Mix Examples - Introduction to Euclid’s Geometry Questions in Gujarati

(A) યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો ભૂમિતિમાં વપરાતી પાયાની ધારણાઓ છે. યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યોની યાદી નીચે મુજબ છે:
$1$. જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજીને પણ સમાન હોય છે.
$2$. જો સરખામાં સરખું ઉમેરવામાં આવે,તો સરવાળા સરખા રહે છે.
$3$. જો સરખામાંથી સરખું બાદ કરવામાં આવે,તો બાકી રહેતી વસ્તુઓ સરખી રહે છે.
$4$. જે વસ્તુઓ એકબીજા પર બંધ બેસતી હોય,તે એકબીજીને સમાન હોય છે.
$5$. આખું તેના ભાગ કરતાં મોટું હોય છે.
તેથી,યુક્લિડનું બીજું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય છે: 'જો સરખામાં સરખું ઉમેરવામાં આવે,તો સરવાળા સરખા રહે છે.'

(B) યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા જણાવે છે કે જો એક સીધી રેખા બે સીધી રેખાઓ પર પડે અને તેની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો બે કાટખૂણા $(180^{\circ})$ કરતા ઓછો થાય,તો તે બે સીધી રેખાઓને અનંત સુધી લંબાવતા,તે બાજુ પર મળે છે જ્યાં ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતા ઓછો હોય છે. આ યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં સમાંતર પૂર્વધારણા સાથે સંબંધિત એક પાયાનો સિદ્ધાંત છે.

(C) યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (Axioms) મુજબ,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે.
જો $x = 2a$ અને $y = 2a$ હોય,તો $x = y$ થાય.
તેથી,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય તે સમાન હોય છે.

(D) ગણિતમાં,સ્વીકૃત ધારણાઓ (Axioms) એ પાયાના વિધાનો અથવા પ્રસ્તાવ છે જેને સાબિતી વગર સત્ય માનવામાં આવે છે.
વિશેષ રીતે,યુક્લિડની સ્વીકૃત ધારણાઓને સાર્વત્રિક સત્યો માનવામાં આવે છે જે ગણિતની તમામ શાખાઓને લાગુ પડે છે,માત્ર ભૂમિતિને જ નહીં.
પ્રમેયોથી વિપરીત,જેને સ્વીકૃત ધારણાઓના આધારે તાર્કિક સાબિતીની જરૂર હોય છે,સ્વીકૃત ધારણાઓ તમામ ગાણિતિક તર્ક માટે પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(A) ધારો કે જોનની ઉંમર $J$,મોહનની ઉંમર $M$ અને રામની ઉંમર $R$ છે.
આપેલ છે કે $J = M$ અને $R = M$.
યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,'જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને પણ સમાન હોય છે'.
અહીં $J$ અને $R$ બંને $M$ ને સમાન હોવાથી,$J = R$ થાય.
તેથી,જોન અને રામ એક જ ઉંમરના છે,જે પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) યુક્લિડના પાંચમા પૂર્વધારણા મુજબ,જો એક સીધી રેખા બે સીધી રેખાઓ પર પડે અને તેની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોય,તો તે બે સીધી રેખાઓને અનંત સુધી લંબાવતા,તે તે બાજુએ મળે છે જ્યાં ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોય છે.
આપેલ પ્રશ્નમાં,એક બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો $120^{\circ}$ છે.
કારણ કે $120^{\circ} < 180^{\circ}$,તેથી રેખાઓ તે બાજુએ મળશે જ્યાં ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોય.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી,રેખાઓ તે બાજુએ મળશે જ્યાં સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોય છે.

(C) યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,ભૌમિતિક આકૃતિઓનો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
$1$. ઘનને ત્રણ પરિમાણ હોય છે (લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ).
$2$. ઘનની સીમા સપાટી છે,જેને બે પરિમાણ હોય છે (લંબાઈ અને પહોળાઈ).
$3$. સપાટીની સીમા રેખા છે,જેને એક પરિમાણ હોય છે (લંબાઈ).
$4$. રેખાનો અંત બિંદુ છે,જેને કોઈ પરિમાણ હોતું નથી.
તેથી,ઘનથી બિંદુ સુધીનો ક્રમ છે: ઘન $\rightarrow$ સપાટીઓ $\rightarrow$ રેખાઓ $\rightarrow$ બિંદુઓ.

(D) ઘન પદાર્થ એ ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુ છે જેને લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ હોય છે. તે અવકાશ રોકે છે અને તેને એક જગ્યાએથી બીજી જગ્યાએ ખસેડી શકાય છે. તેથી,ઘન પદાર્થને $3$ પરિમાણ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે: લંબઘન,સમઘન,નળાકાર અને શંકુ.

(A) ભૂમિતિમાં,બિંદુને $0$ પરિમાણ હોય છે,રેખાને $1$ પરિમાણ હોય છે અને સપાટીને $2$ પરિમાણો (લંબાઈ અને પહોળાઈ) હોય છે. તેથી,સપાટીને $2$ પરિમાણો હોય છે.

(B) યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,બિંદુ એ છે જેને કોઈ ભાગ નથી.
તેને લંબાઈ,પહોળાઈ કે ઊંચાઈ હોતી નથી,તેથી તે કોઈ જગ્યા રોકતું નથી.
આથી,બિંદુને $0$ પરિમાણ હોય છે.

(C) યુક્લિડે તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથ "ધ એલિમેન્ટ્સ" (The Elements) ને $13$ પ્રકરણોમાં વિભાજિત કર્યો હતો,જેને પુસ્તકો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(D) યુક્લિડનું કાર્ય,જે 'Elements' તરીકે ઓળખાય છે,તે $13$ પુસ્તકોનો સંગ્રહ છે.
આ પુસ્તકોમાં કુલ $465$ પ્રમેયો (propositions) આવેલા છે.
તેથી,સાચો જવાબ $465$ છે.

(A) યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,ઘન પદાર્થોની સીમાઓ સપાટીઓ છે. ઘન પદાર્થને ત્રણ પરિમાણો (લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) હોય છે,અને તેની સીમા એક સપાટી છે,જે બે પરિમાણીય હોય છે.

(B) યુક્લિડની વ્યાખ્યાઓ અનુસાર,સપાટી એટલે એવી વસ્તુ જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે. સપાટીની ધાર અથવા સીમાઓ વક્રો (curves) હોય છે.

(C) સિંધુ ખીણની સભ્યતામાં બાંધકામ માટે વપરાતી પાકી ઈંટો પ્રમાણિત હતી. પુરાતત્વીય સંશોધનો પુષ્ટિ કરે છે કે આ ઈંટો સામાન્ય રીતે $4: 2: 1$ ના લંબાઈ,પહોળાઈ અને જાડાઈના ગુણોત્તરમાં હતી. આ ગુણોત્તર તે સમયગાળા દરમિયાન બાંધવામાં આવેલા મકાનો માટે માળખાકીય સ્થિરતા પૂરી પાડતો હતો.

(D) પિરામિડ એ ત્રિ-પરિમાણીય ભૂમિતિમાં એક ઘન આકૃતિ છે. તે એક બહુકોણીય પાયાને એક બિંદુ સાથે જોડીને બનાવવામાં આવે છે,જેને શિરોબિંદુ (apex) કહેવામાં આવે છે. પાયો કોઈપણ બહુકોણ (જેમ કે ત્રિકોણ,ચોરસ,પંચકોણ,વગેરે) હોઈ શકે છે,અને તેની બાજુની સપાટીઓ ત્રિકોણ હોય છે જે શિરોબિંદુ પર મળે છે.

(A) પિરામિડ એ એક બહુફલક છે જેનો પાયો એક બહુકોણ હોય છે અને તેની બાજુની સપાટીઓ ત્રિકોણ હોય છે જે એક સામાન્ય શિરોબિંદુ પર મળે છે જેને શિખર (apex) કહેવામાં આવે છે.

(B) યુક્લિડનું બીજું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે જો સરખામાં સરખું ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સરખો રહે છે.
આપેલ વિધાનમાં,આપણી પાસે $x+y=10$ છે. બંને બાજુ $z$ ઉમેરતા,આપણને $(x+y)+z = 10+z$ મળે છે.
કારણ કે $x+y$ અને $10$ સમાન છે,તેથી બંને બાજુ સમાન સંખ્યા $z$ ઉમેરવાથી સમાનતા જળવાઈ રહે છે.
તેથી,આ બીજું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય દર્શાવે છે.

(C) પ્રાચીન ભારતમાં,ઘરગથ્થુ ધાર્મિક વિધિઓ માટે વપરાતી વેદીઓ ચોરસ અને વર્તુળના આકારમાં બનાવવામાં આવતી હતી. શુલ્બ સૂત્રોમાં વર્ણવ્યા મુજબ,વૈદિક વેદીઓના નિર્માણમાં આ ભૌમિતિક આકારોનું ખૂબ મહત્વ હતું.

(D) શ્રીયંત્ર એ અથર્વવેદમાં વપરાતી એક જટિલ પવિત્ર ભૂમિતિની ભાત છે. તે $9$ આંતરગૂંથાયેલા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણોથી બનેલું છે. આ ત્રિકોણો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે જે કુલ $43$ નાના ત્રિકોણો બનાવે છે,પરંતુ પ્રાથમિક આંતરગૂંથાયેલું માળખું $9$ ત્રિકોણોનું બનેલું છે.

(A) ગ્રીકો મુખ્યત્વે નિગમનલક્ષી તર્ક (Deductive reasoning) નો ઉપયોગ કરીને તેમણે શોધેલા વિધાનોની સત્યતા સ્થાપિત કરવામાં રસ ધરાવતા હતા.
નિગમનલક્ષી તર્કમાં તાર્કિક નિષ્કર્ષ પર પહોંચવા માટે સ્થાપિત સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (axioms),પૂર્વધારણાઓ (postulates) અને અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેયોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
એક ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી,થેલ્સ (Thales) ને આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ જાણીતી સાબિતી આપવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે.

(B) પ્રાચીન ભારતમાં,વિવિધ હેતુઓ માટે વેદીઓનું નિર્માણ કરવામાં આવતું હતું. લંબચોરસ,ત્રિકોણ અને સમલંબ ચતુષ્કોણ જેવા આકારોના સંયોજનવાળી વેદીઓનો ઉપયોગ ખાસ કરીને જાહેર પૂજા માટે કરવામાં આવતો હતો,જ્યારે ઘરગથ્થુ વિધિઓમાં સામાન્ય રીતે વર્તુળાકાર અથવા ચોરસ આકારની વેદીઓનો ઉપયોગ થતો હતો.

(C) યુક્લિડ ગ્રીસ દેશના હતા.
યુક્લિડે આશરે $300 \, B.C.$ માં ગણિતના ક્ષેત્રમાં જાણીતું તમામ કાર્ય એકત્રિત કર્યું અને તેને 'એલિમેન્ટ્સ' (Elements) નામના તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથમાં વ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવ્યું.

(D) પાયથાગોરસ $(572 \, BC)$ થેલ્સના વિદ્યાર્થી હતા.
પાયથાગોરસ અને તેમના જૂથે ભૂમિતિના ઘણા ગુણધર્મો શોધ્યા અને ભૂમિતિના સિદ્ધાંતનો ખૂબ જ વિકાસ કર્યો.
આ પ્રક્રિયા $300 \, BC$ સુધી ચાલુ રહી.
તે સમયે,ઇજિપ્તના એલેક્ઝાન્ડ્રિયામાં ગણિતના શિક્ષક યુક્લિડે તમામ જાણીતા કાર્યોને એકત્રિત કર્યા અને તેને તેમના પ્રખ્યાત ગ્રંથમાં વ્યવસ્થિત કર્યા.

(A) $\text{પ્રમેય}$ એ એક ગાણિતિક વિધાન છે જેને અગાઉ સ્થાપિત થયેલા વિધાનો જેવા કે અન્ય પ્રમેયો,સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (Axioms) અને પૂર્વધારણાઓના આધારે સાબિત કરવામાં આવ્યું છે. સ્વયંસિદ્ધ સત્યો અને પૂર્વધારણાઓથી વિપરીત,જેને સાબિતી વિના સાચા માનવામાં આવે છે,પ્રમેયને માન્ય ગાણિતિક સત્ય તરીકે સ્વીકારવા માટે તાર્કિક સાબિતીની જરૂર હોય છે.

(B) યુક્લિડની ચોથી પૂર્વધારણા જણાવે છે કે બધા જ કાટખૂણા એકબીજાને સમાન હોય છે. તેથી,સાચો જવાબ પૂર્વધારણા છે.

(C) યુક્લિડની ભૂમિતિમાં,જે વિધાન કોઈ પદ અથવા ખ્યાલનો અર્થ સમજાવે છે તેને વ્યાખ્યા કહેવામાં આવે છે. 'રેખાઓ સમાંતર છે જો તેઓ એકબીજાને છેદતી નથી' એ વિધાન સમાંતર રેખાઓના ખ્યાલને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેથી,તે એક વ્યાખ્યા છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન: પિરામિડ એ એક એવી ઘન આકૃતિ છે જેનો પાયો બહુકોણ હોય છે અને તેની બાજુની સપાટીઓ ત્રિકોણાકાર હોય છે જે એક સામાન્ય શિરોબિંદુ પર મળે છે. પાયો કોઈપણ બહુકોણ હોઈ શકે છે,પરંતુ તેની બાજુની સપાટીઓ હંમેશા સમબાજુ ત્રિકોણ હોવી જરૂરી નથી; પાયાના માપ અને પિરામિડની ઊંચાઈના આધારે તે કોઈપણ પ્રકારના ત્રિકોણ હોઈ શકે છે.

(TRUE) આ વિધાન ખરું છે.
વૈદિક કાળની ભૂમિતિનો ઉદ્ભવ વૈદિક વિધિઓ કરવા માટે 'વેદીઓ' અને અગ્નિકુંડના નિર્માણ સાથે થયો હતો.
ઘરગથ્થુ ધાર્મિક વિધિઓમાં ચોરસ અને વર્તુળાકાર આકારની વેદીઓનો ઉપયોગ થતો હતો,જ્યારે જાહેર પૂજા માટે જટિલ આકારની વેદીઓનો ઉપયોગ થતો હતો,જે લંબચોરસ,ત્રિકોણ અને સમલંબ ચતુષ્કોણના સંયોજનથી બનેલી હતી.

(TRUE) સત્ય. ભૂમિતિમાં,બિંદુ,રેખા અને સમતલને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,આપણે અન્ય ઘણા પદોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર પડે,જે વ્યાખ્યાઓની એક અનંત સાંકળ તરફ દોરી જાય છે. આ કારણોસર,ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ પાયાના ભૌમિતિક ખ્યાલોને અવ્યાખ્યાયિત પદો તરીકે સ્વીકારવાનું નક્કી કર્યું છે.

(TRUE) આ વિધાન સત્ય છે.
યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ: 'જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને પણ સમાન હોય છે.'
ધારો કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ છે અને ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A_3$ છે.
આપેલ છે: $A_1 = A_2$ અને $A_2 = A_3$.
અહીં $A_1$ અને $A_3$ બંને એક જ રાશિ $A_2$ ને સમાન હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $A_1 = A_3$.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના ક્ષેત્રફળને સમાન છે.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
યુક્લિડનું ચોથું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે જે વસ્તુઓ એકબીજા પર બંધબેસતી આવે છે,તે એકબીજાને સમાન હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે જો બે વસ્તુઓને એકબીજાની ઉપર એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે તેઓ એકબીજાને સંપૂર્ણપણે ઢાંકી દે,તો તે કદ અને આકારમાં સમાન છે,અને તેથી તે સમાન ગણાય છે.

(TRUE) સત્ય. યુક્લિડની ભૂમિતિ સપાટ સપાટી (યુક્લિડિયન સમતલ) ની ધારણા પર આધારિત છે. તે વક્ર સપાટીઓ પર નિષ્ફળ જાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,ગોળાકાર સપાટી પર,ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા $180^{\circ}$ કરતા વધારે હોય છે.

(B) આપેલ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
યુક્લિડિયન ભૂમિતિ એ ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડ દ્વારા આપવામાં આવેલી એક ગાણિતિક પદ્ધતિ છે,જે સપાટ,દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશ (યુક્લિડિયન સમતલ) માં બિંદુઓ,રેખાઓ અને સમતલોના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરે છે.
તે ખાસ કરીને સપાટ સપાટીઓ માટે બનાવવામાં આવી છે. વક્ર સપાટીઓ પરની ભૂમિતિને નોન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ (જેમ કે ગોલીય અથવા હાયપરબોલિક ભૂમિતિ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,યુક્લિડિયન ભૂમિતિ વક્ર સપાટીઓ માટે માન્ય નથી.

(FALSE) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન: યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,ઘન પદાર્થોની સીમાઓ સપાટીઓ છે,વક્રો નથી. ઘન પદાર્થને ત્રણ પરિમાણો (લંબાઈ,પહોળાઈ અને ઊંચાઈ) હોય છે,તેની સીમાઓ સપાટીઓ (દ્વિ-પરિમાણીય) હોય છે અને સપાટીઓની સીમાઓ વક્રો અથવા સીધી રેખાઓ (એક-પરિમાણીય) હોય છે.

(B) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
યુક્લિડની ભૂમિતિ અનુસાર,સપાટીની ધાર રેખાઓ હોય છે,વક્ર નહીં. સપાટીને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે કે જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે,અને તેની સીમાઓ અથવા ધાર રેખાઓ હોય છે.

(A) સત્ય.
આ વિધાન યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યોમાંનું એક છે. યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યો ભૂમિતિમાં વપરાતી પાયાની ધારણાઓ છે. ખાસ કરીને,યુક્લિડનું છઠ્ઠું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે "જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુના બમણા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે."
જો આપણી પાસે બે રાશિઓ $x$ અને $y$ હોય,જે બંને એક રાશિ $z$ ના બમણા હોય,તો $x = 2z$ અને $y = 2z$ થાય. કારણ કે $x$ અને $y$ બંને $2z$ ને સમાન છે,તેથી $x = y$ સાબિત થાય છે.

(TRUE) આપેલ વિધાન સત્ય છે.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,"આખું તેના ભાગ કરતાં મોટું હોય છે."
ચોક્કસપણે,યુક્લિડની ત્રીજી સામાન્ય અભિધારણા જણાવે છે કે જો કોઈ રાશિ $B$ એ બીજી રાશિ $A$ નો ભાગ હોય,તો ત્યાં બીજી એક રાશિ $C$ એવી મળે કે જેથી $A = B + C$ થાય.

(FALSE) આપેલ વિધાન ખોટું છે.
સમર્થન: સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (Axioms) એવા પાયાના ધારણાઓ છે જે સાબિતી વગર સ્વીકારી લેવામાં આવે છે. જે વિધાનોને આ સ્વયંસિદ્ધ સત્યો,પૂર્વધારણાઓ અને અગાઉ સાબિત થયેલા વિધાનોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવામાં આવે છે,તેને પ્રમેય (Theorems) કહેવામાં આવે છે.

(A) આપેલ વિધાન સાચું છે.
સમર્થન: પ્લેફેરનું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે દરેક રેખા $l$ અને રેખા $l$ પર ન હોય તેવા દરેક બિંદુ $P$ માટે,$P$ માંથી પસાર થતી અને $l$ ને સમાંતર હોય તેવી એક અનન્ય રેખા $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય યુક્લિડના પાંચમા પૂર્વધારણાનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે,જે યુક્લિડિયન ભૂમિતિનો એક પાયાનો સિદ્ધાંત છે.

(A) આ વિધાન $True$ (ખરું) છે.
સમર્થન: પ્લેફેરના સ્વયંસિદ્ધાંત મુજબ,જે યુક્લિડના પાંચમા પૂર્વધારણાનું સમકક્ષ સ્વરૂપ છે,જો કોઈ રેખા $l$ અને એક બિંદુ $P$ (જે $l$ પર ન હોય) આપેલ હોય,તો $P$ માંથી પસાર થતી એક અને માત્ર એક જ રેખા $m$ એવી મળે કે જે $l$ ને સમાંતર હોય.
જો બે ભિન્ન છેદતી રેખાઓ $m_1$ અને $m_2$ બંને એક જ રેખા $l$ ને સમાંતર હોય,તો તે એ ગુણધર્મનો વિરોધાભાસ કરે છે કે આપેલી રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુમાંથી પસાર થતી માત્ર એક જ રેખા આપેલી રેખાને સમાંતર હોય છે. તેથી,બે ભિન્ન છેદતી રેખાઓ એક જ રેખાને સમાંતર હોઈ શકે નહીં.

(A) આપેલ વિધાન $True$ (સાચું) છે. સદીઓ સુધી,ગણિતશાસ્ત્રીઓએ યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા (સમાંતર પૂર્વધારણા) ને તેમની અન્ય ચાર પૂર્વધારણાઓ અને સ્વયંસિદ્ધ સત્યોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. આ પ્રયાસો તેને પ્રમેય તરીકે સાબિત કરવામાં નિષ્ફળ રહ્યા,પરંતુ તેના પરિણામે અંતે ભૂમિતિની અન્ય ઘણી સુસંગત પ્રણાલીઓની શોધ થઈ,જેને સામૂહિક રીતે બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિ (non-Euclidean geometries) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,જેમ કે ગોલીય ભૂમિતિ (spherical geometry) અને અતિવલય ભૂમિતિ (hyperbolic geometry).

(C) ધારો કે રામ અને રવિ બંનેનું પ્રારંભિક વજન $x\, kg$ છે.
$2\, kg$ વજન વધ્યા પછી,રામનું નવું વજન $(x + 2)\, kg$ અને રવિનું નવું વજન $(x + 2)\, kg$ થાય છે.
યુક્લિડના બીજા સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જો સમાન વસ્તુઓમાં સમાન વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો (પૂર્ણ) પણ સમાન રહે છે.
તેથી,શરૂઆતમાં વજન સમાન હોવાથી અને બંનેમાં સમાન જથ્થો ઉમેરવામાં આવ્યો હોવાથી,તેમના નવા વજન પણ સમાન રહેશે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $a-15=25$.
$a$ ની કિંમત શોધવા માટે,સમીકરણની બંને બાજુએ $15$ ઉમેરો.
$a-15+15=25+15$.
$a=40$.
અહીં વપરાયેલ પૂર્વધારણા યુક્લિડની બીજી પૂર્વધારણા છે,જે જણાવે છે કે: "જો સમાન વસ્તુઓમાં સમાન વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સમાન રહે છે."

(N/A) આપેલ છે: $\angle 1 = \angle 3$,$\angle 2 = \angle 4$ અને $\angle 3 = \angle 4$.
યુક્લિડનું પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય જણાવે છે કે 'જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજીને પણ સમાન હોય છે'.
અહીં $\angle 1 = \angle 3$ અને $\angle 3 = \angle 4$ હોવાથી,$\angle 1 = \angle 4$ થાય.
હવે,આપણી પાસે $\angle 1 = \angle 4$ અને $\angle 2 = \angle 4$ છે.
યુક્લિડના પ્રથમ સ્વયંસિદ્ધ સત્યનો ઉપયોગ કરતા,$\angle 1$ અને $\angle 2$ બંને એક જ ખૂણા $\angle 4$ ને સમાન હોવાથી,$\angle 1 = \angle 2$ થાય.

(N/A) આપેલ છે કે $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AB = 2AC$ થાય.
આપેલ છે કે $D$ એ $XY$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $XY = 2XD$ થાય.
આપણને એ પણ આપેલ છે કે $AC = XD$.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુઓના બમણા હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $AB = XY$.

(N/A) ધારો કે ઓગસ્ટ મહિનામાં બે સેલ્સમેનનું વેચાણ $x$ અને $y$ છે.
તેઓ ઓગસ્ટ મહિના દરમિયાન સમાન વેચાણ કરે છે,તેથી $x = y$ છે.
સપ્ટેમ્બરમાં,દરેક સેલ્સમેન ઓગસ્ટ મહિનાના તેના વેચાણને બમણું કરે છે,તેથી તેમનું વેચાણ $2x$ અને $2y$ થાય છે.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,'જે વસ્તુઓ સમાન વસ્તુઓના બમણા હોય,તે એકબીજાને સમાન હોય છે'.
આથી,$x = y$ હોવાથી,$2x = 2y$ થાય છે.
તેથી,આપણે કહી શકીએ કે સપ્ટેમ્બર મહિનામાં પણ બંને સેલ્સમેન સમાન વેચાણ કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $x+y=10$ અને $x=z$.
યુક્લિડના બીજા સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જો સરખી વસ્તુઓમાં સરખી વસ્તુઓ ઉમેરવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો પણ સરખો રહે છે.
કારણ કે $x=z$,આપણે સમીકરણ $x=z$ ની બંને બાજુએ $y$ ઉમેરી શકીએ છીએ:
$x+y = z+y$.
આપણને આપેલ છે કે $x+y=10$. ઉપરના સમીકરણમાં $x+y$ ની જગ્યાએ $10$ મૂકતા:
$10 = z+y$.
તેથી,$z+y=10$.

(N/A) આપણે જોઈએ છીએ કે $AB, BC$ અને $CD$ એ રેખાખંડ $AD$ ના ભાગો છે.
હવે,$AB + BC + CD = AD$ $......(1)$
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $5$ મુજબ,આખું તેના ભાગ કરતાં મોટું હોય છે. કારણ કે $AD$ એ રેખાખંડ $AH$ નો એક ભાગ છે,તેથી:
$AH > AD$
એટલે કે,લંબાઈ $AH >$ લંબાઈ $AB + BC + CD$ નો સરવાળો $[(1)$ નો ઉપયોગ કરતા].

(N/A) આપણને આપેલ છે કે:
$AB = BC$ ... $(1)$
$BX = BY$ ... $(2)$
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $3$ મુજબ,જો સમાન વસ્તુઓને સમાન વસ્તુઓમાંથી બાદ કરવામાં આવે,તો બાકી રહેતી વસ્તુઓ પણ સમાન હોય છે.
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$AB - BX = BC - BY$
આકૃતિ પરથી,$AB - BX = AX$ અને $BC - BY = CY$ થાય છે.
તેથી,$AX = CY$.