Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Hindi

(A) समय के साथ एक स्थिर व्यतिकरण प्रतिरूप प्राप्त करने के लिए,दोनों स्रोतों से उत्सर्जित तरंगों के बीच का कलांतर (phase difference) स्थिर रहना चाहिए। इसे ही कला-संबद्ध (coherent) स्रोतों की परिभाषा कहा जाता है। यदि कलांतर समय के साथ बदलता है,तो व्यतिकरण प्रतिरूप तेजी से स्थानांतरित होगा,जिसके परिणामस्वरूप समय-औसत तीव्रता एक समान दिखाई देगी,जिससे प्रतिरूप मानव आँख के लिए अदृश्य हो जाएगा। इसलिए,प्राथमिक शर्त यह है कि स्रोत कला-संबद्ध होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि वे एक नियत कलांतर बनाए रखते हैं।

(D) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता का सूत्र $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,$\cos \phi = 1$,इसलिए $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ होगा।
$I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ रखने पर:
$I_{max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$।
न्यूनतम तीव्रता के लिए,$\cos \phi = -1$,इसलिए $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होगा।
$I_{min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताएँ क्रमशः $9I$ और $I$ हैं।

(D) व्यतिकरण एक सामान्य तरंग घटना है जो तब होती है जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान और समय में एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,जिसके परिणामस्वरूप अध्यारोपण के सिद्धांत के कारण एक नया तरंग पैटर्न बनता है।
यांत्रिक तरंगें,जिन्हें प्रसार के लिए माध्यम की आवश्यकता होती है,दो रूपों में मौजूद होती हैं: अनुप्रस्थ तरंगें (जहाँ कण प्रसार की दिशा के लंबवत कंपन करते हैं) और अनुदैर्ध्य तरंगें (जहाँ कण प्रसार की दिशा के समानांतर कंपन करते हैं)। दोनों प्रकार की तरंगें व्यतिकरण प्रदर्शित करती हैं; उदाहरण के लिए,पानी की लहरें (अनुप्रस्थ) और ध्वनि तरंगें (अनुदैर्ध्य) दोनों व्यतिकरण पैटर्न दिखाती हैं।
गैर-यांत्रिक तरंगें,जैसे कि विद्युतचुंबकीय तरंगें (प्रकाश सहित),भी व्यतिकरण प्रदर्शित करती हैं,जैसा कि यंग के डबल स्लिट प्रयोग जैसे प्रयोगों द्वारा सिद्ध किया गया है।
इसलिए,व्यतिकरण की घटना सभी प्रकार की तरंगों द्वारा दिखाई जाती है,चाहे वे यांत्रिक हों या गैर-यांत्रिक।

(C) व्यतिकरण एक सामान्य तरंग घटना है जो तब होती है जब दो या दो से अधिक तरंगें स्थान और समय में एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं।
यह किसी विशेष प्रकार की तरंग तक सीमित नहीं है।
यह सभी प्रकार की तरंगों में देखी जाती है,जिसमें यांत्रिक तरंगें (जैसे ध्वनि तरंगें) और विद्युत चुम्बकीय तरंगें (जैसे प्रकाश तरंगें) शामिल हैं।
इसलिए,व्यतिकरण की घटना ध्वनि और प्रकाश दोनों तरंगों में देखी जाती है।

(A) प्रकाश का रंग उसकी आवृत्ति द्वारा निर्धारित होता है। जब प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाता है,तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाते हैं,लेकिन उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है। इसलिए,आवृत्ति वह मूलभूत विशेषता है जो प्रकाश के रंग को परिभाषित करती है।

(C) व्यतिकरण क्षेत्र में औसत तीव्रता $I_{av}$ दोनों तरंगों की व्यक्तिगत तीव्रताओं के योग के बराबर होती है।
$I_{av} = I_1 + I_2$
यहाँ $I_1 = 2$ इकाई और $I_2 = 3$ इकाई दिया गया है।
$I_{av} = 2 + 3 = 5$ इकाई।
अतः,औसत तीव्रता का मान $5$ इकाई होगा।

(C) मान लीजिए कि दो स्रोतों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं। व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2} = 25$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} = \sqrt{25} = 5$
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}) + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}) - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})} = \frac{5 + 1}{5 - 1}$
$\frac{2\sqrt{I_1}}{2\sqrt{I_2}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$\frac{\sqrt{I_1}}{\sqrt{I_2}} = \frac{3}{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$

(C) विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त पथ अंतर $\Delta x = (2n - 1) \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
यहाँ दिया गया पथ अंतर $\Delta x = \frac{3\lambda}{2}$ है,जो विनाशी व्यतिकरण के सूत्र में $n = 2$ के अनुरूप है।
चूँकि पथ अंतर $\lambda/2$ का विषम गुणज है,इसलिए इस बिंदु पर विनाशी व्यतिकरण होता है।
अतः,उस बिंदु पर अदीप्त (अंधेरी) फ्रिंज प्राप्त होगी।

(B) तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto A^2$।
यहाँ दी गई दो तरंगों के आयाम $A_1 = 10$ और $A_2 = 10$ हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{\text{max}}$ तब प्राप्त होती है जब तरंगें संपोषी व्यतिकरण करती हैं।
अधिकतम तीव्रता का सूत्र $I_{\text{max}} = K(A_1 + A_2)^2$ है।
यहाँ $K = 1$,$A_1 = 10$,और $A_2 = 10$ दिया गया है।
अतः,$I_{\text{max}} = 1 \times (10 + 10)^2 = (20)^2 = 400$।

(C) समान तीव्रता $I$ वाली दो तरंगों के लिए अधिकतम तीव्रता $I_{\text{max}} = (\sqrt{I} + \sqrt{I})^2 = 4I = 100$ होती है।
अतः,$I = 25$ इकाई। आयाम $a$,$\sqrt{I}$ के समानुपाती होता है,इसलिए $a = \sqrt{25} = 5$ इकाई।
यदि एक स्रोत की तीव्रता में $20\%$ की कमी की जाती है,तो नई तीव्रता $I' = I - 0.20I = 0.80I = 0.80 \times 25 = 20$ हो जाती है।
नया आयाम $a' = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ होगा।
दूसरे स्रोत का आयाम $a = 5$ ही रहता है।
नई अधिकतम तीव्रता $I'_{\text{max}} = (a + a')^2 = (5 + \sqrt{20})^2 = (5 + 4.472)^2 \approx (9.472)^2 \approx 89.7$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$89$ निकटतम पूर्णांक मान है।

(A) दो स्रोतों की तीव्रता $I_1$ और $I_2$ है। दिया गया है कि $I_1/I_2 = 81/1$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{\text{max}} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\text{min}} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात:
$\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \left( \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{I_1/I_2} + 1}{\sqrt{I_1/I_2} - 1} \right)^2$.
$I_1/I_2 = 81$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\text{max}}}{I_{\text{min}}} = \left( \frac{\sqrt{81} + 1}{\sqrt{81} - 1} \right)^2 = \left( \frac{9 + 1}{9 - 1} \right)^2 = \left( \frac{10}{8} \right)^2 = \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}$.

(C) व्यतिकरण सभी प्रकार की तरंगों का एक मूलभूत गुण है,जिसमें अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ दोनों तरंगें शामिल हैं। यह अध्यारोपण के सिद्धांत (Principle of Superposition) के कारण उत्पन्न होता है,जो यह बताता है कि जब दो या दो से अधिक तरंगें अंतरिक्ष में एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,तो किसी भी बिंदु पर परिणामी विस्थापन व्यक्तिगत विस्थापनों का सदिश योग होता है। चूंकि प्रकाश तरंग प्रकृति प्रदर्शित करता है,इसलिए यह व्यतिकरण की घटना दर्शाता है,चाहे तरंग को सामान्य तरंग संदर्भ में अनुदैर्ध्य माना जाए या अनुप्रस्थ।

(D) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ के लिए,कलांतर $\phi_A = \pi/2$:
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/2) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$
बिंदु $B$ के लिए,कलांतर $\phi_B = 2\pi$:
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(2\pi) = 5I + 2(2I)(1) = 5I + 4I = 9I$
बिंदु $A$ और $B$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर है:
$|I_B - I_A| = |9I - 5I| = 4I$

(B) विवर्तन और व्यतिकरण ऐसी घटनाएं हैं जिन्हें केवल प्रकाश को एक तरंग मानकर ही समझाया जा सकता है। इसलिए,ये घटनाएं प्रकाश की तरंग प्रकृति को प्रदर्शित करती हैं।

(C) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $A_1 = a$,$A_2 = 2a$ और $\phi = \pi$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I = a^2 + (2a)^2 + 2(a)(2a) \cos \pi$.
चूंकि $\cos \pi = -1$,इसलिए:
$I = a^2 + 4a^2 + 4a^2(-1)$.
$I = 5a^2 - 4a^2 = a^2$.
अतः,परिणामी तीव्रता $a^2$ है।

(A) व्यतिकरण पैटर्न को देखने के लिए,दो प्रकाश स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है।
कला-संबद्ध स्रोत वे होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।
दो स्वतंत्र प्रकाश स्रोत,जैसे कि दो सोडियम लैंप,स्वतंत्र परमाणु संक्रमणों के कारण प्रकाश उत्सर्जित करते हैं।
ये संक्रमण यादृच्छिक रूप से होते हैं,जिससे उत्सर्जित प्रकाश की कला प्रत्येक स्रोत के लिए तेजी से और स्वतंत्र रूप से बदलती रहती है।
इसलिए,दो स्वतंत्र स्रोतों से आने वाली तरंगों के बीच का कलांतर स्थिर नहीं होता है,और व्यतिकरण की घटना को नहीं देखा जा सकता है।

(D) एक सामान्य स्रोत द्वारा उत्सर्जित प्रकाश तरंगें पूरी तरह से एकवर्णी और निरंतर नहीं होती हैं।
परमाणु संक्रमणों की प्रकृति के कारण,प्रकाश तरंग-ट्रेन (wave trains) के रूप में उत्सर्जित होता है।
एक तरंग-ट्रेन की अवधि को सुसंगत समय (coherence time) कहा जाता है।
सामान्य प्रकाश स्रोतों के लिए,यह सुसंगत समय लगभग $10^{-8} \, s$ होता है।
इस समय अंतराल के भीतर,प्रकाश तरंग की कला स्थिर रहती है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) एक स्पष्ट व्यतिकरण प्रतिरूप के लिए,उच्चिष्ठ (maxima) और निम्निष्ठ (minima) के बीच का अंतर अधिक होना चाहिए।
यह तब प्राप्त होता है जब दोनों व्यतिकरण करने वाली तरंगों की तीव्रता समान हो,अर्थात $I_1 = I_2$।
अतः,तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = 1:1$ होता है।

(B) माना दो स्रोतों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं। औसत तीव्रता $I_{avg} = I_1 + I_2$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ है।
तीव्रता में परिवर्तन $\Delta I = I_{max} - I_{min} = 4\sqrt{I_1 I_2}$ है।
दिया गया है कि $\Delta I = 0.05 \times I_{avg}$,इसलिए $4\sqrt{I_1 I_2} = 0.05(I_1 + I_2)$।
माना $r = \sqrt{I_1/I_2}$,तो $I_1 = r^2 I_2$। यह मान रखने पर:
$4r I_2 = 0.05 I_2(r^2 + 1) \Rightarrow r^2 - 80r + 1 = 0$।
इस समीकरण को हल करने पर,$I_1/I_2 = r^2 = 1681/1$ प्राप्त होता है।

(C) $a_1$ और $a_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो सुसंगत तरंगों का परिणामी आयाम $R$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$.
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि परिणामी आयाम $R$ व्यक्तिगत आयामों $(a_1, a_2)$ और तरंगों के बीच के कलांतर $\phi$ दोनों पर निर्भर करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) प्रकाश की तरंग प्रकृति की पुष्टि व्यतिकरण (interference),विवर्तन (diffraction) और ध्रुवण (polarization) जैसी घटनाओं द्वारा होती है।
हालाँकि परावर्तन और अपवर्तन को कण और तरंग दोनों सिद्धांतों द्वारा समझाया जा सकता है,लेकिन व्यतिकरण तरंगों का एक विशिष्ट गुण है जहाँ दो या दो से अधिक तरंगें अध्यारोपित होकर एक परिणामी तरंग बनाती हैं जिसका आयाम अधिक,कम या समान हो सकता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से प्रकाश की तरंग प्रकृति के लिए सबसे निर्णायक प्रमाण व्यतिकरण है।

(A) व्यतिकरण की घटना ऊर्जा संरक्षण के नियम का पालन करती है।
व्यतिकरण में ऊर्जा न तो उत्पन्न होती है और न ही नष्ट होती है; इसका केवल पुनर्वितरण होता है।
अदीप्त फ्रिंजों (जहाँ विनाशी व्यतिकरण होता है) से ऊर्जा दीप्त फ्रिंजों (जहाँ संपोषी व्यतिकरण होता है) की ओर स्थानांतरित हो जाती है।
इस प्रकार,कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और औसत तीव्रता वही रहती है जो व्यतिकरण के बिना होती।

(D) कला-संबद्ध स्रोत (coherent sources) वे स्रोत होते हैं जिनसे उत्सर्जित तरंगों के बीच का कलांतर समय के साथ नहीं बदलता है।
इस शर्त को पूरा करने के लिए,दोनों तरंगों की आवृत्ति समान होनी चाहिए।
अतः,कला-संबद्ध स्रोतों के लिए दो मुख्य शर्तें हैं: $(1)$ समान आवृत्ति और $(2)$ समय के साथ स्थिर रहने वाला कलांतर।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दो प्रकाश स्रोतों को कला-संबद्ध तब कहा जाता है यदि वे समान आवृत्ति की तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ उनके बीच का कलांतर (phase difference) स्थिर रहता है।
चूंकि दोनों स्रोत स्वतंत्र हैं,इसलिए वे स्थिर कलांतर बनाए नहीं रख सकते।
यहाँ $y_1 = 2 \sin \omega t$ और $y_2 = 3 \cos \omega t = 3 \sin(\omega t + \pi/2)$ दिया गया है,जिससे कलांतर $\pi/2$ प्रतीत होता है।
हालाँकि,स्रोतों के स्वतंत्र होने के कारण,यह कलांतर समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता रहता है।
इसलिए,दोनों तरंगें कला-संबद्ध नहीं हैं।

(A) दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,कलांतर $\phi_A = \pi/2$ है:
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/2)$
चूँकि $\cos(\pi/2) = 0$,इसलिए:
$I_A = I + 4I + 0 = 5I$
बिंदु $B$ पर,कलांतर $\phi_B = 2\pi$ है:
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(2\pi)$
चूँकि $\cos(2\pi) = 1$,इसलिए:
$I_B = I + 4I + 2(2I)(1) = 5I + 4I = 9I$
अतः,बिंदु $A$ और $B$ पर परिणामी तीव्रताएँ क्रमशः $5I$ और $9I$ हैं।

(D) व्यतिकरण की घटना को देखने के लिए,दो स्रोतों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है।
कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ उनके बीच कलांतर (phase difference) स्थिर रहता है।
इसलिए,सही शर्त यह है कि स्रोतों की आवृत्ति समान होनी चाहिए और उनके बीच एक निश्चित कला संबंध होना चाहिए।

(B) दिया गया है,पथ अंतर $\Delta x = 171.5 \lambda$.
हमें पथ अंतर $\Delta x = 0.01029 \, cm$ दिया गया है।
दोनों को बराबर करने पर,$171.5 \lambda = 0.01029 \, cm$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{0.01029}{171.5} \, cm$.
$\lambda = 0.00006 \, cm$.
इसे $\mathring{A}$ में बदलने के लिए,हम जानते हैं कि $1 \, cm = 10^8 \, \mathring{A}$ होता है।
$\lambda = 0.00006 \times 10^8 \, \mathring{A} = 6000 \, \mathring{A}$.

(D) व्यतिकरण प्रतिरूप में किसी भी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \delta$,जहाँ $\delta$ दो तरंगों के बीच का कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,कलांतर $\delta$ का मान $\pi$ का सम गुणज होना चाहिए (अर्थात $\cos \delta = 1$)।
समीकरण में $\cos \delta = 1$ रखने पर:
$I_{max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}$
इस व्यंजक को द्विपद के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है:
$I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$.

(D) तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto A^2$। अतः,$A \propto \sqrt{I}$।
$A_1$ और $A_2$ आयाम वाली दो कला-संबद्ध तरंगों के लिए,परिणामी आयाम $A_{res} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,कलांतर $\phi = 0, 2\pi, 4\pi, ...$ होता है,जिसका अर्थ है $\cos \phi = 1$।
इसलिए,अधिकतम परिणामी आयाम $A_{max} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2} = A_1 + A_2$ होगा।
चूंकि $A_1 = \sqrt{I_1}$ और $A_2 = \sqrt{I_2}$,अधिकतम आयाम $A_{max} = \sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ अधिकतम आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है:
$I_{max} \propto (A_{max})^2 = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$।

(C) परिणामी तीव्रता $I'$ का सूत्र है: $I' = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}\cos\phi$।
यहाँ $I_1 = I$,$I_2 = 4I$ और कलांतर $\phi = \pi/2$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I' = I + 4I + 2\sqrt{I}\sqrt{4I}\cos(\pi/2)$।
चूँकि $\cos(\pi/2) = 0$ होता है,इसलिए व्यतिकरण पद शून्य हो जाएगा।
अतः,$I' = I + 4I + 0 = 5I$।

(A) प्रकाश की तरंग प्रकृति उन घटनाओं द्वारा प्रदर्शित की जाती है जिनमें तरंगों का अध्यारोपण (superposition) शामिल होता है,जैसे कि व्यतिकरण,विवर्तन और ध्रुवण। $A$ सही विकल्प है क्योंकि व्यतिकरण तरंगों का एक विशिष्ट गुण है जहाँ दो या दो से अधिक प्रकाश तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होकर अधिक,कम या समान आयाम वाली परिणामी तरंग बनाती हैं। दूसरी ओर,प्रकाश-विद्युत प्रभाव प्रकाश की कण प्रकृति को प्रदर्शित करता है।

(C) जब प्रकाश तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है, तो उसकी आवृत्ति स्थिर रहती है क्योंकि यह प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है।
हालाँकि, माध्यम के अपवर्तनांक के आधार पर प्रकाश की गति $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ बदल जाते हैं।
चूंकि गति बदलती है, इसलिए $v = f \lambda$ संबंध के अनुसार तरंगदैर्ध्य भी बदल जाती है।
इंटरफ़ेस पर परावर्तन या अवशोषण के कारण आयाम बदल सकता है।
इसलिए, आवृत्ति ही एकमात्र ऐसी राशि है जो अपरिवर्तित रहती है।

(B) दी गई लंबाई $L$ में तरंगों की संख्या $n$ ज्ञात करने का सूत्र $n = \frac{L}{\lambda}$ है।
यहाँ, लंबाई $L = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4000 \, Å = 4000 \times 10^{-10} \, m = 4 \times 10^{-7} \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$n = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-7}} = \frac{1}{4} \times 10^{4} = 0.25 \times 10000 = 2500$.
अतः, तरंगों की संख्या $2500$ होगी।

(A) आवृत्ति $(f)$,प्रकाश की गति $(c)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के बीच संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $f = \frac{c}{\lambda}$.
दिया गया है:
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \, \mathring A = 500 \times 10^{-10} \, m = 5 \times 10^{-8} \, m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$f = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{-8}}$
$f = 0.6 \times 10^{16} \, Hz$
$f = 6 \times 10^{15} \, Hz$.

(B) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाली और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकारी तरंगों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,कलांतर $\phi_A = \frac{\pi}{2}$ है।
$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 5I + 2(2I)(0) = 5I$।
बिंदु $B$ पर,कलांतर $\phi_B = \pi$ है।
$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi) = 5I + 2(2I)(-1) = 5I - 4I = I$।
बिंदु $A$ और $B$ पर तीव्रताओं का अंतर $\Delta I = I_A - I_B = 5I - I = 4I$ है।

(B) दो तरंगों,जिनके आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं और उनके बीच का कलांतर $\phi$ है,के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र इस प्रकार है:
$A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2 \cos \phi}$
यहाँ $a_1 = 4$,$a_2 = 3$ और $\phi = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{4^2 + 3^2 + 2(4)(3) \cos(\frac{\pi}{3})}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$:
$A = \sqrt{16 + 9 + 24(0.5)}$
$A = \sqrt{25 + 12}$
$A = \sqrt{37}$
$A \approx 6.08$
निकटतम पूर्णांक में,परिणामी आयाम $6$ है।

(D) किसी बिंदु पर विनाशी व्यतिकरण होने के लिए,दो तरंगों के बीच का पथ अंतर तरंगदैर्ध्य के आधे का विषम गुणज होना चाहिए।
गणितीय रूप से,पथ अंतर $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$,जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$
$n = 5$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (2(5) + 1) \frac{\lambda}{2} = 11 \frac{\lambda}{2} = \frac{11}{2}\lambda$ होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $(D)$ इस शर्त को पूरा करता है।

(D) कलांतर $\phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
यहाँ पथ अंतर $\Delta x = 11\lambda$ दिया गया है,इसलिए कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 11\lambda = 22\pi$ होगा।
चूँकि कलांतर $\pi$ का एक सम गुणज है,इसलिए यहाँ संपोषी व्यतिकरण (constructive interference) होता है।
परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र $I_R = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ है।
दिए गए मान $I_1 = 9I$ और $I_2 = 4I$ रखने पर:
$I_R = (\sqrt{9I} + \sqrt{4I})^2 = (3\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (5\sqrt{I})^2 = 25I$.

(B) अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{\frac{I_{\max}}{I_{\min}}} = \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2}$.
यहाँ $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{144}{81}$ दिया गया है,इसलिए $\sqrt{\frac{144}{81}} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
मान लीजिए $r = \frac{a_1}{a_2}$. तो $\frac{r+1}{r-1} = \frac{4}{3}$.
$3(r+1) = 4(r-1) \implies 3r + 3 = 4r - 4$.
$r = 7$.
अतः,आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{7}{1}$ है।

(D) दिया गया है कि दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = n$ है।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताएँ $I_{max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती हैं।
हमें $R = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}}$ का मान ज्ञात करना है।
$I_{max}$ और $I_{min}$ के व्यंजक रखने पर:
$R = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ और $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$R = \frac{4\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}}{I_1 + I_2}$
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$R = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1}$
चूंकि $\frac{I_1}{I_2} = n$,हमें प्राप्त होता है:
$R = \frac{2\sqrt{n}}{n + 1}$

(A) पथ $1$ के लिए,जो $S_1$ और $S_2$ को जोड़ने वाली रेखा का लंब समद्विभाजक है,इस पथ पर किसी भी बिंदु पर $S_1$ और $S_2$ से आने वाली तरंगों के बीच का पथ अंतर हमेशा $0$ होता है।
चूंकि पथ अंतर $0$ है,जो $\frac{\lambda}{2}$ का सम गुणज है,इसलिए संपोषी व्यतिकरण होता है,और पथ $1$ पर हर जगह उच्चिष्ठ (maxima) प्राप्त होता है।
पथ $2$ के लिए,जो स्रोतों को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है,$S_1$ और $S_2$ से आने वाली तरंगों के बीच का पथ अंतर स्रोतों के बीच की दूरी के बराबर है,जो $1.5\lambda$ है।
चूंकि $1.5\lambda$,$\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज है (अर्थात $3 \times \frac{\lambda}{2}$),इसलिए विनाशी व्यतिकरण होता है,और पथ $2$ पर हर जगह निम्निष्ठ (minima) प्राप्त होता है।

(B) दो कला-संबद्ध स्रोतों के लिए परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है। चूंकि रेडिएटर्स समान हैं,$I_1 = I_2 = I_o$,इसलिए $I = 2I_o + 2I_o \cos \phi = 2I_o(1 + \cos \phi) = 4I_o \cos^2(\phi/2)$।
यहाँ,कुल कलांतर $\phi$ प्रारंभिक कलांतर $\phi_i = \pi/4$ और पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta$ के कारण उत्पन्न कलांतर का योग है।
पथ अंतर $\Delta x = d \sin \theta = (\lambda/4) \sin 30^\circ = (\lambda/4) \times (1/2) = \lambda/8$।
पथ अंतर के कारण कलांतर $\Delta \phi = (2\pi/\lambda) \Delta x = (2\pi/\lambda) \times (\lambda/8) = \pi/4$।
कुल कलांतर $\phi = \phi_i + \Delta \phi = \pi/4 + \pi/4 = \pi/2$।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = 4I_o \cos^2(\pi/4) = 4I_o \times (1/\sqrt{2})^2 = 4I_o \times (1/2) = 2I_o$।

(D) माना प्रत्येक स्रोत की तीव्रता $I_0$ है। अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ का सूत्र $I_{max} = (\sqrt{I_0} + \sqrt{I_0})^2 = 4I_0$ है।
दिया गया है कि $4I_0 = 100$,इसलिए $I_0 = 25$ इकाई।
जब एक स्रोत की तीव्रता में $36\%$ की कमी की जाती है,तो नई तीव्रता $I_2 = I_0 - (0.36)I_0 = 0.64I_0 = 0.64 \times 25 = 16$ इकाई हो जाती है।
दूसरे स्रोत की तीव्रता $I_1 = 25$ इकाई ही रहती है।
उसी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}$ द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $I = 25 + 16 + 2\sqrt{25 \times 16} = 41 + 2(5 \times 4) = 41 + 40 = 81$ इकाई।

(D) मान लीजिए कि दो स्रोत $S_1$ और $S_2$ हैं जो $d = 5\, \mu m$ की दूरी पर स्थित हैं। उनके बीच की दूरी $d = 5\, \mu m$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2\, \mu m$ है।
बिंदु $A$ (और $C$) पर,पथ अंतर $\Delta x = \sqrt{R^2 + (d/2)^2} - \sqrt{R^2 + (d/2)^2} = 0$ है। चूंकि स्रोत समान कला में हैं,$\Delta x = 0$ संपोषी व्यतिकरण (दीप्त) को दर्शाता है।
बिंदु $B$ पर,पथ अंतर $\Delta x = (R + d/2) - (R - d/2) = d = 5\, \mu m$ है।
यहाँ $\Delta x = 5\, \mu m$ और $\lambda = 2\, \mu m$ है,इसलिए $\Delta x = 2.5\lambda$ है। यह विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त) को दर्शाता है।
बिंदु $D$ पर,पथ अंतर $\Delta x = (R - d/2) - (R + d/2) = -d = -5\, \mu m$ है,जिसका परिमाण भी $2.5\lambda$ है,इसलिए यहाँ भी विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त) होता है।
अतः,बिंदु $A$ और $C$ दीप्त हैं,और बिंदु $B$ और $D$ अदीप्त हैं।

(B) दूरी पर स्थित दो कला-संबद्ध बिंदु स्रोतों $S_1$ और $S_2$ के लिए, किसी बिंदु $P$ पर संपोषी व्यतिकरण की शर्त पथ अंतर द्वारा दी जाती है: $|S_1P - S_2P| = n\lambda$, जहाँ $n = 0, 1, 2, ...$ और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
परिभाषा के अनुसार, उन बिंदुओं का बिंदुपथ जिनका दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरी का अंतर एक स्थिरांक $(n\lambda)$ होता है, एक अतिपरवलय कहलाता है।
चूँकि $n$ के कई पूर्णांक मान हो सकते हैं, इसलिए $n$ का प्रत्येक मान एक अलग अतिपरवलय के अनुरूप होता है।
अतः, क्षैतिज तल में संपोषी व्यतिकरण प्रदर्शित करने वाले सभी बिंदुओं का बिंदुपथ अतिपरवलयों का एक परिवार बनाता है।

(D) सीधी तरंग और परावर्तित तरंग के बीच पथ अंतर $\Delta x = (\text{परावर्तित तरंग का पथ}) - (\text{सीधी तरंग का पथ}) + \frac{\lambda}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
ज्यामिति से,पथ अंतर $\Delta x = (AB + BN) + \frac{\lambda}{2}$ है,जहाँ $\frac{\lambda}{2}$ पद सघन माध्यम (पानी) से परावर्तन पर होने वाले कला परिवर्तन को दर्शाता है।
$\Delta ACB$ में,$\cos \alpha = \frac{h}{AB}$,इसलिए $AB = \frac{h}{\cos \alpha}$.
$\Delta ANB$ में,पथ अंतर का घटक $BN = AB \cos(2\alpha)$ है।
इस प्रकार,$\Delta x = AB(1 + \cos 2\alpha) + \frac{\lambda}{2} = AB(2 \cos^2 \alpha) + \frac{\lambda}{2}$.
$AB = \frac{h}{\cos \alpha}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\Delta x = \frac{h}{\cos \alpha} (2 \cos^2 \alpha) + \frac{\lambda}{2} = 2h \cos \alpha + \frac{\lambda}{2}$.
अधिकतम तीव्रता के लिए,पथ अंतर $\lambda$ का पूर्णांक गुणज होना चाहिए। पहले अधिकतम के लिए,$\Delta x = \lambda$ रखने पर:
$\lambda = 2h \cos \alpha + \frac{\lambda}{2} \implies \frac{\lambda}{2} = 2h \cos \alpha \implies h = \frac{\lambda}{4 \cos \alpha}$.

(D) एक स्थिर व्यतिकरण पैटर्न का अवलोकन करने के लिए,दो तरंगों के बीच का कलांतर (phase difference) समय के साथ स्थिर रहना चाहिए। इसके लिए तरंगों का कला-संबद्ध (coherent) होना आवश्यक है,जिसका अर्थ है कि उनकी आवृत्ति समान होनी चाहिए।
हालाँकि,व्यतिकरण पैटर्न बनने के लिए दोनों तरंगों के आयाम और तीव्रता का समान होना आवश्यक नहीं है। यदि आयाम समान हैं,तो निम्निष्ठ (minima) पूरी तरह से अंधेरे होंगे। यदि आयाम असमान हैं,तो निम्निष्ठ पूरी तरह से अंधेरे नहीं होंगे,लेकिन व्यतिकरण पैटर्न तब भी मौजूद रहेगा।
चूंकि तीव्रता $I$,आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,इसलिए अलग-अलग आयाम होने का मतलब अलग-अलग तीव्रता होना है। अतः,स्थिर व्यतिकरण पैटर्न का अवलोकन करने के लिए समान आयाम या समान तीव्रता होना कोई आवश्यक शर्त नहीं है।

(B) स्रोत $x = 0, d, 2d, 3d$ पर स्थित हैं। $+x$ अक्ष पर दूर स्थित बिंदु $P$ के लिए,क्रमिक स्रोतों के बीच पथ अंतर $\Delta x = d$ है। कलांतर $\phi = (2\pi / \lambda) \Delta x = (2\pi d) / \lambda$ है।
मान लीजिए प्रत्येक स्रोत का आयाम $A$ है,ताकि $I_0 = kA^2$ हो। परिणामी आयाम $A_R$,$A$ परिमाण के चार फेजरों का योग है जिनके बीच कलांतर $\phi$ है: $A_R = A(1 + e^{i\phi} + e^{i2\phi} + e^{i3\phi}) = A \frac{1 - e^{i4\phi}}{1 - e^{i\phi}}$.
परिणामी तीव्रता $I = |A_R|^2 = A^2 \left| \frac{\sin(2\phi)}{\sin(\phi/2)} \right|^2 = I_0 \left( \frac{\sin(2\phi)}{\sin(\phi/2)} \right)^2$.
स्थिति $A$: यदि $d = \lambda / 4$ है,तो $\phi = (2\pi / \lambda) * (\lambda / 4) = \pi / 2$. $I = I_0 (\sin(\pi) / \sin(\pi / 4))^2 = 0$.
स्थिति $B$: यदि $d = \lambda / 6$ है,तो $\phi = (2\pi / \lambda) * (\lambda / 6) = \pi / 3$. $I = I_0 (\sin(2\pi / 3) / \sin(\pi / 6))^2 = I_0 ((\sqrt{3}/2) / (1/2))^2 = 3I_0$.
स्थिति $C$: यदि $d = \lambda / 2$ है,तो $\phi = (2\pi / \lambda) * (\lambda / 2) = \pi$. $I = I_0 (\sin(2\pi) / \sin(\pi / 2))^2 = 0$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) पर्दे पर किसी भी बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ स्रोतों को जोड़ने वाली रेखा के साथ कोण है। पर्दे पर,$\cos \theta$ का मान $-1$ से $1$ तक बदलता है। चूँकि $d = 5.5 \lambda$ है,पथ अंतर $\Delta x$ का मान $-5.5 \lambda$ से $5.5 \lambda$ के बीच होता है।
दीप्त फ्रिंज के लिए,$\Delta x = n \lambda$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
$n$ के लिए संभावित मान $\pm 5, \pm 4, \pm 3, \pm 2, \pm 1, 0$ हैं।
इनकी गणना करने पर,हमें $n = 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, -5$ प्राप्त होते हैं,जो कुल $11$ दीप्त फ्रिंज देते हैं।
हालाँकि,पर्दा अक्ष के एक ही तरफ है। दी गई व्यवस्था के अनुसार,$y = 0$ पर,पथ अंतर $\Delta x = d = 5.5 \lambda$ है,जो एक अदीप्त फ्रिंज को दर्शाता है क्योंकि $5.5 \lambda = (n + 0.5) \lambda$ जहाँ $n = 5$ है।
चूँकि केंद्र $(y=0)$ पर पथ अंतर $5.5 \lambda$ है,यह एक अदीप्त फ्रिंज है। अतः,कथन $(C)$ सही है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(D)$ सही उत्तर है।

(A) दी गई व्यवस्था में,दो कला-संबद्ध बिंदु स्रोत $S_1$ और $S_2$ स्क्रीन के लंबवत अक्ष पर रखे गए हैं।
स्क्रीन पर किसी भी बिंदु $P$ के लिए,पथ अंतर $\Delta x = |S_2P - S_1P|$ बिंदुओं के एक दिए गए बिंदु-पथ के लिए स्थिर रहता है।
चूंकि स्रोत अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए स्क्रीन पर समान पथ अंतर वाले बिंदुओं का बिंदु-पथ उस बिंदु को केंद्र मानकर संकेंद्रित वृत्तों का एक समूह बनाता है जहाँ अक्ष स्क्रीन को काटता है।
अतः,स्क्रीन पर प्राप्त व्यतिकरण फ्रिंज संकेंद्रित वृत्त होंगे।