Compound Interest Questions in Hindi

(A) दिया गया है,साधारण ब्याज ($S$.$I$.) = ₹ $50$,समय $(T)$ = $2$ वर्ष,दर $(R)$ = $5 \%$.
साधारण ब्याज के सूत्र का उपयोग करते हुए: $S.I. = \frac{P \times R \times T}{100}$.
$50 = \frac{P \times 5 \times 2}{100} \implies 50 = \frac{10P}{100} \implies 50 = \frac{P}{10}$.
अतः,मूलधन $(P)$ = ₹ $500$.
अब,उसी मूलधन,दर और समय के लिए चक्रवृद्धि ब्याज ($C$.$I$.) की गणना करते हुए:
$C.I. = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^T - 1 \right]$.
$C.I. = 500 \left[ \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^2 - 1 \right] = 500 \left[ \left( \frac{21}{20} \right)^2 - 1 \right]$.
$C.I. = 500 \left[ \frac{441}{400} - 1 \right] = 500 \times \frac{41}{400}$.
$C.I. = \frac{5 \times 41}{4} = \frac{205}{4} = ₹ 51.25$.

(B) माना मूलधन $P$ है और वर्षों की संख्या $N$ है।
दिया गया है कि ब्याज की दर $R = 20 \%$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज के लिए मिश्रधन $A$ का सूत्र $A = P(1 + R/100)^N$ है।
हम चाहते हैं कि राशि दोगुनी से अधिक हो जाए,इसलिए $A > 2P$ होना चाहिए।
मान रखने पर: $P(1 + 20/100)^N > 2P$।
$(1.2)^N > 2$।
$N = 3$ के लिए: $(1.2)^3 = 1.728$ (जो $< 2$ है)।
$N = 4$ के लिए: $(1.2)^4 = 2.0736$ (जो $> 2$ है)।
अतः,न्यूनतम पूर्ण वर्षों की संख्या $4$ है।

(D) माना ब्याज की वार्षिक दर $R \%$ है।
$2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I.)$ और साधारण ब्याज $(S.I.)$ के बीच के अंतर का सूत्र इस प्रकार है:
अंतर $= P \times \left(\frac{R}{100}\right)^2$
दिया गया है:
मूलधन $(P)$ $= ₹ 18000$
अंतर $= ₹ 405$
समय $(T)$ $= 2$ वर्ष
सूत्र में मान रखने पर:
$405 = 18000 \times \left(\frac{R}{100}\right)^2$
$\left(\frac{R}{100}\right)^2 = \frac{405}{18000}$
$\left(\frac{R}{100}\right)^2 = \frac{81}{3600}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{R}{100} = \sqrt{\frac{81}{3600}}$
$\frac{R}{100} = \frac{9}{60}$
$R = \frac{9}{60} \times 100$
$R = 15$
अतः,ब्याज की वार्षिक दर $15 \%$ है।

(B) माना कि आवश्यक वर्षों की संख्या $N$ है।
चूंकि ब्याज अर्ध-वार्षिक संयोजित होता है,इसलिए प्रति अवधि दर $r = 10 / 2 = 5 \%$ होगी और अवधियों की संख्या $2N$ होगी।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + r/100)^n$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $926.10 = 800(1 + 5/100)^{2N}$.
$926.10 = 800(1.05)^{2N}$.
$(1.05)^{2N} = 926.10 / 800$.
$(1.05)^{2N} = 1.157625$.
हम जानते हैं कि $(1.05)^3 = 1.157625$.
इसलिए,$2N = 3$.
$N = 3 / 2 = 1.5$ वर्ष।

(C) माना प्रत्येक किस्त ₹ $x$ है।
किस्तों का वर्तमान मूल्य उधार ली गई राशि के बराबर होना चाहिए।
$\frac{x}{(1 + \frac{4}{100})^1} + \frac{x}{(1 + \frac{4}{100})^2} = 3825$
$\frac{x}{(26/25)} + \frac{x}{(26/25)^2} = 3825$
$\frac{25x}{26} + \frac{625x}{676} = 3825$
हर को हटाने के लिए $676$ से गुणा करने पर:
$25x \times 26 + 625x = 3825 \times 676$
$650x + 625x = 3825 \times 676$
$1275x = 3825 \times 676$
$x = \frac{3825 \times 676}{1275}$
$x = 3 \times 676 = ₹ 2028$
अतः,प्रत्येक किस्त ₹ $2028$ है।

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^n$ है।
दिया गया है कि राशि $5$ वर्षों में दोगुनी हो जाती है:
$15000(1 + \frac{R}{100})^5 = 30000$
$(1 + \frac{R}{100})^5 = 2$
हमें $20$ वर्षों के बाद की राशि ज्ञात करनी है:
$A = 15000(1 + \frac{R}{100})^{20}$
$A = 15000[(1 + \frac{R}{100})^5]^4$
$(1 + \frac{R}{100})^5 = 2$ का मान रखने पर:
$A = 15000 \times 2^4$
$A = 15000 \times 16 = 240000$
अतः,$20$ वर्षों के बाद की राशि ₹ $240000$ होगी।

(B) चरण $1$: वार्षिक संयोजन स्थिति का उपयोग करके मूलधन $P$ ज्ञात करें।
$10 \%$ प्रति वर्ष की दर से $2$ वर्षों के लिए:
$C.I. = P[(1 + 0.1)^2 - 1] = P[1.21 - 1] = 0.21P$
$S.I. = (P \times 2 \times 10) / 100 = 0.2P$
दिया गया है $C.I. - S.I. = 20$,इसलिए $0.21P - 0.2P = 20 \Rightarrow 0.01P = 20 \Rightarrow P = 2000$.
चरण $2$: यदि ब्याज अर्ध-वार्षिक रूप से संयोजित किया जाता है,तो अंतर की गणना करें।
अर्ध-वार्षिक संयोजन के लिए,दर $r = 5 \%$ प्रति अर्ध-वर्ष और समय $n = 4$ अर्ध-वर्ष है।
$C.I. = P[(1 + 0.05)^4 - 1] = 2000[(1.05)^4 - 1]$
$(1.05)^4 = 1.21550625$
$C.I. = 2000[0.21550625] = 431.0125$
$S.I. = (P \times 2 \times 10) / 100 = 2000 \times 0.2 = 400$
अंतर $= 431.0125 - 400 = 31.0125 \approx ₹ 31.01$.

(A) माना मूलधन $P = 25000$,दर $R = 20 \%$,और वार्षिक किस्त $A = 5000$ है।
पहले वर्ष के अंत में,राशि $25000 \times 1.2 = 30000$ हो जाती है। $5000$ चुकाने के बाद,शेष राशि $30000 - 5000 = 25000$ है।
दूसरे वर्ष के अंत में,राशि $25000 \times 1.2 = 30000$ हो जाती है। $5000$ चुकाने के बाद,शेष राशि $30000 - 5000 = 25000$ है।
तीसरे वर्ष के अंत में,राशि $25000 \times 1.2 = 30000$ हो जाती है। $5000$ चुकाने के बाद,शेष राशि $30000 - 5000 = 25000$ है।
अतः,तीन किस्तों के बाद,शेष राशि ₹ $25000$ है।

(B) माना उधार ली गई राशि $P$ है। $R \%$ वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर $n$ समान वार्षिक किस्तों में चुकाए गए ऋण के लिए वार्षिक किस्त $I$ का सूत्र $P = \sum_{k=1}^{n} \frac{I}{(1 + R/100)^k}$ है।
यहाँ $I = ₹ 882$,$R = 5 \%$,और $n = 2$ दिया गया है।
$P = \frac{882}{(1 + 5/100)^1} + \frac{882}{(1 + 5/100)^2}$
$P = \frac{882}{21/20} + \frac{882}{(21/20)^2}$
$P = 882 \times \frac{20}{21} + 882 \times \frac{400}{441}$
$P = 42 \times 20 + 2 \times 400$
$P = 840 + 800 = ₹ 1640$.

(D) चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$ है।
दिया गया है: मूलधन $P = ₹ 50000$,दर $R = 10 \%$,समय $n = 4$ वर्ष।
$CI = 50000 \left[ \left(1 + \frac{10}{100} \right)^4 - 1 \right]$
$CI = 50000 \left[ \left(1.1 \right)^4 - 1 \right]$
$CI = 50000 \left[ 1.4641 - 1 \right]$
$CI = 50000 \times 0.4641 = 23205$.
अतः,चक्रवृद्धि ब्याज ₹ $23205$ होगा।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $8000$,समय $(t)$ = $3$ वर्ष,ब्याज की दर $(R)$ = $5 \%$ वार्षिक।
चक्रवृद्धि ब्याज के तहत मिश्रधन $(A)$ का सूत्र है: $A = P(1 + \frac{R}{100})^t$.
मान रखने पर:
$A = 8000(1 + \frac{5}{100})^3$
$A = 8000(1 + \frac{1}{20})^3$
$A = 8000(\frac{21}{20})^3$
$A = 8000 \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20} \times \frac{21}{20}$
$A = 8000 \times \frac{9261}{8000}$
$A = ₹ 9261$.
अतः,निकिता को $3$ वर्षों के बाद ₹ $9261$ प्राप्त होंगे।

(C) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $2000$,दर $(R)$ = $5 \%$ वार्षिक,समय $(t)$ = $2$ वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ का सूत्र है:
$CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^t - 1 \right]$
मान रखने पर:
$CI = 2000 \left[ \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 2000 \left[ \left( \frac{105}{100} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 2000 \left[ \left( \frac{21}{20} \right)^2 - 1 \right]$
$CI = 2000 \left[ \frac{441}{400} - 1 \right]$
$CI = 2000 \left[ \frac{441 - 400}{400} \right]$
$CI = 2000 \times \frac{41}{400}$
$CI = 5 \times 41 = ₹ 205$
अतः,चक्रवृद्धि ब्याज ₹ $205$ है।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $1000$,मिश्रधन $(A)$ = ₹ $1331$,समय $(t)$ = $3$ वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^t$ है।
मान रखने पर: $1331 = 1000(1 + \frac{r}{100})^3$.
दोनों पक्षों को $1000$ से विभाजित करने पर: $\frac{1331}{1000} = (1 + \frac{r}{100})^3$.
चूंकि $1331 = 11^3$ और $1000 = 10^3$,इसलिए $(\frac{11}{10})^3 = (1 + \frac{r}{100})^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{11}{10} = 1 + \frac{r}{100}$.
$1.1 = 1 + \frac{r}{100}$.
$0.1 = \frac{r}{100}$.
$r = 0.1 \times 100 = 10 \%$.
अतः,ब्याज की दर $10 \%$ वार्षिक है।

(B) दिया गया है: मिश्रधन $(A)$ = ₹ $9261$,समय $(t)$ = $3$ वर्ष,दर $(R)$ = $5 \%$ वार्षिक।
चक्रवृद्धि ब्याज में वर्तमान मूल्य $(P)$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$P = \frac{A}{(1 + \frac{R}{100})^t}$
मान रखने पर:
$P = \frac{9261}{(1 + \frac{5}{100})^3}$
$P = \frac{9261}{(1 + \frac{1}{20})^3}$
$P = \frac{9261}{(\frac{21}{20})^3}$
$P = \frac{9261 \times 20 \times 20 \times 20}{21 \times 21 \times 21}$
$P = \frac{9261 \times 8000}{9261}$
$P = ₹ 8000$
अतः,वर्तमान मूल्य ₹ $8000$ है।

(B) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $10000$,दर $(R)$ = $20 \%$ वार्षिक,समय $(t)$ = $1$ वर्ष $6$ महीने = $1.5$ वर्ष।
चूंकि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है,इसलिए अर्धवार्षिक दर = $\frac{20}{2} = 10 \%$.
अर्धवर्षों की संख्या $(n)$ = $1.5 \times 2 = 3$.
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र: $CI = P \left[ \left( 1 + \frac{R}{100} \right)^n - 1 \right]$.
$CI = 10000 \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^3 - 1 \right]$.
$CI = 10000 \left[ \left( \frac{11}{10} \right)^3 - 1 \right]$.
$CI = 10000 \left[ \frac{1331}{1000} - 1 \right]$.
$CI = 10000 \left[ \frac{331}{1000} \right]$.
$CI = 10 \times 331 = ₹ 3310$.

(B) माना मूलधन $P = ₹ x$ है।
ब्याज की दर $R = 4 \%$ वार्षिक दी गई है,जो अर्ध-वार्षिक संयोजित होती है।
इसलिए,अर्ध-वार्षिक दर $r = \frac{4}{2} = 2 \% = 0.02$ होगी।
समय अवधि $n = 1 \frac{1}{2}$ वर्ष $= 3$ अर्ध-वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $A = P(1 + r)^n$ है।
मान रखने पर: $6632.55 = x(1 + 0.02)^3$.
$6632.55 = x(1.02)^3$.
$6632.55 = x(1.061208)$.
$x = \frac{6632.55}{1.061208} = 6250$.
अतः,वह राशि ₹ $6250$ है।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = ₹ $12000$,दर $(R)$ = $20 \%$ वार्षिक,समय $(t)$ = $9$ महीने = $\frac{9}{12} = 0.75$ वर्ष।
चूंकि ब्याज त्रैमासिक संयोजित होता है,त्रैमासिक दर = $\frac{20}{4} = 5 \%$ और त्रैमासिक अवधियों की संख्या $(n)$ = $9$ महीने / $3$ महीने = $3$।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र: $CI = P \left[ (1 + \frac{r}{100})^n - 1 \right]$,जहाँ $r$ त्रैमासिक दर है।
$CI = 12000 \left[ (1 + \frac{5}{100})^3 - 1 \right]$
$CI = 12000 \left[ (1.05)^3 - 1 \right]$
$CI = 12000 \left[ 1.157625 - 1 \right]$
$CI = 12000 \times 0.157625 = ₹ 1891.50$.

(A) जब ब्याज अर्ध-वार्षिक संयोजित हो:
यहाँ,$P = 800, R = 20 \%, t = 1$ वर्ष।
चूंकि ब्याज अर्ध-वार्षिक है,दर $R' = 20/2 = 10 \%$ और समय $n = 1 \times 2 = 2$ अर्ध-वर्ष होगा।
$CI = P[(1 + R'/100)^n - 1] = 800[(1 + 10/100)^2 - 1] = 800[(1.1)^2 - 1] = 800[1.21 - 1] = 800 \times 0.21 = ₹ 168$।
जब ब्याज त्रैमासिक संयोजित हो:
यहाँ,$P = 800, R = 20 \%, t = 1$ वर्ष।
चूंकि ब्याज त्रैमासिक है,दर $R'' = 20/4 = 5 \%$ और समय $n = 1 \times 4 = 4$ तिमाही होगा।
$CI = P[(1 + R''/100)^n - 1] = 800[(1 + 5/100)^4 - 1] = 800[(1.05)^4 - 1]$।
$(1.05)^4 = 1.21550625$।
$CI = 800[1.21550625 - 1] = 800 \times 0.21550625 = ₹ 172.405$।
अंतर $= ₹ 172.405 - ₹ 168 = ₹ 4.405 \approx ₹ 4.40$।

(B) ₹ $600$ पर $1$ वर्ष के लिए $10 \%$ प्रति वर्ष की दर से साधारण ब्याज $(SI)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{600 \times 10 \times 1}{100} = ₹ 60$.
अर्धवार्षिक गणना के अनुसार चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ के लिए,दर $R$ का मान $10/2 = 5 \%$ प्रति अर्ध-वर्ष हो जाता है और समय $T$ का मान $1 \times 2 = 2$ अर्ध-वर्ष हो जाता है।
$CI = P \left[ (1 + \frac{R}{100})^n - 1 \right] = 600 \left[ (1 + \frac{5}{100})^2 - 1 \right]$
$CI = 600 \left[ (1.05)^2 - 1 \right] = 600 \left[ 1.1025 - 1 \right] = 600 \times 0.1025 = ₹ 61.50$.
अंतर $= CI - SI = ₹ 61.50 - ₹ 60 = ₹ 1.50$.

(B) माना कि समय $t$ वर्ष है।
चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र का उपयोग करते हुए: $A = P(1 + \frac{r}{100})^t$
दिया गया है: $A = 882$,$P = 800$,$r = 5 \%$
$882 = 800(1 + \frac{5}{100})^t$
$882 = 800(1 + \frac{1}{20})^t$
$882 = 800(\frac{21}{20})^t$
$\frac{882}{800} = (\frac{21}{20})^t$
$\frac{441}{400} = (\frac{21}{20})^t$
$(\frac{21}{20})^2 = (\frac{21}{20})^t$
घातांकों की तुलना करने पर,हमें $t = 2$ वर्ष प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P) = ₹ 1875$,पहले वर्ष के लिए दर $(R_1) = 4 \%$,दूसरे वर्ष के लिए दर $(R_2) = 8 \%$,समय $(n) = 2 \text{ वर्ष}$।
जब अलग-अलग वर्षों के लिए ब्याज दर अलग-अलग हो,तो मिश्रधन $(A)$ का सूत्र:
$A = P \times (1 + \frac{R_1}{100}) \times (1 + \frac{R_2}{100})$
$A = 1875 \times (1 + \frac{4}{100}) \times (1 + \frac{8}{100})$
$A = 1875 \times (\frac{104}{100}) \times (\frac{108}{100})$
$A = 1875 \times (\frac{26}{25}) \times (\frac{27}{25})$
$A = 1875 \times \frac{702}{625}$
$A = 3 \times 702 = ₹ 2106$
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI) = A - P$
$CI = 2106 - 1875 = ₹ 231$.

(B) दिया गया है: मूलधन $(P) = ₹ 5000$,$R_1 = 2\%$,$R_2 = 3\%$,$R_3 = 4\%$ और समय $(n) = 3$ वर्ष।
अलग-अलग ब्याज दरों के लिए कुल राशि $(A)$ का सूत्र है:
$A = P \times (1 + \frac{R_1}{100}) \times (1 + \frac{R_2}{100}) \times (1 + \frac{R_3}{100})$
मान रखने पर:
$A = 5000 \times (1 + \frac{2}{100}) \times (1 + \frac{3}{100}) \times (1 + \frac{4}{100})$
$A = 5000 \times \frac{102}{100} \times \frac{103}{100} \times \frac{104}{100}$
$A = 5000 \times \frac{51}{50} \times \frac{103}{100} \times \frac{26}{25}$
$A = 5000 \times \frac{136578}{125000}$
$A = 5000 \times 1.092624 = ₹ 5463.12$
अतः,कुल राशि ₹ $5463.12$ होगी।

(C) माना मूलधन राशि ₹ $P$ है।
$3$ वर्षों के लिए अलग-अलग ब्याज दरों $R_1, R_2, R_3$ के साथ मिश्रधन $A$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$A = P \left(1 + \frac{R_1}{100}\right) \left(1 + \frac{R_2}{100}\right) \left(1 + \frac{R_3}{100}\right)$
यहाँ $A = 15916.59$,$R_1 = 3$,$R_2 = 2$,और $R_3 = 1$ दिया गया है:
$15916.59 = P \left(1 + \frac{3}{100}\right) \left(1 + \frac{2}{100}\right) \left(1 + \frac{1}{100}\right)$
$15916.59 = P \left(\frac{103}{100} \times \frac{102}{100} \times \frac{101}{100}\right)$
$15916.59 = P \left(\frac{1061106}{1000000}\right)$
$P = \frac{15916.59 \times 1000000}{1061106}$
$P = \frac{15916590000}{1061106} = 15000$
अतः,अभीष्ट राशि ₹ $15000$ है।

(B) भिन्नात्मक वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र $CI = P \left[ \left(1 + \frac{R}{100} \right)^n \left(1 + \frac{\frac{a}{b} \times R}{100} \right) - 1 \right]$ है।
यहाँ,$P = 800$,$R = 5 \%$,$n = 2$ वर्ष,और शेष समय $\frac{1}{2}$ वर्ष है।
$CI = 800 \left[ \left(1 + \frac{5}{100} \right)^2 \left(1 + \frac{\frac{1}{2} \times 5}{100} \right) - 1 \right]$
$CI = 800 \left[ \left(\frac{21}{20} \right)^2 \left(1 + \frac{5}{200} \right) - 1 \right]$
$CI = 800 \left[ \frac{441}{400} \times \frac{41}{40} - 1 \right]$
$CI = 800 \left[ \frac{18081}{16000} - 1 \right]$
$CI = 800 \times \frac{2081}{16000} = \frac{2081}{20} = ₹ 104.05$.

(C) भिन्नात्मक समय अवधि $n = a \frac{b}{c}$ के लिए चक्रवृद्धि ब्याज के साथ कुल राशि $A$ का सूत्र $A = P(1 + \frac{R}{100})^a (1 + \frac{\frac{b}{c} \times R}{100})$ है।
यहाँ,यदि हम कुल राशि $A = 6352.50$ मानते हैं,तो:
$6352.50 = P(1 + \frac{10}{100})^2 (1 + \frac{0.5 \times 10}{100})$.
$6352.50 = P(1.1)^2 (1.05)$.
$6352.50 = P(1.21)(1.05) = 1.2705P$.
$P = \frac{6352.50}{1.2705} = 5000$.
अतः,मूलधन राशि ₹ $5000$ है।

(C) माना मूलधन $P$ है,दर $R = 5 \%$ है,और समय $n = 3$ वर्ष है।
चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ = $P \left[ (1 + \frac{R}{100})^n - 1 \right] = 1324.05$.
$P \left[ (1 + \frac{5}{100})^3 - 1 \right] = 1324.05$.
$P \left[ (1.05)^3 - 1 \right] = 1324.05$.
$P [1.157625 - 1] = 1324.05$.
$P \times 0.157625 = 1324.05$.
$P = \frac{1324.05}{0.157625} = 8400$.
अब,साधारण ब्याज $(SI)$ = $\frac{P \times R \times n}{100} = \frac{8400 \times 5 \times 3}{100}$.
$SI = 84 \times 15 = 1260$.
अतः,साधारण ब्याज ₹ $1260$ है।

(B) दिया गया है: साधारण ब्याज $(SI)$ = ₹ $80$,दर $(R)$ = $4 \%$,समय $(T)$ = $2$ वर्ष।
सबसे पहले,मूलधन $(P)$ ज्ञात करें:
$SI = \frac{P \times R \times T}{100} \Rightarrow 80 = \frac{P \times 4 \times 2}{100} \Rightarrow 80 = \frac{8P}{100} \Rightarrow P = \frac{8000}{8} = ₹ 1000$।
अब,चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ की गणना करें:
$CI = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T - P = 1000 \left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 - 1000$
$CI = 1000 \left(\frac{104}{100}\right)^2 - 1000 = 1000 \times (1.04)^2 - 1000$
$CI = 1000 \times 1.0816 - 1000 = 1081.6 - 1000 = ₹ 81.60$।
वैकल्पिक रूप से,$2$ वर्षों के लिए: $CI - SI = \frac{SI \times R}{200} = \frac{80 \times 4}{200} = \frac{320}{200} = ₹ 1.60$।
अतः,$CI = SI + 1.60 = 80 + 1.60 = ₹ 81.60$।

(A) दिया गया है कि $2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ ₹ $60.60$ है और $2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ ₹ $60$ है।
$2$ वर्षों की अवधि के लिए,चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज के बीच का अंतर निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$CI - SI = \frac{R \times SI}{200}$
$60.60 - 60 = \frac{R \times 60}{200}$
$0.60 = \frac{R \times 60}{200}$
$0.60 = \frac{R \times 3}{10}$
$R = \frac{0.60 \times 10}{3}$
$R = \frac{6}{3} = 2 \%$
अतः,प्रति वर्ष ब्याज की दर $2 \%$ है।

(B) माना मूलधन $P$ है,ब्याज की दर $R$ प्रति वर्ष है,और समय $T = 2$ वर्ष है।
$2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ = $P \times R \times 2 / 100 = 100$।
अतः,$P \times R = 5000$।
$2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ = $P[(1 + R/100)^2 - 1] = 105$।
$P[1 + R^2/10000 + 2R/100 - 1] = 105$।
$P[R^2/10000 + 2R/100] = 105$।
चूंकि $P \times R = 5000$,इसलिए $P \times R / 100 = 50$।
समीकरण में $P \times R = 5000$ रखने पर: $(5000 \times R) / 10000 + (2 \times 5000) / 100 = 105$।
$0.5R + 100 = 105$।
$0.5R = 5 \Rightarrow R = 10\%$।
अब,$P \times R = 5000$ का उपयोग करने पर,हमें $P \times 10 = 5000$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$P = ₹ 500$।

(C) $2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच के अंतर का सूत्र इस प्रकार है:
$CI - SI = P \left( \frac{R}{100} \right)^2$
दिया गया है:
मूलधन $(P)$ = ₹ $1250$
दर $(R)$ = $4 \%$
समय $(n)$ = $2$ वर्ष
सूत्र में मान रखने पर:
$CI - SI = 1250 \times \left( \frac{4}{100} \right)^2$
$CI - SI = 1250 \times \left( \frac{1}{25} \right)^2$
$CI - SI = 1250 \times \frac{1}{625}$
$CI - SI = 2$
अतः,अंतर ₹ $2$ है।

(A) दिया गया है:
$2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ = ₹ $200$.
ब्याज की दर $(R)$ = $7 \%$ प्रति वर्ष.
समय $(T)$ = $2$ वर्ष.
चरण $1$: मूलधन $(P)$ ज्ञात कीजिए।
$SI = \frac{P \times R \times T}{100}$
$200 = \frac{P \times 7 \times 2}{100}$
$200 = \frac{14P}{100}$
$P = \frac{20000}{14} = ₹ \frac{10000}{7}$.
चरण $2$: $2$ वर्षों के लिए $CI$ और $SI$ के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।
$2$ वर्षों के लिए $CI$ और $SI$ के अंतर का सूत्र है:
$\text{अंतर }= P \times (\frac{R}{100})^2$
$\text{अंतर }= \frac{10000}{7} \times (\frac{7}{100})^2$
$\text{अंतर }= \frac{10000}{7} \times \frac{49}{10000}$
$\text{अंतर }= 7$.
वैकल्पिक रूप से,$2$ वर्षों के लिए,$CI - SI = \frac{SI \times R}{200} = \frac{200 \times 7}{200} = 7$.
अतः,अंतर ₹ $7$ है।

(B) $2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच के अंतर का सूत्र है:
$CI - SI = P \left( \frac{R}{100} \right)^2$
दिया गया है:
अंतर $(CI - SI)$ = ₹ $1.50 = \frac{3}{2}$
दर $(R)$ = $5 \%$
समय $(T)$ = $2$ वर्ष
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{3}{2} = P \left( \frac{5}{100} \right)^2$
$\frac{3}{2} = P \left( \frac{1}{20} \right)^2$
$\frac{3}{2} = P \times \frac{1}{400}$
$P = \frac{3 \times 400}{2}$
$P = 3 \times 200 = 600$
अतः,वह राशि ₹ $600$ है।

(C) $3$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच के अंतर का सूत्र इस प्रकार है:
$CI - SI = P \left[ \left( \frac{R}{100} \right)^3 + 3 \left( \frac{R}{100} \right)^2 \right]$
यहाँ $R = 3 \%$ और $CI - SI = 27.27$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$27.27 = P \left[ \left( \frac{3}{100} \right)^3 + 3 \left( \frac{3}{100} \right)^2 \right]$
$27.27 = P \left[ \frac{27}{1000000} + \frac{27}{10000} \right]$
$27.27 = P \left[ \frac{27 + 2700}{1000000} \right]$
$27.27 = P \left[ \frac{2727}{1000000} \right]$
$P = \frac{27.27 \times 1000000}{2727}$
$P = \frac{2727 \times 10000}{2727} = 10000$
अतः,वह राशि ₹ $10000$ है।

(A) $3$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच के अंतर का सूत्र इस प्रकार है:
$CI - SI = P \left[ \left( \frac{R}{100} \right)^3 + 3 \left( \frac{R}{100} \right)^2 \right]$
दिया गया है:
मूलधन $(P)$ = ₹ $8000$
दर $(R)$ = $5 \%$
समय $(n)$ = $3$ वर्ष
मान रखने पर:
$CI - SI = 8000 \left[ \left( \frac{5}{100} \right)^3 + 3 \left( \frac{5}{100} \right)^2 \right]$
$CI - SI = 8000 \left[ \left( \frac{1}{20} \right)^3 + 3 \left( \frac{1}{20} \right)^2 \right]$
$CI - SI = 8000 \left[ \frac{1}{8000} + \frac{3}{400} \right]$
$CI - SI = 8000 \left[ \frac{1 + 60}{8000} \right]$
$CI - SI = 8000 \times \frac{61}{8000} = ₹ 61$
अतः,अंतर ₹ $61$ है।

(B) माना मूलधन $P$ है। $t$ वर्षों के बाद मिश्रधन $A$ का सूत्र $A = P(1 + r/100)^t$ है।
प्रश्न के अनुसार,धनराशि $3$ वर्षों में $3P$ हो जाती है,इसलिए $3P = P(1 + r/100)^3$,जिसका अर्थ है कि $(1 + r/100)^3 = 3$.
हमें वह समय $T$ ज्ञात करना है जिसमें धनराशि $9P$ हो जाए,इसलिए $9P = P(1 + r/100)^T$,जिसका अर्थ है कि $(1 + r/100)^T = 9$.
चूंकि $9 = 3^2$,हम लिख सकते हैं कि $(1 + r/100)^T = (3^2)$.
$(1 + r/100)^3 = 3$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $(1 + r/100)^T = ((1 + r/100)^3)^2 = (1 + r/100)^6$.
घातांकों की तुलना करने पर,$T = 6$ वर्ष प्राप्त होता है।

(B) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R \%$ प्रति वर्ष है।
चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र के अनुसार,$t$ वर्षों के बाद मिश्रधन $A = P(1 + R/100)^t$ होता है।
दिया गया है कि धनराशि $4$ वर्षों में $16$ गुना हो जाती है,इसलिए $A = 16P$ और $t = 4$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$16P = P(1 + R/100)^4$
$16 = (1 + R/100)^4$
$(2)^4 = (1 + R/100)^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$2 = 1 + R/100$
$R/100 = 2 - 1 = 1$
$R = 100 \%$
अतः,ब्याज की दर $100 \%$ है।

(C) माना मूलधन $P$ है और वार्षिक ब्याज दर $R \%$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज के लिए,$n$ वर्षों के बाद की राशि $A = P(1 + R/100)^n$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
$2$ वर्षों के बाद की राशि $(A_2)$ = $P(1 + R/100)^2 = 12960$ --- (समीकरण $1$)
$3$ वर्षों के बाद की राशि $(A_3)$ = $P(1 + R/100)^3 = 13176$ --- (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P(1 + R/100)^3}{P(1 + R/100)^2} = \frac{13176}{12960}$
$(1 + R/100) = \frac{13176}{12960}$
$R/100 = \frac{13176}{12960} - 1$
$R/100 = \frac{13176 - 12960}{12960} = \frac{216}{12960} = \frac{1}{60}$
$R = \frac{1}{60} \times 100 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} \%$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $R \%$ है।
चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र के अनुसार,$n$ वर्षों के बाद मिश्रधन $A = P(1 + R/100)^n$ द्वारा दिया जाता है।
पहले वर्ष के लिए $(n=1)$: $650 = P(1 + R/100) \quad ... (1)$
दूसरे वर्ष के लिए $(n=2)$: $676 = P(1 + R/100)^2 \quad ... (2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{676}{650} = \frac{P(1 + R/100)^2}{P(1 + R/100)}$
$1.04 = 1 + R/100$
$R/100 = 0.04 \Rightarrow R = 4 \%$
समीकरण $(1)$ में $R=4$ रखने पर:
$650 = P(1 + 4/100)$
$650 = P(104/100)$
$P = \frac{650 \times 100}{104} = \frac{65000}{104} = ₹ 625$.

(A) माना कि वार्षिक किस्त $x$ है।
दिया गया है: मूलधन $P = 1260$,दर $R = 10 \%$,समय $n = 2$ वर्ष।
दो समान वार्षिक किस्तों के वर्तमान मूल्य का सूत्र है:
$P = \frac{x}{(1 + \frac{R}{100})} + \frac{x}{(1 + \frac{R}{100})^2}$
मान रखने पर:
$1260 = \frac{x}{(1 + \frac{10}{100})} + \frac{x}{(1 + \frac{10}{100})^2}$
$1260 = \frac{x}{1.1} + \frac{x}{1.21}$
$1260 = \frac{1.1x + x}{1.21} = \frac{2.1x}{1.21}$
$x = \frac{1260 \times 1.21}{2.1}$
$x = 600 \times 1.21 = 726$
अतः,वार्षिक किस्त ₹ $726$ है।

(D) पेड़ की ऊँचाई प्रतिवर्ष $(1 + \frac{1}{8}) = \frac{9}{8}$ के गुणक से बढ़ती है।
पेड़ की प्रारंभिक ऊँचाई $= 64 \ cm$ है।
$1$ वर्ष बाद ऊँचाई $= 64 \times \frac{9}{8} = 72 \ cm$।
$2$ वर्ष बाद ऊँचाई $= 72 \times \frac{9}{8} = 9 \times 9 = 81 \ cm$।
अतः,$2$ वर्ष बाद पेड़ की ऊँचाई $81 \ cm$ होगी।

(B) माना मूलधन $P$ है। हम चाहते हैं कि मिश्रधन $A$ मूलधन के दोगुने से अधिक हो,अर्थात $A > 2P$।
चक्रवृद्धि ब्याज के सूत्र $A = P(1 + r/100)^n$ का उपयोग करने पर,हमें $P(1 + 20/100)^n > 2P$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(1.2)^n > 2$ या $(6/5)^n > 2$ प्राप्त होता है।
$n = 3$ के लिए,$(6/5)^3 = 216/125 = 1.728$,जो $2$ से कम है।
$n = 4$ के लिए,$(6/5)^4 = 1296/625 = 2.0736$,जो $2$ से अधिक है।
अतः,आवश्यक पूर्ण वर्षों की न्यूनतम संख्या $4$ है।

(A) ब्याज की दर $R = 7 \frac{1}{2} \% = 7.5 \% = \frac{15}{2} \% = 0.075$ है।
माना मूलधन $P = 4000$ है और वार्षिक किस्त $I = 1500$ है।
$1$ ले वर्ष के अंत में,राशि $4000 \times (1 + 0.075) = 4300$ हो जाती है। $1500$ का भुगतान करने के बाद,शेष राशि $4300 - 1500 = 2800$ है।
$2$ रे वर्ष के अंत में,राशि $2800 \times (1 + 0.075) = 3010$ हो जाती है। $1500$ का भुगतान करने के बाद,शेष राशि $3010 - 1500 = 1510$ है।
$3$ रे वर्ष के अंत में,राशि $1510 \times (1 + 0.075) = 1623.25$ हो जाती है। $1500$ का भुगतान करने के बाद,अंतिम शेष राशि $1623.25 - 1500 = 123.25$ है।
इस प्रकार,व्यक्ति को अभी भी बैंक को ₹ $123.25$ चुकाने हैं।

(B) माना ब्याज की दर $r \%$ है और समय $n$ वर्ष है।
चक्रवृद्धि ब्याज के लिए मिश्रधन का सूत्र $A = P(1 + \frac{r}{100})^n$ है।
यहाँ $P = 3000$ और $n$ वर्षों के बाद $A = 4320$ दिया गया है:
$4320 = 3000(1 + \frac{r}{100})^n$
दोनों पक्षों को $3000$ से विभाजित करने पर:
$(1 + \frac{r}{100})^n = \frac{4320}{3000} = 1.44$
हमें आधे समय यानी $n/2$ वर्षों के बाद की राशि ज्ञात करनी है:
$A' = 3000(1 + \frac{r}{100})^{n/2}$
चूँकि $(1 + \frac{r}{100})^n = 1.44$,दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$(1 + \frac{r}{100})^{n/2} = \sqrt{1.44} = 1.2$
इस मान को $A'$ के व्यंजक में रखने पर:
$A' = 3000 \times 1.2 = 3600$
अतः,मिश्रधन ₹ $3600$ होगा।

(A) माना कि $A$ का हिस्सा $₹ x$ है और $B$ का हिस्सा $₹(3757 - x)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$10 \%$ चक्रवृद्धि ब्याज की दर पर $7$ वर्षों के बाद $A$ की राशि और $9$ वर्षों के बाद $B$ की राशि बराबर है।
$x(1 + \frac{10}{100})^7 = (3757 - x)(1 + \frac{10}{100})^9$
दोनों पक्षों को $(1 + \frac{10}{100})^7$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = (3757 - x)(1 + \frac{10}{100})^2$
$x = (3757 - x)(\frac{11}{10})^2$
$x = (3757 - x)(\frac{121}{100})$
$100x = 121(3757 - x)$
$100x = 454597 - 121x$
$221x = 454597$
$x = \frac{454597}{221} = 2057$
अतः,$A$ का हिस्सा $₹ 2057$ है।
$B$ का हिस्सा $= 3757 - 2057 = ₹ 1700$.

(A) दिया गया है:
मूलधन $(P)$ = ₹ $2,000$
चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I.)$ = ₹ $662$
दर $(r)$ = $10 \%$ वार्षिक
समय $(n)$ = ?
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र है:
$C.I. = P \left[ \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^n - 1 \right]$
मान रखने पर:
$662 = 2000 \left[ \left( 1 + \frac{10}{100} \right)^n - 1 \right]$
$662 = 2000 \left[ (1.1)^n - 1 \right]$
$\frac{662}{2000} = (1.1)^n - 1$
$0.331 = (1.1)^n - 1$
$1.331 = (1.1)^n$
चूँकि $(1.1)^3 = 1.331$,इसलिए:
$(1.1)^3 = (1.1)^n$
अतः,$n = 3$ वर्ष।

(A) माना मूलधन $P$ है और ब्याज की दर $r \%$ है।
किसी भी वर्ष के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ स्थिर रहता है। दिया गया है कि $3$रे वर्ष का $SI = ₹ 2,000$,इसलिए $1$ले वर्ष का $SI = ₹ 2,000$ और $2$रे वर्ष का $SI = ₹ 2,000$ होगा।
$2$ वर्षों के लिए कुल $SI = 2,000 + 2,000 = ₹ 4,000$।
$2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ $= ₹ 4,160$।
$2$ वर्षों के लिए $CI$ और $SI$ के बीच का अंतर $1$ले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज है।
अंतर $= 4,160 - 4,000 = ₹ 160$।
यह $₹ 160$,$1$ले वर्ष के ब्याज $(₹ 2,000)$ पर अर्जित ब्याज है।
ब्याज की दर $r = \frac{\text{अंतर}}{1\text{ले वर्ष का } SI} \times 100$।
$r = \frac{160}{2000} \times 100 = 8 \%$।

(A) दिया गया है: मूलधन $(P)$ = $₹ 25,000$,दर $(r)$ = $20 \%$,समय $(n)$ = $4$ वर्ष।
चक्रवृद्धि ब्याज के लिए सूत्र: $\text{मिश्रधन} = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$.
मान रखने पर: $\text{मिश्रधन} = 25000 \left(1 + \frac{20}{100}\right)^4$.
$\text{मिश्रधन} = 25000 \left(1 + \frac{1}{5}\right)^4 = 25000 \left(\frac{6}{5}\right)^4$.
$\text{मिश्रधन} = 25000 \times \frac{1296}{625}$.
$\text{मिश्रधन} = 40 \times 1296 = 51840$.
अतः,प्राप्त कुल राशि $₹ 51,840$ होगी।

(D) माना मूलधन $P = ₹ 100$ है।
$8$ वर्षों के बाद,राशि $P$ का $140 \%$ हो जाती है,जो कि $₹ 140$ है।
अतः,साधारण ब्याज $(S.I)$ $= 140 - 100 = ₹ 40$ है।
$1$ वर्ष के लिए,$S.I = \frac{40}{8} = ₹ 5$ है।
चूंकि $₹ 100$ पर $1$ वर्ष का $S.I$ $₹ 5$ है,इसलिए ब्याज की दर $R = 5 \%$ प्रति वर्ष है।
अब,$P = ₹ 30000$ पर $n = 2$ वर्षों के लिए $r = 5 \%$ प्रति वर्ष की दर से चक्रवृद्धि ब्याज $(C.I)$ की गणना करें।
$C.I = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n - P$
$C.I = 30000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 - 30000$
$C.I = 30000 \left(\frac{105}{100}\right)^2 - 30000$
$C.I = 30000 \times 1.1025 - 30000$
$C.I = 33075 - 30000 = ₹ 3075$.

(C) माना मूलधन $P$ है।
$2$ वर्षों के लिए,साधारण ब्याज $(SI)$ का सूत्र $SI = \frac{P \times R \times T}{100} = \frac{P \times 4 \times 2}{100} = 0.08P$ है।
वार्षिक संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ का सूत्र $CI = P(1 + \frac{R}{100})^T - P = P(1 + \frac{4}{100})^2 - P = P(1.04)^2 - P = P(1.0816) - P = 0.0816P$ है।
$CI$ और $SI$ के बीच का अंतर $0.0816P - 0.08P = 0.0016P$ है।
दिया गया है कि अंतर ₹ $8$ है,इसलिए $0.0016P = 8$ है।
$P = \frac{8}{0.0016} = \frac{80000}{16} = 5000$ है।
अतः,मूलधन ₹ $5000$ है।

(A) $2$ वर्षों के लिए साधारण ब्याज $(SI)$ $= ₹ 1400$ है।
चूंकि साधारण ब्याज हर साल समान होता है,इसलिए $1$ वर्ष के लिए $SI = ₹ 1400 / 2 = ₹ 700$ होगा।
$2$ वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज $(CI)$ और साधारण ब्याज $(SI)$ के बीच का अंतर पहले वर्ष के ब्याज पर अर्जित ब्याज है।
अंतर $= CI - SI = ₹ 1449 - ₹ 1400 = ₹ 49$ है।
यह $₹ 49$,पहले वर्ष के साधारण ब्याज $(₹ 700)$ पर मिलने वाला ब्याज है।
ब्याज की दर $(R)$ $= (\text{अंतर} / 1 \text{ वर्ष का } SI) \times 100$ है।
$R = (49 / 700) \times 100 = 7 \%$।