Mix Examples - Introduction to Euclid’s Geometry Questions in Hindi

(A) यूक्लिड के अभिगृहीत ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले मौलिक अनुमान हैं। यूक्लिड के अभिगृहीतों की सूची इस प्रकार है:
$1$. वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
$2$. यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
$3$. यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए,तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
$4$. वे वस्तुएँ जो परस्पर संपाती हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
$5$. पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
अतः,यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत है: 'यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।'

(B) यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा यह बताती है कि यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर के अंतःकोणों का योग दो समकोणों $(180^{\circ})$ से कम बनाती है,तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं,जिस ओर कोणों का योग दो समकोणों से कम होता है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति में समांतर अभिधारणा से संबंधित एक मौलिक सिद्धांत है।

(C) यूक्लिड के अभिगृहीतों (Axioms) के अनुसार,जो वस्तुएँ एक ही वस्तु की दोगुनी होती हैं,वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
यदि $x = 2a$ और $y = 2a$ है,तो $x = y$ होगा।
अतः,वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दोगुनी होती हैं,वे बराबर होती हैं।

(D) गणित में,अभिगृहीत (Axioms) वे मूलभूत कथन या प्रस्ताव हैं जिन्हें बिना किसी प्रमाण के सत्य माना जाता है।
विशेष रूप से,यूक्लिड के अभिगृहीतों को सार्वभौमिक सत्य माना जाता है जो गणित की सभी शाखाओं पर लागू होते हैं,न कि केवल ज्यामिति पर।
प्रमेयों के विपरीत,जिन्हें अभिगृहीतों के आधार पर तार्किक प्रमाण की आवश्यकता होती है,अभिगृहीत सभी गणितीय तर्क के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करते हैं।

(A) मान लीजिए जॉन की आयु $J$,मोहन की आयु $M$ और राम की आयु $R$ है।
दिया गया है कि $J = M$ और $R = M$ है।
यूक्लिड के प्रथम अभिगृहीत के अनुसार,'वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं'।
चूंकि $J$ और $R$ दोनों $M$ के बराबर हैं,इसलिए $J = R$ होगा।
अतः,जॉन और राम एक ही उम्र के हैं,जिसे प्रथम अभिगृहीत द्वारा दर्शाया गया है।

(A) यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा के अनुसार,यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरती है और अपने एक ही तरफ के आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ से कम बनाती है,तो वे दो सीधी रेखाएं,यदि अनिश्चित काल तक बढ़ाई जाएं,तो उस तरफ मिलती हैं जिस तरफ कोणों का योग $180^{\circ}$ से कम होता है।
दिए गए प्रश्न में,एक तरफ के आंतरिक कोणों का योग $120^{\circ}$ है।
चूंकि $120^{\circ} < 180^{\circ}$,इसलिए रेखाएं उस तरफ मिलेंगी जहां कोणों का योग $180^{\circ}$ से कम है।
दिए गए विकल्पों में से,रेखाएं उस तरफ मिलेंगी जहां योग $180^{\circ}$ से कम है।

(C) यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,ज्यामितीय आकृतियों का पदानुक्रम इस प्रकार है:
$1$. एक ठोस में तीन आयाम होते हैं (लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई)।
$2$. ठोस की सीमा एक सतह होती है,जिसमें दो आयाम होते हैं (लंबाई और चौड़ाई)।
$3$. सतह की सीमा एक रेखा होती है,जिसमें एक आयाम होता है (लंबाई)।
$4$. रेखा का अंत एक बिंदु होता है,जिसका कोई आयाम नहीं होता है।
इसलिए,ठोस से बिंदुओं तक का क्रम है: ठोस $\rightarrow$ सतहें $\rightarrow$ रेखाएँ $\rightarrow$ बिंदु।

(D) एक ठोस एक त्रि-आयामी वस्तु है जिसकी लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई होती है। यह स्थान घेरता है और इसे एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाया जा सकता है। इसलिए,एक ठोस में $3$ विमाएँ होती हैं। उदाहरण के लिए: घनाभ,घन,बेलन और शंकु।

(A) ज्यामिति में,एक बिंदु के $0$ आयाम होते हैं,एक रेखा का $1$ आयाम होता है और एक सतह के $2$ आयाम (लंबाई और चौड़ाई) होते हैं। अतः,एक सतह में आयामों की संख्या $2$ होती है।

(B) यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,बिंदु वह है जिसका कोई भाग नहीं होता है।
चूँकि इसकी न तो कोई लंबाई होती है,न चौड़ाई और न ही ऊँचाई,इसलिए यह कोई स्थान नहीं घेरता है।
अतः,एक बिंदु की $0$ विमाएँ होती हैं।

(C) यूक्लिड ने अपने प्रसिद्ध ग्रंथ "द एलिमेंट्स" (The Elements) को $13$ अध्यायों में विभाजित किया था,जिन्हें पुस्तकों के रूप में जाना जाता है।

(D) यूक्लिड का कार्य,जिसे 'Elements' कहा जाता है,$13$ पुस्तकों का एक संग्रह है।
इन पुस्तकों में कुल $465$ प्रमेय (propositions) शामिल हैं।
अतः,सही उत्तर $465$ है।

(A) यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,ठोसों की सीमाएँ पृष्ठ (सतह) होती हैं। एक ठोस की तीन विमाएँ (लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई) होती हैं,और इसकी सीमा एक पृष्ठ होता है,जिसकी दो विमाएँ होती हैं।

(B) यूक्लिड की परिभाषाओं के अनुसार,एक पृष्ठ वह है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है। पृष्ठ के किनारे या सीमाएँ वक्र (curves) होती हैं।

(C) सिंधु घाटी सभ्यता में निर्माण कार्य के लिए उपयोग की जाने वाली पकी हुई ईंटें मानकीकृत थीं। पुरातात्विक निष्कर्षों से पुष्टि होती है कि ये ईंटें आमतौर पर $4: 2: 1$ के लंबाई,चौड़ाई और मोटाई के अनुपात में थीं। यह अनुपात उस अवधि के दौरान निर्मित भवनों के लिए संरचनात्मक स्थिरता प्रदान करता था।

(D) पिरामिड त्रिविमीय ज्यामिति में एक ठोस आकृति है। यह एक बहुभुजीय आधार को एक बिंदु से जोड़कर बनाया जाता है,जिसे शीर्ष (apex) कहा जाता है। आधार कोई भी बहुभुज (जैसे त्रिभुज,वर्ग,पंचभुज,आदि) हो सकता है,और इसकी पार्श्व सतहें त्रिभुज होती हैं जो शीर्ष पर मिलती हैं।

(A) पिरामिड एक बहुफलक (polyhedron) है जिसका आधार एक बहुभुज होता है और इसके पार्श्व फलक त्रिभुज होते हैं जो एक सामान्य शीर्ष पर मिलते हैं जिसे शीर्ष (apex) कहा जाता है।

(B) यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत कहता है कि यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
दिए गए कथन में,हमारे पास $x+y=10$ है। दोनों पक्षों में $z$ जोड़ने पर,हमें $(x+y)+z = 10+z$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x+y$ और $10$ बराबर हैं,इसलिए दोनों पक्षों में समान राशि $z$ जोड़ने पर समानता बनी रहती है।
अतः,यह दूसरे अभिगृहीत को दर्शाता है।

(C) प्राचीन भारत में,घरेलू अनुष्ठानों के लिए उपयोग की जाने वाली वेदियों का निर्माण वर्ग और वृत्त के आकार में किया जाता था। शुल्ब सूत्रों में वर्णित अनुसार,वैदिक वेदियों के निर्माण में इन ज्यामितीय आकृतियों का विशेष महत्व था।

(D) श्रीयंत्र अथर्ववेद में प्रयुक्त एक जटिल पवित्र ज्यामितीय पैटर्न है। यह $9$ अंतर्ग्रथित समद्विबाहु त्रिभुजों से बना है। ये त्रिभुज इस प्रकार व्यवस्थित होते हैं कि वे कुल $43$ छोटे त्रिभुज बनाते हैं,लेकिन प्राथमिक अंतर्ग्रथित संरचना $9$ त्रिभुजों से बनी होती है।

(A) यूनानी मुख्य रूप से निगमनात्मक तर्क (Deductive reasoning) का उपयोग करके अपने द्वारा खोजे गए कथनों की सत्यता स्थापित करने में रुचि रखते थे।
निगमनात्मक तर्क में तार्किक निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए स्थापित स्वयंसिद्धों (axioms),अभिगृहीतों (postulates) और पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों का उपयोग किया जाता है।
एक यूनानी गणितज्ञ,थेल्स (Thales) को इस पद्धति का उपयोग करके पहली ज्ञात उपपत्ति (proof) देने का श्रेय दिया जाता है।

(B) प्राचीन भारत में,विभिन्न उद्देश्यों के लिए वेदियों का निर्माण किया जाता था। आयत,त्रिभुज और समलंब जैसे आकृतियों के संयोजन वाली वेदियों का उपयोग विशेष रूप से सार्वजनिक पूजा के लिए किया जाता था,जबकि घरेलू अनुष्ठानों में आमतौर पर गोलाकार या वर्गाकार वेदियों का उपयोग किया जाता था।

(C) यूक्लिड यूनान (Greece) देश से संबंधित थे।
यूक्लिड ने लगभग $300 \, B.C.$ में गणित के क्षेत्र में ज्ञात सभी कार्यों को एकत्रित किया और उन्हें अपने प्रसिद्ध ग्रंथ 'एलिमेंट्स' (Elements) में व्यवस्थित किया।

(D) पायथागोरस $(572 \, BC)$ थेल्स के छात्र थे।
पायथागोरस और उनके समूह ने ज्यामिति के कई गुणों की खोज की और ज्यामिति के सिद्धांत को काफी हद तक विकसित किया।
यह प्रक्रिया $300 \, BC$ तक जारी रही।
उस समय,मिस्र के अलेक्जेंड्रिया में गणित के शिक्षक यूक्लिड ने सभी ज्ञात कार्यों को एकत्र किया और उन्हें अपने प्रसिद्ध ग्रंथ में व्यवस्थित किया।

(A) $\text{प्रमेय}$ एक ऐसा गणितीय कथन है जिसे पहले से स्थापित कथनों जैसे कि अन्य प्रमेयों,अभिगृहीतों (Axioms) और अभिकल्पनाओं (Postulates) के आधार पर सिद्ध किया गया है। अभिगृहीतों और अभिकल्पनाओं के विपरीत,जिन्हें बिना किसी प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है,एक प्रमेय को वैध गणितीय सत्य के रूप में स्वीकार करने के लिए तार्किक प्रमाण की आवश्यकता होती है।

(B) यूक्लिड की चौथी अभिकल्पना (Postulate) यह बताती है कि सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं। अतः,सही उत्तर अभिकल्पना है।

(C) यूक्लिड की ज्यामिति में,वह कथन जो किसी पद या अवधारणा के अर्थ को स्पष्ट करता है,उसे परिभाषा कहा जाता है। 'रेखाएँ समांतर होती हैं यदि वे प्रतिच्छेद नहीं करती हैं' कथन समांतर रेखाओं की अवधारणा को परिभाषित करता है। अतः,यह एक परिभाषा है।

(FALSE) यह कथन असत्य है।
औचित्य: पिरामिड एक ऐसी ठोस आकृति है जिसका आधार एक बहुभुज होता है और इसके पार्श्व फलक त्रिभुजाकार होते हैं जो एक सामान्य शीर्ष पर मिलते हैं। यद्यपि आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है,लेकिन इसके पार्श्व फलक आवश्यक रूप से समबाहु त्रिभुज नहीं होते हैं; आधार की विमाओं और पिरामिड की ऊँचाई के आधार पर वे किसी भी प्रकार के त्रिभुज हो सकते हैं।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
वैदिक काल की ज्यामिति का उद्भव वैदिक अनुष्ठानों को करने के लिए 'वेदियों' और अग्निकुंडों के निर्माण के साथ हुआ था।
घरेलू अनुष्ठानों में वर्गाकार और वृत्ताकार आकृतियों वाली वेदियों का उपयोग किया जाता था,जबकि सार्वजनिक पूजा के लिए जटिल आकृतियों वाली वेदियों का उपयोग किया जाता था,जो आयतों,त्रिभुजों और समलंबों के संयोजन से बनी होती थीं।

(TRUE) सत्य। ज्यामिति में,एक बिंदु,एक रेखा और एक तल को परिभाषित करने के लिए,हमें अन्य कई पदों को परिभाषित करने की आवश्यकता होगी,जिससे परिभाषाओं की एक अनंत श्रृंखला बन जाएगी। इस कारण से,गणितज्ञों ने इन मूलभूत ज्यामितीय अवधारणाओं को अपरिभाषित पदों के रूप में स्वीकार करने पर सहमति व्यक्त की है।

(TRUE) यह कथन सत्य है।
यूक्लिड के प्रथम अभिगृहीत के अनुसार: 'वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।'
माना त्रिभुज का क्षेत्रफल $A_1$ है,आयत का क्षेत्रफल $A_2$ है और वर्ग का क्षेत्रफल $A_3$ है।
दिया गया है: $A_1 = A_2$ और $A_2 = A_3$।
चूंकि $A_1$ और $A_3$ दोनों एक ही राशि $A_2$ के बराबर हैं,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $A_1 = A_3$।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

(A) यह कथन सत्य है।
यूक्लिड का चौथा अभिगृहीत कहता है कि वे वस्तुएं जो परस्पर संपाती होती हैं,एक-दूसरे के बराबर होती हैं। इसका अर्थ यह है कि यदि दो वस्तुओं को एक-दूसरे के ऊपर इस प्रकार रखा जाए कि वे एक-दूसरे को पूरी तरह से ढक लें,तो वे आकार और माप में समान हैं,और इसलिए वे बराबर हैं।

(TRUE) सत्य। यूक्लिड की ज्यामिति एक समतल सतह (यूक्लिडियन समतल) की धारणा पर आधारित है। यह वक्र सतहों पर मान्य नहीं है। उदाहरण के लिए,एक गोलाकार सतह पर,एक त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा $180^{\circ}$ से अधिक होता है।

(B) दिया गया कथन $False$ (असत्य) है।
यूक्लिडियन ज्यामिति यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रतिपादित एक गणितीय प्रणाली है,जो एक समतल,द्वि-आयामी स्थान (यूक्लिडियन समतल) में बिंदुओं,रेखाओं और तलों के गुणों का वर्णन करती है।
यह विशेष रूप से समतल पृष्ठों के लिए डिज़ाइन की गई है। वक्र पृष्ठों पर ज्यामिति को गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति (जैसे गोलीय या अतिपरवलयिक ज्यामिति) के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,यूक्लिडियन ज्यामिति वक्र पृष्ठों के लिए मान्य नहीं है।

(FALSE) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,ठोसों की सीमाएँ पृष्ठ (surfaces) होती हैं,न कि वक्र। एक ठोस की तीन विमाएँ (लंबाई,चौड़ाई और ऊँचाई) होती हैं,इसकी सीमाएँ पृष्ठ (द्विविमीय) होती हैं और पृष्ठों की सीमाएँ वक्र या सीधी रेखाएँ (एकविमीय) होती हैं।

(B) दिया गया कथन असत्य है।
यूक्लिड की ज्यामिति के अनुसार,पृष्ठ के किनारे रेखाएँ होते हैं,वक्र नहीं। एक पृष्ठ को उस रूप में परिभाषित किया गया है जिसकी केवल लंबाई और चौड़ाई होती है,और इसकी सीमाएँ या किनारे रेखाएँ होते हैं।

(A) सत्य।
यह कथन यूक्लिड के अभिगृहीतों (axioms) में से एक है। यूक्लिड के अभिगृहीत ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली मूलभूत धारणाएं हैं। विशेष रूप से,यूक्लिड का छठा अभिगृहीत कहता है कि "वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं।"
यदि हमारे पास दो राशियाँ $x$ और $y$ हैं जो दोनों एक राशि $z$ की दोगुनी हैं,तो $x = 2z$ और $y = 2z$ होगा। चूंकि $x$ और $y$ दोनों $2z$ के बराबर हैं,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $x = y$।

(TRUE) दिया गया कथन सत्य है।
यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार,"पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।"
विशेष रूप से,यूक्लिड की तीसरी सामान्य धारणा यह बताती है कि यदि एक राशि $B$ दूसरी राशि $A$ का एक भाग है,तो एक अन्य राशि $C$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि $A = B + C$।

(FALSE) दिया गया कथन असत्य है।
औचित्य: अभिगृहीत (Axioms) वे आधारभूत धारणाएँ हैं जिन्हें बिना किसी प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है। जो कथन इन अभिगृहीतों,अभिधारणाओं और पहले से सिद्ध किए गए कथनों का उपयोग करके सिद्ध किए जाते हैं,उन्हें प्रमेय (Theorems) कहा जाता है।

(A) दिया गया कथन सत्य है।
औचित्य: प्लेफेयर का अभिगृहीत यह बताता है कि प्रत्येक रेखा $l$ और रेखा $l$ पर स्थित न होने वाले प्रत्येक बिंदु $P$ के लिए,$P$ से होकर जाने वाली और $l$ के समांतर एक अद्वितीय रेखा $m$ का अस्तित्व होता है। यह अभिगृहीत यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का एक समतुल्य रूप है,जो यूक्लिडियन ज्यामिति का एक मूलभूत सिद्धांत है।

(A) यह कथन $True$ (सत्य) है।
औचित्य: प्लेफेयर के अभिगृहीत के अनुसार,जो यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का एक समतुल्य रूप है,यदि एक रेखा $l$ और एक बिंदु $P$ ($l$ पर स्थित नहीं) दिए गए हैं,तो $P$ से होकर जाने वाली एक और केवल एक ही रेखा $m$ ऐसी होती है जो $l$ के समांतर होती है।
यदि दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ $m_1$ और $m_2$ दोनों एक ही रेखा $l$ के समांतर होतीं,तो यह इस गुण का खंडन करता कि एक दी गई रेखा पर स्थित न होने वाले बिंदु से होकर जाने वाली केवल एक ही अद्वितीय रेखा दी गई रेखा के समांतर होती है। अतः,दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकती हैं।

(A) दिया गया कथन $True$ (सत्य) है। सदियों तक,गणितज्ञों ने यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा (समांतर अभिधारणा) को उनकी अन्य चार अभिधारणाओं और अभिगृहीतों का उपयोग करके सिद्ध करने का प्रयास किया। ये प्रयास इसे एक प्रमेय के रूप में सिद्ध करने में विफल रहे,लेकिन अंततः इनके कारण ज्यामिति की कई अन्य सुसंगत प्रणालियों की खोज हुई,जिन्हें सामूहिक रूप से गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति (non-Euclidean geometries) के रूप में जाना जाता है,जैसे कि गोलीय ज्यामिति (spherical geometry) और अतिपरवलयिक ज्यामिति (hyperbolic geometry)।

(C) मान लीजिए कि राम और रवि दोनों का प्रारंभिक वजन $x\, kg$ है।
$2\, kg$ वजन बढ़ने के बाद,राम का नया वजन $(x + 2)\, kg$ और रवि का नया वजन $(x + 2)\, kg$ हो जाता है।
यूक्लिड के दूसरे अभिगृहीत (axiom) के अनुसार,यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
इसलिए,चूंकि प्रारंभिक वजन समान थे और दोनों में समान मात्रा जोड़ी गई थी,इसलिए उनके नए वजन भी समान रहेंगे।

(A) दिया गया समीकरण: $a-15=25$ है।
$a$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण के दोनों पक्षों में $15$ जोड़िए।
$a-15+15=25+15$ प्राप्त होता है।
$a=40$ है।
यहाँ उपयोग किया गया अभिगृहीत यूक्लिड का दूसरा अभिगृहीत है,जो कहता है: "यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।"

(N/A) दिया है: $\angle 1 = \angle 3$,$\angle 2 = \angle 4$ और $\angle 3 = \angle 4$।
यूक्लिड का पहला अभिगृहीत कहता है कि 'वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं'।
चूंकि $\angle 1 = \angle 3$ और $\angle 3 = \angle 4$ है,इसलिए $\angle 1 = \angle 4$ होगा।
अब,हमारे पास $\angle 1 = \angle 4$ और $\angle 2 = \angle 4$ है।
यूक्लिड के पहले अभिगृहीत को लागू करने पर,चूंकि $\angle 1$ और $\angle 2$ दोनों एक ही कोण $\angle 4$ के बराबर हैं,इसलिए $\angle 1 = \angle 2$ होगा।

(N/A) दिया गया है कि $C$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $AB = 2AC$ है।
दिया गया है कि $D$,$XY$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $XY = 2XD$ है।
हमें यह भी दिया गया है कि $AC = XD$ है।
चूँकि वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं (यूक्लिड का अभिगृहीत),इसलिए हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $AB = XY$ है।

(N/A) मान लीजिए कि अगस्त के महीने में दो सेल्समैन की बिक्री $x$ और $y$ है।
चूंकि वे अगस्त के महीने में समान बिक्री करते हैं,इसलिए $x = y$ है।
सितंबर में,प्रत्येक सेल्समैन अगस्त के महीने की अपनी बिक्री को दोगुना कर देता है,इसलिए उनकी बिक्री $2x$ और $2y$ हो जाती है।
यूक्लिड के अभिगृहीत के अनुसार,'वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु की दोगुनी हों,एक-दूसरे के बराबर होती हैं'।
अतः,चूंकि $x = y$ है,इसलिए $2x = 2y$ होगा।
इसलिए,हम कह सकते हैं कि सितंबर के महीने में भी दोनों सेल्समैन समान बिक्री करते हैं।

(B) दिया गया है कि $x+y=10$ और $x=z$ है।
यूक्लिड के दूसरे अभिगृहीत के अनुसार,यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए,तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
चूंकि $x=z$ है,हम समीकरण $x=z$ के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ सकते हैं:
$x+y = z+y$.
हमें दिया गया है कि $x+y=10$ है। उपरोक्त समीकरण में $x+y$ के स्थान पर $10$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10 = z+y$.
अतः,$z+y=10$ है।

(N/A) हम देखते हैं कि $AB, BC$ और $CD$ रेखाखंड $AD$ के भाग हैं।
अब,$AB + BC + CD = AD$ $......(1)$
यूक्लिड के अभिगृहीत $5$ के अनुसार,पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है। चूँकि $AD$,रेखाखंड $AH$ का एक भाग है,इसलिए:
$AH > AD$
अर्थात,लंबाई $AH >$ लंबाई $AB + BC + CD$ का योग $[(1)$ का उपयोग करने पर]।

(N/A) हमें दिया गया है कि:
$AB = BC$ ... $(1)$
$BX = BY$ ... $(2)$
यूक्लिड के अभिगृहीत $3$ के अनुसार,यदि बराबरों को बराबरों में से घटाया जाए,तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
समीकरण $(1)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB - BX = BC - BY$
आकृति से,$AB - BX = AX$ और $BC - BY = CY$ है।
अतः,$AX = CY$।