Wave Nature and Interference of Light (Intensity) Questions in Hindi

(C) प्रकाश की तरंग प्रकृति उन घटनाओं द्वारा प्रदर्शित होती है जिनमें तरंगों का अध्यारोपण और उनकी तरंगदैर्घ्य के तुलनीय आकार की बाधाओं के साथ तरंगों की परस्पर क्रिया शामिल होती है।
$1$. व्यतिकरण $(Interference)$: यह तब होता है जब दो या दो से अधिक प्रकाश तरंगें एक-दूसरे पर अध्यारोपित होती हैं,जिससे एक नया तरंग पैटर्न बनता है।
$2$. विवर्तन $(Diffraction)$: यह किसी बाधा के कोनों के चारों ओर या किसी छिद्र से प्रकाश का मुड़ना है।
$3$. ध्रुवण $(Polarization)$: यह प्रकाश की अनुप्रस्थ तरंग प्रकृति की पुष्टि करता है।
इसके विपरीत,प्रकाश-विद्युत प्रभाव,कॉम्पटन प्रभाव और कृष्णिका विकिरण को प्रकाश की कण प्रकृति $(photons)$ द्वारा समझाया जाता है।
अतः,व्यतिकरण और विवर्तन प्रकाश की तरंग प्रकृति द्वारा समझाई जाने वाली सही घटनाएं हैं।

(A) $n$ अपवर्तनांक और $L$ ज्यामितीय पथ लंबाई वाले माध्यम से गुजरने वाली तरंग की ऑप्टिकल पथ लंबाई $OPL = n \times L$ द्वारा दी जाती है।
पहली तरंग के लिए ऑप्टिकल पथ लंबाई $OPL_{1} = n_{1}L_{1}$ है।
दूसरी तरंग के लिए ऑप्टिकल पथ लंबाई $OPL_{2} = n_{2}L_{2}$ है।
दोनों तरंगों के बीच ऑप्टिकल पथ अंतर $\Delta p = |OPL_{1} - OPL_{2}| = |n_{1}L_{1} - n_{2}L_{2}|$ है।
कलांतर $\Delta \phi$ का पथ अंतर $\Delta p$ के साथ संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta p$ सूत्र द्वारा होता है।
पथ अंतर का मान रखने पर,हमें $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} (n_{1}L_{1} - n_{2}L_{2})$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक स्रोत की तीव्रता $I$ है। परिणामी तीव्रता $I_{res} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\Delta \phi) = 2I + 2I \cos(\Delta \phi) = 4I \cos^2(\Delta \phi / 2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\Delta \phi$ कुल कलांतर है।
$1$. बिंदु $A$ के लिए: पथ अंतर $\Delta x = x_P - x_Q = 5\, m$ है। पथ के कारण कलांतर $\Delta \phi_{path} = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{20} \times 5 = \frac{\pi}{2}$ है। चूंकि $P$,$Q$ से $90^{\circ}$ $(\pi/2)$ आगे है,$Q$ से उत्सर्जित तरंग $A$ तक पहुँचने के लिए कम दूरी तय करती है। कुल कलांतर $\Delta \phi_A = \Delta \phi_{source} - \Delta \phi_{path} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$ है। अतः,$I_A = 4I \cos^2(0) = 4I$ है।
$2$. बिंदु $B$ के लिए: पथ अंतर $\Delta x = 0$ है क्योंकि $B$ लंब समद्विभाजक पर स्थित है। कुल कलांतर $\Delta \phi_B = \Delta \phi_{source} = \frac{\pi}{2}$ है। अतः,$I_B = 4I \cos^2(\pi/4) = 4I(1/2) = 2I$ है।
$3$. बिंदु $C$ के लिए: पथ अंतर $\Delta x = x_Q - x_P = 5\, m$ है। पथ के कारण कलांतर $\Delta \phi_{path} = \frac{\pi}{2}$ है। कुल कलांतर $\Delta \phi_C = \Delta \phi_{source} + \Delta \phi_{path} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi$ है। अतः,$I_C = 4I \cos^2(\pi/2) = 0$ है।
इसलिए,अनुपात $I_A : I_B : I_C = 4I : 2I : 0 = 2 : 1 : 0$ है।

(B) व्यतिकरण पैटर्न में,संपोषी व्यतिकरण के लिए शर्त यह है कि पथांतर $\Delta x$,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n\lambda$ जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ उस बिंदु पर बनता है जहाँ दो तरंगों के बीच पथांतर शून्य $(\Delta x = 0)$ होता है।
कलांतर $\phi$ और पथांतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
समीकरण में $\Delta x = 0$ रखने पर,हमें $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times 0 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्रीय उच्चिष्ठ के लिए,कलांतर $0$ होता है।

(D) व्यतिकरण प्रतिरूप में परिणामी तरंग की तीव्रता का सूत्र है: $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$।
उच्चिष्ठ के लिए,कलांतर $\phi = 2n\pi$ होता है,इसलिए $\cos \phi = 1$ होता है।
अतः,$I_{\max} = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^2$।
चूँकि $I_{1} = I_{2} = I_{0}$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_{\max} = (\sqrt{I_{0}} + \sqrt{I_{0}})^2 = (2\sqrt{I_{0}})^2 = 4I_{0}$।

(D) दिया गया तीव्रता अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = 4$ है,इसलिए हम $I_1 = 4I_2$ लिख सकते हैं।
व्यतिकरण पैटर्न में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left[ \frac{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}} \right]^2$
$I_1 = 4I_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left[ \frac{\sqrt{4I_2} + \sqrt{I_2}}{\sqrt{4I_2} - \sqrt{I_2}} \right]^2 = \left[ \frac{2\sqrt{I_2} + \sqrt{I_2}}{2\sqrt{I_2} - \sqrt{I_2}} \right]^2 = \left( \frac{3}{1} \right)^2 = 9$.
अब,हमें $\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}}$ की गणना करनी है:
$\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}} = \frac{9 + 1}{9 - 1} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{5}{x}$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{5}{x} = \frac{5}{4} \implies x = 4$.

(B) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाली दो व्यतिकारी किरणों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R$,कलांतर $\phi$ के साथ $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P$ पर,कलांतर $\phi_P = \frac{\pi}{2}$ है।
$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \times 9I} \cos \frac{\pi}{2} = 10I + 2(3I)(0) = 10I$.
बिंदु $Q$ पर,कलांतर $\phi_Q = \pi$ है।
$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \times 9I} \cos \pi = 10I + 2(3I)(-1) = 10I - 6I = 4I$.
$P$ और $Q$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर है:
$I_P - I_Q = 10I - 4I = 6I$.

(B) दिया गया है कि दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रता का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $I_2 = 4I_1$ है।
अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = I_1 + 4I_1 + 2\sqrt{I_1(4I_1)} = 5I_1 + 4I_1 = 9I_1$ होती है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = I_1 + 4I_1 - 2\sqrt{I_1(4I_1)} = 5I_1 - 4I_1 = I_1$ होती है।
अब,अनुपात $\frac{I_{\max} + I_{\min}}{I_{\max} - I_{\min}} = \frac{9I_1 + I_1}{9I_1 - I_1} = \frac{10I_1}{8I_1} = \frac{5}{4}$ की गणना करें।
इसे दिए गए व्यंजक $\frac{2\alpha + 1}{\beta + 3} = \frac{5}{4}$ के साथ तुलना करने पर,$2\alpha + 1 = 5 \implies 2\alpha = 4 \implies \alpha = 2$ और $\beta + 3 = 4 \implies \beta = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{1} = 2$ होगा।

(D) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाली और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली किरणों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos(\phi)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है।
बिंदु $A$ पर,$\phi_A = \pi/2$. अतः,$I_A = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/2) = 5I + 4I(0) = 5I$.
बिंदु $B$ पर,$\phi_B = \pi/3$. अतः,$I_B = I + 4I + 2\sqrt{I \cdot 4I} \cos(\pi/3) = 5I + 4I(1/2) = 5I + 2I = 7I$.
परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $I_B - I_A = 7I - 5I = 2I$ है।
इसकी तुलना $xI$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दो व्यतिकरण करने वाले पुंजों की परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$.
बिंदु $A$ पर,कलांतर $\phi = 0$ है। इसलिए,तीव्रता अधिकतम है:
$I_A = I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{9I} + \sqrt{4I})^2 = (3\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (5\sqrt{I})^2 = 25I$.
बिंदु $B$ पर,कलांतर $\phi = \pi$ है। इसलिए,तीव्रता न्यूनतम है:
$I_B = I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (\sqrt{9I} - \sqrt{4I})^2 = (3\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$.
बिंदु $A$ और $B$ पर परिणामी तीव्रताओं का अंतर है:
$I_A - I_B = 25I - I = 24I$.

(B) पर्दे पर किसी भी बिंदु पर पथ अंतर $\Delta x = d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = 2 \lambda$ स्रोतों के बीच की दूरी है और $\theta$ स्रोतों को जोड़ने वाली रेखा के साथ कोण है।
उच्चिष्ठ के लिए,पथ अंतर $\lambda$ का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए,अर्थात $\Delta x = n \lambda$।
चूंकि पर्दा स्रोतों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है,$\theta$ का मान $0$ से $90^\circ$ तक है।
अतः,$\Delta x = 2 \lambda \cos \theta$।
जैसे-जैसे $\theta$,$0$ से $90^\circ$ तक बदलता है,$\cos \theta$,$1$ से $0$ तक बदलता है।
इसलिए,पथ अंतर $\Delta x$,$2 \lambda$ से $0$ तक बदलता है।
$\Delta x = n \lambda$ में $n$ के लिए संभावित मान $n = 0, 1, 2$ हैं।
$n = 2$ के लिए,$\Delta x = 2 \lambda$ ($\theta = 0$ पर,पर्दे पर स्रोतों के सबसे निकटतम बिंदु पर)।
$n = 1$ के लिए,$\Delta x = \lambda$ ($\cos \theta = 0.5$ पर,अर्थात $\theta = 60^\circ$)।
$n = 0$ के लिए,$\Delta x = 0$ ($\theta = 90^\circ$ पर,अर्थात अनंत पर)।
चूंकि पर्दा स्रोतों को जोड़ने वाली रेखा के दोनों ओर सममित है,हमारे पास है:
- $\theta = 0$ पर: $1$ केंद्रीय उच्चिष्ठ $(n=2)$।
- $\theta > 0$ के लिए: $n=1$ के लिए $2$ उच्चिष्ठ (प्रत्येक तरफ एक) और $n=0$ के लिए $2$ उच्चिष्ठ (अनंत पर प्रत्येक तरफ एक)।
आमतौर पर पर्दे पर सीमित बिंदुओं के बारे में पूछा जाता है। अनंत पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर,हमारे पास $n=2$ (एक बिंदु) और $n=1$ (दो बिंदु) हैं,जो कुल $3$ उच्चिष्ठ बनाते हैं।

(C) $t$ मोटाई और $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम से गुजरने वाली तरंग का प्रकाशीय पथ $\Delta = \mu t$ द्वारा दिया जाता है।
जब दो तरंगें समान मोटाई $t$ लेकिन अलग-अलग अपवर्तनांक $\mu_1$ और $\mu_2$ वाले माध्यमों से गुजरती हैं,तो उनके प्रकाशीय पथ क्रमशः $\mu_1 t$ और $\mu_2 t$ होते हैं।
कलांतर $\Delta \phi$ का पथ अंतर $\Delta x$ के साथ संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda_0} \Delta x$ है,जहाँ $\lambda_0$ निर्वात में तरंगदैर्ध्य है।
चूंकि अपवर्तनांक $\mu = \frac{\lambda_0}{\lambda_m}$ (जहाँ $\lambda_m$ माध्यम में तरंगदैर्ध्य है),इसलिए माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ होती है।
अलग-अलग अपवर्तनांक के कारण माध्यमों में तरंगदैर्ध्य अलग-अलग होती है,जिससे प्रकाशीय पथ भिन्न हो जाते हैं,जो कलांतर में परिवर्तन का कारण बनते हैं।
अतः,अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सही हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(B) मान लीजिए कि दो तरंगों की तीव्रता $I_A = I_0$ और $I_B = 9I_0$ है।
असंगत तरंगों के लिए,परिणामी तीव्रता व्यक्तिगत तीव्रताओं का योग होती है:
$I_1 = I_A + I_B = I_0 + 9I_0 = 10I_0$.
सुसंगत तरंगों के लिए,परिणामी तीव्रता $I_2 = I_A + I_B + 2\sqrt{I_A I_B} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi = 60^{\circ}$ है।
$I_2 = I_0 + 9I_0 + 2\sqrt{I_0 \cdot 9I_0} \cos 60^{\circ}$.
$I_2 = 10I_0 + 2(3I_0) \cdot \frac{1}{2} = 10I_0 + 3I_0 = 13I_0$.
दिया गया है कि $\frac{I_1}{I_2} = \frac{10}{x}$,इसलिए $\frac{10I_0}{13I_0} = \frac{10}{x}$ है।
अतः,$x = 13$.

(D) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता वाली दो व्यतिकरण करने वाली किरणों के लिए अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है,इसलिए $I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$ है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_2} - \sqrt{I_1})^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{I})^2 = (2\sqrt{I} - \sqrt{I})^2 = (\sqrt{I})^2 = I$ है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के बीच का अंतर $I_{\max} - I_{\min} = 9I - I = 8I$ है।
इसकी तुलना $xI$ से करने पर,हमें $x = 8$ प्राप्त होता है।

(D) परिधि पर एक बिंदु $P$ पर पथ अंतर,जहाँ केंद्र को $P$ से जोड़ने वाली रेखा स्रोतों को जोड़ने वाली रेखा के साथ $\theta$ कोण बनाती है,$\Delta x = d \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $P_1$ पर,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\Delta x = d \cos 90^{\circ} = 0$। यह केंद्रीय उच्चिष्ठ के अनुरूप है।
बिंदु $P_2$ पर,$\theta = 0^{\circ}$,इसलिए $\Delta x = d \cos 0^{\circ} = d = 1.8 \ mm$।
$P_2$ पर फ्रिंज का क्रम $n = \frac{d}{\lambda} = \frac{1.8 \times 10^{-3} \ m}{600 \times 10^{-9} \ m} = 3000$ है।
चूंकि $n = 3000$ एक पूर्णांक है,इसलिए $P_2$ पर एक चमकीला बिंदु (उच्चिष्ठ) बनता है। अतः,विकल्प $[A]$ गलत है और विकल्प $[B]$ सही है।
$P_1$ $(\theta = 90^{\circ}, n=0)$ और $P_2$ $(\theta = 0^{\circ}, n=3000)$ के बीच फ्रिंजों की संख्या $3000$ है। अतः,विकल्प $[C]$ सही है।
उच्चिष्ठ के लिए,$d \cos \theta = n \lambda$। अवकलन करने पर,$-d \sin \theta \ d\theta = \lambda \ dn$,इसलिए कोणीय फ्रिंज चौड़ाई $\Delta \theta \approx |d\theta| = \frac{\lambda}{d \sin \theta}$ है।
जैसे-जैसे हम $P_1$ $(\theta = 90^{\circ})$ से $P_2$ $(\theta = 0^{\circ})$ की ओर बढ़ते हैं,$\sin \theta$ घटता है,इसलिए $\Delta \theta$ बढ़ता है। अतः,विकल्प $[D]$ गलत है।
इसलिए,सही विकल्प $[B]$ और $[C]$ हैं।

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_{\max} = (\sqrt{4I} + \sqrt{9I})^2 = (2\sqrt{I} + 3\sqrt{I})^2 = (5\sqrt{I})^2 = 25I$।
व्यतिकरण प्रतिरूप में न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I_{\min} = (\sqrt{4I} - \sqrt{9I})^2 = (2\sqrt{I} - 3\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं के बीच का अंतर $I_{\max} - I_{\min} = 25I - I = 24I$ है।
इसकी तुलना $xI$ से करने पर,हमें $x = 24$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि तीव्रताओं का अनुपात $I_1 : I_2 = 1 : 9$ है। मान लीजिए $I_1 = I$ और $I_2 = 9I$ है।
व्यतिकरण प्रतिरूप में अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता के अनुपात का सूत्र है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I} + \sqrt{9I})^2}{(\sqrt{I} - \sqrt{9I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(\sqrt{I} + 3\sqrt{I})^2}{(\sqrt{I} - 3\sqrt{I})^2}$
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4\sqrt{I})^2}{(-2\sqrt{I})^2} = \frac{16I}{4I} = \frac{4}{1}$
अतः,अनुपात $4 : 1$ है।

(C) $A_1$ और $A_2$ आयाम तथा $\phi$ कलांतर वाली दो तरंगों के परिणामी आयाम $A$ का सूत्र है: $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1 A_2 \cos \phi}$।
यहाँ,$A_1 = E_0$,$A_2 = E_0$,और $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2(E_0)(E_0) \cos(\frac{\pi}{3})}$
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5$,इसलिए:
$A = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2(0.5)}$
$A = \sqrt{2E_0^2 + E_0^2} = \sqrt{3E_0^2}$
$A = \sqrt{3} E_0 \approx 1.732 E_0$।

(C) व्यतिकरण पैटर्न में परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 9I$ दिया गया है।
बिंदु $P$ पर,कलांतर $\phi_P = \pi / 2$ है। अतः,$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi / 2) = 10I + 6I(0) = 10I$।
बिंदु $Q$ पर,कलांतर $\phi_Q = \pi$ है। अतः,$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi) = 10I + 6I(-1) = 10I - 6I = 4I$।
बिंदुओं $P$ और $Q$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $|I_P - I_Q| = |10I - 4I| = 6I$ है।

(A) व्यतिकरण की घटना में, प्रकाश की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $I_1$ और $I_2$ दो तरंगों की तीव्रताएँ हैं。
चूँकि $I \propto A^2$, जहाँ $A$ आयाम है, विनाशी व्यतिकरण के बिंदुओं पर तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2 = (A_1 - A_2)^2$ होती है。
यदि आयाम $A_1$ और $A_2$ भिन्न हैं, तो $(A_1 - A_2)^2 \neq 0$ होगा。
अतः, विनाशी व्यतिकरण के क्षेत्र में तीव्रता शून्य नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि वहाँ प्रकाश की कुछ अवशिष्ट तीव्रता मौजूद रहती है。

(A) माध्यम में किसी किरण की प्रकाशीय पथ लंबाई को माध्यम के अपवर्तनांक और किरण द्वारा तय की गई ज्यामितीय पथ लंबाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पहली किरण का प्रकाशीय पथ = $\mu_1 L_1$.
दूसरी किरण का प्रकाशीय पथ = $\mu_2 L_2$.
दोनों किरणों के बीच प्रकाशीय पथ अंतर $\Delta x = |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ है।
कलांतर $(\Delta \phi)$ और प्रकाशीय पथ अंतर $(\Delta x)$ के बीच का संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ द्वारा दिया जाता है।
पथ अंतर का मान रखने पर,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ प्राप्त होता है।

(C) दो अध्यारोपित होने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $A$,जिनके व्यक्तिगत आयाम $a_1$ और $a_2$ हैं और कलांतर $\phi$ है,इस प्रकार दिया जाता है: $A^2 = a_1^2 + a_2^2 + 2 a_1 a_2 \cos \phi$.
चूंकि तरंगें एकसमान हैं,इसलिए $a_1 = a_2 = a$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $A^2 = a^2 + a^2 + 2 a^2 \cos \phi = 2 a^2 (1 + \cos \phi)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\phi/2)$ का उपयोग करने पर: $A^2 = 2 a^2 (2 \cos^2(\phi/2)) = 4 a^2 \cos^2(\phi/2)$.
चूंकि तीव्रता $I$ आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है $(I \propto A^2)$,इसलिए $I \propto \cos^2(\phi/2)$ प्राप्त होता है।

(D) कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच संबंध $\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$ है।
प्रथम बिंदु के लिए,$\Delta x_1 = 0$,अतः $\Delta \phi_1 = 0$। तीव्रता $I_1 = I_{max} \cos^2(\frac{\Delta \phi_1}{2}) = I_{max} \cos^2(0) = I_{max}$ होगी।
द्वितीय बिंदु के लिए,$\Delta x_2 = \frac{\lambda}{2}$,अतः $\Delta \phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi$। तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0$ होगी।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}}{0} = \infty$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\infty: 1$ है।

(C) बिंदु $P$ पर कुल कलांतर $\Delta \phi$, स्रोतों के बीच प्रारंभिक कलांतर और पथ अंतर के कारण उत्पन्न कलांतर का योग है।
माना $\phi_1$ स्रोतों $A$ और $B$ के बीच प्रारंभिक कलांतर है। दिया गया है $\phi_1 = 54^{\circ}$।
रेडियन में बदलने पर: $\phi_1 = 54 \times \frac{\pi}{180} = 0.3 \pi \text{ rad}$।
माना $\phi_2$ पथ अंतर $\Delta x = PB - PA = 2.5 \lambda$ के कारण कलांतर है।
पथ अंतर के कारण कलांतर का सूत्र $\phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \Delta x$ है।
मान रखने पर: $\phi_2 = \frac{2 \pi}{\lambda} \times 2.5 \lambda = 5 \pi \text{ rad}$।
चूँकि स्रोत $A$ कला में आगे है, इसलिए कुल कलांतर $\Delta \phi = \phi_2 + \phi_1 = 5 \pi + 0.3 \pi = 5.3 \pi \text{ rad}$ होगा।

(C) सही विकल्प $C$ है।
कथन $A$ गलत है क्योंकि जब एक तरंग का शृंग दूसरी तरंग के शृंग के साथ संपाती होता है,तो आयाम जुड़ जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप संपोषी व्यतिकरण होता है,न कि विनाशी व्यतिकरण।
कथन $B$ सही है क्योंकि,परिभाषा के अनुसार,कला-संबद्ध स्रोत वे स्रोत होते हैं जो समान आवृत्ति की प्रकाश तरंगें उत्सर्जित करते हैं और समय के साथ एक स्थिर कलांतर बनाए रखते हैं।

(A) व्यतिकरण में,फ्रिंज समान रूप से चमकीले और समान दूरी पर होते हैं,और चमकीले फ्रिंज की तीव्रता प्रत्येक आपतित तरंग की तीव्रता की चार गुना होती है।
किसी बिंदु पर परिणामी तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1}\sqrt{I_2}\cos\delta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_1$ और $I_2$ दो स्रोतों से आने वाली तरंगों की तीव्रता हैं।
संपोषी व्यतिकरण के लिए,एक तरंग का श्रृंग दूसरी तरंग के श्रृंग के साथ संपाती होता है,या गर्त गर्त के साथ संपाती होता है। कथन $C$ गलत है क्योंकि वर्णित स्थिति (श्रृंग और गर्त का संपाती होना) विनाशी व्यतिकरण की ओर ले जाती है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ पर संपोषी व्यतिकरण के लिए,कलांतर $\delta = 0$ होता है।
यदि $I_1 = I_2 = I$ है,तो $I_{\max} = I + I + 2\sqrt{I}\sqrt{I}\cos(0) = 4I$.
अतः,कथन $A$ और $B$ सही हैं।

(D) दो कला-संबद्ध स्रोतों द्वारा उत्पन्न व्यतिकरण प्रतिरूप में,संपोषी व्यतिकरण (अधिकतम तीव्रता) के लिए शर्त पथांतर $\Delta x = n \lambda$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ उच्चिष्ठ का क्रम है $(n = 0, 1, 2, 3, \dots)$।
$10$ वें क्रम के उच्चिष्ठ के लिए,हम सूत्र में $n = 10$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,पथांतर $\Delta x = 10 \lambda$ होगा।

(D) व्यतिकरण पैटर्न में प्रकाश की तीव्रता $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए, कलांतर $\phi = (2n+1)\pi$ होता है, जो $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ की ओर ले जाता है।
यदि आयाम अलग-अलग हैं, तो $I_1 \neq I_2$, जिसका अर्थ है कि $\sqrt{I_1} \neq \sqrt{I_2}$।
इसलिए, $I_{min} \neq 0$।
इसका मतलब यह है कि विनाशी व्यतिकरण के क्षेत्र में, तरंगें एक-दूसरे को पूरी तरह से रद्द नहीं करती हैं, और वहां प्रकाश की कुछ अवशिष्ट तीव्रता बनी रहती है।

(A) तरंग की तीव्रता $I$ उसके आयाम $a$ के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto a^{2}$।
इसका अर्थ है कि आयाम $a$ तीव्रता के वर्गमूल के समानुपाती होता है,अर्थात $a \propto \sqrt{I}$।
मान लीजिए कि दो कला-सम्बद्ध स्रोतों के आयाम $a_{1}$ और $a_{2}$ हैं,जहाँ $a_{1} \propto \sqrt{I_{1}}$ और $a_{2} \propto \sqrt{I_{2}}$।
व्यतिकरण प्रतिरूप में,अधिकतम तीव्रता $(I_{\max})$ संपोषी व्यतिकरण के बिंदुओं पर होती है,जहाँ कलांतर $\pi$ का सम गुणज $(2n\pi)$ होता है।
इन बिंदुओं पर,परिणामी आयाम व्यक्तिगत आयामों का योग होता है: $A_{\max} = a_{1} + a_{2}$।
चूँकि $I_{\max} \propto A_{\max}^{2}$,इसलिए $I_{\max} \propto (a_{1} + a_{2})^{2}$।
$a_{1}$ और $a_{2}$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{\max} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2}$ प्राप्त होता है।

(D) व्यतिकरण में परिणामी तरंग की तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है और $I_0$ प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत की तीव्रता है।
कलांतर $\phi$ का पथ अंतर $\Delta x$ के साथ संबंध $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ है।
पथ अंतर $\Delta x = 0$ के लिए,कलांतर $\phi = 0$ होता है। अतः,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$।
पथ अंतर $\Delta x = \lambda/2$ के लिए,कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi$ होता है। अतः,$I_2 = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 4I_0 \cdot 0 = 0$।
तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{0} = \infty$ है।
अतः,अनुपात $\infty:1$ है।

(C) व्यतिकरण प्रतिरूप में, तीव्रता $I$ का मान $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए, कलांतर $\phi = (2n+1)\pi$ होता है, इसलिए $\cos \phi = -1$ होता है।
न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होती है।
यदि आयाम अलग-अलग हैं, तो $I_1 \neq I_2$, जिसका अर्थ है कि $\sqrt{I_1} \neq \sqrt{I_2}$।
अतः, $I_{min} \neq 0$।
इसका मतलब यह है कि विनाशी व्यतिकरण के क्षेत्र में, पूर्ण अंधकार के बजाय प्रकाश की कुछ अवशिष्ट तीव्रता मौजूद रहती है।

(D) विनाशी व्यतिकरण होने के लिए,दो प्रकाश तरंगों को एक बिंदु पर ऐसे कलांतर के साथ पहुँचना चाहिए कि उनके आयाम एक-दूसरे को निरस्त कर दें।
यह तब होता है जब तरंगें विपरीत कला में होती हैं,जिसका अर्थ है कि जब एक तरंग श्रृंग पर होती है तो दूसरी गर्त पर होती है।
विनाशी व्यतिकरण के लिए कलांतर की शर्त $\Delta \phi = (2n + 1)\pi$ है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \ldots$ है।
$n$ के मान रखने पर,हमें $\Delta \phi = \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$ प्राप्त होता है।

(C) व्यतिकरण की घटना में,माध्यम में ऊर्जा का पुनर्वितरण होता है।
संपोषी व्यतिकरण के बिंदुओं पर तीव्रता (और इसलिए ऊर्जा) अधिकतम होती है,जबकि विनाशी व्यतिकरण के बिंदुओं पर तीव्रता न्यूनतम होती है।
चूंकि माध्यम में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है,इसलिए व्यतिकरण की घटना ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।

(C) व्यतिकरण प्रयोग में,परिणामी तीव्रता $I$ का मान $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\phi$ दो व्यतिकारी तरंगों के बीच का कलांतर है।
तीव्रता तब न्यूनतम होती है जब $\cos \phi = -1$ हो।
यह तब होता है जब कलांतर $\phi$,$\pi$ का विषम गुणज हो।
अतः,न्यूनतम तीव्रता के लिए शर्त $\phi = (2n-1) \pi$ है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \ldots$ है।

(D) ऑप्टिकल पथ की लंबाई को माध्यम के अपवर्तनांक और प्रकाश द्वारा तय की गई ज्यामितीय दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
निर्वात (या हवा) में,$t$ दूरी के लिए ऑप्टिकल पथ $t_{opt} = 1 \times t = t$ होता है।
जब $t$ मोटाई और $n$ अपवर्तनांक वाली अभ्रक फिल्म को पेश किया जाता है,तो प्रकाश फिल्म के माध्यम से $t$ दूरी तय करता है।
फिल्म के माध्यम से ऑप्टिकल पथ $t'_{opt} = n \times t = nt$ होता है।
ऑप्टिकल पथ में परिवर्तन $\Delta = t'_{opt} - t_{opt} = nt - t = (n-1)t$ है।
चूंकि $n > 1$ है,इसलिए ऑप्टिकल पथ $(n-1)t$ से बढ़ जाता है।

(D) माना कि दो तरंगों के आयाम $A_1 = 5x$ और $A_2 = x$ हैं।
अधिकतम तीव्रता $I_{max}$ आयामों के योग के वर्ग के समानुपाती होती है: $I_{max} \propto (A_1 + A_2)^2 = (5x + x)^2 = (6x)^2 = 36x^2$.
न्यूनतम तीव्रता $I_{min}$ आयामों के अंतर के वर्ग के समानुपाती होती है: $I_{min} \propto (A_1 - A_2)^2 = (5x - x)^2 = (4x)^2 = 16x^2$.
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{36x^2}{16x^2} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ है।

(D) व्यतिकरण पैटर्न में परिणामी तीव्रता $I_R$ का सूत्र है: $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$।
अधिकतम तीव्रता $(I_{\max})$ के लिए,कलांतर $\phi = 0$ होता है,इसलिए $I_{\max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 4I$ दिया गया है:
$I_{\max} = (\sqrt{I} + \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} + 2\sqrt{I})^2 = (3\sqrt{I})^2 = 9I$।
न्यूनतम तीव्रता $(I_{\min})$ के लिए,कलांतर $\phi = \pi$ होता है,इसलिए $I_{\min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$।
$I_{\min} = (\sqrt{I} - \sqrt{4I})^2 = (\sqrt{I} - 2\sqrt{I})^2 = (-\sqrt{I})^2 = I$।
अतः,अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता क्रमशः $9I$ और $I$ है।

(C) दिया गया है कि दो तरंगों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ है।
चूंकि तीव्रता $I \propto a^2$ होती है,इसलिए आयामों का अनुपात $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ होगा।
अधिकतम तीव्रता $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ और न्यूनतम तीव्रता $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ होती है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{3 + 2}{3 - 2} \right)^2 = \left( \frac{5}{1} \right)^2 = \frac{25}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $25: 1$ है।

(C) $\mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में $L$ भौतिक पथ लंबाई के लिए ऑप्टिकल पथ लंबाई को $\Delta = \mu L$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
पहली किरण के लिए,ऑप्टिकल पथ $\Delta_1 = \mu_1 L_1$ है।
दूसरी किरण के लिए,ऑप्टिकल पथ $\Delta_2 = \mu_2 L_2$ है।
दोनों किरणों के बीच पथ अंतर $\Delta x = |\Delta_1 - \Delta_2| = |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ है।
कलांतर $\phi$ का पथ अंतर $\Delta x$ के साथ संबंध $\phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,कलांतर $\frac{2 \pi}{\lambda} |\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2|$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही व्यंजक $\frac{2 \pi}{\lambda} [\mu_1 L_1 - \mu_2 L_2]$ है।

(B) माना कि दो तरंगों की तीव्रताएँ $I_1$ और $I_2$ हैं।
दिया गया है: $I_1/I_2 = 49/16$.
चूंकि तीव्रता $I \propto A^2$ होती है,इसलिए आयामों का अनुपात $\sqrt{I_1}/\sqrt{I_2} = A_1/A_2 = \sqrt{49}/\sqrt{16} = 7/4$ होगा।
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + A_2}{A_1 - A_2}\right)^2$.
मान रखने पर:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{7 + 4}{7 - 4}\right)^2 = \left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{9}$.
अतः,अनुपात $121:9$ है।

(B) विनाशी व्यतिकरण के लिए शर्त यह है कि पथ अंतर $\Delta x$,$\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज होना चाहिए।
दिया गया पथ अंतर $\Delta x = 31.5 \lambda = \frac{63}{2} \lambda = 63 \left( \frac{\lambda}{2} \right)$ है।
चूँकि $63$ एक विषम पूर्णांक है,इसलिए पथ अंतर $\frac{\lambda}{2}$ का विषम गुणज है।
अतः,यह बिंदु विनाशी व्यतिकरण को दर्शाता है,जिसके परिणामस्वरूप एक अंधेरा बिंदु प्राप्त होता है।

(B) तरंग की तीव्रता उसके आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,$I \propto a^2$,इसलिए $I = ka^2$। मान लीजिए $I_1 = ka_1^2$ और $I_2 = ka_2^2$ है।
व्यतिकरण के दौरान अधिकतम तीव्रता $I_{\max} = k(a_1 + a_2)^2 = k(a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2)$ द्वारा दी जाती है।
व्यतिकरण के दौरान न्यूनतम तीव्रता $I_{\min} = k(a_1 - a_2)^2 = k(a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2)$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं का योग $I_{\max} + I_{\min} = k(a_1^2 + a_2^2 + 2a_1a_2) + k(a_1^2 + a_2^2 - 2a_1a_2)$ है।
$I_{\max} + I_{\min} = k(2a_1^2 + 2a_2^2) = 2(ka_1^2 + ka_2^2)$।
तीव्रताओं के मान वापस रखने पर,हमें $I_{\max} + I_{\min} = 2(I_1 + I_2)$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक व्यक्तिगत तरंग की तीव्रता $I$ है।
जब $\phi$ कलांतर वाली दो एकसमान तरंगें अध्यारोपित होती हैं,तो परिणामी तीव्रता $I_R$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
चूंकि तरंगें एकसमान हैं,इसलिए $I_1 = I_2 = I$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I_R = I + I + 2\sqrt{I \cdot I} \cos \phi$
$I_R = 2I + 2I \cos \phi$
$I_R = 2I(1 + \cos \phi)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \phi = 2 \cos^2 \frac{\phi}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I_R = 2I(2 \cos^2 \frac{\phi}{2}) = 4I \cos^2 \frac{\phi}{2}$
अतः,परिणामी तीव्रता $\cos^2 \frac{\phi}{2}$ के समानुपाती होती है।

(C) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण तरंगों के लिए परिणामी तीव्रता $I_R = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $I_1 = I$ और $I_2 = 9I$ दिया गया है।
बिंदु $P$ पर,कलांतर $\phi_P = \frac{\pi}{2}$ है।
$I_P = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\frac{\pi}{2}) = 10I + 6I(0) = 10I$.
बिंदु $Q$ पर,कलांतर $\phi_Q = \pi$ है।
$I_Q = I + 9I + 2\sqrt{I \cdot 9I} \cos(\pi) = 10I + 6I(-1) = 10I - 6I = 4I$.
बिंदु $P$ और $Q$ पर परिणामी तीव्रताओं के बीच का अंतर $\Delta I = I_P - I_Q = 10I - 4I = 6I$ है।

(A) $I_1$ और $I_2$ तीव्रता और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों की परिणामी तीव्रता $I'$ का सूत्र है:
$I' = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$
यहाँ $I_1 = I$,$I_2 = 4I$ और $\phi = \pi$ दिया गया है:
$I' = I + 4I + 2\sqrt{I \times 4I} \cos \pi$
चूँकि $\cos \pi = -1$:
$I' = 5I + 2\sqrt{4I^2} (-1)$
$I' = 5I + 2(2I)(-1)$
$I' = 5I - 4I = I$

(D) दो आवर्ती तरंगों की परिणामी तीव्रता निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\delta$
जहाँ $\delta$ तरंगों के बीच का कलांतर है।
अधिकतम तीव्रता के लिए,$\cos\delta = 1$,इसलिए:
$I_{\max} = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2}$
न्यूनतम तीव्रता के लिए,$\cos\delta = -1$,इसलिए:
$I_{\min} = I_{1} + I_{2} - 2\sqrt{I_{1}I_{2}} = (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^{2}$
अधिकतम और न्यूनतम तीव्रताओं का योग है:
$I_{\max} + I_{\min} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2} + (\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})^{2}$
पदों का विस्तार करने पर:
$I_{\max} + I_{\min} = (I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}}) + (I_{1} + I_{2} - 2\sqrt{I_{1}I_{2}})$
$I_{\max} + I_{\min} = 2(I_{1} + I_{2})$

(B) दी गई लंबाई $L$ में तरंगों की संख्या $N$ की गणना सूत्र $N = \frac{L}{\lambda}$ द्वारा की जाती है।
दिया गया है:
लंबाई $L = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 4000 \text{ Å} = 4000 \times 10^{-10} \text{ m} = 4 \times 10^{-7} \text{ m}$.
मान रखने पर:
$N = \frac{10^{-3}}{4 \times 10^{-7}}$
$N = \frac{1}{4} \times 10^{-3 - (-7)}$
$N = 0.25 \times 10^4$
$N = 2500$.
अतः, तरंगों की संख्या $2500$ है।

(C) दो अध्यारोपित तरंगों की परिणामी तीव्रता $I$ को सूत्र $I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi$ द्वारा दिया जाता है।
असंगत स्रोतों के लिए,कलांतर $\phi$ समय के साथ यादृच्छिक रूप से बदलता रहता है।
इसलिए,व्यतिकरण पद $\langle 2\sqrt{I_{1}I_{2}} \cos \phi \rangle$ का समय पर औसत मान $0$ होता है क्योंकि $\cos \phi$ का औसत मान $0$ है।
यह दिया गया है कि $I_{1} = I_{2} = I_{0}$,इसलिए परिणामी औसत तीव्रता है:
$I_{avg} = I_{1} + I_{2} = I_{0} + I_{0} = 2I_{0}$.

(A) जब प्रकाश तरंग एक विरल माध्यम से एक गैर-परावर्तक और गैर-अवशोषक माध्यम में यात्रा करती है,तो उसके द्वारा ले जाई जाने वाली कुल ऊर्जा समान रहती है।
प्रकाश तरंग में ऊर्जा तरंग की आवृत्ति और फोटॉन की संख्या के समानुपाती होती है।
चूंकि माध्यम बदलने पर प्रकाश की आवृत्ति स्थिर रहती है और माध्यम गैर-अवशोषक (कोई ऊर्जा हानि नहीं) और गैर-परावर्तक (कोई ऊर्जा परावर्तित नहीं) है,इसलिए कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।

(D) $A_1$ और $A_2$ आयाम और $\phi$ कलांतर वाली दो व्यतिकरण करने वाली तरंगों का परिणामी आयाम $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $A_1 = 3 A$,$A_2 = 2 A$ और $\phi = 60^{\circ}$ दिया गया है।
तीव्रता $I$ परिणामी आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है,अर्थात $I \propto R^2$.
$R^2 = (3 A)^2 + (2 A)^2 + 2(3 A)(2 A) \cos(60^{\circ})$.
$R^2 = 9 A^2 + 4 A^2 + 12 A^2 \times (0.5)$.
$R^2 = 13 A^2 + 6 A^2 = 19 A^2$.
अतः,तीव्रता $19 A^2$ के समानुपाती होगी।