Textbook - Introduction to Euclid’s Geometry Questions in Gujarati

(N/A) ઉપર આપેલી આકૃતિમાં,રેખાખંડ $AC$ એ રેખાખંડ $AB$ અને $BC$ ના સરવાળા સાથે બંધબેસે છે.
યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $(4)$ મુજબ,જે વસ્તુઓ એકબીજા સાથે બંધબેસતી હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે.
જેથી,રેખાખંડ $AB + BC$ એ રેખાખંડ $AC$ સાથે બંધબેસતું હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે:
$AB + BC = AC$
નોંધો કે આ સાબિતીમાં,એવું ધારવામાં આવ્યું છે કે બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક અનન્ય રેખા હોય છે.

(N/A) ઉપરના વિધાનમાં,કોઈપણ લંબાઈનો એક રેખાખંડ આપેલ છે,ધારો કે $AB$ [જુઓ આકૃતિ $(i)$].
અહીં,તમારે કેટલીક રચના કરવાની જરૂર છે. યુક્લિડના પૂર્વધારણા $3$ નો ઉપયોગ કરીને,તમે બિંદુ $A$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $AB$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને એક વર્તુળ દોરી શકો છો [જુઓ આકૃતિ $(ii)$]. તેવી જ રીતે,બિંદુ $B$ ને કેન્દ્ર તરીકે અને $BA$ ને ત્રિજ્યા તરીકે લઈને બીજું વર્તુળ દોરો. આ બંને વર્તુળો એક બિંદુએ મળે છે,ધારો કે $C$. હવે,$\Delta ABC$ બનાવવા માટે રેખાખંડો $AC$ અને $BC$ દોરો [જુઓ આકૃતિ $(iii)$].
તેથી,તમારે સાબિત કરવાનું છે કે આ ત્રિકોણ સમબાજુ છે,એટલે કે $AB = AC = BC$.
હવે,$AB = AC$,કારણ કે તે એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ છે $(1)$.
તેવી જ રીતે,$AB = BC$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યાઓ) $(2)$.
આ બે તથ્યો પરથી,અને યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય કે જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય તે એકબીજાને સમાન હોય છે,તેના પરથી તમે નિષ્કર્ષ કાઢી શકો છો કે $AB = BC = AC$.
તેથી,$\Delta ABC$ એક સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
નોંધો કે અહીં યુક્લિડે ક્યાંય પણ ઉલ્લેખ કર્યા વિના એવું માની લીધું છે કે $A$ અને $B$ કેન્દ્ર લઈને દોરેલા બે વર્તુળો એકબીજાને એક બિંદુએ મળશે.

(A-D) $(i)$ ખોટું. જો આપણે કાગળની સપાટી પર એક બિંદુ $O$ અંકિત કરીએ,તો આપણે $O$ માંથી પસાર થતી અસંખ્ય સીધી રેખાઓ દોરી શકીએ છીએ.
$(ii)$ ખોટું. બે ભિન્ન બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતી માત્ર એક અને એક જ રેખા હોય છે.
$(iii)$ સાચું. યુક્લિડના પૂર્વધારણા $2$ મુજબ,એક શાંત રેખાને અનિશ્ચિત રીતે લંબાવી શકાય છે.
$(iv)$ સાચું. જો બે વર્તુળો સમાન હોય,તો એકબીજા પર મૂકતા તેમના કેન્દ્રો અને પરિધ એકરૂપ થાય છે,તેથી તેમની ત્રિજ્યાઓ સમાન હોવી જોઈએ.
$(v)$ સાચું. યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્ય મુજબ,જે વસ્તુઓ એક જ વસ્તુને સમાન હોય,તે એકબીજાને પણ સમાન હોય છે.

(N/A) સમાંતર રેખાઓ: એક સમતલમાં રહેલી બે રેખાઓને સમાંતર કહેવાય છે જો તેઓ એકબીજાને છેદતી ન હોય,પછી ભલે તેમને બંને દિશામાં ગમે તેટલી લંબાવવામાં આવે.
હા,બીજા કેટલાક પદો છે જેને પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે:
$1$. બિંદુ: બિંદુ એ અવકાશમાં એક એવું સ્થાન છે જેને કોઈ પરિમાણ (લંબાઈ,પહોળાઈ કે જાડાઈ) હોતું નથી.
$2$. રેખા: રેખા એ પહોળાઈ વગરની લંબાઈ છે જે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલી હોય છે.
$3$. સમતલ: એક સપાટી જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે.
$4$. છેદન: બે રેખાઓને છેદતી કહેવાય છે જો તેમને એક સામાન્ય બિંદુ હોય.
$5$. રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર: બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર દરેક બિંદુએ સમાન હોય છે.

(N/A) હા,આ સ્વીકૃત સત્યોમાં 'બિંદુ' અને 'રેખા' જેવા અવ્યાખ્યાયિત પદો છે.
આ સ્વીકૃત સત્યો સુસંગત છે કારણ કે તેઓ બે અલગ-અલગ પરિસ્થિતિઓ સાથે સંબંધિત છે:
$(i)$ જણાવે છે કે બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ આપેલા હોય,તો તેમની વચ્ચેની રેખા પર એક બિંદુ $C$ આવેલું છે.
$(ii)$ જણાવે છે કે,$A$ અને $B$ આપેલા હોય,તો તમે એવું બિંદુ $C$ લઈ શકો છો જે $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા પર ન હોય.
ના,આ સ્વીકૃત સત્યો યુક્લિડના સ્વીકૃત સત્યોમાંથી તારવી શકાતા નથી. જોકે,તેઓ આ સ્વયંસિદ્ધ સત્ય (axiom) પરથી તારવી શકાય છે: 'બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી પસાર થતી એક અને માત્ર એક જ રેખા હોય છે.'

(N/A) આપેલ છે: બિંદુ $C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે આવેલું છે જેથી $AC = BC$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $AC = \frac{1}{2} AB$.
સાબિતી:
બિંદુ $C$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે હોવાથી,$AC + BC = AB$ થાય.
આપેલ છે કે $AC = BC$.
સમીકરણ $AC + BC = AB$ માં $BC$ ની જગ્યાએ $AC$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$AC + AC = AB$
$2 AC = AB$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$AC = \frac{1}{2} AB$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપેલ છે કે $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $AC = BC$.
કારણ કે $AC + BC = AB$,આપણે લખી શકીએ કે $AC + AC = AB$,જે સૂચવે છે કે $2AC = AB$,અથવા $AC = \frac{1}{2} AB$.
દરેક રેખાખંડને એક અને માત્ર એક જ મધ્યબિંદુ હોય છે તે સાબિત કરવા માટે,ધારો કે રેખાખંડ $AB$ માટે બે અલગ-અલગ મધ્યબિંદુઓ $C$ અને $D$ છે.
$C$ મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AC = \frac{1}{2} AB$ ............. $(1)$
$D$ મધ્યબિંદુ હોવાથી,$AD = \frac{1}{2} AB$ ............. $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે કે $AC = AD$.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુઓ $C$ અને $D$ એકબીજા પર સંપાતી હોવા જોઈએ.
આમ,દરેક રેખાખંડને એક અને માત્ર એક જ મધ્યબિંદુ હોય છે.

(N/A) આપણને આપેલ છે,
$AC = BD$ [આપેલ છે] .......... $(1)$
બિંદુ $B$ એ $A$ અને $C$ ની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,
$\therefore AC = AB + BC$ .......... $(2)$
તે જ રીતે,બિંદુ $C$ એ $B$ અને $D$ ની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,
$\therefore BD = BC + CD$ .......... $(3)$
$(1)$,$(2)$ અને $(3)$ પરથી,
$AB + BC = BC + CD$
બંને બાજુથી $BC$ બાદ કરતા (યુક્લિડનું સ્વયંસિદ્ધ સત્ય: જો સમાન વસ્તુઓમાંથી સમાન વસ્તુઓ બાદ કરવામાં આવે,તો બાકી રહેતી વસ્તુઓ પણ સમાન હોય છે),
$\Rightarrow AB = CD$.

(B) યુક્લિડના સ્વયંસિદ્ધ સત્યોની આપેલી યાદીમાં,સ્વયંસિદ્ધ સત્ય $5$ જણાવે છે: 'આખું તેના ભાગ કરતાં મોટું હોય છે'.
આ વિધાન બ્રહ્માંડની તમામ વસ્તુઓ અને તમામ ભાગો માટે સાચું છે,પછી ભલે તે વસ્તુઓ ગમે તે પ્રકારની હોય.
તે કોઈપણ અપવાદ વિના સાર્વત્રિક રીતે સાચું હોવાથી,તેને 'સાર્વત્રિક સત્ય' માનવામાં આવે છે.

(A) કોઈપણ રેખા $l$ અને તેના પર ન હોય તેવું બિંદુ $P$ લો.
પ્લેફેરના સ્વયંસિદ્ધાંત મુજબ,જે યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણાને સમતુલ્ય છે,આપણે જાણીએ છીએ કે $P$ માંથી પસાર થતી એક અનન્ય રેખા $m$ છે જે $l$ ને સમાંતર છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુનું રેખાથી અંતર એ બિંદુમાંથી રેખા પર દોરેલા લંબની લંબાઈ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,રેખા $m$ પરના કોઈપણ બિંદુનું રેખા $l$ થી લંબ અંતર સમાન રહે છે.
તેથી,આ બે રેખાઓ દરેક જગ્યાએ એકબીજાથી સમાન અંતરે હોય છે,જે પાંચમી પૂર્વધારણાનું સીધું પરિણામ છે.

(N/A) યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા ઘણીવાર જટિલ માનવામાં આવે છે. તેનું એક સમકક્ષ અને સમજવામાં સરળ સંસ્કરણ 'પ્લેફેયરની સ્વયંસિદ્ધિ' (Playfair's Axiom) તરીકે ઓળખાય છે,જે જણાવે છે કે: 'દરેક રેખા $l$ માટે અને રેખા $l$ પર ન હોય તેવા દરેક બિંદુ $P$ માટે,એક અનન્ય રેખા $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જે $P$ માંથી પસાર થાય છે અને $l$ ને સમાંતર છે.' વૈકલ્પિક રીતે,તેને આ રીતે પણ કહી શકાય: 'બે ભિન્ન છેદતી રેખાઓ એક જ રેખાને સમાંતર હોઈ શકે નહીં.'

(N/A) હા,યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા સમાંતર રેખાઓના અસ્તિત્વને સૂચવે છે.
જો એક સીધી રેખા $l$ બે રેખાઓ $m$ અને $n$ પર એવી રીતે પડે કે જેથી $l$ ની એક બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો બે કાટખૂણા $(180^{\circ})$ જેટલો થાય,તો યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા મુજબ,રેખાઓ $m$ અને $n$ $l$ ની આ બાજુ પર ક્યારેય મળશે નહીં.
રેખા $l$ ની બીજી બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો પણ બે કાટખૂણા $(180^{\circ})$ જેટલો જ થશે,તેથી રેખાઓ બીજી બાજુ પણ ક્યારેય મળશે નહીં.
$\therefore$ રેખાઓ $m$ અને $n$ ક્યારેય એકબીજાને મળતી નથી,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એકબીજાને સમાંતર છે.

(N/A) લંબ રેખાઓ: એક જ સમતલમાં આવેલી બે રેખાઓ $p$ અને $q$ ને લંબ કહેવાય છે જો તેઓ કાટખૂણે $(90^{\circ})$ છેદે,અને આપણે તેમને $p \perp q$ તરીકે લખીએ છીએ.
હા,બીજા કેટલાક પદો છે જેને પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે:
$1$. રેખા: રેખા એ પહોળાઈ વગરની લંબાઈ છે જે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલી હોય છે.
$2$. સમતલ: એક સપાટી જેને માત્ર લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે.
$3$. ખૂણો: બે છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો ઝુકાવ.
$4$. કાટખૂણો: જે ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોય.

(N/A) 'રેખાખંડ' ને રેખાના એવા ભાગ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે બે ભિન્ન અંત્યબિંદુઓ ધરાવે છે અને તેમની વચ્ચેના રેખા પરના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ કરે છે.
હા,બીજા કેટલાક પદો છે જેને પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે,ખાસ કરીને 'બિંદુ' અને 'રેખા'.
$1$. બિંદુ: બિંદુ એ અવકાશમાં એક ચોક્કસ સ્થાન છે જેને કોઈ પરિમાણ (લંબાઈ,પહોળાઈ કે ઊંચાઈ) હોતા નથી.
$2$. રેખા: રેખા એ એક સીધો માર્ગ છે જે બંને દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરેલો હોય છે અને તેને કોઈ જાડાઈ હોતી નથી.

(N/A) વર્તુળની ત્રિજ્યાની વ્યાખ્યા:
વર્તુળના કેન્દ્રથી વર્તુળ પરના કોઈ બિંદુ સુધીના અંતરને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. આકૃતિમાં,$P$ એ કેન્દ્ર છે અને $Q$ એ વર્તુળ પરનું એક બિંદુ છે,તો રેખાખંડ $PQ$ એ ત્રિજ્યા છે.
અન્ય પદો જેને પહેલા વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે:
$1$. વર્તુળ: સમતલના એવા તમામ બિંદુઓનો સમૂહ જે સમતલના એક નિશ્ચિત બિંદુથી સમાન અંતરે આવેલા હોય,તેને વર્તુળ કહેવાય છે.
$2$. કેન્દ્ર: જે નિશ્ચિત બિંદુથી વર્તુળના તમામ બિંદુઓ સમાન અંતરે હોય,તેને વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે.
$3$. બિંદુ: બિંદુ એ છે જેને કોઈ ભાગ નથી.
$4$. સમતલ: સમતલ એ સપાટી છે જે પોતાની પરની સીધી રેખાઓ સાથે સમાન રીતે રહેલી હોય છે.

(N/A) ચોરસ એ એક એવો ચતુષ્કોણ છે જેમાં ચારેય ખૂણા કાટખૂણા હોય અને ચારેય બાજુઓ સમાન હોય.
ચોરસને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,આપણે પહેલા નીચેના પદોને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર છે:
$1$. ચતુષ્કોણ: ચાર રેખાખંડોથી બનેલી સાદી બંધ આકૃતિ.
$2$. રેખાખંડ: બે અંત્યબિંદુઓ ધરાવતી રેખાનો એક ભાગ.
$3$. ખૂણો: સામાન્ય ઉદ્ભવ બિંદુ ધરાવતા બે કિરણો વચ્ચેનો ઝુકાવ.
$4$. કાટખૂણો: જે ખૂણાનું માપ $90^{\circ}$ હોય.
આકૃતિમાં,$PQRS$ એક ચોરસ છે.