Polarisation of Light and Malus' Law Questions in Hindi

(B) जब $I$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले ध्रुवक $A$ से गुजरता है,तो बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_A = \frac{I}{2}$ होती है।
चूंकि $A$ और $B$ समानांतर हैं,इसलिए $B$ के बाद की तीव्रता भी $\frac{I}{2}$ होती है।
जब ध्रुवक $C$ को $A$ के सापेक्ष $\theta$ कोण पर $A$ और $B$ के बीच रखा जाता है,तो $C$ के बाद की तीव्रता $I_C = I_A \cos^2 \theta = \frac{I}{2} \cos^2 \theta$ होती है।
चूंकि $B$,$A$ के समानांतर है,इसलिए अंतिम तीव्रता $I_B = I_A \cos^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{I}{2} \cos^4 \theta$ प्राप्त होती है।
दिया गया है कि $I_B = \frac{I}{8}$,इसलिए $\frac{I}{2} \cos^4 \theta = \frac{I}{8}$.
$\cos^4 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 45^{\circ}$।

(B) मान लीजिए कि अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता $I_0$ है।
पहले ध्रुवक से गुजरने के बाद,तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
पहले और दूसरे ध्रुवक के बीच का कोण $\theta_1 = 60^o - 30^o = 30^o$ है।
मेलस के नियम का उपयोग करते हुए,दूसरे ध्रुवक के बाद तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(30^o) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{8}$ है।
दूसरे और तीसरे ध्रुवक के बीच का कोण $\theta_2 = 30^o - 60^o = -30^o$ है।
मेलस के नियम का उपयोग करते हुए,तीसरे ध्रुवक के बाद तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(-30^o) = \frac{3I_0}{8} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{9I_0}{32}$ है।
अतः,संचरित प्रारंभिक तीव्रता का अंश $\frac{9}{32}$ है।

(C) माना कि अध्रुवित आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ हो जाती है।
जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड से गुजरता है जिसकी अक्ष पहले पोलेरॉइड के साथ $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर है,तो निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I'$ मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I' = I_1 \cos^2 \theta$.
मान रखने पर: $I' = (I_0 / 2) \cos^2(30^{\circ}) = (I_0 / 2) (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
अध्रुवित आपतित प्रकाश $(I_0)$ और ध्रुवित निर्गत प्रकाश $(I')$ की तीव्रताओं का अनुपात $I_0 / I' = I_0 / (3 I_0 / 8) = 8 / 3$ है।

(A) माना $I_P$ समतल ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है और $I_0$ अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है।
जब प्रकाश एक पोलराइज़र से गुजरता है,तो अध्रुवित घटक की पारगमित तीव्रता $I_0/2$ होती है।
ध्रुवित घटक की पारगमित तीव्रता $I_P \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ ध्रुवण दिशा और पोलराइज़र की संचरण अक्ष के बीच का कोण है।
कुल पारगमित तीव्रता $I(\theta) = I_0/2 + I_P \cos^2 \theta$ है।
अधिकतम तीव्रता $\theta = 0$ पर होती है,इसलिए $I_{max} = I_0/2 + I_P$।
न्यूनतम तीव्रता $\theta = 90^\circ$ पर होती है,इसलिए $I_{min} = I_0/2$।
यह दिया गया है कि तीव्रता $4$ के गुणक से बदलती है,इसलिए $I_{max} / I_{min} = 4$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $(I_0/2 + I_P) / (I_0/2) = 4$।
$1 + 2(I_P / I_0) = 4$।
$2(I_P / I_0) = 3$।
$I_P / I_0 = 3/2$।

(A) $1$. जब $I_{max}$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलराइज़र से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_{max}}{2}$ होती है।
$2$. दूसरा पोलराइज़र $\omega$ कोणीय गति से घूम रहा है,इसलिए पहले और दूसरे पोलराइज़र की संचरण अक्षों के बीच का कोण $\theta = \omega t$ है। मैलस के नियम के अनुसार,दूसरे पोलराइज़र से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_{max}}{2} \cos^2 \omega t$ है।
$3$. तीसरा पोलराइज़र पहले पोलराइज़र के सापेक्ष $90^\circ$ के कोण पर स्थिर है। इसलिए,दूसरे और तीसरे पोलराइज़र की संचरण अक्षों के बीच का कोण $(90^\circ - \theta) = (90^\circ - \omega t)$ है।
$4$. तीसरे पोलराइज़र के लिए फिर से मैलस का नियम लागू करने पर: $I = I_2 \cos^2(90^\circ - \omega t) = I_2 \sin^2 \omega t$.
$5$. $I_2$ का मान रखने पर: $I = (\frac{I_{max}}{2} \cos^2 \omega t) \sin^2 \omega t = \frac{I_{max}}{2} (\sin \omega t \cos \omega t)^2 = \frac{I_{max}}{2} (\frac{\sin 2\omega t}{2})^2 = \frac{I_{max}}{8} \sin^2 2\omega t$.
$6$. सर्वसमिका $\sin^2 \phi = \frac{1 - \cos 2\phi}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = \frac{I_{max}}{8} \cdot \frac{1 - \cos 4\omega t}{2} = \frac{I_{max}}{16} (1 - \cos 4\omega t)$.

(A) माना $I_P$ समतल ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है और $I_0$ अध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है।
जब ध्रुवीकरण शीट को घुमाया जाता है,तो संचरित तीव्रता $I = I_P \cos^2 \theta + \frac{I_0}{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ आपतित ध्रुवीकृत प्रकाश की ध्रुवीकरण दिशा और शीट की संचरण अक्ष के बीच का कोण है।
अधिकतम तीव्रता $\theta = 0^{\circ}$ पर होती है,इसलिए $I_{\max} = I_P + \frac{I_0}{2}$।
न्यूनतम तीव्रता $\theta = 90^{\circ}$ पर होती है,इसलिए $I_{\min} = \frac{I_0}{2}$।
दिया गया है कि अनुपात $I_{\max} / I_{\min} = 4$,इसलिए $\frac{I_P + I_0/2}{I_0/2} = 4$।
इसे सरल करने पर $\frac{I_P}{I_0/2} + 1 = 4$,जिसका अर्थ है $\frac{2I_P}{I_0} = 3$।
अतः,अनुपात $\frac{I_P}{I_0} = \frac{3}{2}$ है।

(B) एक पोलराइजिंग शीट (या पोलराइज़र) में एक विशिष्ट दिशा में संरेखित लंबी-श्रृंखला वाले अणु होते हैं, जिसे ट्रांसमिशन अक्ष या पोलराइजिंग दिशा के रूप में जाना जाता है।
जब अध्रुवित प्रकाश, जिसके विद्युत क्षेत्र सदिश प्रसार की दिशा के लंबवत सभी दिशाओं में दोलन करते हैं, पोलराइज़र से गुजरता है, तो ट्रांसमिशन अक्ष के समानांतर विद्युत क्षेत्र का घटक संचरित हो जाता है।
ट्रांसमिशन अक्ष के लंबवत विद्युत क्षेत्र का घटक लंबी-श्रृंखला वाले अणुओं में इलेक्ट्रॉनों के साथ परस्पर क्रिया करता है और सामग्री द्वारा अवशोषित हो जाता है।
इसलिए, पोलराइज़र से निकलने वाला प्रकाश ट्रांसमिशन अक्ष की दिशा में रैखिक रूप से ध्रुवीकृत होता है।
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(B) माना आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड $A$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_A = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
पोलेरॉइड $C$ को $A$ के सापेक्ष $\theta_1 = 30^o$ के कोण पर रखा गया है। मैलस के नियम के अनुसार,$C$ से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_C = I_A \cos^2(30^o) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3I_0}{8}$ है।
पोलेरॉइड $B$ को $A$ के लंबवत रखा गया है,इसलिए $C$ और $B$ के बीच का कोण $\theta_2 = 90^o - 30^o = 60^o$ है।
$B$ से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_B = I_C \cos^2(60^o) = \frac{3I_0}{8} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{3I_0}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{3I_0}{32}$ है।
$B$ से बाहर निकलने वाली तीव्रता का प्रतिशत $\frac{I_B}{I_0} \times 100 = \frac{3}{32} \times 100 = 9.375 \% \approx 9.4 \%$ है।

(C) $I$ तीव्रता के अध्रुवित प्रकाश में प्रत्येक $I/2$ तीव्रता के दो लंबवत घटक होते हैं।
जब यह प्रकाश बिंदु $A$ पर प्रकीर्णित होता है,तो प्रकीर्णन तल के लंबवत दोलन करने वाला घटक अपनी तीव्रता $I/2$ बनाए रखता है।
प्रकीर्णन तल में दोलन करने वाला घटक प्रकीर्णन ज्यामिति के कारण $\cos^2 \theta$ के कारक से कम हो जाता है,जिससे तीव्रता $(I/2) \cos^2 \theta$ हो जाती है।
दी गई आकृति और समाधान के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा अनुभव की जाने वाली कुल तीव्रता प्रकीर्णन तल के लंबवत घटक $(I/2)$ और प्रकीर्णन तल में मौजूद घटक का योग है,जो $\frac{I}{2} + \frac{I}{2} \sin^2 \theta$ है।

(D) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले ध्रुवक (polarizer) से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब यह प्रकाश दूसरे ध्रुवक से गुजरता है जिसकी पास अक्ष पहले के साथ $\phi$ कोण पर है,तो अंतिम तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \phi$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि अंतिम तीव्रता $I_2 = \frac{I_0}{4}$ है।
मान रखने पर: $\frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{2} \cos^2 \phi$.
$\Rightarrow \cos^2 \phi = \frac{1}{2}$.
$\Rightarrow \cos \phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\phi = 45^{\circ}$।

(B) मान लीजिए कि अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है। पहले ध्रुवक (polariser) से गुजरने के बाद,पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
यह $I_1$ पहले पारगमित पुंज की अधिकतम तीव्रता है।
मेलस के नियम के अनुसार,दूसरे ध्रुवक से पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ दोनों शीटों की अभिलक्षणिक दिशाओं के बीच का कोण है।
हमें दिया गया है कि $I_2 = \frac{1}{3} I_1$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{3} I_1 = I_1 \cos^2 \theta$।
$\cos^2 \theta = \frac{1}{3}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

(B) जब $I$ तीव्रता वाला अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवक से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I' = \frac{I}{2}$ हो जाती है।
विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I'$ और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच का संबंध $I' = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र में $I' = \frac{I}{2}$ रखने पर:
$\frac{I}{2} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$
$E_0$ के लिए हल करने पर:
$I = c \epsilon_0 E_0^2$
$E_0^2 = \frac{I}{c \epsilon_0}$
$E_0 = \sqrt{\frac{I}{c \epsilon_0}}$

(D) केल्साइट एक द्वि-अपवर्तक (birefringent) क्रिस्टल है। जब बिंदु से आने वाला प्रकाश क्रिस्टल में प्रवेश करता है,तो यह दो अपवर्तित किरणों में विभाजित हो जाता है: साधारण किरण ($O$-ray) और असाधारण किरण ($E$-ray)। जैसे ही क्रिस्टल को घुमाया जाता है,$O$-ray स्थिर रहती है जबकि $E$-ray उसके चारों ओर घूमती है। इसलिए,एक बिंदु स्थिर दिखाई देगा और दूसरा बिंदु उसके चारों ओर घूमता हुआ दिखाई देगा।

(C) $1$. सूर्य का प्रकाश वायुमंडलीय कणों द्वारा प्रकीर्णन (रेले प्रकीर्णन) से गुजरता है। यह प्रकीर्णित प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवीकृत होता है।
$2$. चूंकि नीले आकाश से आने वाला प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवीकृत होता है,इसलिए जब इसे कैल्साइट क्रिस्टल (जो एक ध्रुवक/विश्लेषक के रूप में कार्य करता है) के माध्यम से देखा जाता है,तो क्रिस्टल को घुमाने पर मैलस के नियम के कारण संचरित प्रकाश की तीव्रता बदल जाती है।
$3$. कथन-$I$ सही है क्योंकि आकाश का प्रकाश ध्रुवीकृत होता है।
$4$. कथन-$II$ सही है क्योंकि आकाश के प्रकाश का ध्रुवीकरण वास्तव में प्रकीर्णन के कारण होता है,और प्रकीर्णन नीले प्रकाश (छोटी तरंग दैर्ध्य) के लिए सबसे प्रभावी होता है।
$5$. कथन-$II$ वह भौतिक तंत्र (प्रकीर्णन) प्रदान करता है जो बताता है कि प्रकाश ध्रुवीकृत क्यों है,जो कथन-$I$ में अवलोकन का कारण है।

(C) मेलस के नियम (Malus's law) के अनुसार,एक पोलराइज़र से गुजरने वाले ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता का सूत्र है:
$I = I_0 \cos^2 \theta$
जहाँ $I_0$ आपतित ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है,और $\theta$ पोलराइज़र की पास एक्सिस और आपतित प्रकाश के ध्रुवीकरण के तल के बीच का कोण है।
दिया गया है:
$I_0 = I_0$
$\theta = 60^o$
सूत्र में मान रखने पर:
$I = I_0 \cos^2(60^o)$
चूंकि $\cos(60^o) = \frac{1}{2}$,इसलिए:
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{4}\right)$
$I = \frac{I_0}{4}$
अतः,निर्गत ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $\frac{I_0}{4}$ है।

(B) ध्रुवण का तल वह तल है जिसमें कोई कंपन नहीं होता है।
जबकि प्रकाश के संचरण की दिशा और विद्युत क्षेत्र की दिशा वाले तल को कंपन का तल कहा जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र सदिश हमेशा संचरण की दिशा के लंबवत होता है,और ध्रुवण का तल कंपन के तल के लंबवत होता है,इसलिए कंपन की दिशा और ध्रुवण के तल के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(C) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवक से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश रैखिक रूप से ध्रुवित हो जाता है।
मालस के नियम और ध्रुवक के गुणों के अनुसार,संचरित प्रकाश की तीव्रता आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता की ठीक आधी होती है।
इसलिए,संचरित तीव्रता $I = \frac{I_0}{2}$ होती है।
संचरित तीव्रता का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए: $\text{Percentage} = \frac{I}{I_0} \times 100\% = \frac{I_0 / 2}{I_0} \times 100\% = 50\%$.

(D) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले ध्रुवक से गुजरता है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
यह प्रकाश अब समतल ध्रुवित है।
जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे ध्रुवक से गुजरता है,जिसकी संचरण अक्ष पहले के साथ $\theta = 60^o$ का कोण बनाती है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_2$ मालस के नियम द्वारा दी जाती है:
$I_2 = I_1 \cos^2 \theta$
मान रखने पर:
$I_2 = \left( \frac{I_0}{2} \right) \cos^2(60^o)$
चूंकि $\cos(60^o) = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos^2(60^o) = \frac{1}{4}$ होता है।
अतः,$I_2 = \left( \frac{I_0}{2} \right) \times \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{I_0}{8}$।

(C) ध्रुवीकरण एक ऐसी घटना है जो केवल अनुप्रस्थ तरंगों में ही होती है। अनुप्रस्थ तरंगों में,माध्यम के कणों के दोलन (या विद्युतचुंबकीय तरंगों के मामले में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश) तरंग के संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं। चूंकि प्रकाश तरंगें विद्युतचुंबकीय तरंगें हैं और अनुप्रस्थ प्रकृति प्रदर्शित करती हैं,इसलिए उनका ध्रुवीकरण किया जा सकता है।

(A) मान लीजिए कि ध्रुवीकरण की दिशा और $x-$अक्ष के बीच का कोण $\alpha$ है।
मालस के नियम के अनुसार,संचरित तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\alpha - \theta)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ आपतित तीव्रता है।
$\theta$ के विभिन्न मानों पर तीव्रता समान रहने के लिए,$\cos^2(\alpha - \theta)$ के मान समान होने चाहिए।
इसका अर्थ है $(\alpha - \theta) = \pm \phi$ या $(\alpha - \theta) = 180^o \pm \phi$.
दिया गया है $\theta_1 = 8^o, \theta_2 = 38^o, \theta_3 = 188^o, \theta_4 = 218^o$.
इन कोणों का औसत $\alpha = \frac{8^o + 38^o + 188^o + 218^o}{4} = \frac{452^o}{4} = 113^o$ है।
हालाँकि,समरूपता की जाँच करने पर: $(\alpha - 8^o) = -(\alpha - 38^o) \implies 2\alpha = 46^o \implies \alpha = 23^o$ या $23^o + 180^o = 203^o$.
अतः,कोण $203^o$ है।

(A) जब $I$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले ध्रुवक $A$ से गुजरता है,तो तीव्रता $I_A = I/2$ हो जाती है।
चूंकि $B$ के बाद निर्गत तीव्रता $I/2$ है,इसलिए ध्रुवक $A$ और $B$ समानांतर होने चाहिए (उनके बीच का कोण $0^\circ$ है)।
जब तीसरा ध्रुवक $C$,$A$ और $B$ के बीच $A$ के साथ $\theta$ कोण पर रखा जाता है,तो $C$ और $B$ के बीच का कोण भी $\theta$ होता है।
मेलस के नियम का उपयोग करते हुए: $I_{final} = I_A \cos^2 \theta \cos^2 \theta = (I/2) \cos^4 \theta$.
दिया गया है कि $I_{final} = I/3$,इसलिए $(I/2) \cos^4 \theta = I/3$.
$\cos^4 \theta = 2/3$.
अतः,$\cos \theta = (2/3)^{1/4}$.

(A) मेलस के नियम के अनुसार,संचरित प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\theta$ दो पोलेरॉइड की ध्रुवीकरण दिशाओं के बीच का कोण है।
हमें दिया गया है कि तीव्रता आधी हो जाती है,इसलिए $I = \frac{I_0}{2}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{I_0}{2} = I_0 \cos^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2} \implies \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इससे $\theta = 45^o$ प्राप्त होता है।
चूंकि पोलेरॉइड शुरू में समानांतर थे $(\theta = 0^o)$,इसलिए पोलेरॉइड को $45^o$ के कोण से घुमाया जाना चाहिए। दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $135^o$ है,जो $180^o - 45^o$ के अनुरूप है।

(A) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले ध्रुवक $P_1$ से गुजरता है,तो प्रेषित तीव्रता $I_1 = I_0/2$ होती है।
$P_3$ की पास अक्ष $P_1$ के सापेक्ष क्रॉस्ड है,जिसका अर्थ है कि उनकी अक्षों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
$P_2$ की पास अक्ष $P_3$ की पास अक्ष के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई है। इसलिए,$P_2$ और $P_1$ की पास अक्षों के बीच का कोण $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
मेलस के नियम का उपयोग करते हुए,$P_2$ से प्रेषित तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = (I_0/2) \times (3/4) = 3I_0/8$ है।
$P_3$ और $P_2$ की पास अक्षों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
पुनः मेलस के नियम का उपयोग करते हुए,$P_3$ से प्रेषित अंतिम तीव्रता $I = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = (3I_0/8) \times (1/4) = 3I_0/32$ है।
अतः,अनुपात $(I_0/I) = 32/3 \approx 10.67$ है।

(A) मान लीजिए कि आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_{0}$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_{1} = \frac{I_{0}}{2}$ हो जाती है।
अब,यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड से गुजरता है जिसकी संचरण अक्ष पहले वाले के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,दूसरे पोलेरॉइड से पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_{R} = I_{1} \cos^{2} \theta$ होती है।
मान रखने पर,हमें $I_{R} = \frac{I_{0}}{2} \cos^{2} 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\cos^{2} 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ होता है।
अतः,$I_{R} = \frac{I_{0}}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8} I_{0}$।
पारगमित आपतित प्रकाश का अंश $\frac{I_{R}}{I_{0}} = \frac{3}{8}$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने के लिए,$\frac{3}{8} \times 100 = 37.5 \%$।

(D) ध्रुवण (Polarization) की घटना यह पुष्टि करती है कि प्रकाश एक अनुप्रस्थ तरंग है।
एक अनुप्रस्थ तरंग में,कणों (या क्षेत्रों) के दोलन तरंग के संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं।
ध्रुवण में प्रकाश के विद्युत क्षेत्र सदिश के दोलनों को एक ही तल में सीमित किया जाता है।
चूंकि अनुदैर्ध्य तरंगों (जैसे ध्वनि तरंगें) का ध्रुवण नहीं किया जा सकता है,इसलिए यह तथ्य कि प्रकाश का ध्रुवण किया जा सकता है,यह सीधा प्रमाण है कि प्रकाश एक अनुप्रस्थ तरंग है।

(C) मेलस के नियम के अनुसार,विश्लेषक से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ विश्लेषक पर आपतित ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है और $\theta$ ध्रुवक और विश्लेषक के संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
यहाँ $\theta = 45^o$ दिया गया है।
सूत्र में $\theta$ का मान रखने पर:
$I = I_0 \cos^2(45^o)$
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right) = 0.5 I_0$.
विश्लेषक से गुजरने वाले प्रकाश का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए,हम $(I / I_0) \times 100 = 0.5 \times 100 = 50\%$ की गणना करते हैं।

(B) मेलस के नियम के अनुसार,पोलेराइज़र से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता का सूत्र है:
$I = I_0 \cos^2 \theta$
जहाँ $I_0$ आपतित रैखिक ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है,$\theta$ पोलेराइज़र की ट्रांसमिशन अक्ष और आपतित प्रकाश के ध्रुवीकरण तल के बीच का कोण है,और $I$ पारगमित तीव्रता है।
दिया गया है कि $\theta = 45^{\circ}$:
$I = I_0 \cos^2(45^{\circ})$
चूंकि $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right)$
$I = \frac{I_0}{2}$

(B) मालस के नियम के अनुसार,पोलेरॉइड से गुजरने वाले ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है और $\theta$ पोलेरॉइड की संचरण अक्ष और ध्रुवीकरण के तल के बीच का कोण है।
हालाँकि,जब अध्रुवित प्रकाश एक पोलेरॉइड पर आपतित होता है,तो पोलेरॉइड के अभिविन्यास कोण $\theta$ की परवाह किए बिना,उससे गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता हमेशा $I = I_0 / 2$ होती है।
मान रखने पर,हमें $I = I_0 / 2$ प्राप्त होता है।

(B) जब $I_0$ तीव्रता वाली अध्रुवित प्रकाश किरण एक पोलेरॉइड से गुजरती है,तो निर्गत समतल ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 / 2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ दी गई प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 2a^2$ है।
अतः,निर्गत समतल ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I = (2a^2) / 2 = a^2$ होगी।

(B) जब दो पोलेरॉइड लंबवत होते हैं,तो उनकी ट्रांसमिशन अक्षों के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ होता है।
जब एक पोलेरॉइड को $45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो ट्रांसमिशन अक्षों के बीच नया कोण $\theta' = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$ हो जाता है।
मेलस के नियम के अनुसार,दूसरे पोलेरॉइड से गुजरने वाली प्रकाश की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\theta')$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_{max}$ पहले पोलेरॉइड से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता है।
चूंकि पहले पोलेरॉइड पर $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश आपतित होता है,इसलिए पहले पोलेरॉइड से निकलने वाली तीव्रता $I_{max} = \frac{I_0}{2}$ होती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$.
अतः,गुजरने वाले आपतित प्रकाश का प्रतिशत $\frac{I}{I_0} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25\%$ है।

(D) मेलस के नियम के अनुसार,संचरित प्रकाश की तीव्रता $I$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$I = I_0 \cos^2 \theta$
जहाँ:
$I_0$ एनालाइज़र पर आपतित समतल-ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है।
$\theta$ पोलेराइज़र और एनालाइज़र के संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
व्यवहार का विश्लेषण करने पर:
$1$. जब $\theta = 0^{\circ}$ होता है,तो $\cos^2(0^{\circ}) = 1$,इसलिए $I = I_0$ होता है।
$2$. जब $\theta = 90^{\circ}$ होता है,तो $\cos^2(90^{\circ}) = 0$,इसलिए $I = 0$ होता है।
$3$. जब $\theta = 180^{\circ}$ होता है,तो $\cos^2(180^{\circ}) = 1$,इसलिए $I = I_0$ होता है।
इस आवधिक परिवर्तन को दर्शाने वाला ग्राफ,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर $I_0$ से शुरू होता है,$\theta = 90^{\circ}$ पर $0$ तक पहुँचता है,और $\theta = 180^{\circ}$ पर वापस $I_0$ हो जाता है,विकल्प $D$ में दिए गए वक्र द्वारा दर्शाया गया है।

(A) वृत्ताकार ध्रुवीकृत प्रकाश में, विद्युत क्षेत्र सदिश संचरण की दिशा के लंबवत एक तल में घूमता है जबकि इसका परिमाण स्थिर रहता है। इसलिए, विद्युत क्षेत्र सदिश के परिमाण $|\vec{E}|$ बनाम समय $t$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है, जो यह दर्शाता है कि परिमाण समय के साथ नहीं बदलता है। यह विकल्प $A$ में दिए गए आरेख के अनुरूप है।

(B) अध्रुवित प्रकाश में विद्युत क्षेत्र के सदिश संचरण की दिशा के लंबवत सभी संभव दिशाओं में कंपन करते हैं।
जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक पोलेरॉइड से गुजरता है,तो पोलेरॉइड केवल विद्युत क्षेत्र के उन घटकों को गुजरने देता है जो उसकी संचरण अक्ष के समानांतर होते हैं।
$0$ से $2\pi$ तक के सभी कोणों पर $\cos^2 \theta$ का औसत मान $\frac{1}{2}$ होता है।
इसलिए,पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{I_0}{2}$ होती है।
पारगमित प्रकाश की तीव्रता और प्रारंभिक तीव्रता का अनुपात $\frac{I}{I_0} = \frac{1}{2}$ है।

(A) मान लीजिए $I_0$ अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता है।
पोलराइज़र से गुजरने के बाद,तीव्रता $I_p = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,विश्लेषक से निकलने वाली तीव्रता $I = I_p \cos^2 \theta$ है,जहाँ $\theta$ पोलराइज़र और विश्लेषक के संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $I = \frac{I_0}{10}$,इसलिए $\frac{I_0}{10} = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$ है।
$\cos^2 \theta = \frac{1}{5} \implies \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$ है।
$\theta = \cos^{-1}(0.447) \approx 63.43^o$ है।
आउटपुट तीव्रता को शून्य करने के लिए,विश्लेषक को तब तक घुमाया जाना चाहिए जब तक कि अक्षों के बीच का कोण $90^o$ न हो जाए।
आवश्यक अतिरिक्त कोण $\Delta \theta = 90^o - 63.43^o = 26.57^o$ है।

(N/A) मान लीजिए कि पहले पोलराइज़र $P_{1}$ से गुजरने के बाद ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $I_{0}$ है।
जब यह प्रकाश दूसरे पोलराइज़र $P_{2}$ (घूमने वाली पोलरॉइड शीट) से गुजरता है,तो मालस के नियम के अनुसार तीव्रता $I$ होगी:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
जहाँ $\theta$ $P_{1}$ और $P_{2}$ के पास अक्षों के बीच का कोण है।
चूंकि पहला पोलराइज़र $P_{1}$ और तीसरा पोलराइज़र $P_{3}$ क्रॉस किए गए हैं,उनके अक्षों के बीच का कोण $\pi / 2$ है। यदि $P_{1}$ और $P_{2}$ के बीच का कोण $\theta$ है,तो $P_{2}$ और $P_{3}$ के बीच का कोण $(\pi / 2 - \theta)$ होगा।
तीसरे पोलराइज़र $P_{3}$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता होगी:
$I_{final} = I \cos^{2}(\pi / 2 - \theta) = I_{0} \cos^{2} \theta \sin^{2} \theta$
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I_{final} = I_{0} (\sin(2\theta) / 2)^{2} = (I_{0} / 4) \sin^{2}(2\theta)$
अतः,संचरित तीव्रता तब अधिकतम होती है जब $\sin^{2}(2\theta) = 1$ हो,जो $\theta = \pi / 4$ या $45^{\circ}$ पर होता है।

(N/A) अध्रुवित प्रकाश: प्रकाश एक विद्युतचुंबकीय तरंग है जिसमें $\overrightarrow{E}$ (विद्युत क्षेत्र) सदिशों के दोलन संचरण की दिशा के लंबवत एक तल में सभी संभव दिशाओं में होते हैं। इसे अध्रुवित प्रकाश कहा जाता है। इस स्थिति में,$\overrightarrow{E}$ सदिश का कंपन तल बहुत कम समय के अंतराल में यादृच्छिक रूप से बदलता रहता है।
ध्रुवित प्रकाश: वह प्रकाश जिसमें विद्युत क्षेत्र के सदिश एक ही तल में सीमित (समतलीय) होते हैं और एक-दूसरे के समानांतर होते हैं,उसे ध्रुवित प्रकाश कहा जाता है। इसे समतल-ध्रुवित प्रकाश के रूप में भी जाना जाता है।

(N/A) अध्रुवित प्रकाश से समतल ध्रुवित प्रकाश प्राप्त करने की घटना को ध्रुवण कहते हैं।
वह शीट जिसके द्वारा अध्रुवित प्रकाश से ध्रुवित प्रकाश प्राप्त किया जा सकता है,उसे पोलेरॉइड कहते हैं।
उदाहरण के लिए: पतली प्लास्टिक शीट और टूर्मेलाइन प्लेट।
एक पोलेरॉइड में लंबी श्रृंखला वाले अणु होते हैं जो एक विशिष्ट दिशा में संरेखित होते हैं।
संरेखित अणुओं की दिशा में विद्युत सदिश अवशोषित हो जाते हैं और लंबवत दिशा में व्यवस्थित अणुओं से प्रकाश गुजरता है,इस दिशा को पोलेरॉइड की पारगमन अक्ष (pass axis) कहा जाता है। यह पारगमन अक्ष के समानांतर प्रकाश सदिशों के घटकों को गुजरने देता है और लंबवत घटक अवशोषित हो जाते हैं। इसलिए,इससे बाहर निकलने वाली तरंगें रैखिक रूप से समतल ध्रुवित होती हैं।
यदि किसी सामान्य स्रोत से प्रकाश एक पोलेरॉइड शीट $P_{1}$ से गुजरता है,तो इसकी तीव्रता आधी हो जाती है। $P_{1}$ को घुमाने से संचरित किरण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है और संचरित तीव्रता स्थिर रहती है।
अब,$P_{1}$ के सामने $P_{2}$ नामक पोलेरॉइड का एक समान टुकड़ा रखा जाए और $P_{1}$ को घुमाया जाए,तो $P_{1}$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता कम हो जाती है।
जब $P_{2}$ और $P_{1}$ समानांतर होते हैं,तो $P_{2}$ से गुजरने वाले प्रकाश सदिश $P_{1}$ से भी गुजरते हैं,इसलिए प्रकाश की तीव्रता अधिकतम होती है।
जब $P_{2}$ शीट को उसी स्थिति में रखा जाता है और $P_{1}$ शीट को $90^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो $P_{1}$ से निकलने वाली तीव्रता शून्य हो जाती है। इसे चित्र में दिखाया गया है।

(N/A) मेलस का नियम बताता है कि जब समतल ध्रुवित प्रकाश की एक किरण विश्लेषक (analyzer) पर आपतित होती है,तो विश्लेषक से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता,ध्रुवक (polarizer) और विश्लेषक की संचरण अक्षों के बीच के कोण के कोज्या (cosine) के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
मान लीजिए कि विश्लेषक $(P_{2})$ की पास-अक्ष,ध्रुवक $(P_{1})$ की पास-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। $P_{1}$ से निकलने वाले समतल ध्रुवित प्रकाश का विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}_{0}$,विश्लेषक $P_{2}$ की पास-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
हम सदिश $\vec{E}_{0}$ को दो लंबवत घटकों में विभाजित कर सकते हैं:
$(1)$ $E_{0} \cos \theta$,जो विश्लेषक $P_{2}$ की पास-अक्ष के समानांतर है।
$(2)$ $E_{0} \sin \theta$,जो विश्लेषक $P_{2}$ की पास-अक्ष के लंबवत है।
घटक $E_{0} \cos \theta$ विश्लेषक से गुजरता है,जबकि घटक $E_{0} \sin \theta$ विश्लेषक द्वारा अवशोषित (रोक) लिया जाता है।
चूंकि प्रकाश की तीव्रता $(I)$ आयाम के वर्ग $(E^{2})$ के आनुपातिक होती है,इसलिए विश्लेषक पर आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_{0} \propto E_{0}^{2}$ है और विश्लेषक से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I \propto (E_{0} \cos \theta)^{2}$ है।
अनुपात लेने पर:
$\frac{I}{I_{0}} = \frac{(E_{0} \cos \theta)^{2}}{E_{0}^{2}} = \cos^{2} \theta$
अतः,$I = I_{0} \cos^{2} \theta$.
इसे मेलस का नियम कहा जाता है।

(N/A) ध्रुवक (Polarizer) एक ऐसा उपकरण (जैसे कि पोलेरॉइड शीट) है जिसका उपयोग अध्रुवित प्रकाश को समतल ध्रुवित प्रकाश में बदलने के लिए किया जाता है।
विश्लेषक (Analyser) एक ऐसा उपकरण (जैसे कि पोलेरॉइड शीट) है जिसका उपयोग प्रकाश पुंज की ध्रुवण अवस्था का पता लगाने या उसे निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

यदि ध्रुवक पर आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_{0}$ है,तो प्रकाश का विद्युत क्षेत्र सदिश प्रसार की दिशा के लंबवत तल में सभी संभावित दिशाओं में दोलन करता है।
मेलस के नियम के अनुसार,ध्रुवक से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{0} \cos^{2} \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र सदिश और ध्रुवक की संचरण अक्ष के बीच का कोण है।
चूंकि अध्रुवित प्रकाश में विद्युत क्षेत्र सदिशों का यादृच्छिक वितरण होता है,इसलिए हमें $0$ से $2\pi$ तक के सभी संभावित कोणों पर $\cos^{2} \theta$ का औसत मान लेना होगा।
$\langle I \rangle = I_{0} \langle \cos^{2} \theta \rangle = I_{0} \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \cos^{2} \theta \, d\theta$
$\cos^{2} \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\langle I \rangle = \frac{I_{0}}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{I_{0}}{4\pi} \left[ \theta + \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{2\pi}$
$\langle I \rangle = \frac{I_{0}}{4\pi} \left[ (2\pi + 0) - (0 + 0) \right] = \frac{I_{0}}{4\pi} \times 2\pi = \frac{I_{0}}{2}$
अतः,निर्गत प्रकाश की तीव्रता आपतित प्रकाश की तीव्रता की आधी होती है।

(N/A) जब सूर्य का प्रकाश पृथ्वी के वायुमंडल में प्रवेश करता है,तो यह अणुओं से टकराता है जो प्रकाश को विभिन्न दिशाओं में प्रकीर्णित (scatter) करते हैं। इस घटना को प्रकीर्णन कहा जाता है।
मान लीजिए कि एक अणु पर अध्रुवित सूर्य का प्रकाश आपतित होता है। आपतित प्रकाश में संचरण की दिशा के लंबवत सभी दिशाओं में विद्युत क्षेत्र के दोलन होते हैं। चित्र में,बिंदु चित्र के तल के लंबवत दोलनों को दर्शाते हैं,और दोहरे तीर चित्र के तल में दोलनों को दर्शाते हैं।
आपतित तरंग के विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में,अणुओं में मौजूद इलेक्ट्रॉन दोलन करने लगते हैं और इन दोनों दिशाओं में गति के घटक प्राप्त कर लेते हैं।
यदि कोई प्रेक्षक आपतित सूर्य के प्रकाश की दिशा से $90^{\circ}$ के कोण पर प्रकीर्णित प्रकाश को देखता है,तो दोहरे तीरों के समानांतर त्वरित होने वाले आवेश (प्रेक्षक की दृष्टि रेखा के तल में) प्रेक्षक की ओर ऊर्जा का विकिरण नहीं करते हैं क्योंकि उनके त्वरण का प्रेक्षक की दृष्टि रेखा के सापेक्ष कोई अनुप्रस्थ (transverse) घटक नहीं होता है।
इसलिए,प्रेक्षक की ओर प्रकीर्णित विकिरण में केवल बिंदुओं द्वारा दर्शाए गए दोलन ही होते हैं। इसका अर्थ है कि प्रकीर्णित प्रकाश चित्र के तल के लंबवत ध्रुवित होता है। यह आकाश से आने वाले प्रकीर्णित प्रकाश के ध्रुवण की व्याख्या करता है।
अणुओं द्वारा प्रकाश के प्रकीर्णन का अनुसंधान $C.V.$ रमन और उनके सहयोगियों द्वारा $1920$ के दशक में किया गया था। इस कार्य के लिए रमन को $1930$ में भौतिकी के लिए नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।

(N/A) आंशिक रूप से ध्रुवित प्रकाश,प्रकाश की वह स्थिति है जिसमें विद्युत क्षेत्र सदिश की तीव्रता संचरण की दिशा के लंबवत सभी दिशाओं में समान नहीं होती है,लेकिन यह पूरी तरह से एक ही तल में भी सीमित नहीं होती है।
जब अध्रुवित प्रकाश का परावर्तन या प्रकीर्णन होता है,तो आपतन तल के लंबवत और आपतन तल के समानांतर विद्युत क्षेत्र के घटक अलग-अलग तीव्रताओं के साथ परावर्तित होते हैं।
ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण) पर,परावर्तित प्रकाश पूरी तरह से समतल ध्रुवित होता है क्योंकि आपतन तल के समानांतर घटक शून्य हो जाता है।
ध्रुवण कोण के अलावा अन्य कोणों पर,दोनों घटक मौजूद होते हैं,लेकिन एक घटक दूसरे की तुलना में अधिक प्रबल होता है।
चूंकि दोनों घटक मूल अध्रुवित प्रकाश से प्राप्त होते हैं और उनके बीच कोई स्थायी कला संबंध नहीं होता है,इसलिए परिणामी प्रकाश को एक घूर्णन विश्लेषक (analyser) के माध्यम से देखने पर उसकी तीव्रता बदलती रहती है,लेकिन यह कभी भी शून्य नहीं होती है। इस प्रकार के प्रकाश को आंशिक रूप से ध्रुवित प्रकाश कहा जाता है।

(N/A) दिए गए प्रकाश पुंज की ध्रुवण स्थिति निर्धारित करने के लिए,उसके मार्ग में एक पोलेरॉइड इस प्रकार रखें कि प्रकाश पोलेरॉइड की सतह पर लंबवत आपतित हो।
आपतित प्रकाश पुंज की दिशा को अक्ष मानकर पोलेरॉइड को घुमाएं और उससे बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता का अवलोकन करें।
$1$. यदि पोलेरॉइड के पूर्ण घूर्णन के दौरान बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता स्थिर रहती है,तो प्रकाश अध्रुवित है।
$2$. यदि बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता इस प्रकार बदलती है कि एक पूर्ण घूर्णन के दौरान यह दो बार शून्य और दो बार अधिकतम हो जाती है,तो प्रकाश समतल ध्रुवित है।
$3$. यदि बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता इस प्रकार बदलती है कि एक पूर्ण घूर्णन के दौरान यह दो बार अधिकतम और दो बार न्यूनतम (लेकिन शून्य नहीं) हो जाती है,तो प्रकाश आंशिक रूप से समतल ध्रुवित है।

(N/A) समतल ध्रुवित प्रकाश के लिए पृष्ठ के समानांतर $\vec{E}$ सदिशों वाला संकेत चित्र $(a)$ में दिखाया गया है।
समतल ध्रुवित प्रकाश के लिए पृष्ठ के लंबवत $\vec{E}$ सदिशों वाला संकेत चित्र $(b)$ में दिखाया गया है।
अध्रुवित प्रकाश संकेतों को चित्र $(c)$ में दो तरीकों से दिखाया गया है,जहाँ $(i)$ संचरण की दिशा के लंबवत तल में सभी दिशाओं में कंपन को दर्शाता है,और $(ii)$ ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों के संयोजन को दर्शाता है।
आंशिक रूप से ध्रुवित प्रकाश का संकेत चित्र $(d)$ में दिखाया गया है,जो विभिन्न दिशाओं में कंपनों के असमान वितरण को इंगित करता है।

(N/A) हाँ,दूसरे पोलेरॉइड $(II)$ से प्रकाश बाहर निकलेगा।
माना कि पहले पोलेरॉइड $(I)$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है। चूँकि पोलेरॉइड $(I)$ और $(II)$ परस्पर लंबवत (crossed) हैं,उनकी अक्षों के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
जब तीसरे पोलेरॉइड $(III)$ को $(I)$ और $(II)$ के बीच $(I)$ की अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर रखा जाता है,तो मालस के नियम के अनुसार $(III)$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 \cos^2 \theta$ होती है।
पोलेरॉइड $(III)$ और $(II)$ की अक्षों के बीच का कोण $(90^{\circ} - \theta)$ होगा।
अतः,$(II)$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_0 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = I_0 (\sin \theta \cos \theta)^2 = I_0 \left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{4} \sin^2(2\theta)$ प्राप्त होती है।
चूँकि $0 < \theta < 90^{\circ}$ के लिए $\sin^2(2\theta) \neq 0$ होता है,इसलिए दूसरे पोलेरॉइड $(II)$ से प्रकाश बाहर निकलेगा।

(C) दिया गया है: तीव्रता $I_0 = 3.3 \, W m^{-2}$,क्षेत्रफल $A = 3 \times 10^{-4} \, m^2$,कोणीय गति $\omega = 31.4 \, rad/s$.
घूमते हुए पोलराइज़र से गुजरने वाली प्रकाश की तीव्रता मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I(t) = I_0 \cos^2(\omega t)$.
किसी भी क्षण पर प्रेषित शक्ति $P(t) = I(t) \times A = I_0 A \cos^2(\omega t)$ है।
एक परिक्रमण (समय अवधि $T = \frac{2\pi}{\omega}$) में प्रेषित ऊर्जा $E$,अवधि पर शक्ति का समाकलन है:
$E = \int_{0}^{T} P(t) dt = \int_{0}^{2\pi/\omega} I_0 A \cos^2(\omega t) dt$.
पूर्ण चक्र पर $\cos^2(\theta)$ का औसत मान $\frac{1}{2}$ होता है:
$E = I_0 A \times \frac{1}{2} \times T = I_0 A \times \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{\omega} = \frac{I_0 A \pi}{\omega}$.
मान रखने पर:
$E = \frac{3.3 \times 3 \times 10^{-4} \times 3.14}{31.4} = \frac{3.3 \times 3 \times 10^{-4} \times 3.14}{10 \times 3.14} = \frac{9.9 \times 10^{-4}}{10} = 0.99 \times 10^{-4} \, J$.
निकटतम पूर्णांक में,$E \approx 1 \times 10^{-4} \, J$।

(B) जब $I_{0}$ तीव्रता का एक अध्रुवित प्रकाश पुंज एक पोलेरॉइड से गुजरता है,तो निर्गत समतल ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता अध्रुवित प्रकाश के लिए मैलस के नियम के सिद्धांत द्वारा दी जाती है,जो $I = \frac{I_{0}}{2}$ है।
दिया गया है,प्रारंभिक तीव्रता $I_{0} = 2 a^{2}$ है।
इसलिए,निर्गत समतल ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{2 a^{2}}{2} = a^{2}$ होगी।

(C) प्रारंभ में,पोलराइज़र और एनालाइज़र के अक्ष समानांतर हैं,इसलिए एनालाइज़र से बाहर निकलने वाली तीव्रता $I = I_{max} = 100 \text{ Lumens}$ है।
मेलस के नियम के अनुसार,एनालाइज़र को $\theta$ कोण से घुमाने के बाद उससे बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$I_{max} = 100 \text{ Lumens}$ और $\theta = 30^{\circ}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 100 \times \cos^2(30^{\circ})$
$I = 100 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
$I = 100 \times \frac{3}{4}$
$I = 75 \text{ Lumens}$.

(B) मान लीजिए कि स्रोत से आने वाले अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता $I_0$ है। जब यह प्रकाश पहले पोलेरॉइड $P_1$ से गुजरता है,तो तीव्रता $I_1 = I_0/2$ हो जाती है। दिया गया है कि पर्दे पर तीव्रता $I/2$ है,हम मानते हैं कि प्रारंभिक तीव्रता $I$ का अर्थ $P_1$ से गुजरने के बाद की तीव्रता है या $I_0 = I$ है। मान लीजिए $P_1$ के बाद तीव्रता $I' = I/2$ है।
मेलस के नियम के अनुसार,दूसरे पोलेरॉइड $P_2$ से गुजरने के बाद प्रकाश की तीव्रता $I_{final} = I' \cos^2 \phi$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ $P_1$ और $P_2$ के संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,तीव्रता $I/2$ है,जिसका अर्थ है कि $\cos^2 \phi = 1,$ इसलिए $\phi = 0^\circ$ है।
हम अंतिम तीव्रता $3I/8$ चाहते हैं। मान रखने पर:
$3I/8 = (I/2) \cos^2 \phi$
$\cos^2 \phi = (3I/8) \times (2/I) = 3/4$
$\cos \phi = \sqrt{3}/2$
$\phi = 30^\circ.$
अतः,$P_2$ को $30^\circ$ के कोण से घुमाया जाना चाहिए।

(C) जब $I_{in}$ तीव्रता वाला अध्रुवित प्रकाश एक पोलरॉइड से गुजरता है, तो निर्गत ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_{1} = \frac{1}{2} I_{in}$ होती है।
यहाँ $I_{in} = 2 I_{0}$ दिया गया है, इसलिए पोलरॉइड $P$ से गुजरने के बाद तीव्रता $I_{1} = \frac{1}{2} (2 I_{0}) = I_{0}$ होगी।
मेलस के नियम के अनुसार, जब $I_{1}$ तीव्रता वाला ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलरॉइड से गुजरता है जिसकी संचरण अक्ष आपतित प्रकाश की ध्रुवण दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाती है, तो निर्गत तीव्रता $I_{2} = I_{1} \cos^{2} \theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\theta = 30^{\circ}$ है, इसलिए $I_{2} = I_{0} \cos^{2} 30^{\circ}$ होगा।
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, इसलिए $\cos^{2} 30^{\circ} = \frac{3}{4}$ होता है।
अतः, $I_{2} = I_{0} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3 I_{0}}{4}$।