(1.05)^2} = 1025$
$\frac{x}{21/20} + \frac{x}{(21/20)^2} = 1025$
$\frac{20x}{21} + \frac{400x}{441} = 1025$
हर को समान करने पर $(441)$:
$\frac{420x + 400x}{441} = 1025$
$\frac{820x}{441} = 1025$
$x = \frac{1025 \times 441}{820}$
$x = 1.25 \times 441 = 551.25$
अतः,वार्षिक किस्त ₹ $551.25$ है।

(C) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$ है, जहाँ $A$ मिश्रधन है, $P$ मूलधन है, $R$ ब्याज दर है और $n$ वर्षों में समय है。
दिया गया है कि राशि $5 \, \text{वर्षों}$ में दोगुनी हो जाती है, इसलिए $2P = P(1 + \frac{R}{100})^5$, जो सरल होकर $(1 + \frac{R}{100})^5 = 2$ हो जाता है。
हमें वह समय $N$ ज्ञात करना है जिसमें राशि $8$ गुनी हो जाए: $8P = P(1 + \frac{R}{100})^N$.
यह सरल होकर $(1 + \frac{R}{100})^N = 8$ हो जाता है。
चूँकि $8 = 2^3$, हम समीकरण में $2 = (1 + \frac{R}{100})^5$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$(1 + \frac{R}{100})^N = [(1 + \frac{R}{100})^5]^3$.
$(1 + \frac{R}{100})^N = (1 + \frac{R}{100})^{15}$.
घातांकों की तुलना करने पर, हमें $N = 15 \, \text{वर्ष}$ प्राप्त होता है。

(A) माना योजना $A$ में निवेश की गई राशि ₹ $x$ है।
अतः,योजना $B$ में निवेश की गई राशि ₹ $(27000 - x)$ है।
$2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $P[(1 + r/100)^n - 1]$ है।
योजना $A$ के लिए: $CI_A = x[(1 + 8/100)^2 - 1] = x[1.1664 - 1] = 0.1664x$.
योजना $B$ के लिए: $CI_B = (27000 - x)[(1 + 9/100)^2 - 1] = (27000 - x)[1.1881 - 1] = 0.1881(27000 - x)$.
कुल ब्याज ₹ $4818.30$ है।
अतः,$0.1664x + 0.1881(27000 - x) = 4818.30$.
$0.1664x + 5078.7 - 0.1881x = 4818.30$.
$-0.0217x = 4818.30 - 5078.7$.
$-0.0217x = -260.4$.
$x = 260.4 / 0.0217 = 12000$.
इस प्रकार,योजना $A$ में निवेश की गई राशि ₹ $12000$ है।

(D) माना कि मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R \%$ है।
$2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(S.I.)$ इस प्रकार है:
$S.I. = \frac{P \times R \times 2}{100} = 660$ --- $(1)$
$2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I.)$ इस प्रकार है:
$C.I. = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2 - 1 \right] = 696.30$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P \left[ \left(1 + \frac{R}{100}\right)^2 - 1 \right]}{\frac{P \times 2R}{100}} = \frac{696.30}{660}$
$\frac{\frac{R^2}{10000} + \frac{2R}{100}}{\frac{2R}{100}} = 1.055$
$\frac{R}{200} + 1 = 1.055$
$\frac{R}{200} = 0.055$
$R = 0.055 \times 200 = 11$
अतः,ब्याज की दर $11 \%$ है।

(C) $6$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज ($S$.$I$.) $= 0.6P$ है।
सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ के अनुसार,$0.6P = \frac{P \times R \times 6}{100}$।
$R$ का मान निकालने पर,$R = \frac{0.6 \times 100}{6} = 10 \% \text{ प्रति वर्ष}$ प्राप्त होता है।
अब,$P = ₹ 12000$,$R = 10 \%$ और $T = 3$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज ($C$.$I$.) की गणना करते हैं।
$C.I. = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$.
$C.I. = 12000 \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^3 - 1 \right] = 12000 \left[ (1.1)^3 - 1 \right]$.
$C.I. = 12000 \times (1.331 - 1) = 12000 \times 0.331 = ₹ 3972$।

(B) माना मूलधन $P$ है।
दिया गया है कि $n = 2$ वर्ष के लिए $r = 10 \%$ वार्षिक दर पर चक्रवृद्धि ब्याज ($C$.$I$.) ₹ $525$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $= P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right] = 525$.
$P \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^2 - 1 \right] = 525$
$P \left[ (1.1)^2 - 1 \right] = 525$
$P [1.21 - 1] = 525$
$P (0.21) = 525$
$P = \frac{525}{0.21} = \frac{52500}{21} = ₹ 2500$.
अब,हमें दोगुने समय ($n' = 2 \times 2 = 4$ वर्ष) के लिए और आधी ब्याज दर ($r' = \frac{10}{2} = 5 \%$ वार्षिक) पर साधारण ब्याज ($S$.$I$.) ज्ञात करना है।
$S$.$I$. $= \frac{P \times r' \times n'}{100} = \frac{2500 \times 5 \times 4}{100} = 25 \times 20 = ₹ 500$.