Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Hindi

(A) प्रकाश का रंग मुख्य रूप से उसकी आवृत्ति द्वारा निर्धारित होता है।
जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं,लेकिन उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है।
चूंकि रंग की धारणा आंख तक पहुंचने वाली प्रकाश तरंग की आवृत्ति पर निर्भर करती है,इसलिए आवृत्ति वह विशेषता है जो प्रकाश के रंग को परिभाषित करती है।
हालांकि तरंगदैर्ध्य का उपयोग अक्सर रंग का वर्णन करने के लिए किया जाता है,यह माध्यम पर निर्भर करता है,जबकि आवृत्ति प्रकाश स्रोत का एक आंतरिक गुण है।

(B) मान लीजिए स्रोत $A$ की स्थिति $(0, 0)$ है और स्रोत $B$ की स्थिति $y$-अक्ष पर $(0, 3\lambda)$ है।
मान लीजिए $x$-अक्ष पर एक बिंदु $P$, $A$ से $x$ दूरी पर है। $P$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं।
दूरी $AP = x$.
दूरी $BP = \sqrt{x^2 + (3\lambda)^2}$.
संपोषी व्यतिकरण के लिए, पथ अंतर $\Delta p = |BP - AP| = n\lambda$, जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$\sqrt{x^2 + 9\lambda^2} - x = n\lambda$.
$\sqrt{x^2 + 9\lambda^2} = x + n\lambda$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + 9\lambda^2 = x^2 + 2nx\lambda + n^2\lambda^2$.
$9\lambda^2 - n^2\lambda^2 = 2nx\lambda$.
$x = \frac{(9 - n^2)\lambda}{2n}$.
$n = 1$ के लिए: $x = \frac{(9 - 1)\lambda}{2} = 4\lambda$.
$n = 2$ के लिए: $x = \frac{(9 - 4)\lambda}{4} = 1.25\lambda$.
$n = 3$ के लिए: $x = 0$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, $4\lambda$ एक मान्य दूरी है।

(A) वृत्त पर एक बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x = x \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ स्रोतों वाले व्यास के साथ बना कोण है।
अधिकतम तीव्रता के लिए शर्त $\Delta x = n \lambda$ है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,$x \cos \theta = n \lambda$,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{n \lambda}{x}$।
चूँकि $|\cos \theta| \le 1$,इसलिए $|\frac{n \lambda}{x}| \le 1$,अर्थात $|n| \le \frac{x}{\lambda}$।
दिया गया है $x = 5 \lambda$,इसलिए $|n| \le 5$।
$n$ के संभावित मान $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5$ हैं।
$n = 0$ के लिए,$2$ बिंदु मिलते हैं (जहाँ $\cos \theta = 0$,अर्थात $\theta = 90^\circ, 270^\circ$)।
प्रत्येक $n \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए,$4$ बिंदु मिलते हैं (प्रत्येक अर्धवृत्त में दो,व्यास के सापेक्ष सममित)।
$n = 5$ के लिए,$2$ बिंदु मिलते हैं (जहाँ $\cos \theta = \pm 1$,अर्थात $\theta = 0^\circ, 180^\circ$)।
बिंदुओं की कुल संख्या $= 2 + (4 \times 4) + 2 = 2 + 16 + 2 = 20$।

(C) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi$
यहाँ आयाम $A_1 = A$ और $A_2 = 2A$ दिए गए हैं,तथा कलांतर $\phi = 60^{\circ}$ है:
$I = A^2 + (2A)^2 + 2(A)(2A) \cos 60^{\circ}$
$\cos 60^{\circ} = 0.5$ का मान रखने पर:
$I = A^2 + 4A^2 + 4A^2(0.5)$
$I = 5A^2 + 2A^2$
$I = 7A^2$
अतः,उस बिंदु पर तीव्रता $7A^2$ के समानुपाती होगी।

(C) व्यतिकरण की घटना में,ऊर्जा संरक्षण का सिद्धांत लागू होता है। ऊर्जा का पुनर्वितरण विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) वाले क्षेत्रों से संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) वाले क्षेत्रों में होता है,इसलिए कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। अतः,कथन $(a)$ सही है।
स्थायी व्यतिकरण के लिए,दोनों स्रोत कला-संबद्ध होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उनकी आवृत्ति समान होनी चाहिए और उनके बीच का कलांतर स्थिर होना चाहिए। अतः,कथन $(d)$ सही है।
कथन $(b)$ गलत है क्योंकि ऊर्जा संरक्षित रहती है।
कथन $(c)$ गलत है क्योंकि दीप्त और अदीप्त दोनों प्रकार की फ्रिंज बनती हैं।
इसलिए,सही कथन $(a)$ और $(d)$ हैं।

(C) व्यतिकरण पैटर्न में फ्रिंजों का कंट्रास्ट (या दृश्यता) अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के अंतर और उनके योग के अनुपात द्वारा परिभाषित होता है।
गणितीय रूप से,दृश्यता $V = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ है।
यदि दो स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है,तो $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,कंट्रास्ट स्रोतों की तीव्रता के अनुपात पर निर्भर करता है। जब $I_1 = I_2$ होता है,तो कंट्रास्ट अधिकतम $(V = 1)$ होता है,जिसके परिणामस्वरूप न्यूनतम तीव्रता शून्य $(I_{min} = 0)$ प्राप्त होती है।

(C) दिया गया है कि अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 25$ है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के अनुपात का सूत्र $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}$ है,जहाँ $a$ और $b$ दो तरंगों के आयाम हैं।
अनुपात को $25$ के बराबर रखने पर,$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{25}{1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{a+b}{a-b} = \frac{5}{1}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $a + b = 5a - 5b$ मिलता है,जिसे सरल करने पर $4a = 6b$ या $\frac{a}{b} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto a^2)$,इसलिए स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{a^2}{b^2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$ होगा।

(D) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2}\right)^2 = \frac{36}{1}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{6}{1}$.
योगान्तर अनुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर: $\frac{(a_1 + a_2) + (a_1 - a_2)}{(a_1 + a_2) - (a_1 - a_2)} = \frac{6 + 1}{6 - 1}$.
इसे सरल करने पर: $\frac{2a_1}{2a_2} = \frac{7}{5}$.
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = 7 : 5$ है।

(D) सुसंगत स्रोतों के लिए,केंद्र पर (जहाँ पथ अंतर शून्य है) परिणामी तीव्रता $I_{max} = (A_1 + A_2)^2$ द्वारा दी जाती है। समान आयाम $A_1 = A_2 = A$ मानते हुए,हमारे पास $I_0 = (A + A)^2 = 4A^2$ है।
चूंकि एक स्रोत की तीव्रता $I = A^2$ है,इसलिए $I_0 = 4I$,जिसका अर्थ है $I = \frac{I_0}{4}$।
असंगत स्रोतों के लिए,व्यतिकरण पद समय के साथ औसत शून्य हो जाता है। इसलिए,परिणामी तीव्रता व्यक्तिगत तीव्रताओं का योग है: $I_R = I_1 + I_2$।
$I_1 = I_2 = I = \frac{I_0}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_R = \frac{I_0}{4} + \frac{I_0}{4} = \frac{2I_0}{4} = \frac{I_0}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) संपोषी व्यतिकरण के लिए,अध्यारोपित होने वाली दो प्रकाश तरंगें एक-दूसरे के साथ समान कला में होनी चाहिए।
इसका अर्थ है कि तरंगों के बीच का कलांतर $2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta\phi = 2n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ है।
चूंकि पथांतर $(\Delta x)$ और कलांतर $(\Delta\phi)$ के बीच का संबंध $\Delta\phi = (2\pi/\lambda) \times \Delta x$ द्वारा दिया जाता है,हम संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$2n\pi = (2\pi/\lambda) \times \Delta x$.
$\Delta x$ के लिए हल करने पर,हमें $\Delta x = n\lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,संपोषी व्यतिकरण के लिए पथांतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।

(A) दी गई तीव्रताएँ $I_1 = I_0$ और $I_2 = 9I_0$ हैं। परिणामी तीव्रता $I_R = 7I_0$ है।
व्यतिकरण में परिणामी तीव्रता का सूत्र इस प्रकार है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta\phi)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$7I_0 = I_0 + 9I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot 9I_0} \cos(\Delta\phi)$
$7I_0 = 10I_0 + 2(3I_0) \cos(\Delta\phi)$
$7I_0 - 10I_0 = 6I_0 \cos(\Delta\phi)$
$-3I_0 = 6I_0 \cos(\Delta\phi)$
$\cos(\Delta\phi) = -\frac{3I_0}{6I_0} = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos(\Delta\phi) = -\frac{1}{2}$, इसलिए कलान्तर $\Delta\phi = 120^{\circ}$ या $\frac{2\pi}{3}$ रेडियन है।

(C) दिया गया है कि दोनों तरंगों की तीव्रता समान है,मान लीजिए $I_1 = I_2 = I_0$ है।
तरंगों के बीच का कलांतर $\Delta \phi = \pi/3$ है।
दो अध्यारोपित तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$
सूत्र में दिए गए मानों को रखने पर:
$I_R = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0} \cos(\pi/3)$
चूंकि $\cos(\pi/3) = 1/2$,हमें प्राप्त होता है:
$I_R = 2I_0 + 2I_0(1/2)$
$I_R = 2I_0 + I_0 = 3I_0$
अतः,बिंदु $P$ पर परिणामी तीव्रता $3I_0$ होगी।

(C) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता और $\Delta \phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,$\Delta \phi = 0$:
$I_{RA} = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(0) = 5I + 2(2I)(1) = 9I$.
बिंदु $B$ पर,$\Delta \phi = \frac{\pi}{2}$:
$I_{RB} = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$.
परिणामी तीव्रताओं का अंतर $I_{RA} - I_{RB} = 9I - 5I = 4I$ है।

(A) संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर अर्ध-तरंगदैर्ध्य का एक विषम गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2} = (n + 0.5) \lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = 11.5 \lambda$ है।
विनाशी व्यतिकरण की शर्त के साथ तुलना करने पर: $11.5 \lambda = (n + 0.5) \lambda \implies n + 0.5 = 11.5 \implies n = 11$।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक है,इसलिए अदीप्त फ्रिंज की शर्त पूरी होती है।

(A) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$।
अधिकतम तीव्रता के लिए, कलांतर $\phi$ का मान $0, 2\pi, 4\pi, \dots$ होना चाहिए, जिससे $\cos \phi = 1$ हो जाता है।
अतः, अधिकतम तीव्रता $I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ होगी।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है, इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$।

(D) तीव्रता $I \propto a^2$,जहाँ $a$ आयाम है।
दिया गया है $I_1 = 16$ और $I_2 = 9$।
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$ है।
मान लीजिए $a_1 = 4k$ और $a_2 = 3k$।
दीप्त फ्रिंज की तीव्रता $I_{max} = (a_1 + a_2)^2 = (4k + 3k)^2 = (7k)^2 = 49k^2$ है।
अदीप्त फ्रिंज की तीव्रता $I_{min} = (a_1 - a_2)^2 = (4k - 3k)^2 = (k)^2 = k^2$ है।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{49k^2}{k^2} = \frac{49}{1}$ है।

(C) आकृति की ज्यामिति से,सीधे पथ की लंबाई $SP = 2l$ है।
परावर्तित पथ दो खंडों से बना है,जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $d = l / \cos(30^{\circ}) = l / (\sqrt{3}/2) = 2l/\sqrt{3}$ है।
अतः,कुल परावर्तित पथ की लंबाई $2 \times (2l/\sqrt{3}) = 4l/\sqrt{3}$ है।
दो किरणों के बीच पथ अंतर $\Delta x = \frac{4l}{\sqrt{3}} - 2l = 2l \left( \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \right)$ है।
चूंकि किरण दर्पण से परावर्तित होती है,इसलिए इसमें $\pi$ का कलांतर उत्पन्न होता है,जो $\lambda/2$ के अतिरिक्त पथ अंतर के बराबर है।
संपोषी व्यतिकरण (maxima) के लिए,कुल पथ अंतर $\lambda/2$ का विषम गुणज होना चाहिए (क्योंकि $\pi$ का कलांतर है): $\Delta x + \frac{\lambda}{2} = n\lambda$,या $\Delta x = (n - 1/2)\lambda = \frac{(2n-1)\lambda}{2}$।
दोनों की तुलना करने पर: $2l \left( \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right) = \frac{(2n-1)\lambda}{2}$।
$l$ के लिए हल करने पर: $l = \frac{(2n-1)\lambda \sqrt{3}}{4(2 - \sqrt{3})}$।

(D) कला-सम्बद्ध व्यतिकरण के लिए, आयामों का योग होता है। परिणामी आयाम $A_{res} = nA_0$ है, जहाँ $A_0$ एक तरंग का आयाम है। चूँकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है, इसलिए अधिकतम तीव्रता $I_{coh} = (nA_0)^2 = n^2 I_0$ होगी।
असम्बद्ध व्यतिकरण के लिए, तीव्रताओं का सीधा योग होता है। परिणामी तीव्रता $I_{incoh} = n I_0$ होगी।
अधिकतम तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_{coh}}{I_{incoh}} = \frac{n^2 I_0}{n I_0} = n$ है।

(B) जब दो समतल तरंगें एक-दूसरे के साथ एक छोटा कोण $\alpha$ बनाती हैं,तो बनने वाला व्यतिकरण पैटर्न यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग के समान होता है।
दो आभासी स्रोतों के बीच प्रभावी पृथक्करण $d$ है। यदि तरंगें $D$ दूरी पर स्थित पर्दे पर आपतित होती हैं,तो उनके बीच का कोण $\alpha = \frac{d}{D}$ होता है।
फ्रिंज चौड़ाई $\Delta x$ का सूत्र $\Delta x = \frac{\lambda D}{d}$ है।
सूत्र में $d = D\alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta x = \frac{\lambda D}{D\alpha} = \frac{\lambda}{\alpha}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $\frac{\lambda}{\alpha}$ है।

(B) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है: $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = 16$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = 4$.
तिर्यक गुणा करने पर: $\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2} = 4\sqrt{I_1} - 4\sqrt{I_2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $5\sqrt{I_2} = 3\sqrt{I_1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25I_2 = 9I_1$.
अतः,तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{25}{9}$ है।

(A) दिया गया है कि आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$ है।
हम जानते हैं कि तीव्रता $I$,आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,इसलिए $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$।
मान लीजिए $a_1 = x$ और $a_2 = 3x$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max}$,$(a_1 + a_2)^2 = (x + 3x)^2 = (4x)^2 = 16x^2$ के समानुपाती होती है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min}$,$(a_2 - a_1)^2 = (3x - x)^2 = (2x)^2 = 4x^2$ के समानुपाती होती है।
अतः अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{16x^2}{4x^2} = 4$ होगा।

(A) व्यतिकरण की घटना में,तरंग प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है। ऊर्जा न तो उत्पन्न होती है और न ही नष्ट होती है; बल्कि,यह विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंजों) के क्षेत्रों से संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंजों) के क्षेत्रों में पुनर्वितरित हो जाती है। इस प्रकार,ऊर्जा संरक्षण का नियम सत्य रहता है।

(C) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\Delta \phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $A$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \Delta \phi}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि परिणामी आयाम $A$ व्यक्तिगत आयामों $(A_1, A_2)$ और दो कला-संबद्ध स्रोतों के बीच के कलांतर $\Delta \phi$ दोनों पर निर्भर करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक स्पष्ट और तीक्ष्ण व्यतिकरण प्रतिरूप के लिए,उच्चिष्ठ (maxima) और निम्निष्ठ (minima) के बीच का अंतर अधिकतम होना चाहिए।
व्यतिकरण फ्रिंजों की दृश्यता $V = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ द्वारा दी जाती है।
सर्वोत्तम कंट्रास्ट के लिए,हमें $I_{min} = 0$ की आवश्यकता होती है।
चूंकि $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$,इसलिए $I_{min} = 0$ रखने पर $\sqrt{I_1} = \sqrt{I_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I_1 = I_2$।
अतः,दोनों स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $1 : 1$ होना चाहिए।

(C) माना कि दो स्रोतों के आयाम $A_1 = 3x$ और $A_2 = 5x$ हैं।
अधिकतम आयाम $A_{\max} = A_1 + A_2 = 3x + 5x = 8x$ है।
न्यूनतम आयाम $A_{\min} = |A_1 - A_2| = |3x - 5x| = 2x$ है।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात,अधिकतम आयाम और न्यूनतम आयाम के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_{\max}}{A_{\min}} \right)^2 = \left( \frac{8x}{2x} \right)^2 = \left( \frac{4}{1} \right)^2 = \frac{16}{1}$.
अतः,अनुपात $16 : 1$ है।

(C) मान लीजिए कि दो तरंगों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं। दिया गया है कि $\frac{I_1}{I_2} = \frac{25}{1}$,इसलिए हम $I_1 = 25k$ और $I_2 = k$ लिख सकते हैं।
अधिकतम तीव्रता $(I_{\max})$ और न्यूनतम तीव्रता $(I_{\min})$ का अनुपात इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{25k} + \sqrt{k})^2}{(\sqrt{25k} - \sqrt{k})^2} = \frac{(5\sqrt{k} + \sqrt{k})^2}{(5\sqrt{k} - \sqrt{k})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(6\sqrt{k})^2}{(4\sqrt{k})^2} = \frac{36k}{16k} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$
अतः,अनुपात $9 : 4$ है।

(B) दिया गया है कि दो सुसंगत स्रोतों की तीव्रता का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{100}{1}$ है।
मान लीजिए आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं। चूँकि $I \propto a^2$,इसलिए $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = \frac{10}{1}$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{10 + 1}{10 - 1} \right)^2 = \left( \frac{11}{9} \right)^2 = \frac{121}{81}$.
अतः,अनुपात $121 : 81$ है।

(C) $1$. व्यतिकरण की घटना में,ऊर्जा संरक्षण का सिद्धांत लागू होता है। ऊर्जा का पुनर्वितरण विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के क्षेत्रों से संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के क्षेत्रों में होता है,जिससे कुल ऊर्जा स्थिर रहती है। अतः,कथन $(a)$ सही है।
$2$. एक स्थिर व्यतिकरण प्रतिरूप देखने के लिए,दोनों प्रकाश स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है कि उनकी आवृत्ति समान होनी चाहिए और उनके बीच का कलांतर स्थिर होना चाहिए। अतः,कथन $(d)$ सही है।
$3$. चूंकि $(a)$ और $(d)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(c)$ है।

(C) मान लीजिए कि दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है। दिया गया अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = x^2$ है,इसलिए हम $I_1 = x^2 I_2$ या $\frac{\sqrt{I_1}}{\sqrt{I_2}} = x$ लिख सकते हैं।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
हमें अनुपात $R = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ का मूल्यांकन करना है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I_{\max} - I_{\min} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 4\sqrt{I_1 I_2}$.
$I_{\max} + I_{\min} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = 2(I_1 + I_2)$.
अतः,$R = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$.
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$R = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1} = \frac{2\sqrt{x^2}}{x^2 + 1} = \frac{2x}{1 + x^2}$.
इसलिए,सही संबंध $\frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}} = \frac{2x}{1 + x^2}$ है।

(A) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $A$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
इसलिए,अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_{\max}}{A_{\min}} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{25}{16}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\left( \frac{A_{\max}}{A_{\min}} \right)^2 = \frac{25}{16}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{A_{\max}}{A_{\min}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम आयाम का अनुपात $5 : 4$ है।

(C) माना कि दो तरंगों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूँकि तीव्रता $I \propto A^2$,इसलिए $I_1 = A_1^2 = I$ और $I_2 = A_2^2 = 4I$ है।
अतः,$A_1 = \sqrt{I}$ और $A_2 = \sqrt{4I} = 2\sqrt{I}$ होगा।
$\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों का परिणामी आयाम $A_R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\phi = \pi / 2$ दिया गया है,इसलिए $\cos(\pi / 2) = 0$ होगा।
मान रखने पर: $A_R = \sqrt{(\sqrt{I})^2 + (2\sqrt{I})^2 + 2(\sqrt{I})(2\sqrt{I}) \cos(\pi / 2)}$.
$A_R = \sqrt{I + 4I + 0} = \sqrt{5I}$.
यदि $A_1 = \sqrt{I} = A$ है,तो $A_R = \sqrt{5}A$ प्राप्त होता है।

(D) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A_1 = 3A$,$A_2 = 2A$ और $\phi = 60^{\circ}$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = \sqrt{(3A)^2 + (2A)^2 + 2(3A)(2A) \cos 60^{\circ}}$.
चूंकि $\cos 60^{\circ} = 0.5$,इसलिए $R = \sqrt{9A^2 + 4A^2 + 12A^2(0.5)} = \sqrt{9A^2 + 4A^2 + 6A^2} = \sqrt{19A^2} = A\sqrt{19}$.
तीव्रता $I$ परिणामी आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है: $I \propto R^2$.
अतः,$I \propto (A\sqrt{19})^2 = 19A^2$.

(A) चित्र से,दूरी $S_1D = 8\,m$ और $S_1S_2 = 6\,m$ है। चूँकि $S_1S_2D$ एक समकोण त्रिभुज बनाता है,इसलिए दूरी $S_2D = \sqrt{(S_1D)^2 + (S_1S_2)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10\,m$ होगी।
पथ अंतर $\Delta x = S_2D - S_1D = 10\,m - 8\,m = 2\,m$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{8} \times 2 = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
समान तीव्रता $I_1 = I_2 = 2I_0$ वाले दो स्रोतों के लिए परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I = 2I_0 + 2I_0 + 2\sqrt{(2I_0)(2I_0)} \cos(\frac{\pi}{2})$.
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $I = 2I_0 + 2I_0 + 0 = 4I_0$ प्राप्त होता है।

(B) व्यतिकरण की घटना में,विनाशी व्यतिकरण तब होता है जब तरंगें एक बिंदु पर विपरीत कला में पहुँचती हैं। विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त यह है कि दो तरंगों के बीच का पथान्तर तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए। गणितीय रूप से,इसे $\Delta x = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ और $\lambda$ प्रयुक्त प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।

(A) असंगत स्रोतों के लिए, तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता रहता है। इसलिए, व्यतिकरण पद (cross-products) समय के साथ औसत होकर शून्य हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप, परिणामी तीव्रता व्यक्तिगत तीव्रताओं का केवल बीजगणितीय योग होती है।
$n$ स्रोत दिए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक की तीव्रता $I_0$ है, इसलिए परिणामी तीव्रता $I_{net}$ इस प्रकार होगी:
$I_{net} = I_1 + I_2 + I_3 + ... + I_n$
$I_{net} = I_0 + I_0 + I_0 + ... + n \text{ बार}$
$I_{net} = nI_0$

(D) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
यहाँ $I_1 = I$,$I_2 = 9I$,और $I_R = 7I$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$7I = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos \phi$
$7I = 10I + 2(3I) \cos \phi$
$7I = 10I + 6I \cos \phi$
$-3I = 6I \cos \phi$
$\cos \phi = -\frac{3I}{6I} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\cos \phi = -\frac{1}{2}$,इसलिए कलांतर $\phi = 120^o$ होगा।

(A) फ्रिंज विजिबिलिटी $(V)$ व्यतिकरण पैटर्न में कंट्रास्ट का एक माप है।
इसे अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के अंतर और उनके योग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसका सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$

(D) व्यतिकरण की घटना होने के लिए,प्रकाश के दो स्रोतों का कला-संबद्ध (Coherent) होना आवश्यक है।
कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक-दूसरे के साथ एक स्थिर या निश्चित कला संबंध बनाए रखते हैं।

(N/A) संपोषी व्यतिकरण: जब समान आवृत्ति और कला के दो तरंगें एक बिंदु पर मिलती हैं,तो परिणामी विस्थापन व्यक्तिगत विस्थापनों के योग के बराबर होता है,जिससे अधिकतम आयाम प्राप्त होता है। यह तब होता है जब तरंगों के बीच का पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होता है,अर्थात $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ है।
विनाशी व्यतिकरण: जब समान आवृत्ति की दो तरंगें एक बिंदु पर इस प्रकार मिलती हैं कि वे $180^{\circ}$ (या $\pi$ रेडियन) के कला अंतर पर हों,तो परिणामी विस्थापन व्यक्तिगत विस्थापनों के अंतर के बराबर होता है,जिससे न्यूनतम आयाम प्राप्त होता है। यह तब होता है जब तरंगों के बीच का पथ अंतर आधी तरंगदैर्ध्य का विषम पूर्णांक गुणज होता है,अर्थात $\Delta x = (2n + 1)\frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ है।

(N/A) व्यतिकरण एक ऐसी घटना है जिसमें दो तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होकर अधिक,कम या समान आयाम वाली परिणामी तरंग बनाती हैं।
यह तब होता है जब समान आवृत्ति और स्थिर कलांतर वाली दो या दो से अधिक तरंगें अंतरिक्ष में एक बिंदु पर मिलती हैं।
व्यतिकरण के दो प्रकार होते हैं:
$1$. संपोषी व्यतिकरण: यह तब होता है जब एक तरंग का शृंग दूसरी तरंग के शृंग से मिलता है,जिससे परिणामी तरंग का आयाम बढ़ जाता है।
$2$. विनाशी व्यतिकरण: यह तब होता है जब एक तरंग का शृंग दूसरी तरंग के गर्त से मिलता है,जिससे परिणामी तरंग का आयाम घट जाता है या शून्य हो जाता है।

(N/A) अध्यारोपण का सिद्धांत यह बताता है कि माध्यम में किसी विशेष बिंदु पर,कई तरंगों द्वारा उत्पन्न परिणामी विस्थापन,प्रत्येक तरंग द्वारा व्यक्तिगत रूप से उत्पन्न विस्थापनों का सदिश योग होता है।
व्यतिकरण वह भौतिक घटना है जो तब होती है जब दो या दो से अधिक तरंगें माध्यम में किसी विशेष बिंदु पर एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,जिससे एक नया तरंग प्रतिरूप बनता है।
व्यतिकरण के दो प्रकार होते हैं:
$(1)$ संपोषी व्यतिकरण (Constructive interference): यह तब होता है जब एक तरंग का श्रृंग दूसरी तरंग के श्रृंग पर अध्यारोपित होता है,या जब एक तरंग का गर्त दूसरी तरंग के गर्त पर अध्यारोपित होता है। इससे परिणामी आयाम में वृद्धि होती है।
$(2)$ विनाशी व्यतिकरण (Destructive interference): यह तब होता है जब एक तरंग का श्रृंग दूसरी तरंग के गर्त पर अध्यारोपित होता है,या जब एक तरंग का गर्त दूसरी तरंग के श्रृंग पर अध्यारोपित होता है। इससे परिणामी आयाम में कमी आती है।

(N/A) यदि प्रकाश स्रोतों के बीच प्रारंभिक कलांतर स्थिर है या उनका कलांतर समय के साथ नहीं बदलता है,तो इन स्रोतों को सुसंगत स्रोत कहा जाता है।
व्यतिकरण पैटर्न में किसी भी बिंदु पर तीव्रता समय के साथ नहीं बदलती है। इस प्रकार के व्यतिकरण को स्थिर व्यतिकरण कहा जाता है।
स्थिर व्यतिकरण के लिए दो सुसंगत स्रोत होने चाहिए और आयाम भी समान होना चाहिए।
स्थिर व्यतिकरण में उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की स्थिति समय के साथ नहीं बदलती है।
जब दो कंपन करने वाले स्रोतों के बीच कलांतर समय के साथ बहुत तेजी से बदलता है,तो इन स्रोतों को असुसंगत स्रोत कहा जाता है।
असुसंगत स्रोतों से निकलने वाली तरंगों के अध्यारोपण के कारण प्रकाश की तीव्रताएं एक-दूसरे में जुड़ जाती हैं,इसलिए दो अलग-अलग प्रकाश स्रोत दीवार को प्रकाशित करते हैं।
जब दो स्रोतों का पथ अंतर स्थिर नहीं होता है,तो व्यतिकरण पैटर्न भी समय के साथ बदलता रहता है। यदि पथ अंतर समय के साथ बहुत तेजी से बदलता है,तो उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की स्थिति भी तेजी से बदलेगी और हम समय के साथ तीव्रता का औसत वितरण देखेंगे।
यह औसत तीव्रता इस प्रकार दी जाती है:
$\langle I \rangle = 4 I_{0} \langle \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) \rangle$
जहाँ $\langle \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) \rangle$ समय औसत पद को दर्शाता है।
यदि $\phi(t)$ समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता है,तो समय औसत राशि $\langle \cos^{2} \left( \frac{\phi}{2} \right) \rangle$ का मान $\frac{1}{2}$ होगा,और सभी बिंदुओं पर परिणामी तीव्रता:
$I = 4 I_{0} \times \frac{1}{2}$
$\therefore I = 2 I_{0} \text{ सभी बिंदुओं पर।}$

(N/A) व्यतिकरण वह घटना है जिसमें समान आवृत्ति और स्थिर कलांतर वाली दो या दो से अधिक प्रकाश तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होकर एक परिणामी तरंग बनाती हैं,जिसका आयाम अधिक,कम या समान हो सकता है।
स्थायी व्यतिकरण (या सतत व्यतिकरण) तब होता है जब व्यतिकरण प्रतिरूप समय के साथ स्थिर रहता है। इसके लिए,प्रकाश के दोनों स्रोत कला-संबद्ध (coherent) होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि उन्हें समान आवृत्ति की तरंगें उत्सर्जित करनी चाहिए और उनके बीच का कलांतर स्थिर रहना चाहिए।

(N/A) संबद्ध स्रोत: प्रकाश के दो स्रोतों को संबद्ध कहा जाता है यदि वे समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के सापेक्ष एक स्थिर कलांतर (phase difference) बनाए रखते हैं। एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न (interference pattern) का अवलोकन करने के लिए ये स्रोत आवश्यक हैं।
असंबद्ध स्रोत: प्रकाश के दो स्रोतों को असंबद्ध कहा जाता है यदि वे अलग-अलग आवृत्तियों की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं या यदि वे समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं लेकिन कलांतर समय के साथ यादृच्छिक रूप से और तेजी से बदलता रहता है। ये स्रोत एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न नहीं करते हैं।

संपोषी व्यतिकरण के लिए, तरंगों को एक बिंदु पर समान कला में पहुँचना चाहिए।
$1$. कलांतर $(\phi)$: दो व्यतिकारी तरंगों के बीच कलांतर $2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए। गणितीय रूप से, $\phi = 2n\pi$, जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, ...$
$2$. पथ अंतर $(\Delta x)$: चूँकि पथ अंतर और कलांतर के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है, $\phi = 2n\pi$ प्रतिस्थापित करने पर $2n\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ प्राप्त होता है। अतः, पथ अंतर तरंगदैर्घ्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए, अर्थात $\Delta x = n\lambda$, जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, ...$

(N/A) विनाशी व्यतिकरण होने के लिए, तरंगों को एक बिंदु पर विपरीत कला में पहुँचना चाहिए。
$1$. कलांतर $(\Delta \phi)$: कलांतर $\pi$ का विषम गुणज होना चाहिए। गणितीय रूप से, $\Delta \phi = (2n + 1)\pi$, जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ है。
$2$. पथ अंतर $(\Delta x)$: चूँकि पथ अंतर और कलांतर के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है, हम विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2n + 1)\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
$\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$, जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ है。

(N/A) एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न देखने के लिए, प्रकाश के दो स्रोत सुसंगत (coherent) होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि उन्हें समय के साथ एक स्थिर कला अंतर बनाए रखना चाहिए。
जब दो पिनहोल $S_1$ और $S_2$ को प्रकाशित करने के लिए दो स्वतंत्र प्रकाश स्रोतों (जैसे दो सोडियम लैंप) का उपयोग किया जाता है, तो प्रत्येक लैंप द्वारा उत्सर्जित प्रकाश तरंगें बहुत कम समय अंतराल ($10^{-9} \text{ s}$ के क्रम में) में अचानक और यादृच्छिक कला परिवर्तन से गुजरती हैं。
चूंकि ये कला परिवर्तन प्रत्येक लैंप के लिए स्वतंत्र और यादृच्छिक होते हैं, इसलिए $S_1$ और $S_2$ से निकलने वाली प्रकाश तरंगों के बीच कोई निश्चित कला संबंध नहीं होता है। परिणामस्वरूप, ये स्रोत असंगत (incoherent) होते हैं。
असंगत स्रोतों के मामले में, प्रकाश तरंगों की तीव्रताएं एक-दूसरे में जुड़ जाती हैं, न कि व्यतिकरण पैटर्न बनाने के लिए संपोषी और विनाशी व्यतिकरण करती हैं। इसलिए, स्क्रीन पर स्पष्ट चमकीली और काली व्यतिकरण फ्रिंज के बजाय एक समान रोशनी दिखाई देगी。

(N/A) संपोषी व्यतिकरण तब होता है जब दो प्रकाश तरंगें समान कला में मिलती हैं,जिसके परिणामस्वरूप आयाम में वृद्धि होती है।
दो तरंगों के लिए जिनका पथांतर $\Delta x$ है,संपोषी व्यतिकरण की शर्त यह है कि पथांतर तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
वैकल्पिक रूप से,कलांतर $\phi$ के संदर्भ में,शर्त $\phi = 2n\pi$ है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।

(A) व्यतिकरण के लिए शर्त पथ अंतर $(\Delta x)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ पर निर्भर करती है।
संपोषी व्यतिकरण तब होता है जब पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होता है,अर्थात $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\Delta x}{\lambda} = n$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रश्न में दिया गया है कि पथ अंतर और तरंगदैर्ध्य का अनुपात एक पूर्णांक है,यह संपोषी व्यतिकरण की शर्त को पूरा करता है।
इसलिए,संपोषी व्यतिकरण बनता है।

(C) प्रकाश की तरंग प्रकृति व्यतिकरण (Interference),विवर्तन (Diffraction) और ध्रुवण (Polarization) जैसी घटनाओं को सफलतापूर्वक समझाती है। ये घटनाएं तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत पर आधारित हैं। इसके विपरीत,प्रकाश वैद्युत प्रभाव,कॉम्पटन प्रभाव और कृष्णिका विकिरण (Black body radiation) जैसी घटनाओं को समझाने के लिए प्रकाश की कण प्रकृति (फोटॉन सिद्धांत) की आवश्यकता होती है।