Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Hindi

(A) दो स्रोतों को कला-संबद्ध (coherent) तब कहा जाता है यदि वे ऐसी तरंगें उत्सर्जित करते हैं जो समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखती हैं।
गणितीय रूप से,कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$.
व्यतिकरण प्रतिरूप को स्थिर और अवलोकन योग्य बनाने के लिए,दोनों स्रोतों से आने वाली तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ नहीं बदलना चाहिए।
अतः,कला-संबद्धता के लिए मूलभूत आवश्यकता यह है कि स्रोतों के बीच एक स्थिर कलांतर हो।

(C) कलान्तर $(\Delta \phi)$ और पथान्तर $(\Delta x)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
संपोषी व्यतिकरण के लिए,कलान्तर $\pi$ का सम गुणज होना चाहिए:
$\Delta \phi = 2n\pi$,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$2n\pi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$
पथान्तर $(\Delta x)$ के लिए हल करने पर:
$\Delta x = n\lambda$

(D) कला-संबद्ध स्रोतों के लिए,केंद्रीय उच्चिष्ठ पर तीव्रता $I_{0} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^2$ द्वारा दी जाती है। चूंकि दोनों स्रोतों का आयाम $A$ समान है,इसलिए उनकी व्यक्तिगत तीव्रताएं समान हैं,मान लीजिए $I_{1} = I_{2} = I$।
अतः,$I_{0} = (\sqrt{I} + \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I})^2 = 4I$।
इसका अर्थ है कि प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत की तीव्रता $I = \frac{I_{0}}{4}$ है।
जब स्रोत कला-असंबंध होते हैं,तो व्यतिकरण पद का समय के साथ औसत शून्य हो जाता है। इसलिए,परिणामी तीव्रता व्यक्तिगत तीव्रताओं का योग होती है: $I_{res} = I_{1} + I_{2} = I + I = 2I$।
$I = \frac{I_{0}}{4}$ को समीकरण में रखने पर,हमें $I_{res} = 2 \times (\frac{I_{0}}{4}) = \frac{I_{0}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $L$ वायु और निर्वात स्तंभों की मोटाई है।
निर्वात में तरंगदैर्ध्यों की संख्या $N_v = \frac{L}{\lambda_0}$ है।
वायु में तरंगदैर्ध्यों की संख्या $N_a = \frac{L}{\lambda_a} = \frac{L}{\lambda_0 / \mu_a} = \frac{L \mu_a}{\lambda_0}$ है।
तरंगदैर्ध्यों की संख्या में अंतर $N_a - N_v = 1$ दिया गया है।
$\frac{L \mu_a}{\lambda_0} - \frac{L}{\lambda_0} = 1$.
$L \left( \frac{\mu_a - 1}{\lambda_0} \right) = 1$.
$L = \frac{\lambda_0}{\mu_a - 1}$.
दिया गया है $\lambda_0 = 6000 \times 10^{-10} \text{ m}$ और $\mu_a = 1.0003$.
$L = \frac{6000 \times 10^{-10}}{1.0003 - 1} = \frac{6 \times 10^{-7}}{0.0003} = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2 \text{ mm}$.

(C) मान लीजिए स्रोतों के बीच की दूरी $d = 10 \mu m$ है। केंद्र $O$ से प्रत्येक स्रोत की दूरी $d/2 = 5 \mu m$ है। वृत्त की त्रिज्या $R = 40 \mu m$ है।
बिंदु $B$ और $D$ पर,पथ अंतर $\Delta x = S_1P - S_2P = 0$ है क्योंकि ये बिंदु $S_1$ और $S_2$ को जोड़ने वाली रेखा के लंब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
चूंकि $\Delta x = 0$,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = 0$ है। अतः,बिंदु $B$ और $D$ दीप्त हैं।
बिंदु $A$ और $C$ पर,पथ अंतर अधिकतम है। बिंदु $A$ के लिए,दूरी $S_1A = R - d/2 = 40 - 5 = 35 \mu m$ और $S_2A = R + d/2 = 40 + 5 = 45 \mu m$ है। पथ अंतर $\Delta x_A = |S_2A - S_1A| = 10 \mu m$ है।
दिया गया है $\lambda = 4 \mu m$,तरंगदैर्ध्य के संदर्भ में पथ अंतर $\Delta x_A = 10/4 \lambda = 2.5 \lambda$ है।
चूंकि पथ अंतर $\lambda/2$ का विषम गुणज (अर्थात $5\lambda/2$) है,इसलिए व्यतिकरण विनाशी है,और बिंदु $A$ और $C$ अदीप्त हैं।

(B) माना बिंदु $O$ से पहली दीप्त फ्रिंज की दूरी $y$ है। बिंदु $P$ (जहाँ पहली दीप्त फ्रिंज बनती है) की $S_2$ से दूरी $\sqrt{D^2 + y^2}$ और $S_1$ से दूरी $\sqrt{(D + n \lambda)^2 + y^2}$ है।
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = |S_1P - S_2P| = \lambda$ होता है।
अतः,$\sqrt{(D + n \lambda)^2 + y^2} - \sqrt{D^2 + y^2} = \lambda$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{(D + n \lambda)^2 + y^2} = \lambda + \sqrt{D^2 + y^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(D + n \lambda)^2 + y^2 = \lambda^2 + D^2 + y^2 + 2 \lambda \sqrt{D^2 + y^2}$.
$D^2 + 2Dn \lambda + n^2 \lambda^2 + y^2 = \lambda^2 + D^2 + y^2 + 2 \lambda \sqrt{D^2 + y^2}$.
$2Dn \lambda + n^2 \lambda^2 - \lambda^2 = 2 \lambda \sqrt{D^2 + y^2}$.
$\lambda$ से विभाजित करने पर: $2Dn + n^2 \lambda - \lambda = 2 \sqrt{D^2 + y^2}$.
इस समीकरण को हल करने पर $y = \sqrt{\frac{2 D(D+n \lambda)}{n}}$ प्राप्त होता है।

(C) स्रोतों के बीच की दूरी $d = 10 \mu m$ है और तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4 \mu m$ है।
$S_1$ और $S_2$ को जोड़ने वाली रेखा के लंब समद्विभाजक पर स्थित बिंदुओं $B$ और $D$ के लिए,पथ अंतर $\Delta p = S_1P - S_2P = 0$ है। चूंकि स्रोत समान कला में हैं,शून्य पथ अंतर संपोषी व्यतिकरण उत्पन्न करता है,इसलिए बिंदु $B$ और $D$ दीप्त हैं।
स्रोतों को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित बिंदुओं $A$ और $C$ के लिए,पथ अंतर स्रोतों के बीच की दूरी के बराबर है,$\Delta p = d = 10 \mu m$.
विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त $\Delta p = (n + 1/2)\lambda$ है।
मान रखने पर: $10 = (n + 0.5) \times 4 \Rightarrow 2.5 = n + 0.5 \Rightarrow n = 2$.
चूंकि $n$ एक पूर्णांक है,यह विनाशी व्यतिकरण को दर्शाता है,इसलिए बिंदु $A$ और $C$ अदीप्त हैं।

(B) आकृति के अनुसार,बिंदु $P$ और बिंदु $Q$ समान कला में हैं।
$\triangle POR$ में,$\cos \theta = \frac{PR}{OP} = \frac{d}{OP}$,जिससे $OP = \frac{d}{\cos \theta} \quad \dots(i)$ प्राप्त होता है।
आकृति की ज्यामिति के अनुसार,किरण $BP$ और परावर्तित किरण $OP$ के बीच पथ अंतर $\Delta = OP + OQ = OP(1 + \cos 2\theta) = 2d \cos \theta$ होता है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,परावर्तन के कारण होने वाले कला परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए,पथ अंतर $\Delta = \frac{\lambda}{2}$ लिया जाता है।
अतः,$2d \cos \theta = \frac{\lambda}{2}$,जिसे सरल करने पर $\cos \theta = \frac{\lambda}{4d}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई तीव्रताएँ $I_1 = I$ और $I_2 = 2I$ हैं।
पथ अंतर $\Delta x = 12.5 \% \text{ of } \lambda = \frac{12.5}{100} \lambda = \frac{\lambda}{8}$ है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4}$ है।
परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है।
मान रखने पर: $I_R = I + 2I + 2\sqrt{I \cdot 2I} \cos(\frac{\pi}{4})$.
$I_R = 3I + 2\sqrt{2I^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$I_R = 3I + 2I \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3I + 2I = 5I$.

(C) दिया गया है कि दो व्यतिकारी तरंगों के आयामों का अनुपात $4: 3$ है।
मान लीजिए कि दो तरंगों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{3}$ है।
हम जानते हैं कि तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
कोष्ठक के अंदर अंश और हर को $A_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{3}$ का मान रखने पर,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{\frac{4}{3} + 1}{\frac{4}{3} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} \right)^2 = (7)^2 = \frac{49}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $49: 1$ है।

(D) दिया गया है कि अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{36}{1}$ है।
हम जानते हैं कि $I_{\max} = (a_1 + a_2)^2$ और $I_{\min} = (a_1 - a_2)^2$,जहाँ $a_1$ और $a_2$ दो तरंगों के आयाम हैं।
इसलिए,$\frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \frac{36}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \frac{6}{1}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर,$a_1 + a_2 = 6(a_1 - a_2) = 6a_1 - 6a_2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$5a_1 = 7a_2$।
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{5}$ है।

(C) दिया गया है कि दो कला-सम्बद्ध स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ है।
माना $I_1 = 9k$ और $I_2 = 4k$,जहाँ $k$ एक नियतांक है।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}}\right)^2$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{\sqrt{9k} + \sqrt{4k}}{\sqrt{9k} - \sqrt{4k}}\right)^2$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{3\sqrt{k} + 2\sqrt{k}}{3\sqrt{k} - 2\sqrt{k}}\right)^2$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{5\sqrt{k}}{\sqrt{k}}\right)^2 = (5)^2 = 25$
अतः,अनुपात $25:1$ है।

(C) दिया गया है: दो सुसंगत समतल तरंगों के बीच का कलांतर $\phi = 60^{\circ}$ है।
दो सुसंगत तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$।
चूंकि दोनों तरंगों की तीव्रता समान है,इसलिए $I_1 = I_2 = I$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos 60^{\circ}$
$I_R = 2I + 2I \cos 60^{\circ}$
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$I_R = 2I + 2I \left( \frac{1}{2} \right)$
$I_R = 2I + I = 3I$।
अतः,परिणामी तीव्रता $3I$ है।

(B) माना प्रत्येक तरंग की तीव्रता $I_0$ है। $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाली दो तरंगों के लिए अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $I_1 = I_2 = I_0$,तो अधिकतम तीव्रता $I = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0})^2 = (2\sqrt{I_0})^2 = 4I_0$ है। अतः,$I_0 = I/4$ है।
अब,एक तरंग की तीव्रता को चार गुना कर दिया जाता है,इसलिए $I_1' = 4I_0 = 4(I/4) = I$ और $I_2' = I_0 = I/4$ है।
नई अधिकतम तीव्रता $I_{max}' = (\sqrt{I_1'} + \sqrt{I_2'})^2 = (\sqrt{I} + \sqrt{I/4})^2 = (\sqrt{I} + \frac{\sqrt{I}}{2})^2 = (\frac{3\sqrt{I}}{2})^2 = \frac{9I}{4}$ है।

(C) दिया गया है कि आयामों का अनुपात,$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2}$ है।
माना $a_1 = 3k$ और $a_2 = 2k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
तीव्रता $I$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto a^2$।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$।
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3k + 2k)^2}{(3k - 2k)^2} = \frac{(5k)^2}{(k)^2} = \frac{25k^2}{k^2} = \frac{25}{1}$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $25: 1$ है।

(C) दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रता का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{64}{1}$ दिया गया है।
माना तीव्रताएँ $I_1 = 64k$ और $I_2 = 1k$ हैं।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{64k} + \sqrt{1k})^2}{(\sqrt{64k} - \sqrt{1k})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(8\sqrt{k} + 1\sqrt{k})^2}{(8\sqrt{k} - 1\sqrt{k})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(9\sqrt{k})^2}{(7\sqrt{k})^2} = \frac{81k}{49k} = \frac{81}{49}$.

(C) व्यतिकरण की घटना उन दो तरंगों के बीच होती है जिनकी आवृत्ति समान होती है और जिनके बीच कलांतर स्थिर रहता है।
दी गई तरंगों की आवृत्तियों की तुलना करने पर:
$(i)$ आवृत्ति $\omega$ है।
(ii) आवृत्ति $2\omega$ है।
(iii) आवृत्ति $\omega$ है।
(iv) आवृत्ति $3\omega$ है।
चूंकि तरंगों $y_1$ और $y_3$ दोनों की कोणीय आवृत्ति समान $\omega$ है,इसलिए उनका अध्यारोपण व्यतिकरण प्रतिरूप उत्पन्न करेगा।

(A) दिया गया है कि तीव्रता का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = n$,इसलिए $I_1 = nI_2$.
$I_{\text{Max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{nI_2} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{n} + 1)^2 I_2$.
$I_{\text{Min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{nI_2} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{n} - 1)^2 I_2$.
अब,अनुपात है:
$\frac{I_{\text{Max}} - I_{\text{Min}}}{I_{\text{Max}} + I_{\text{Min}}} = \frac{(\sqrt{n} + 1)^2 I_2 - (\sqrt{n} - 1)^2 I_2}{(\sqrt{n} + 1)^2 I_2 + (\sqrt{n} - 1)^2 I_2} = \frac{(\sqrt{n} + 1)^2 - (\sqrt{n} - 1)^2}{(\sqrt{n} + 1)^2 + (\sqrt{n} - 1)^2}$.
पदों का विस्तार करने पर:
$= \frac{(n + 1 + 2\sqrt{n}) - (n + 1 - 2\sqrt{n})}{(n + 1 + 2\sqrt{n}) + (n + 1 - 2\sqrt{n})} = \frac{4\sqrt{n}}{2(n + 1)} = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$.
माना $f(n) = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$. अधिकतम मान प्राप्त करने के लिए,यदि हम $n=1$ रखते हैं तो $f(1) = \frac{2(1)}{1+1} = 1$ प्राप्त होता है,जो इस व्यंजक के लिए अधिकतम संभव मान है।

(D) दो कला-संबद्ध तरंगों के अध्यारोपण के लिए अधिकतम तीव्रता का सूत्र है:
$I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है:
$I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$
दो कला-संबद्ध तरंगों के अध्यारोपण के लिए न्यूनतम तीव्रता का सूत्र है:
$I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$
$I_{\min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताएँ क्रमशः $9I$ और $I$ हैं।

(B) संपोषी व्यतिकरण के लिए,दो तरंगों के बीच पथ का अंतर $\Delta x$ तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
मान लीजिए कि बिंदु $x$-अक्ष पर $P(x, 0)$ है।
$S_{1}(0,0)$ से $P(x,0)$ की दूरी $r_{1} = \sqrt{(x-0)^{2} + (0-0)^{2}} = x$ है।
$S_{2}(0,3\lambda)$ से $P(x,0)$ की दूरी $r_{2} = \sqrt{(x-0)^{2} + (0-3\lambda)^{2}} = \sqrt{x^{2} + 9\lambda^{2}}$ है।
पथ का अंतर $\Delta x = |r_{2} - r_{1}| = |\sqrt{x^{2} + 9\lambda^{2}} - x|$ है।
विकल्प $(B)$ $(4\lambda, 0)$ की जाँच करने पर:
$r_{1} = 4\lambda$.
$r_{2} = \sqrt{(4\lambda)^{2} + (3\lambda)^{2}} = \sqrt{16\lambda^{2} + 9\lambda^{2}} = \sqrt{25\lambda^{2}} = 5\lambda$.
पथ का अंतर $\Delta x = |5\lambda - 4\lambda| = \lambda$.
चूंकि $\Delta x = 1\lambda$,जो $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज है,इसलिए $(4\lambda, 0)$ पर संपोषी व्यतिकरण होता है।

(B) दिया गया है कि तीव्रताओं का अनुपात $I_1 / I_2 = 9 / 1$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए आयामों का अनुपात $A_1 / A_2 = \sqrt{I_1 / I_2} = \sqrt{9 / 1} = 3 / 1$ होगा।
मान लीजिए $A_1 = 3k$ और $A_2 = k$ है।
उच्चिष्ठ की तीव्रता $I_{\max} = (A_1 + A_2)^2 = (3k + k)^2 = (4k)^2 = 16k^2$ द्वारा दी जाती है।
निम्निष्ठ की तीव्रता $I_{\min} = (A_1 - A_2)^2 = (3k - k)^2 = (2k)^2 = 4k^2$ द्वारा दी जाती है।
अतः,उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ की तीव्रताओं का अनुपात $I_{\max} / I_{\min} = 16k^2 / 4k^2 = 4 / 1$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग की तीव्रता $I_0$ है।
जब समान आवृत्ति और आयाम वाली दो तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \delta$
चूंकि तरंगें समान हैं,इसलिए $I_1 = I_2 = I_0$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 I_0} \cos \delta$
$I = 2I_0 + 2I_0 \cos \delta$
$I = 2I_0 (1 + \cos \delta)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \delta = 2 \cos^2(\delta / 2)$ का उपयोग करने पर:
$I = 2I_0 (2 \cos^2(\delta / 2))$
$I = 4I_0 \cos^2(\delta / 2)$
अतः,परिणामी तीव्रता $\cos^2(\delta / 2)$ के समानुपाती है।

(A) दो अध्यारोपित सुसंगत प्रकाश पुंजों की परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ पुंजों के बीच का कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,$\cos \phi = 1$ (संपोषी व्यतिकरण):
$I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$
यहाँ $I_1 = L$ और $I_2 = \frac{L}{4}$ दिया गया है:
$I_{\max} = (\sqrt{L} + \sqrt{\frac{L}{4}})^2 = (\sqrt{L} + \frac{\sqrt{L}}{2})^2 = (\frac{3\sqrt{L}}{2})^2 = \frac{9L}{4}$
न्यूनतम तीव्रता के लिए,$\cos \phi = -1$ (विनाशी व्यतिकरण):
$I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$
$I_{\min} = (\sqrt{L} - \frac{\sqrt{L}}{2})^2 = (\frac{\sqrt{L}}{2})^2 = \frac{L}{4}$
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताएँ क्रमशः $\frac{9L}{4}$ और $\frac{L}{4}$ होंगी।

(C) समान तीव्रता $I_0$ और कलांतर $\phi$ वाली दो तरंगों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
चूंकि $I_1 = I_2 = I_0$,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$I_R = I_0 + I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot I_0} \cos \phi$
$I_R = 2I_0 + 2I_0 \cos \phi = 2I_0(1 + \cos \phi)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ का उपयोग करने पर:
$I_R = 2I_0 \cdot 2 \cos^2(\frac{\phi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
अतः,परिणामी तीव्रता $I_R$,$\cos^2(\frac{\phi}{2})$ के सीधे आनुपातिक है।

(C) किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I$,$I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है और $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ है।
बिंदु $A$ के लिए: $\Delta x_A = \lambda/3 \implies \phi_A = (2\pi/\lambda)(\lambda/3) = 2\pi/3$.
$I_A = I_{max} \cos^2(\phi_A/2) = I_{max} \cos^2(\pi/3) = I_{max} (1/2)^2 = I_{max}/4$.
बिंदु $B$ के लिए: $\Delta x_B = \lambda/6 \implies \phi_B = (2\pi/\lambda)(\lambda/6) = \pi/3$.
$I_B = I_{max} \cos^2(\phi_B/2) = I_{max} \cos^2(\pi/6) = I_{max} (\sqrt{3}/2)^2 = 3I_{max}/4$.
अनुपात $I_A / I_B = (I_{max}/4) / (3I_{max}/4) = 1/3$.