Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Hindi

(D) सुसंगत स्रोतों को उन स्रोतों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समान आवृत्ति की तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कला अंतर बनाए रखते हैं।
चूंकि तरंग की गति $v$ उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और आवृत्ति $f$ से समीकरण $v = f \lambda$ द्वारा संबंधित है,यदि दो तरंगों की तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति समान है,तो उनका कला वेग भी समान होना चाहिए।
कई संदर्भों में,तरंगदैर्ध्य,आवृत्ति और कला वेग का उपयोग सुसंगत स्रोतों की विशेषताओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है।
इसलिए,विकल्प $(b)$ और $(c)$ दोनों मानक तरंग भौतिकी में सुसंगतता के लिए आवश्यक शर्तों का वर्णन करते हैं।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ है।
माना आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूंकि $I \propto A^2$,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ होगा।
उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ तीव्रता का अनुपात सूत्र $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{3 + 2}{3 - 2} \right)^2 = \left( \frac{5}{1} \right)^2 = \frac{25}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $25:1$ है।

(A) दो तरंगों के लिए दिए गए समीकरण $y_1 = a_1 \sin \omega t$ और $y_2 = a_2 \sin (\omega t + \phi)$ हैं।
दिए गए समीकरणों के साथ तुलना करने पर,हमें $a_1 = 4$,$a_2 = 3$ और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
परिणामी तरंग का आयाम $A$ निकालने का सूत्र $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1 a_2 \cos \phi}$ है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है,इसलिए सूत्र $A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ हो जाता है।
मान रखने पर,$A = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(C) प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4000 \mathring A = 4000 \times 10^{-10} \ m = 4 \times 10^{-7} \ m$ दी गई है।
कुल लंबाई $L = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$ है।
तरंगों की संख्या $n$,कुल लंबाई और तरंगदैर्ध्य के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$n = \frac{L}{\lambda} = \frac{10^{-3} \ m}{4 \times 10^{-7} \ m}$.
$n = \frac{1}{4} \times 10^{-3 - (-7)} = 0.25 \times 10^4$.
अतः,तरंगों की संख्या $0.25 \times 10^4$ है।

(D) $LASER$ का पूर्ण रूप Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation है।
लेजर किरण तीव्र,एकवर्णी (अर्थात एक ही तरंगदैर्घ्य वाली),समानांतर और अत्यधिक सुसंबद्ध होती है।
सुसंबद्धता का अर्थ है कि तरंगें समान कला (in phase) में होती हैं और उनके बीच कला संबंध स्थिर रहता है,जो एक विशेष तरंगदैर्घ्य की संगठित तरंगों की विशेषता है।

(C) जब प्रकाश एक विरल माध्यम (हवा) से सघन माध्यम (कांच) में यात्रा करता है और इंटरफेस से परावर्तित होता है,तो इसमें $\pi$ रेडियन का कला परिवर्तन होता है। यह तरंग प्रकाशिकी में स्टोक्स के परावर्तन नियम के रूप में जाना जाता है,जो बताता है कि सघन माध्यम से परावर्तन होने पर $\pi$ का कला विस्थापन उत्पन्न होता है।

(C) जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो माध्यम के अपवर्तनांक में परिवर्तन के कारण उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं।
हालाँकि,प्रकाश की आवृत्ति केवल प्रकाश के स्रोत पर निर्भर करती है और यह उस माध्यम से स्वतंत्र रहती है जिससे वह गुजरती है।
गणितीय रूप से,यदि $\nu$ आवृत्ति है,$v$ गति है,और $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,तो $v = \nu \lambda$ होता है।
$\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में,नई गति $v' = v/\mu$ और नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda/\mu$ हो जाती है।
अतः,नई आवृत्ति $\nu' = v'/\lambda' = (v/\mu) / (\lambda/\mu) = v/\lambda = \nu$।
इसलिए,आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।

(C) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और आवृत्ति $(f)$ के बीच का संबंध $c = f\lambda$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $c$ प्रकाश की गति है। अतः, $f = c/\lambda$। इसका अर्थ है कि आवृत्ति तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(f \propto 1/\lambda)$।
दृश्य स्पेक्ट्रम $(VIBGYOR)$ में, तरंगदैर्ध्य बैंगनी से लाल की ओर बढ़ती है $(\lambda_V < \lambda_I < \lambda_B < \lambda_G < \lambda_Y < \lambda_O < \lambda_R)$।
परिणामस्वरूप, आवृत्ति बैंगनी से लाल की ओर घटती है $(f_V > f_I > f_B > f_G > f_Y > f_O > f_R)$।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि $\lambda_R > \lambda_G$।
विकल्प $B$ सही है क्योंकि $\lambda_B < \lambda_O$।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि हरे प्रकाश की आवृत्ति नीले प्रकाश की आवृत्ति से कम होती है $(f_G < f_B)$।
विकल्प $D$ सही है क्योंकि $f_V > f_B$।
इसलिए, गलत कथन $C$ है।

(A) बिंदु स्रोत से प्रकाश की तीव्रता $I$ व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है,$I \propto \frac{1}{r^2}$,जहाँ $r$ स्रोत से दूरी है।
प्रारंभिक दूरी $r_1 = 60 \ cm$ और अंतिम दूरी $r_2 = 180 \ cm$ दी गई है।
तीव्रता का अनुपात $\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{I_2}{I_1} = \left( \frac{60}{180} \right)^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}$.
अतः,नई तीव्रता मूल तीव्रता की $(1/9)$ गुना होगी।

(D) कला-संबद्ध स्रोतों को उन स्रोतों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कला अंतर बनाए रखते हैं।
स्वतंत्र प्रकाश स्रोत,जैसे कि दो अलग-अलग लैंप,स्वतंत्र परमाणु संक्रमणों के कारण प्रकाश उत्सर्जित करते हैं।
ये संक्रमण प्रत्येक स्रोत में यादृच्छिक और स्वतंत्र रूप से होते हैं,जिससे उत्सर्जित प्रकाश की कला में तीव्र और अप्रत्याशित परिवर्तन होते हैं।
इसलिए,दो स्वतंत्र प्रकाश स्रोतों से कला-संबद्ध प्रकाश प्राप्त करना भौतिक रूप से असंभव है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) व्यतिकरण तरंगों का एक सामान्य गुण है। यह तब होता है जब समान आवृत्ति और स्थिर कलांतर वाली दो या दो से अधिक तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं। यह घटना सभी प्रकार की तरंगों में देखी जाती है,जिसमें अनुदैर्ध्य यांत्रिक तरंगें (जैसे,ध्वनि तरंगें),अनुप्रस्थ यांत्रिक तरंगें (जैसे,डोरी पर तरंगें),और विद्युत चुम्बकीय तरंगें (जैसे,प्रकाश तरंगें) शामिल हैं। इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) व्यतिकरण में परिणामी तरंग की तीव्रता $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम तीव्रता के लिए, $\cos \phi = 1$, इसलिए $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है, इसलिए $I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.
न्यूनतम तीव्रता के लिए, $\cos \phi = -1$, इसलिए $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$.
अतः, $I_{min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$.
इसलिए, अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता क्रमशः $9I$ और $I$ है।

(C) $Monochromatic$ शब्द ग्रीक शब्दों $mono$ (अर्थात एकल) और $chroma$ (अर्थात रंग) से लिया गया है। हालाँकि,भौतिकी में,एकवर्णी तरंग को एक ऐसी तरंग के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक एकल,विशिष्ट तरंगदैर्ध्य या आवृत्ति होती है। जबकि एकवर्णी प्रकाश अक्सर मानव आँख को एक ही रंग का दिखाई देता है,वैज्ञानिक परिभाषा सख्ती से केवल एक तरंगदैर्ध्य की उपस्थिति को संदर्भित करती है। इसलिए,विकल्प $C$ सबसे सटीक परिभाषा है।

(A) दो प्रकाश स्रोतों के लिए एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न उत्पन्न करने हेतु,उन्हें कला-संबद्ध (coherent) होना चाहिए।
कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।
यदि दो स्रोतों के बीच कलांतर समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता है,तो व्यतिकरण पैटर्न तेजी से स्थानांतरित होगा,जिसके परिणामस्वरूप एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न के बजाय औसत तीव्रता समान दिखाई देगी।
इसलिए,व्यतिकरण देखने के लिए शर्त यह है कि प्रकाश तरंगों के बीच का कलांतर स्थिर रहना चाहिए।

(C) प्रकाश की तरंग प्रकृति व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवीकरण जैसी घटनाओं द्वारा सिद्ध होती है,जिन्हें प्रकाश के कण सिद्धांत द्वारा नहीं समझाया जा सकता है।
व्यतिकरण तब होता है जब दो या दो से अधिक प्रकाश तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,जिससे परिणामी तरंग का आयाम बढ़,घट या समान रह सकता है।
चूंकि व्यतिकरण तरंगों का एक विशिष्ट गुण है,इसलिए प्रकाश में इसका अवलोकन यह पुष्टि करता है कि प्रकाश एक तरंग के रूप में व्यवहार करता है।
अतः,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(B) सुसंगत समय $(\tau_c)$ वह समय अंतराल है जिसके दौरान प्रकाश तरंग का चरण (phase) अनुमानित रहता है।
यह सुसंगत लंबाई $(L)$ और प्रकाश के वेग $(c)$ से निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है:
$\tau_c = \frac{L}{c}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि दो स्रोतों के आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{5}$ है।
तीव्रता $I$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto a^2$।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(3 + 5)^2}{(3 - 5)^2} = \frac{8^2}{(-2)^2} = \frac{64}{4} = \frac{16}{1}$।
अतः,उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ पर तीव्रताओं का अनुपात $16:1$ है।

(C) संपोषी व्यतिकरण के लिए, दो प्रकाश तरंगों को एक बिंदु पर समान कला में पहुँचना चाहिए।
यह तब होता है जब तरंगों के बीच का पथ अंतर $\Delta x$, तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
गणितीय रूप से, संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त $\Delta x = n\lambda$ है, जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ है।
अतः, सही विकल्प $C$ है।

(C) तरंगों के दो स्रोतों को कला-संबद्ध तब कहा जाता है यदि वे समान आवृत्ति (या तरंगदैर्ध्य) की तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ उनके बीच का कलांतर (phase difference) स्थिर रहता है। यदि कलांतर समय के साथ बदलता रहता है,तो व्यतिकरण प्रतिरूप स्थिर नहीं होगा और स्रोतों को असंबद्ध माना जाएगा। अतः,विकल्प $C$ सही परिभाषा है।

(A) दिया गया है कि दो प्रकाश तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ है।
माना आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूंकि $I \propto A^2$,आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{4}{1}} = \frac{2}{1}$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right)^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = \frac{9}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $9:1$ है।

(B) दो प्रकाश स्रोत कला-संबद्ध होते हैं यदि वे समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगों का उत्सर्जन करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर (phase difference) बनाए रखते हैं।
जब दो स्रोतों को एक ही मूल स्रोत से प्राप्त किया जाता है (उदाहरण के लिए,स्लिट या दर्पण का उपयोग करके),तो तरंगाग्र (wavefront) को दो भागों में विभाजित किया जाता है।
ये दो परिणामी तरंगाग्र ऐसे कार्य करते हैं जैसे कि वे एक निश्चित कला संबंध वाले दो स्रोतों से उत्पन्न हुए हों,इस प्रकार वे कला-संबद्धता की शर्त को पूरा करते हैं।

(C) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{25}{4}$ है।
मान लीजिए तरंगों के आयाम $A_1$ और $A_2$ हैं। चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए आयामों का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ होगा।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात सूत्र $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{5 + 2}{5 - 2} \right)^2 = \left( \frac{7}{3} \right)^2 = \frac{49}{9}$ प्राप्त होता है।

(A) स्थायी व्यतिकरण के लिए आवश्यक शर्त यह है कि प्रकाश के दोनों स्रोत कला-संबद्ध (coherent) होने चाहिए।
कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।
यदि दो स्रोतों के बीच का कलांतर समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता है,तो व्यतिकरण पैटर्न तेजी से बदलेगा और समय-औसत तीव्रता समान हो जाएगी,जिससे व्यतिकरण पैटर्न मानव आंख को दिखाई नहीं देगा।
इसलिए,सही शर्त यह है कि स्रोतों में स्थिर कलांतर होना चाहिए।

(B) प्रकाश के व्यतिकरण की घटना में,ऊर्जा का अंतरिक्ष में पुनर्वितरण होता है। विनाशी व्यतिकरण के बिंदुओं से जो ऊर्जा गायब होती है,वह संपोषी व्यतिकरण के बिंदुओं पर स्थानांतरित हो जाती है। इसलिए,निकाय की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(C) प्रकाश तरंग की तीव्रता $(I)$ उसके आयाम $(a)$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
गणितीय रूप से,इसे $I \propto a^2$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,प्रकाश की तीव्रता तरंग के आयाम पर निर्भर करती है।

(C) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^2$।
दिया गया आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{4}$ है।
उनकी तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{9}{16}$।
अतः,उनकी तीव्रताओं का अनुपात $9:16$ है।

(D) दो कला-संबद्ध स्रोतों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$,जहाँ $\phi$ दो तरंगों के बीच का कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,कलांतर $\phi$ को $\pi$ का सम गुणज होना चाहिए,अर्थात $\phi = 0, 2\pi, 4\pi, \dots$,जिससे $\cos \phi = 1$ हो जाता है।
सूत्र में $\cos \phi = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}$.
इस व्यंजक को एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.

(C) संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य की प्रकाश तरंगों का उत्सर्जन करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।
यदि दो स्रोतों द्वारा उत्सर्जित तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ बदलता है,तो उन स्रोतों को असंबद्ध कहा जाता है।
इसलिए,किसी स्रोत के संबद्ध होने के लिए,आवृत्ति स्थिर होनी चाहिए और कलांतर भी स्थिर रहना चाहिए।

(A) प्रकाश की तरंग प्रकृति मुख्य रूप से व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवण जैसी घटनाओं द्वारा सत्यापित होती है।
$(a)$ व्यतिकरण तरंगों का एक विशिष्ट गुण है,जो प्रकाश की तरंग प्रकृति की पुष्टि करता है।
$(b)$ प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रकाश की कण प्रकृति (क्वांटम प्रकृति) को सत्यापित करता है।
$(c)$ और $(d)$ परावर्तन और अपवर्तन दोनों को तरंग सिद्धांत (हाइगेन्स का सिद्धांत) और कण सिद्धांत (फर्मा का सिद्धांत/न्यूटन का कणिका सिद्धांत) द्वारा समझाया जा सकता है,इसलिए वे विशेष रूप से केवल तरंग प्रकृति को सत्यापित नहीं करते हैं।

(C) माना कि दो स्रोतों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं। व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = 25$,इसलिए $\left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = 25$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = 5$.
माना $x = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}}$. तो $\frac{x+1}{x-1} = 5$.
$x + 1 = 5x - 5 \Rightarrow 4x = 6 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
अतः,$\frac{I_1}{I_2} = x^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$.

(B) आवृत्ति $(\nu)$,प्रकाश की गति $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\nu = \frac{c}{\lambda}$.
दिया गया है:
प्रकाश की गति,$c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s}$.
तरंगदैर्ध्य,$\lambda = 3000 \ \mathring A = 3000 \times 10^{-10} \ \text{m} = 3 \times 10^{-7} \ \text{m}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\nu = \frac{3 \times 10^8}{3 \times 10^{-7}} = 10^{15} \ \text{Hz}$ (या $\text{cycles/sec}$)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) विनाशी व्यतिकरण के लिए,तरंगों को उस बिंदु पर $\pi$ रेडियन के विषम गुणज के कलांतर के साथ पहुँचना चाहिए।
यह उस पथ अंतर के अनुरूप है जो तरंगदैर्ध्य के आधे $(\frac{\lambda}{2})$ का विषम गुणज होता है।
गणितीय रूप से,पथ अंतर $\Delta x$ को $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, 3, \dots$ है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{36}{1}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} = \sqrt{\frac{36}{1}} = 6$ प्राप्त होता है।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर,$\frac{(a_1 + a_2) + (a_1 - a_2)}{(a_1 + a_2) - (a_1 - a_2)} = \frac{6 + 1}{6 - 1}$।
इसे सरल करने पर $\frac{2a_1}{2a_2} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = 7:5$ है।

(B) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_{res}$ का सूत्र है: $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$.
अधिकतम तीव्रता के लिए,कलांतर $\phi = 0$ होना चाहिए,इसलिए $\cos \phi = 1$.
अतः,अधिकतम तीव्रता का सूत्र है: $I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$.

(B) व्यतिकरण की घटना में,निकाय की कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
जब प्रकाश के दो कला-संबद्ध स्रोत व्यतिकरण करते हैं,तो प्रकाश ऊर्जा न तो उत्पन्न होती है और न ही नष्ट होती है; यह केवल अंतरिक्ष में पुनर्वितरित होती है।
इसके परिणामस्वरूप संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) और विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के क्षेत्र बनते हैं।
चूंकि स्रोत कला-संबद्ध होते हैं,इसलिए किसी भी बिंदु पर तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ स्थिर रहता है।
इसलिए,व्यतिकरण प्रतिरूप (ऊर्जा का स्थानिक वितरण) समय के साथ नहीं बदलता है।

(A) व्यतिकरण की घटना को देखने के लिए,प्रकाश के दो स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है।
कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति का विकिरण उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर (phase difference) बनाए रखते हैं।
यदि कलांतर यादृच्छिक रूप से बदलता रहता है,तो व्यतिकरण पैटर्न स्थिर नहीं होगा और दिखाई नहीं देगा।
इसलिए,सही आवश्यकता यह है कि स्रोतों की आवृत्ति समान होनी चाहिए और उनके बीच एक निश्चित (स्थिर) कला संबंध होना चाहिए।

(D) एक बिंदु स्रोत से प्रकाश की तीव्रता $I$,स्रोत से दूरी $r$ के व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करती है।
गणितीय रूप से,$I \propto \frac{1}{r^2}$।
यदि प्रारंभिक दूरी $r_1 = r$ है और अंतिम दूरी $r_2 = 2r$ है,तो नई तीव्रता $I'$ इस प्रकार होगी:
$I' \propto \frac{1}{(2r)^2} = \frac{1}{4r^2} = \frac{1}{4} I$।
अतः,तीव्रता अपने मूल मान की एक-चौथाई हो जाएगी।

(D) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
जहाँ $\phi$ तरंगों के बीच का कलांतर (phase difference) है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,कलांतर $\phi = 0^\circ$ (या $\pi$ का सम गुणज) होना चाहिए,जिससे $\cos \phi = 1$ हो जाता है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = I$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$I_{max} = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos 0^\circ$
$I_{max} = 2I + 2\sqrt{I^2} (1)$
$I_{max} = 2I + 2I = 4I$
अतः,प्राप्त अधिकतम तीव्रता $4I$ है।

(C) प्रकाश के व्यतिकरण में,कुल ऊर्जा न तो उत्पन्न होती है और न ही नष्ट होती है।
इसके बजाय,ऊर्जा विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के क्षेत्रों से संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के क्षेत्रों में स्थानांतरित हो जाती है।
संपूर्ण प्रतिरूप पर औसत ऊर्जा व्यतिकरण करने वाली तरंगों की ऊर्जाओं के योग के बराबर रहती है।
अतः,व्यतिकरण की घटना ऊर्जा संरक्षण के नियम के पूर्णतः अनुरूप है।

(B) दिया गया है कि दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{4}$ है।
माना $I_1 = k$ और $I_2 = 4k$ है।
फ्रिंज दृश्यता $V$ का सूत्र $V = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $V = \frac{2\sqrt{k \times 4k}}{k + 4k}$।
$V = \frac{2 \times 2k}{5k} = \frac{4k}{5k} = 0.8$।
अतः,फ्रिंज दृश्यता $0.8$ है।

(B) व्यतिकरण दो सुसंगत स्रोतों से आने वाली तरंगों के अध्यारोपण के कारण उत्पन्न होने वाली एक घटना है।
विवर्तन एक ही तरंगाग्र के विभिन्न भागों से उत्पन्न होने वाली द्वितीयक तरंगिकाओं के अध्यारोपण के कारण उत्पन्न होने वाली घटना है।
इन दोनों घटनाओं को प्रकाश के कणिका सिद्धांत (Corpuscular theory) द्वारा नहीं समझाया जा सकता है।
इसलिए,विवर्तन और व्यतिकरण प्रकाश की तरंग प्रकृति का प्रबल प्रमाण प्रदान करते हैं।

(D) प्रकाश का दृश्य स्पेक्ट्रम लगभग $400 \, nm$ से $700 \, nm$ के बीच होता है।
इन मानों को मीटर में बदलने पर,हमें $400 \times 10^{-9} \, m$ से $700 \times 10^{-9} \, m$ प्राप्त होता है,जो कि $4 \times 10^{-7} \, m$ से $7 \times 10^{-7} \, m$ के बराबर है।
दिए गए विकल्पों में से,$6 \times 10^{-7} \, m$ इस सीमा के अंतर्गत आता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) ज्यामिति से,$O$ से $P$ वाली रेखा तक की दूरी $d$ है। अतः,$PO = d \sec \theta$.
चूंकि $CP$ एक तरंगाग्र है,$C$ से $P$ तक की प्रकाशीय पथ लंबाई,किरण $AO$ के अनुदिश $O$ से $P$ तक की पथ लंबाई के बराबर है। किरण $BP$ और परावर्तित किरण $OP$ के बीच पथ अंतर $\Delta = CO + OP$ है।
$\triangle COP$ में,$CO = PO \cos 2\theta = d \sec \theta \cos 2\theta$.
अतः,$\Delta = d \sec \theta + d \sec \theta \cos 2\theta = d \sec \theta (1 + \cos 2\theta) = d \sec \theta (2 \cos^2 \theta) = 2d \cos \theta$.
चूंकि किरण $OP$ सतह $QR$ पर परावर्तित होती है,इसमें $\pi$ का अतिरिक्त कलान्तर उत्पन्न होता है,जो $\lambda / 2$ के पथ अंतर के बराबर है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,कुल पथ अंतर $\lambda / 2$ का विषम गुणज होना चाहिए ($\pi$ के कलान्तर के कारण): $\Delta = \lambda / 2$.
$2d \cos \theta = \lambda / 2 \implies \cos \theta = \lambda / 4d$.

(D) व्यतिकरण फ्रिंज देखने के लिए,अध्यारोपित होने वाली तरंगों की आवृत्ति समान होनी चाहिए और उनके बीच का कलांतर स्थिर होना चाहिए।
$1$. तरंगों $(i)$ और $(ii)$ की कोणीय आवृत्ति $\omega$ समान है। अतः,वे व्यतिकरण उत्पन्न कर सकती हैं।
$2$. तरंगों $(iii)$ और $(iv)$ की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ समान है। अतः,वे भी व्यतिकरण उत्पन्न कर सकती हैं।
इसलिए,$(i)$ और $(ii)$ या $(iii)$ और $(iv)$ के अध्यारोपण के कारण व्यतिकरण फ्रिंज देखी जा सकती हैं।

(B) संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,कुल कलांतर $\Delta \phi$,$2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
माना $X$ और $Y$ से आने वाली तरंगों की कलाएँ $\phi_X$ और $\phi_Y$ हैं। पथ अंतर $\Delta x = (YO - XO)$ के कारण कलांतर $\frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
यह दिया गया है कि $Y$,$X$ से $2\pi l$ कला में पीछे है,इसलिए कुल कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}(YO - XO) - 2\pi l$ है।
उच्चिष्ठ के लिए,$\Delta \phi = 2\pi n$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$2\pi n = \frac{2\pi}{\lambda}(YO - XO) - 2\pi l$।
यदि हम पथ अंतर $(YO - XO)$ को सरल करें,तो उच्चिष्ठ के लिए शर्त $\frac{2\pi}{\lambda}(XO) = 2\pi(n + l)$ होती है।
अतः,$XO = \lambda(n + l)$ प्राप्त होता है।

(C) दो क्रमिक तलों से परावर्तित किरणों के बीच का पथ अंतर $\Delta x = 2d \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ ग्लेंसिंग कोण (आपतित किरण और तल के बीच का कोण) है।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए:
$\Delta x = n\lambda$
पथ अंतर के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$2d \sin \theta = n\lambda$
$\sin \theta = \frac{n\lambda}{2d}$
$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{n\lambda}{2d}\right)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) वृत्त पर स्थित बिंदु $P$ पर पथ अंतर $\Delta x$,दूरी $d$ के प्रक्षेप द्वारा दिया जाता है। ज्यामिति से,$\Delta x = d \cos \theta$,जहाँ $\theta$ स्रोतों को जोड़ने वाली रेखा के साथ बना कोण है।
बिंदु $P$ पर संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) के लिए,शर्त $\Delta x = n\lambda$ है।
पथ अंतर के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$d \cos \theta = n\lambda$
$\cos \theta = \frac{n\lambda}{d}$
$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{n\lambda}{d} \right)$
चूंकि $n = 4$ दिया गया है,कोणीय स्थिति $\theta = \cos^{-1} \left( \frac{4\lambda}{d} \right)$ होगी।

(B) मान लीजिए कि स्रोतों के बीच की दूरी $d = 4\lambda$ है। डिटेक्टर $x$-अक्ष पर मूल बिंदु (जो $S_2$ है) से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $D$ पर है।
$S_1$ और $S_2$ से $D$ तक पहुँचने वाली तरंगों के बीच पथ अंतर $\Delta x = S_1D - S_2D$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta S_1S_2D$ में,$S_1D = \sqrt{d^2 + x^2} = \sqrt{(4\lambda)^2 + x^2}$ और $S_2D = x$ है।
उच्चिष्ठ के लिए,पथ अंतर तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए: $\Delta x = n\lambda$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
अतः,$\sqrt{16\lambda^2 + x^2} - x = n\lambda$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{16\lambda^2 + x^2} = n\lambda + x$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16\lambda^2 + x^2 = n^2\lambda^2 + 2nx\lambda + x^2$.
$16\lambda^2 - n^2\lambda^2 = 2nx\lambda$.
$x = \frac{(16 - n^2)\lambda}{2n}$.
$x > 0$ के लिए,$16 - n^2 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $n^2 < 16$,इसलिए $n$ का मान $1, 2, 3$ हो सकता है।
यदि $n=1$,तो $x = \frac{15\lambda}{2} = 7.5\lambda$.
यदि $n=2$,तो $x = \frac{12\lambda}{4} = 3\lambda$.
यदि $n=3$,तो $x = \frac{7\lambda}{6} \approx 1.17\lambda$.
इस प्रकार,$3$ बिंदु हैं जहाँ उच्चिष्ठ देखे जाते हैं।

(A) बिंदु $P$ पर कुल कलान्तर,प्रारंभिक कलान्तर और पथान्तर के कारण उत्पन्न कलान्तर का योग होता है।
प्रारंभिक कलान्तर $\phi_i = 66^\circ$ (जहाँ $A$,$B$ से आगे है)।
पथान्तर $\Delta x = PB - PA = \lambda / 4$ है।
पथान्तर के कारण उत्पन्न कलान्तर $\phi_p = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x = \frac{360^\circ}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = 90^\circ$ है।
चूंकि $A$,$B$ से $66^\circ$ आगे है,और पथ $PB$,$PA$ से $\lambda/4$ अधिक लंबा है,इसलिए पथान्तर के कारण $B$ से आने वाली तरंग $A$ से आने वाली तरंग से पीछे हो जाती है।
कुल कलान्तर $\Delta \phi = 66^\circ + 90^\circ = 156^\circ$ है।