Compound Interest Questions in Hindi

(C) $1$. $B$ द्वारा $A$ को चुकाई जाने वाली राशि की गणना (साधारण ब्याज):
मूलधन $(P) = ₹ 5000$,दर $(R) = 6 \%$,समय $(T) = 2$ वर्ष।
साधारण ब्याज $(S.I.) = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{5000 \times 6 \times 2}{100} = ₹ 600$।
$A$ को चुकाई जाने वाली कुल राशि = मूलधन + साधारण ब्याज = $5000 + 600 = ₹ 5600$।
$2$. $B$ द्वारा $C$ से प्राप्त राशि की गणना (चक्रवृद्धि ब्याज):
मूलधन $(P) = ₹ 5000$,दर $(R) = 10 \%$,समय $(n) = 2$ वर्ष।
मिश्रधन $(A_c) = P(1 + \frac{R}{100})^n = 5000(1 + \frac{10}{100})^2 = 5000(1.1)^2 = 5000 \times 1.21 = ₹ 6050$।
$3$. $B$ द्वारा अर्जित लाभ की गणना:
लाभ = $C$ से प्राप्त राशि - $A$ को चुकाई गई राशि।
लाभ = $6050 - 5600 = ₹ 450$।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $4000$,समय $(n)$ = $4$ वर्ष,दर $(r)$ = $10 \%$ प्रति वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I.)$ का सूत्र है:
$C.I. = P \left[1 + \frac{r}{100}\right]^n - P$
मान रखने पर:
$C.I. = 4000 \left[1 + \frac{10}{100}\right]^4 - 4000$
$C.I. = 4000 \left[1.1\right]^4 - 4000$
$C.I. = 4000 \times 1.4641 - 4000$
$C.I. = 5856.40 - 4000$
$C.I. = 1856.40$
अतः,चक्रवृद्धि ब्याज ₹ $1856.40$ होगा।

(A) दिया गया है: मिश्रधन $(A) = ₹ 6655$,दर $(r) = 10 \%$,समय $(n) = 3 \text{ वर्ष}$.
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$.
मान रखने पर:
$6655 = P(1 + \frac{10}{100})^3$
$6655 = P(1 + 0.1)^3$
$6655 = P(1.1)^3$
$6655 = P(1.331)$
$P$ का मान ज्ञात करने पर:
$P = \frac{6655}{1.331}$
$P = 5000$
अतः,वह धनराशि ₹ $5000$ है।

(A) दिया गया है: चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I)$ = ₹ $3225$,समय $(n)$ = $2$ वर्ष,दर $(r)$ = $15 \%$ प्रति वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है:
$C.I = P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right]$
मान रखने पर:
$3225 = P \left[ \left( 1 + \frac{15}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$3225 = P \left[ (1.15)^2 - 1 \right]$
$3225 = P [1.3225 - 1]$
$3225 = P \times 0.3225$
$P$ का मान ज्ञात करने पर:
$P = \frac{3225}{0.3225}$
$P = 10000$
अतः,मूलधन ₹ $10000$ है।

(C) माना मूलधन $P = ₹ 100x$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज के लिए,दर $r = 10 \%$,समय $t = 2$ वर्ष।
$C.I. = P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^t - 1 \right]$
$525 = 100x \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$525 = 100x \left[ \left( \frac{11}{10} \right)^2 - 1 \right]$
$525 = 100x \left[ \frac{121}{100} - 1 \right]$
$525 = 100x \left( \frac{21}{100} \right) = 21x$
$x = \frac{525}{21} = 25$.
अतः,मूलधन $P = 100 \times 25 = ₹ 2500$ है।
अब,साधारण ब्याज के लिए,नया समय $T = 2 \times 2 = 4$ वर्ष और नई दर $R = \frac{10}{2} = 5 \%$.
$S.I. = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{2500 \times 5 \times 4}{100} = 25 \times 20 = ₹ 500$.

(C) $3$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(S.I.) = ₹ 240$ है।
अतः,$1$ वर्ष के लिए साधारण ब्याज $= 240 / 3 = ₹ 80$ है।
समान मूलधन और दर के लिए,पहले वर्ष का साधारण ब्याज पहले वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I.)$ के बराबर होता है।
दिया गया है,$2$ वर्षों का चक्रवृद्धि ब्याज $= ₹ 170$ है।
अतः,दूसरे वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज $= (2 \text{ वर्षों का } C.I.) - (1 \text{ वर्ष का } C.I.) = 170 - 80 = ₹ 90$ है।
दूसरे वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और पहले वर्ष के साधारण ब्याज के बीच का अंतर पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज है।
अंतर $= 90 - 80 = ₹ 10$ है।
ब्याज की दर $= (\text{अंतर} / 1 \text{ वर्ष का } S.I.) \times 100$ है।
दर $= (10 / 80) \times 100 = 12.5 \%$ है।

(D) $3$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच का अंतर निकालने का सूत्र है: $Difference = P \times (r/100)^2 \times (3 + r/100)$।
यहाँ $Difference = ₹ 186$,$r = 10 \%$,और समय $n = 3$ वर्ष दिया गया है।
मान रखने पर:
$186 = P \times (10/100)^2 \times (3 + 10/100)$
$186 = P \times (1/10)^2 \times (3 + 0.1)$
$186 = P \times (1/100) \times 3.1$
$186 = P \times 0.031$
$P = 186 / 0.031$
$P = 6000$।
अतः,मूलधन ₹ $6000$ है।

(D) माना कि $3$ साल पहले जनसंख्या $P$ थी।
शहर की जनसंख्या हर साल $5 \%$ की दर से बढ़ती है,जो चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र के समान है।
सूत्र: $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$
दिया गया है: $A = 9261$,$r = 5 \%$,$n = 3$.
$9261 = P(1 + \frac{5}{100})^3$
$9261 = P(1 + \frac{1}{20})^3$
$9261 = P(\frac{21}{20})^3$
$9261 = P(\frac{9261}{8000})$
$P = 9261 \times \frac{8000}{9261}$
$P = 8000$
अतः,$3$ साल पहले जनसंख्या $8000$ थी।

(D) माना मूलधन $P$ है।
चूंकि धनराशि दोगुनी हो जाती है,इसलिए मिश्रधन $2P$ हो जाता है।
अतः,साधारण ब्याज $(SI)$ $= 2P - P = P$ होगा।
ब्याज की दर $R = 6 \frac{1}{4} \% = 6.25 \% = \frac{25}{4} \%$.
साधारण ब्याज का सूत्र $SI = \frac{P \times N \times R}{100}$ है,जहाँ $N$ वर्षों में समय है।
मान रखने पर: $P = \frac{P \times N \times 6.25}{100}$.
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर: $1 = \frac{N \times 6.25}{100}$.
$N = \frac{100}{6.25} = 16$.
अतः,आवश्यक समय $16$ वर्ष है।

(D) मान लीजिए कि प्रारंभिक मूलधन $P$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र के अनुसार,$n$ वर्षों के बाद की राशि $A = P(1 + r/100)^n$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि राशि $5$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $2P = P(1 + r/100)^5$,जिसका अर्थ है कि $(1 + r/100)^5 = 2$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जिसमें राशि $8P$ हो जाए।
अतः,$8P = P(1 + r/100)^t$,जो सरल होकर $8 = (1 + r/100)^t$ हो जाता है।
चूंकि $8 = 2^3$ है,हम $2$ के स्थान पर $(1 + r/100)^5$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$8 = ((1 + r/100)^5)^3 = (1 + r/100)^{15}$।
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $t = 15$ वर्ष प्राप्त होता है।
अतः,यह राशि $15$ वर्षों में स्वयं की $8$ गुनी हो जाएगी।

(B) माना उधार ली गई मूलधन राशि $P$ है। चक्रवृद्धि ब्याज के लिए किस्तों में भुगतान की गई राशि का सूत्र है: $P = \frac{X}{(1+r/100)^1} + \frac{X}{(1+r/100)^2}$,जहाँ $X$ किस्त की राशि है और $r$ ब्याज की दर है।
यहाँ $X = ₹ 17,640$ और $r = 5 \%$ दिया गया है।
$P = \frac{17640}{(1 + 5/100)^1} + \frac{17640}{(1 + 5/100)^2}$
$P = \frac{17640}{1.05} + \frac{17640}{(1.05)^2}$
$P = \frac{17640}{21/20} + \frac{17640}{441/400}$
$P = 17640 \times \frac{20}{21} + 17640 \times \frac{400}{441}$
$P = 840 \times 20 + 40 \times 400$
$P = 16800 + 16000 = ₹ 32,800$.
अतः,उधार ली गई राशि ₹ $32,800$ थी।

(C) माना योजना $A$ में निवेश की गई राशि $₹ x$ है।
अतः,योजना $B$ में निवेश की गई राशि $₹ (6100 - x)$ है।
योजना $A$ के लिए (चक्रवृद्धि ब्याज):
$CI = P \left[ (1 + \frac{R}{100})^T - 1 \right] = x \left[ (1 + \frac{10}{100})^2 - 1 \right] = x \left[ (1.1)^2 - 1 \right] = x (1.21 - 1) = 0.21x$.
योजना $B$ के लिए (साधारण ब्याज):
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{(6100 - x) \times 10 \times 4}{100} = \frac{40(6100 - x)}{100} = 0.4(6100 - x)$.
दिया गया है कि दोनों योजनाएं समान ब्याज देती हैं:
$0.21x = 0.4(6100 - x)$.
$0.21x = 2440 - 0.4x$.
$0.21x + 0.4x = 2440$.
$0.61x = 2440$.
$x = \frac{2440}{0.61} = 4000$.
अतः,योजना $A$ में निवेश की गई राशि $₹ 4000$ है।

(D) चक्रवृद्धि ब्याज में मिश्रधन $A$ का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$ होता है,जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है और $n$ वर्षों में समय है।
दिया गया है: $A = ₹ 12100$,$R = 10 \%$,$n = 2$ वर्ष।
सूत्र में मान रखने पर:
$12100 = P(1 + \frac{10}{100})^2$
$12100 = P(1 + 0.1)^2$
$12100 = P(1.1)^2$
$12100 = P(1.21)$
$P = \frac{12100}{1.21}$
$P = 10000$
अतः,वह राशि ₹ $10000$ है।

(A) माना मूलधन $P$ है। चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P(1 + r/100)^n - P$ है।
यहाँ $r = 5 \%$,$n = 2$ वर्ष और $CI = ₹ 410$ दिया गया है।
$410 = P(1 + 5/100)^2 - P$
$410 = P(1.05)^2 - P$
$410 = P(1.1025 - 1)$
$410 = 0.1025P$
$P = 410 / 0.1025 = 4000$.
अब,उसी धनराशि,दर और समय के लिए साधारण ब्याज की गणना करें:
$SI = (P \times r \times t) / 100$
$SI = (4000 \times 5 \times 2) / 100$
$SI = 4000 \times 0.1 = ₹ 400$.

(C) माना मूलधन $P$ है। चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ का सूत्र $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ होता है।
दिया गया है: $CI = 328$,$R = 5 \%$,और $n = 2$ वर्ष।
सूत्र में मान रखने पर:
$328 = P \left[ \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$328 = P \left[ \left( \frac{105}{100} \right)^2 - 1 \right] = P \left[ \left( \frac{21}{20} \right)^2 - 1 \right]$
$328 = P \left( \frac{441}{400} - 1 \right) = P \left( \frac{441 - 400}{400} \right) = P \left( \frac{41}{400} \right)$
$P$ के लिए हल करने पर:
$P = \frac{328 \times 400}{41}$
$P = 8 \times 400 = 3200$
अतः,धनराशि ₹ $3200$ है।

(D) माना उधार ली गई राशि $₹ x$ है।
$1$ वर्ष के लिए $3 \%$ प्रति वर्ष साधारण ब्याज की दर से देय ब्याज $= x \times \frac{3}{100} = ₹ \frac{3x}{100}$ होगा।
$5 \%$ चक्रवृद्धि ब्याज पर अर्ध-वार्षिक देय राशि के लिए:
ब्याज दर $= \frac{5}{2} \% = 2.5 \%$ प्रति अर्ध-वर्ष।
समय $= 2$ अर्ध-वर्ष।
प्राप्त राशि $= x \left(1 + \frac{2.5}{100}\right)^2 = x \left(1 + \frac{1}{40}\right)^2 = x \left(\frac{41}{40}\right)^2 = x \times \frac{1681}{1600}$ होगी।
अर्जित चक्रवृद्धि ब्याज $= x \left(\frac{1681}{1600} - 1\right) = \frac{81x}{1600}$ होगा।
लाभ $= \text{अर्जित ब्याज} - \text{देय ब्याज} = \frac{81x}{1600} - \frac{3x}{100} = \frac{81x - 48x}{1600} = \frac{33x}{1600}$ होगा।
दिया गया है,लाभ $= ₹ 330$ है।
$\frac{33x}{1600} = 330 \implies x = \frac{330 \times 1600}{33} = 10 \times 1600 = ₹ 16000$।

(D) माना मूलधन $P$ है। ब्याज की दर $R = 12 \frac{1}{2} \% = 12.5 \% = \frac{25}{2} \%$. समय $T = 2$ वर्ष है।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$ है।
$CI = 510$ दिया गया है,इसलिए:
$510 = P \left[ \left( 1 + \frac{25/2}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$510 = P \left[ \left( 1 + \frac{1}{8} \right)^2 - 1 \right]$
$510 = P \left[ \left( \frac{9}{8} \right)^2 - 1 \right]$
$510 = P \left( \frac{81}{64} - 1 \right) = P \left( \frac{17}{64} \right)$
$P = \frac{510 \times 64}{17} = 30 \times 64 = 1920$.
अब,उसी मूलधन,दर और समय के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ की गणना करें:
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{1920 \times (25/2) \times 2}{100} = \frac{1920 \times 25}{100} = 19.2 \times 25 = 480$.
अतः,साधारण ब्याज ₹ $480$ है।

(C) माना रघु द्वारा निवेश की गई मूलधन राशि $P$ है।
पहले $2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $= \frac{P \times 12 \times 2}{100} = 0.24P$.
अगले $2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $= P \times [(1 + \frac{20}{100})^2 - 1] = P \times [1.44 - 1] = 0.44P$.
कुल ब्याज $= 0.24P + 0.44P = 0.68P$.
दिया गया है कि कुल ब्याज $= 11016$.
अतः,$0.68P = 11016$.
$P = \frac{11016}{0.68} = 16200$.
इस प्रकार,निवेश की गई राशि $₹ 16200$ है।

(A) कुल बचत $= ₹ 84,100$.
पत्नी को दिया गया हिस्सा $= 50 \% \text{ of } 84,100 = ₹ 42,050$.
बेटों $A$ और $B$ के बीच विभाजित की जाने वाली शेष राशि $= ₹ 42,050$.
माना बेटे $B$ का हिस्सा $x$ है। तो बेटे $A$ का हिस्सा $= 42,050 - x$ होगा।
बेटे $A$ की आयु $15$ वर्ष है,इसलिए वह $3$ वर्षों में $18$ वर्ष का हो जाएगा $(n_A = 3)$.
बेटे $B$ की आयु $13$ वर्ष है,इसलिए वह $5$ वर्षों में $18$ वर्ष का हो जाएगा $(n_B = 5)$.
ब्याज की दर $r = 5 \%$.
प्रश्न के अनुसार,$18$ वर्ष की आयु में दोनों को मिलने वाली राशि समान है:
$(42,050 - x) \times (1 + \frac{5}{100})^3 = x \times (1 + \frac{5}{100})^5$
$(42,050 - x) = x \times (1 + \frac{5}{100})^2$
$(42,050 - x) = x \times (1.05)^2$
$42,050 - x = x \times 1.1025$
$42,050 = 2.1025x$
$x = \frac{42,050}{2.1025} = 20,000$.
अतः,$B$ का हिस्सा ₹ $20,000$ है।

(B) दिया गया है:
मूलधन $(P) = ₹ 1800$
दर $(R) = 10 \% \text{ प्रति वर्ष}$
चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I.) = ₹ 378$
माना समय $T$ वर्ष है।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है:
$C.I. = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T - P$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$378 = 1800 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^T - 1800$
$378 + 1800 = 1800 (1.1)^T$
$2178 = 1800 (1.1)^T$
$(1.1)^T = \frac{2178}{1800}$
$(1.1)^T = 1.21$
चूंकि $(1.1)^2 = 1.21$,इसलिए $T = 2$ है।
अतः,समय $2$ वर्ष है।

(C) साधारण ब्याज का सूत्र $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
सबसे पहले,दूसरे मामले के लिए ब्याज की गणना करें:
$P = ₹ 6,000, R = 4 \%, T = 5 \text{ वर्ष}$.
$S.I. = \frac{6000 \times 4 \times 5}{100} = ₹ 1,200$.
अब,पहले मामले के लिए,हमें समय $T$ ज्ञात करना है ताकि ब्याज समान $(₹ 1,200)$ हो:
$P = ₹ 8,000, R = 3 \%, S.I. = ₹ 1,200$.
$1200 = \frac{8000 \times 3 \times T}{100}$.
$1200 = 80 \times 3 \times T$.
$1200 = 240 \times T$.
$T = \frac{1200}{240} = 5 \text{ वर्ष}$.

(C) दिया गया है: दर $R = 10 \%$ प्रति वर्ष,इसलिए अर्धवार्षिक दर $r = 5 \% = 0.05$। समय $T = 1 \frac{1}{2}$ वर्ष $= 3$ अर्धवार्षिक अवधि।
साधारण ब्याज $(SI)$ $= P \times r \times n = P \times 0.05 \times 3 = 0.15P$।
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ $= P[(1 + r)^n - 1] = P[(1 + 0.05)^3 - 1] = P[(1.05)^3 - 1] = P[1.157625 - 1] = 0.157625P$।
अंतर $= CI - SI = 0.157625P - 0.15P = 0.007625P$।
दिया गया अंतर $= 244$।
$0.007625P = 244$।
$P = \frac{244}{0.007625} = 32000$।
अतः,मूलधन ₹ $32000$ है।

(A) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{n \times 100})^{nt}$ है,जहाँ $A$ मिश्रधन है,$P$ मूलधन है,$R$ वार्षिक ब्याज दर है,$n$ प्रति वर्ष ब्याज संयोजित होने की संख्या है और $t$ समय वर्षों में है।
दिया गया है: $P = 3200$,$A = 3362$,$R = 10$,और $n = 4$ (त्रैमासिक)।
मान रखने पर: $3362 = 3200(1 + \frac{10}{400})^{4t}$.
$\frac{3362}{3200} = (1 + \frac{1}{40})^{4t}$.
$\frac{1681}{1600} = (\frac{41}{40})^{4t}$.
चूंकि $41^2 = 1681$ और $40^2 = 1600$,इसलिए $(\frac{41}{40})^2 = (\frac{41}{40})^{4t}$.
घातांकों की तुलना करने पर: $4t = 2$.
अतः,$t = \frac{2}{4} = 0.5$ वर्ष।

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^T$ है,जहाँ $A$ अंतिम राशि है,$P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है और $T$ वर्षों में समय है।
दिया गया है कि राशि $2$ वर्षों में मूलधन की $1.44$ गुनी हो जाती है,इसलिए $A = 1.44P$ और $T = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1.44P = P(1 + \frac{R}{100})^2$
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर:
$1.44 = (1 + \frac{R}{100})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{1.44} = 1 + \frac{R}{100}$
$1.2 = 1 + \frac{R}{100}$
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर:
$0.2 = \frac{R}{100}$
$R = 0.2 \times 100 = 20 \%$
अतः,वार्षिक ब्याज की दर $20 \%$ है।

(B) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र इस प्रकार है: $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^{T} - 1 \right]$
दिया गया है: मूलधन $(P)$ = $₹ 5,000$,दर $(R)$ = $10 \%$,समय $(T)$ = $3$ वर्ष।
सूत्र में मान रखने पर:
$CI = 5000 \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^{3} - 1 \right]$
$CI = 5000 \left[ \left( 1.1 \right)^{3} - 1 \right]$
$CI = 5000 \left[ 1.331 - 1 \right]$
$CI = 5000 \times 0.331$
$CI = ₹ 1655$
अतः,चक्रवृद्धि ब्याज $₹ 1655$ होगा।

(C) चक्रवृद्धि ब्याज के साथ मिश्रधन $A$ का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$r$ ब्याज की दर है,और $n$ वर्षों में समय है।
दिया गया है: $P = ₹ 10,000$,$r = 10 \%$,$n = 4$ वर्ष।
मिश्रधन $A = 10000(1 + \frac{10}{100})^4$
$A = 10000(1.1)^4$
$A = 10000 \times 1.4641 = ₹ 14,641$
ब्याज = $A - P = 14641 - 10000 = ₹ 4,641$।

(A) चक्रवृद्धि ब्याज के लिए मिश्रधन $A$ का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^T$ है,जहाँ $P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है,और $T$ वर्षों में समय है।
$T = 4$ वर्षों के लिए,$A_4 = P(1 + \frac{R}{100})^4 = 3840$ --- (समीकरण $1$)
$T = 5$ वर्षों के लिए,$A_5 = P(1 + \frac{R}{100})^5 = 3936$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P(1 + \frac{R}{100})^5}{P(1 + \frac{R}{100})^4} = \frac{3936}{3840}$
$1 + \frac{R}{100} = \frac{3936}{3840}$
$\frac{R}{100} = \frac{3936}{3840} - 1$
$\frac{R}{100} = \frac{3936 - 3840}{3840} = \frac{96}{3840}$
$R = \frac{96}{3840} \times 100 = \frac{9600}{3840} = 2.5 \%$
अतः,ब्याज की दर $2.5 \%$ है।

(C) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^T$ है,जहाँ $A$ मिश्रधन है,$P$ मूलधन है,$R$ ब्याज की दर है और $T$ वर्षों में समय है।
यह दिया गया है कि धनराशि $3$ वर्षों में तीन गुनी हो जाती है,इसलिए $3P = P(1 + \frac{R}{100})^3$,जो सरल होकर $3 = (1 + \frac{R}{100})^3$ हो जाता है।
हमें वह समय $T$ ज्ञात करना है जिसमें धनराशि $9$ गुनी हो जाए,इसलिए $9P = P(1 + \frac{R}{100})^T$,जो सरल होकर $9 = (1 + \frac{R}{100})^T$ हो जाता है।
चूंकि $9 = 3^2$ है,हम पहले समीकरण को इसमें प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $9 = ((1 + \frac{R}{100})^3)^2 = (1 + \frac{R}{100})^6$.
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $T = 6$ वर्ष प्राप्त होता है।

(C) साधारण ब्याज $(SI)$ की गणना:
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{5000 \times 10 \times 2}{100} = ₹ 1000$.
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ की गणना (अर्ध-वार्षिक संयोजित):
मूलधन $(P)$ = ₹ $5000$,वार्षिक दर = $10\%$,अर्ध-वार्षिक दर $(R)$ = $5\%$,समय $(T)$ = $2$ वर्ष = $4$ अर्ध-वर्ष।
$CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$
$CI = 5000 \left[ \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^4 - 1 \right]$
$CI = 5000 \left[ (1.05)^4 - 1 \right]$
$CI = 5000 \left[ 1.21550625 - 1 \right] = 5000 \times 0.21550625 = ₹ 1077.53125$.
अंतर = $CI - SI = 1077.53125 - 1000 = ₹ 77.53125 \approx ₹ 77.50$.

(B) साधारण ब्याज $(SI)$ का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$ है।
यहाँ $P = 7300$,$R = 6$,$T = 2$ दिया गया है।
$SI = \frac{7300 \times 6 \times 2}{100} = 73 \times 12 = 876$.
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ का सूत्र $CI = P \left[ (1 + \frac{R}{100})^T - 1 \right]$ है।
$CI = 7300 \left[ (1 + \frac{6}{100})^2 - 1 \right] = 7300 \left[ (1.06)^2 - 1 \right]$.
$CI = 7300 \left[ 1.1236 - 1 \right] = 7300 \times 0.1236 = 902.28$.
चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर $CI - SI = 902.28 - 876 = 26.28$ है।
अतः,अंतर ₹ $26.28$ है।

(C) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + r/100)^n$ है,जहाँ $A$ मिश्रधन है,$P$ मूलधन है,$r$ दर है और $n$ वर्षों में समय है।
दिया गया है कि धनराशि $4$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $2P = P(1 + r/100)^4$,जिसे सरल करने पर $(1 + r/100)^4 = 2$ प्राप्त होता है।
हमें वह समय $n$ ज्ञात करना है जिसमें धनराशि चार गुनी हो जाए,अर्थात $4P = P(1 + r/100)^n$।
इसे सरल करने पर $(1 + r/100)^n = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $4 = 2^2$,हम पहले समीकरण से $2$ का मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं: $(1 + r/100)^n = ((1 + r/100)^4)^2$।
अतः,$(1 + r/100)^n = (1 + r/100)^8$।
घातों की तुलना करने पर,हमें $n = 8$ वर्ष प्राप्त होता है।

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^T$ है,जहाँ $A$ मिश्रधन है,$P$ मूलधन है,$R$ दर है और $T$ वर्षों में समय है।
यह दिया गया है कि राशि $5$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए जब $T = 5$ है तो $\frac{A}{P} = 2$ है।
अतः,$(1 + \frac{R}{100})^5 = 2$ है।
हमें $20$ वर्षों के बाद की राशि ज्ञात करनी है। $20$ वर्षों के बाद मिश्रधन $A = P(1 + \frac{R}{100})^{20}$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $(1 + \frac{R}{100})^5 = 2$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = P \times ((1 + \frac{R}{100})^5)^4$.
$A = P \times (2)^4 = P \times 16$.
चूँकि $P = ₹ 12,000$ है,इसलिए $20$ वर्षों के बाद की राशि $16 \times 12,000 = ₹ 1,92,000$ होगी।

(B) $2$ वर्षों की अवधि के लिए,चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I.)$ और साधारण ब्याज $(S.I.)$ के बीच का अंतर निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
अंतर $= P \times \left(\frac{r}{100}\right)^2$
जहाँ $P$ मूलधन है और $r$ वार्षिक ब्याज दर है।
दिया गया है: अंतर $= ₹ 6$,$r = 5 \%$,और समय $= 2$ वर्ष।
सूत्र में मान रखने पर:
$6 = P \times \left(\frac{5}{100}\right)^2$
$6 = P \times \left(\frac{1}{20}\right)^2$
$6 = P \times \frac{1}{400}$
$P = 6 \times 400 = 2400$
अतः,वह धनराशि $₹ 2400$ है।

(C) ब्याज की दर $(r)$ ज्ञात करने के लिए,हमें मूलधन $(P)$ और अर्जित ब्याज की आवश्यकता है।
कथन $III$ से,$2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ ₹ $3,000$ है। इसलिए,$1$ वर्ष के लिए $SI$ ₹ $1,500$ है। परिणामस्वरूप,$3$ वर्षों के लिए $SI = 3 \times 1,500 = ₹ 4,500$ है।
कथन $II$ से,$3$ वर्षों के बाद कुल राशि $(A)$ ₹ $19,500$ है। चूंकि $A = P + SI$,इसलिए $19,500 = P + 4,500$,जिससे हमें $P = 15,000$ प्राप्त होता है।
अब,$SI = \frac{P \times r \times t}{100}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,$1,500 = \frac{15,000 \times r \times 1}{100}$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \frac{1,500}{150} = 10 \%$ प्राप्त होता है।
अतः,ब्याज की दर ज्ञात करने के लिए कथन $II$ और $III$ पर्याप्त हैं।

(D) चरण $1$: साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके मूलधन की गणना करें।
साधारण ब्याज $(SI) = \frac{P \times R \times T}{100}$
$2000 = \frac{P \times 4 \times 5}{100}$
$2000 = \frac{20P}{100}$
$P = \frac{2000 \times 100}{20} = ₹ 10,000$
चरण $2$: $2$ वर्षों के लिए $4\%$ प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ की गणना करें।
$CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ \left( 1 + \frac{4}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ (1.04)^2 - 1 \right]$
$CI = 10000 \left[ 1.0816 - 1 \right]$
$CI = 10000 \times 0.0816 = ₹ 816$

(C) माना मूलधन $P = 1$ है और ब्याज की दर $R$ प्रतिशत वार्षिक है।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^T$ है।
दिया गया है कि धनराशि $5$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $2 = 1(1 + \frac{R}{100})^5$.
हमें वह समय $T$ ज्ञात करना है जिसमें धनराशि मूलधन की $8$ गुनी हो जाए,अर्थात $8 = 1(1 + \frac{R}{100})^T$.
चूंकि $8 = 2^3$,हम $2$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$8 = (2)^3 = [(1 + \frac{R}{100})^5]^3$.
घातांक के नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $8 = (1 + \frac{R}{100})^{5 \times 3} = (1 + \frac{R}{100})^{15}$.
इसकी तुलना $8 = (1 + \frac{R}{100})^T$ से करने पर,हमें $T = 15$ वर्ष प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $5800$,समय $(n)$ = $2$ वर्ष,चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ = ₹ $594.5$।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है: $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right]$
मान रखने पर:
$594.5 = 5800 \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$\frac{594.5}{5800} = \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^2 - 1$
$0.1025 = \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^2 - 1$
$1.1025 = \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{1.1025} = 1 + \frac{r}{100}$
$1.05 = 1 + \frac{r}{100}$
$0.05 = \frac{r}{100}$
$r = 5 \%$
अतः,ब्याज की दर $5 \%$ प्रति वर्ष है।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P) = ₹ 800$,मिश्रधन $(A) = ₹ 926.10$,वार्षिक दर $(R) = 10 \%$.
चूंकि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है,इसलिए अर्धवार्षिक दर $r = \frac{10}{2} = 5 \%$ होगी।
माना अर्धवर्षों की संख्या $n$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ है।
मान रखने पर: $926.10 = 800(1 + \frac{5}{100})^n$.
$926.10 = 800(1 + 0.05)^n$.
$926.10 = 800(1.05)^n$.
$\frac{926.10}{800} = (1.05)^n$.
$1.157625 = (1.05)^n$.
चूंकि $(1.05)^3 = 1.157625$,इसलिए $n = 3$ अर्धवर्ष।
वर्षों में समय $= \frac{3}{2} = 1.5$ वर्ष।

(A) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + r/100)^n$ है,जहाँ $A$ मिश्रधन है,$P$ मूलधन है,$r$ दर है और $n$ वर्षों में समय है।
दिया गया है कि राशि $15$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है,इसलिए $2P = P(1 + r/100)^{15}$,जिसे सरल करने पर $2 = (1 + r/100)^{15}$ प्राप्त होता है।
हमें वह समय $n$ ज्ञात करना है जिसमें राशि $8$ गुनी हो जाए,इसलिए $8P = P(1 + r/100)^n$,जिसे सरल करने पर $8 = (1 + r/100)^n$ प्राप्त होता है।
चूंकि $8 = 2^3$,हम $2$ के स्थान पर $(1 + r/100)^{15}$ रख सकते हैं:
$8 = ((1 + r/100)^{15})^3 = (1 + r/100)^{45}$.
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $n = 45$ वर्ष प्राप्त होता है।
अतः,वह राशि $45$ वर्षों में स्वयं की $8$ गुनी हो जाएगी।

(D) चरण $1$: साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करके मूलधन $(P)$ की गणना करें: $SI = \frac{P \times R \times T}{100}$.
दिया गया है $SI = 8730$,$R = 6$,$T = 3$.
$8730 = \frac{P \times 6 \times 3}{100} \implies P = \frac{8730 \times 100}{18} = 48500$.
चरण $2$: $2$ वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ की गणना सूत्र का उपयोग करके करें: $CI = P \left[ (1 + \frac{R}{100})^T - 1 \right]$.
$CI = 48500 \left[ (1 + \frac{6}{100})^2 - 1 \right]$.
$CI = 48500 \left[ (1.06)^2 - 1 \right] = 48500 \left[ 1.1236 - 1 \right]$.
$CI = 48500 \times 0.1236 = 5994.60$.
अतः,चक्रवृद्धि ब्याज ₹ $5994.60$ होगा।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $6250$,दर $(R)$ = $12 \%$ वार्षिक,समय $(T)$ = $1$ वर्ष।
चूंकि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है:
नई दर $(R')$ = $\frac{12}{2} = 6 \%$ प्रति अर्धवर्ष।
नया समय $(n)$ = $1 \times 2 = 2$ अर्धवर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ (1 + \frac{R'}{100})^n - 1 \right]$ है।
$CI = 6250 \left[ (1 + \frac{6}{100})^2 - 1 \right]$
$CI = 6250 \left[ (1.06)^2 - 1 \right]$
$CI = 6250 \left[ 1.1236 - 1 \right]$
$CI = 6250 \times 0.1236 = ₹ 772.50$।

(D) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $r \%$ प्रति वर्ष है।
चक्रवृद्धि ब्याज में $n$ वर्षों के बाद मिश्रधन $A$ का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$n = 2$ वर्षों के लिए,$P(1 + \frac{r}{100})^2 = 1460$ --- (समीकरण $1$)
$n = 3$ वर्षों के लिए,$P(1 + \frac{r}{100})^3 = 1606$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P(1 + \frac{r}{100})^3}{P(1 + \frac{r}{100})^2} = \frac{1606}{1460}$
$1 + \frac{r}{100} = \frac{1606}{1460}$
$1 + \frac{r}{100} = 1.1$
$\frac{r}{100} = 1.1 - 1 = 0.1$
$r = 0.1 \times 100 = 10 \%$
अतः,ब्याज की दर $10 \%$ प्रति वर्ष है।

(A) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $r$ प्रति वर्ष है। चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ है,जहाँ $n$ वर्षों में समय है।
प्रश्न के अनुसार,धनराशि $4$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है:
$2P = P(1 + \frac{r}{100})^4$
$2 = (1 + \frac{r}{100})^4$ --- (समीकरण $1$)
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जिसमें धनराशि $16$ गुनी हो जाए:
$16P = P(1 + \frac{r}{100})^t$
$16 = (1 + \frac{r}{100})^t$
चूँकि $16 = 2^4$,हम लिख सकते हैं:
$2^4 = (1 + \frac{r}{100})^t$
समीकरण $1$ से $2$ का मान रखने पर:
$((1 + \frac{r}{100})^4)^4 = (1 + \frac{r}{100})^t$
$(1 + \frac{r}{100})^{16} = (1 + \frac{r}{100})^t$
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $t = 16$ वर्ष प्राप्त होता है।

(A) विधि $1$: चरण-दर-चरण गणना
$1$. साधारण ब्याज $(SI)$ $= \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{4000 \times 5 \times 2}{100} = ₹ 400$
$2$. चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ $= P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T - P = 4000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 - 4000 = 4000 \times (1.05)^2 - 4000 = 4000 \times 1.1025 - 4000 = 4410 - 4000 = ₹ 410$
$3$. अंतर $= CI - SI = 410 - 400 = ₹ 10$
विधि $2$: $2$ वर्षों के लिए संक्षिप्त सूत्र
अंतर $= P \left(\frac{R}{100}\right)^2 = 4000 \times \left(\frac{5}{100}\right)^2 = 4000 \times \frac{25}{10000} = 4000 \times 0.0025 = ₹ 10$

(A) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $r \%$ है।
$2$ वर्षों के लिए,साधारण ब्याज $(SI)$ $= \frac{P \times r \times 2}{100} = 8400$.
अतः,$P \times r = 420000$.
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ $= P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^2 - P = 8652$.
$P \left(1 + \frac{2r}{100} + \frac{r^2}{10000}\right) - P = 8652$.
$P \left(\frac{2r}{100} + \frac{r^2}{10000}\right) = 8652$.
$P \times r = 420000$ का मान रखने पर:
$2 \times \frac{420000}{100} + \frac{P \times r \times r}{10000} = 8652$.
$8400 + \frac{420000 \times r}{10000} = 8652$.
$8400 + 42r = 8652$.
$42r = 8652 - 8400 = 252$.
$r = \frac{252}{42} = 6 \%$.
अतः,ब्याज की दर $6 \%$ प्रति वर्ष है।

(A) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र इस प्रकार है: $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{t} - 1 \right]$
दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $5800$,समय $(t)$ = $2$ वर्ष,चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ = ₹ $594.50$.
सूत्र में मान रखने पर:
$594.50 = 5800 \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{2} - 1 \right]$
$\frac{594.50}{5800} = \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{2} - 1$
$0.1025 = \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{2} - 1$
$1.1025 = \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{1.1025} = 1 + \frac{r}{100}$
$1.05 = 1 + \frac{r}{100}$
$0.05 = \frac{r}{100}$
$r = 5 \% \text{ p.a.}$

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ है।
दिया गया है: मूलधन $(P) = ₹ 7400$,दर $(R) = 13.5\%$,समय $(n) = 2$ वर्ष।
मान रखने पर:
$CI = 7400 \left[ \left( 1 + \frac{13.5}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 7400 \left[ (1.135)^2 - 1 \right]$
$CI = 7400 \left[ 1.288225 - 1 \right]$
$CI = 7400 \times 0.288225$
$CI = ₹ 2132.865$
दशमलव के दो अंकों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $CI = ₹ 2132.87$ प्राप्त होता है।