Polarisation of Light and Malus' Law Questions in Hindi

(C) जब पहले से ध्रुवीकृत प्रकाश पुंज एक पोलराइज़र से गुजरता है,तो प्राप्त प्रकाश की तीव्रता $I$ मैलस के नियम द्वारा दी जाती है: $I = I_0 \cos^2 \theta$,जहाँ $I_0$ आपतित ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है और $\theta$ ध्रुवीकरण के तल और पोलराइज़र की ट्रांसमिशन अक्ष के बीच का कोण है।
चूंकि प्रत्येक पोलराइज़र $10 \%$ प्रकाश को अवशोषित करता है,इसलिए ट्रांसमिशन कारक $k = 0.9$ है।
$1$. पहले पोलराइज़र $(P_1)$ के लिए: आपतित प्रकाश ऊर्ध्वाधर है। ट्रांसमिशन अक्ष ऊर्ध्वाधर के साथ $30^{\circ}$ पर है। अतः,$\theta_1 = 30^{\circ}$।
$I_1 = k \cdot I_0 \cdot \cos^2(30^{\circ}) = 0.9 \cdot 100 \cdot (\sqrt{3}/2)^2 = 0.9 \cdot 100 \cdot 0.75 = 67.5 \, W/m^2$।
$2$. दूसरे पोलराइज़र $(P_2)$ के लिए: $P_2$ पर आपतित प्रकाश $30^{\circ}$ पर ध्रुवीकृत है। $P_2$ की ट्रांसमिशन अक्ष ऊर्ध्वाधर के साथ $60^{\circ}$ पर है। आपतित प्रकाश और अक्ष के बीच का कोण $\theta_2 = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$I_2 = k \cdot I_1 \cdot \cos^2(30^{\circ}) = 0.9 \cdot 67.5 \cdot 0.75 = 45.5625 \, W/m^2$।
$3$. तीसरे पोलराइज़र $(P_3)$ के लिए: $P_3$ पर आपतित प्रकाश $60^{\circ}$ पर ध्रुवीकृत है। $P_3$ की ट्रांसमिशन अक्ष ऊर्ध्वाधर के साथ $90^{\circ}$ पर है। आपतित प्रकाश और अक्ष के बीच का कोण $\theta_3 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$I_3 = k \cdot I_2 \cdot \cos^2(30^{\circ}) = 0.9 \cdot 45.5625 \cdot 0.75 \approx 30.75 \, W/m^2$।
अंतिम तीव्रता लगभग $30 \, W/m^2$ है।

(A) चूंकि पहले ध्रुवक पर आपतित पुंज अध्रुवित है,इसलिए पहले ध्रुवक से गुजरने के बाद इसकी तीव्रता आधी हो जाती है। यहाँ मेलस का नियम लागू नहीं होता है।
अतः,पहले ध्रुवक के बाद तीव्रता $I_{1}$ है:
$I_{1} = \frac{I_{0}}{2} = \frac{20}{2} = 10 \,W/m^{2}$
चूंकि पहले ध्रुवक से निकलने वाला प्रकाश रैखिक रूप से ध्रुवित होता है,इसलिए दूसरे ध्रुवक के लिए मेलस का नियम लागू होता है।
दूसरे ध्रुवक के बाद प्राप्त तीव्रता $I_{2}$ है:
$I_{2} = I_{1} \cdot \cos^{2} \theta$
जहाँ $\theta$ पहले और दूसरे ध्रुवक की संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
चूंकि कोण ऊर्ध्वाधर से $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
अतः,$I_{2} = 10 \times \cos^{2} 30^{\circ}$
$I_{2} = 10 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 10 \times \frac{3}{4} = 7.5 \,W/m^{2}$

(C) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले ध्रुवक से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
अब,यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे ध्रुवक से गुजरता है,जो पहले ध्रुवक के सापेक्ष $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर है। मैलस के नियम के अनुसार,निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I'$ इस प्रकार दी जाती है:
$I' = I_1 \cos^2 \theta$
मान रखने पर:
$I' = \frac{I_0}{2} \times \cos^2 30^{\circ}$
$I' = \frac{I_0}{2} \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
$I' = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4}$
$I' = \frac{3 I_0}{8}$

(C) मान लीजिए आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है। मैलस के नियम के अनुसार,पोलराइज़र से गुजरने के बाद प्रकाश की तीव्रता $I = I_{in} \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल और पोलराइज़र की धुरी के बीच का कोण है।
चूंकि पहले पोलराइज़र की धुरी आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल के समानांतर है,इसलिए कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ है। अतः,पहले पोलराइज़र के बाद तीव्रता $I_1 = I_0 \cos^2(0^{\circ}) = I_0$ है।
बाद के पोलराइज़र के लिए,प्रत्येक को पिछले वाले के सापेक्ष $30^{\circ}$ घुमाया गया है। इसलिए,प्रकाश के ध्रुवण तल और अगले पोलराइज़र के बीच का कोण $30^{\circ}$ है।
दूसरे पोलराइज़र के बाद तीव्रता: $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = I_0 (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} I_0$.
तीसरे पोलराइज़र के बाद तीव्रता: $I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = (\frac{3}{4} I_0) \times \frac{3}{4} = (\frac{3}{4})^2 I_0$.
चौथे पोलराइज़र के बाद तीव्रता: $I_4 = I_3 \cos^2(30^{\circ}) = (\frac{3}{4})^2 I_0 \times \frac{3}{4} = (\frac{3}{4})^3 I_0$.
पांचवें पोलराइज़र के बाद तीव्रता: $I_5 = I_4 \cos^2(30^{\circ}) = (\frac{3}{4})^3 I_0 \times \frac{3}{4} = (\frac{3}{4})^4 I_0$.
गणना करने पर: $I_5 = (0.75)^4 I_0 = 0.3164 I_0 \approx 31.6 \% I_0$.
दिए गए विकल्पों की तुलना में,तीव्रता आपतित प्रकाश के $30 \%$ के सबसे करीब है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
ध्रुवण (Polarisation) केवल अनुप्रस्थ तरंगों में होने वाली एक घटना है,जिसमें माध्यम के कणों के दोलन (या विद्युतचुंबकीय तरंगों में विद्युत क्षेत्र के सदिश) तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत एक विशिष्ट तल तक सीमित होते हैं।
प्रकाश एक विद्युतचुंबकीय तरंग है,जो प्रकृति में अनुप्रस्थ होती है,और इसलिए यह ध्रुवण की घटना प्रदर्शित करती है।
वायु स्तंभ में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं,जिसका अर्थ है कि माध्यम के कण तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दोलन करते हैं। अनुदैर्ध्य तरंगों का ध्रुवण नहीं किया जा सकता क्योंकि उनमें दोलनों को एक ही तल में सीमित करने के लिए आवश्यक अनुप्रस्थ घटकों का अभाव होता है।
परावर्तन,विवर्तन और अपवर्तन ऐसे गुण हैं जो प्रकाश तरंगों और ध्वनि तरंगों दोनों द्वारा प्रदर्शित किए जाते हैं।

(D) आपतन कोण $i$,आपतित किरण और अभिलंब के बीच का कोण है। चित्र से,आपतित किरण और सतह के बीच का कोण $33^{\circ}$ है। इसलिए,आपतन कोण $i = 90^{\circ} - 33^{\circ} = 57^{\circ}$ है।
दिया गया अपवर्तनांक $\mu = 1.54$ और $\tan 57^{\circ} = 1.54$ है,इसलिए हमारे पास $\mu = \tan i_p$ है,जहाँ $i_p$ ब्रूस्टर कोण है।
चूंकि प्रकाश ब्रूस्टर कोण पर आपतित होता है,इसलिए परावर्तित किरण $OB$ पूरी तरह से समतल ध्रुवित (plane-polarized) होती है।
जब इस समतल ध्रुवित प्रकाश को एक घूमते हुए पोलेरॉइड से गुजारा जाता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I$,मैलस के नियम के अनुसार बदलती है: $I = I_0 \cos^2 \theta$,जहाँ $\theta$ पोलेरॉइड की संचरण अक्ष और प्रकाश के ध्रुवण तल के बीच का कोण है।
जैसे-जैसे पोलेरॉइड को घुमाया जाता है,तीव्रता धीरे-धीरे घटकर शून्य हो जाएगी (जब $\theta = 90^{\circ}$ हो) और फिर पोलेरॉइड के लगातार घूमने पर यह फिर से बढ़ जाएगी।

(C) विकल्प $C$ सही है। जब सूर्य का प्रकाश पृथ्वी के वायुमंडल में प्रवेश करता है,तो परमाणु और अणु प्रकाश का प्रकीर्णन करते हैं। आपतित किरण के सापेक्ष $\frac{\pi}{2}$ ($90$ डिग्री) के कोण पर प्रकीर्णित प्रकाश समतल ध्रुवित पाया जाता है। विकल्प $A$ गलत है क्योंकि समतल ध्रुवित प्रकाश पोलेरॉइड से गुजरने के बाद भी समतल ध्रुवित ही रहता है (इसकी तीव्रता बदल सकती है)। विकल्प $B$ गलत है क्योंकि ब्रूस्टर कोण पर अपवर्तित प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवित होता है,पूरी तरह से रैखिक ध्रुवित नहीं। विकल्प $D$ गलत है क्योंकि प्राकृतिक सूर्य का प्रकाश अध्रुवित होता है।

(A) मान लीजिए कि स्रोत $S$ से आने वाले अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 256 \text{ W/m}^2$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड $P_1$ से गुजरता है,तो तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2} = \frac{256}{2} = 128 \text{ W/m}^2$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब ध्रुवित प्रकाश एक दूसरे पोलेरॉइड से गुजरता है जिसकी पास अक्ष आपतित प्रकाश की ध्रुवण दिशा के साथ $\theta$ कोण पर होती है,तो संचरित तीव्रता $I = I_{incident} \cos^2(\theta)$ होती है।
$P_2$ के लिए,$P_1$ के साथ कोण $\theta_1 = 60^{\circ}$ है। इसलिए,$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = 128 \times (\frac{1}{2})^2 = 128 \times \frac{1}{4} = 32 \text{ W/m}^2$.
$P_3$ के लिए,$P_2$ के साथ कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है। इसलिए,$I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = 32 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 32 \times \frac{3}{4} = 24 \text{ W/m}^2$.
इस प्रकार,बिंदु $O$ पर तीव्रता $24 \text{ W/m}^2$ है।

(C) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड $A$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_A = \frac{I_0}{2}$ होती है।
पोलेरॉइड $C$ की पास-अक्ष,$A$ की पास-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है। मेलस के नियम के अनुसार,$C$ से गुजरने के बाद प्रकाश की तीव्रता $I_C = I_A \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4}$ होती है।
पोलेरॉइड $B$ की पास-अक्ष $A$ के लंबवत है,इसलिए यह $C$ की पास-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है। अतः,$B$ से गुजरने के बाद प्रकाश की तीव्रता $I_B = I_C \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{8}$ होगी।

(B) जब $I$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहली ध्रुवण शीट से गुजरता है,तो तीव्रता $I_1 = \frac{I}{2}$ हो जाती है।
बाद की शीटों के लिए,हम मैलस के नियम का उपयोग करते हैं: $I_{k} = I_{k-1} \cos^2(\theta)$,जहाँ $\theta = 45^{\circ}$ है।
चूँकि $\cos^2(45^{\circ}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$,प्रत्येक शीट के बाद तीव्रता आधी हो जाती है।
पहली शीट के बाद,तीव्रता $I_1 = \frac{I}{2}$ है।
दूसरी शीट के बाद,$I_2 = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{I}{2^2}$ है।
$n$-वीं शीट के बाद,तीव्रता $I_n = \frac{I}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = \frac{I}{2^n}$ होती है।
दिया गया है कि $I_n = \frac{I}{64}$,इसलिए $\frac{I}{2^n} = \frac{I}{64}$ है।
$2^n = 64 = 2^6$ है।
अतः,$n = 6$।

(C) मेलस के नियम के अनुसार,विश्लेषक (analyzer) से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$I_1 = I$ आपतित रैखिक रूप से ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है।
पोलराइज़र और विश्लेषक के संचरण अक्षों के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I_2 = I \cos^2(30^{\circ})$
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$I_2 = I \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = I \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3I}{4}$.

(D) मान लीजिए कि अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0 = 32 \, W m^{-2}$ है।
पहले पोलेरॉइड से गुजरने के बाद,तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2} = 16 \, W m^{-2}$ हो जाती है।
मान लीजिए कि पहले और दूसरे पोलेरॉइड की पास अक्ष के बीच का कोण $\theta$ है।
दूसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$ है।
दूसरे और तीसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण $(90^{\circ} - \theta)$ है क्योंकि पहला और तीसरा पोलेरॉइड एक-दूसरे के लंबवत हैं।
तीसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$ है।
$I_2$ का मान रखने पर,हमें $I_3 = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta \sin^2 \theta = \frac{I_0}{8} (2 \sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{I_0}{8} \sin^2(2 \theta)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $I_3 = 3 \, W m^{-2}$ और $I_0 = 32 \, W m^{-2}$,इसलिए $3 = \frac{32}{8} \sin^2(2 \theta) = 4 \sin^2(2 \theta)$ है।
$\sin^2(2 \theta) = \frac{3}{4} \implies \sin(2 \theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
अतः,$2 \theta = 60^{\circ}$ या $120^{\circ}$,जिससे $\theta = 30^{\circ}$ या $60^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $I_0$ पहले पोलेरॉइड पर आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है।
$I_1 = I_0 / 2$ पहले पोलेरॉइड से संचरित प्रकाश की तीव्रता है।
मान लीजिए $\theta$ पहले और दूसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण है,और $\phi$ दूसरे और तीसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण है।
चूंकि पहला और तीसरा पोलेरॉइड क्रॉस्ड हैं,$\theta + \phi = 90^{\circ}$,इसलिए $\phi = 90^{\circ} - \theta$।
दूसरे पोलेरॉइड से संचरित तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ है।
तीसरे पोलेरॉइड से संचरित तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2 \phi = I_1 \cos^2 \theta \cos^2 (90^{\circ} - \theta) = I_1 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ है।
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,हमें $I_3 = I_1 (\sin 2\theta / 2)^2 = (I_0 / 2) \cdot (\sin^2 2\theta / 4) = (I_0 / 8) \sin^2 2\theta$ प्राप्त होता है।
$I_3$ तब अधिकतम होता है जब $\sin^2 2\theta = 1$ हो,जिसका अर्थ है $2\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$।

(A) $1$. जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड $A$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ हो जाती है।
$2$. मालस के नियम के अनुसार,जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड $B$ से गुजरता है,जिसकी संचरण अक्ष पहले पोलेरॉइड के सापेक्ष $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर है,तो अंतिम तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
$3$. मान रखने पर: $I_2 = (I_0 / 2) \cos^2(45^{\circ})$.
$4$. चूंकि $\cos(45^{\circ}) = 1 / \sqrt{2}$,इसलिए $\cos^2(45^{\circ}) = 1/2$.
$5$. अतः,$I_2 = (I_0 / 2) \times (1 / 2) = I_0 / 4$.

(D) अध्रुवित प्रकाश जब एक पोलराइज़र से गुजरता है तो उसकी तीव्रता आधी हो जाती है: $I_{P} = I_B / 2$.
मेलस के नियम के अनुसार,जब यह प्रकाश दूसरे पोलराइज़र से गुजरता है जिसकी पास-अक्ष के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,तो तीव्रता $I_B' = I_P \cos^2(45^{\circ})$ हो जाती है।
मान रखने पर: $I_B' = (I_B / 2) \times (1 / \sqrt{2})^2 = (I_B / 2) \times (1 / 2) = I_B / 4$.
नया अनुपात $r'$ इस प्रकार है: $r' = I_A / I_B' = I_A / (I_B / 4) = 4 \times (I_A / I_B)$.
दिया गया है कि $I_A / I_B = 2$,इसलिए $r' = 4 \times 2 = 8$.

(B) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवक से गुजरता है,तो संचरित तीव्रता $\frac{I_0}{2}$ होती है।
अतः,$P_1$ और $P_2$ से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_2 = \frac{I_0}{2}$ है।
जब यह प्रकाश $P_3$ से गुजरता है (जिसका अक्ष $P_1$ और $P_2$ दोनों के साथ $45^{\circ}$ पर है),तो प्रत्येक तरंग की तीव्रता $I' = I_1 \cos^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{4}$ हो जाती है।
उस बिंदु पर जहाँ पथ अंतर $\Delta x = \frac{\lambda}{3}$ है,कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$ होता है।
परिणामी तीव्रता $I_{res}$ का सूत्र $I_{res} = I' + I' + 2\sqrt{I' I'} \cos(\Delta \phi) = 2I' + 2I' \cos(\frac{2\pi}{3})$ है।
$I' = \frac{I_0}{4}$ और $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ रखने पर:
$I_{res} = 2(\frac{I_0}{4}) + 2(\frac{I_0}{4})(-\frac{1}{2}) = \frac{I_0}{2} - \frac{I_0}{4} = \frac{I_0}{4}$.

(A) मान लीजिए $P_1$ पर आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है। चूँकि $P_1$ और $P_2$ परस्पर लंबवत हैं,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ है।
मान लीजिए $P_1$ और $P_3$ के बीच का कोण $\theta$ है। तब $P_3$ और $P_2$ के बीच का कोण $(\frac{\pi}{2} - \theta)$ होगा।
मेलस के नियम के अनुसार,$P_3$ से गुजरने के बाद तीव्रता $I_1 = I_0 \cos^2 \theta$ होती है।
$P_2$ से गुजरने के बाद तीव्रता $I_{\text{net}} = I_1 \cos^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = I_0 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ होगी।
$I_{\text{net}} = I_0 (\sin \theta \cos \theta)^2 = I_0 (\frac{\sin 2\theta}{2})^2 = \frac{I_0}{4} \sin^2(2\theta)$।
अधिकतम तीव्रता के लिए,$\sin^2(2\theta) = 1$ होना चाहिए,इसलिए $2\theta = 90^{\circ}$ या $\theta = 45^{\circ}$ या $\frac{\pi}{4}$।
अतः $P_3$ और $P_2$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2} - \theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$ है।

(C) मान लीजिए कि पहले पोलेरॉइड से गुजरने के बाद प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब एक दूसरा पोलेरॉइड पहले पोलेरॉइड के साथ $\theta = 22.5^{\circ}$ के कोण पर रखा जाता है,तो उससे संचरित प्रकाश की तीव्रता मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I_1 = I_0 \cos^2 \theta$.
तीसरा पोलेरॉइड दूसरे पोलेरॉइड के सापेक्ष $(90^{\circ} - \theta)$ के कोण पर रखा गया है।
तीसरे पोलेरॉइड से संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_0 \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ होगी।
सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें $\sin^2(2\theta) = 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है,इसलिए $\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$.
इस मान को $I_2$ के व्यंजक में रखने पर: $I_2 = I_0 \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$.
यहाँ $\theta = 22.5^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $2\theta = 45^{\circ}$.
$I_2 = \frac{I_0}{4} \sin^2(45^{\circ}) = \frac{I_0}{4} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_0}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{I_0}{8}$.

(D) मेलस के नियम के अनुसार,पोलेरॉइड से पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I = I_0 \cos^2(\phi)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $I_0$ अधिकतम तीव्रता है और $\phi$ दो पोलेरॉइड की ध्रुवण दिशाओं के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,ध्रुवण दिशाएँ समांतर हैं,इसलिए $\phi = 0^\circ$ और $I = I_0$ है।
हम नई तीव्रता $I'$ को प्रारंभिक तीव्रता का आधा करना चाहते हैं,इसलिए $I' = \frac{I_0}{2}$ है।
इसे मेलस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{I_0}{2} = I_0 \cos^2(\phi)$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\cos^2(\phi) = \frac{1}{2}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $\cos(\phi) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\phi = 45^\circ$ है।

(D) जब $I_0$ तीव्रता का प्राकृतिक प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो संचरित तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
बाद के पोलरॉइड्स के लिए,मालस का नियम $I_n = I_{n-1} \cos^2 \theta$ है,जहाँ $\theta = 60^{\circ}$ है।
चूंकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\cos^2 60^{\circ} = \frac{1}{4}$ होता है।
$P_2$ के लिए: $I_2 = I_1 \cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$।
$P_3$ के लिए: $I_3 = I_2 \cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{32}$।
$P_4$ के लिए: $I_4 = I_3 \cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{32} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{128}$।
$P_5$ के लिए: $I_5 = I_4 \cos^2 60^{\circ} = \frac{I_0}{128} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{512}$।
आपतित तीव्रता का अंश $\frac{I_5}{I_0} = \frac{1}{512}$ है।

(C) माना आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलराइज़र से गुजरता है,तो बाहर निकलने वाले ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलराइज़र से गुजरता है जिसका मुख्य तल पहले के साथ $\theta = 60^{\circ}$ के कोण पर है,तो बाहर निकलने वाली तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_2 = \left(\frac{I_0}{2}\right) \cos^2 60^{\circ} = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$।
सिस्टम से गुजरने वाले आपतित प्रकाश का प्रतिशत $\frac{I_2}{I_0} \times 100 = \frac{I_0/8}{I_0} \times 100 = \frac{100}{8} = 12.5 \%$ है।

(A) टूरमैलीन क्रिस्टल एक डाइक्रोइक (dichroic) पदार्थ है। जब अध्रुवित प्रकाश इससे होकर गुजरता है,तो क्रिस्टल चुनिंदा रूप से साधारण किरण (ऑप्टिक अक्ष के लंबवत कंपन करने वाला प्रकाश का घटक) को अवशोषित कर लेता है और असाधारण किरण (ऑप्टिक अक्ष के समानांतर कंपन करने वाला प्रकाश का घटक) को प्रसारित करता है। इसलिए,क्रिस्टल से निकलने वाला प्रकाश समतल-ध्रुवित होता है।

(A) मान लीजिए कि अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता $I_0 = 256 \ W/m^2$ है।
जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड $P_1$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2 = 256 / 2 = 128 \ W/m^2$ हो जाती है।
$P_2$ की पास अक्ष $P_1$ के सापेक्ष $\theta_1 = 60^{\circ}$ के कोण पर है। मैलस के नियम के अनुसार,$P_2$ के बाद तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(\theta_1) = 128 \times \cos^2(60^{\circ}) = 128 \times (0.5)^2 = 128 \times 0.25 = 32 \ W/m^2$ है।
$P_3$ की पास अक्ष $P_1$ के सापेक्ष $90^{\circ}$ के कोण पर है। $P_2$ और $P_3$ की पास अक्षों के बीच का कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$P_3$ के लिए पुनः मैलस का नियम लागू करने पर,बिंदु $O$ पर अंतिम तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(\theta_2) = 32 \times \cos^2(30^{\circ}) = 32 \times (\sqrt{3}/2)^2 = 32 \times (3/4) = 24 \ W/m^2$ प्राप्त होती है।

(B) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ होती है।
बाद के पोलरॉइड के लिए,हम मैलस के नियम का उपयोग करते हैं: $I_n = I_{n-1} \cos^2 \theta$,जहाँ $\theta = 30^{\circ}$ है।
दूसरे पोलरॉइड के बाद तीव्रता: $I_2 = I_1 \cos^2 30^{\circ} = (I_0 / 2) \times (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
तीसरे पोलरॉइड के बाद तीव्रता: $I_3 = I_2 \cos^2 30^{\circ} = (3 I_0 / 8) \times (3 / 4) = 9 I_0 / 32$.
चौथे पोलरॉइड के बाद तीव्रता: $I_4 = I_3 \cos^2 30^{\circ} = (9 I_0 / 32) \times (3 / 4) = 27 I_0 / 128$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है,तो बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
मेलस के नियम के अनुसार,पोलेरॉइड से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{incident} \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ पोलेरॉइड के पास अक्ष और आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल के बीच का कोण है।
दूसरे पोलेरॉइड के लिए,इसके पास अक्ष और पहले पोलेरॉइड के पास अक्ष के बीच का कोण $\theta_1 = 30^{\circ}$ है। अतः,दूसरे पोलेरॉइड से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 30^{\circ} = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \left(\frac{I_0}{2}\right) \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{3 I_0}{8}$ है।
तीसरे पोलेरॉइड के लिए,इसके पास अक्ष और दूसरे पोलेरॉइड के पास अक्ष के बीच का कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है। अतः,तीसरे पोलेरॉइड से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2 60^{\circ} = \left(\frac{3 I_0}{8}\right) \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{3 I_0}{8}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3 I_0}{32}$ है।

(B) $1$. जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ हो जाती है।
$2$. पहला और दूसरा पोलेरॉइड क्रॉस्ड हैं (अक्षों के बीच का कोण $90^\circ$ है),इसलिए शुरुआत में दूसरे पोलेरॉइड से कोई प्रकाश नहीं निकलता है।
$3$. एक तीसरा पोलेरॉइड उनके बीच पहले पोलेरॉइड के साथ $\theta$ कोण पर रखा जाता है। तीसरे और दूसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण $(90^\circ - \theta)$ होगा।
$4$. तीसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$5$. मैलस के नियम का उपयोग करते हुए दूसरे (अंतिम) पोलेरॉइड के बाद तीव्रता: $I_3 = I_2 \cos^2(90^\circ - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$.
$6$. $I_2$ का मान रखने पर: $I_3 = (\frac{I_0}{2} \cos^2 \theta) \sin^2 \theta = \frac{I_0}{2} (\sin \theta \cos \theta)^2 = \frac{I_0}{2} (\frac{\sin 2 \theta}{2})^2 = \frac{I_0}{8} \sin^2 2 \theta$.

(D) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ हो जाती है।
यह प्रकाश अब समतल ध्रुवित है।
जब यह प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड से गुजरता है जिसकी संचरण अक्ष पहले के साथ $\theta = 30^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_2$ मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$.
मान रखने पर: $I_2 = (I_0 / 2) \cos^2 30^{\circ}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \sqrt{3} / 2$,इसलिए $\cos^2 30^{\circ} = 3 / 4$.
अतः,$I_2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3 I_0 / 8$.
अंश की गणना करने पर: $3 / 8 = 0.375$,जो $37.5 \%$ है।

(B) माना आपतित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो उसकी तीव्रता $I_1 = I_0/2$ हो जाती है (अध्रुवित प्रकाश के लिए)।
दूसरे पोलरॉइड के लिए,संचरण अक्ष और आपतित प्रकाश के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है। मैलस के नियम के अनुसार,$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = (I_0/2) \times (1/2)^2 = I_0/8$।
तीसरे पोलरॉइड के लिए,इसकी संचरण अक्ष और दूसरे पोलरॉइड की अक्ष के बीच का कोण भी $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,$I_3 = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = (I_0/8) \times (1/2)^2 = I_0/32$।
प्रणाली से गुजरने वाली आपतित प्रकाश की तीव्रता का अंश $I_3/I_0 = 1/32$ है।

(C) मेलस के नियम के अनुसार,पोलराइज़र से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{in} \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ आपतित प्रकाश की ध्रुवीकरण दिशा और पोलराइज़र की पास एक्सिस के बीच का कोण है।
$1$. जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड $P_1$ से गुजरता है,तो बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
$2$. $P_1$ से आने वाला प्रकाश अब $P_1$ की एक्सिस के सापेक्ष $0^{\circ}$ पर ध्रुवीकृत है। $P_2$,$P_1$ के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर है। अतः,$P_2$ के बाद तीव्रता:
$I_2 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (0.5)^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{I_0}{8}$.
$3$. $P_2$ से आने वाला प्रकाश $P_1$ के सापेक्ष $60^{\circ}$ पर ध्रुवीकृत है। $P_3$,$P_1$ के सापेक्ष $90^{\circ}$ पर है। अतः $P_2$ से आने वाले प्रकाश और $P_3$ की पास एक्सिस के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
$4$. $P_3$ के बाद तीव्रता:
$I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{8} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{3 I_0}{32}$.

(A) मेलस के नियम के अनुसार,ध्रुवक से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{max} \cos^2 \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ दो ध्रुवकों के संचरण अक्षों के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,मुख्य तल समानांतर हैं,इसलिए $\theta = 0^{\circ}$ और तीव्रता $I_0 = I_{max}$ है।
जब क्रिस्टल $B$ को $45^{\circ}$ घुमाया जाता है,तो संचरण अक्षों के बीच का नया कोण $\theta = 45^{\circ}$ हो जाता है।
सूत्र में मान रखने पर:
$I = I_0 \cos^2(45^{\circ})$
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{I_0}{2}$.

(C) जब अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड से गुजरता है, तो यह $I_0 = I_{in} / 2$ तीव्रता के साथ रैखिक रूप से ध्रुवित हो जाता है।
जब यह ध्रुवित प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड पर पड़ता है, तो प्रेषित तीव्रता मालस के नियम द्वारा दी जाती है: $I = I_0 \cos^2 \theta$।
चूंकि पोलेरॉइड्स क्रॉस्ड हैं, इसलिए उनके संचरण अक्षों के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $I = I_0 \cos^2(90^{\circ}) = I_0 \times 0 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः, प्रकाश दूसरे पोलेरॉइड द्वारा पूरी तरह से अवरुद्ध हो जाता है।

(A) जब $I_{0}$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक ध्रुवण शीट पर आपतित होता है, तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_{t} = \frac{I_{0}}{2}$ होती है।
चूंकि कुल आपतित तीव्रता $I_{0}$ है और संचरित तीव्रता $\frac{I_{0}}{2}$ है, इसलिए जो प्रकाश संचरित नहीं होता है उसकी तीव्रता आपतित और संचरित तीव्रता के बीच का अंतर है।
असंचरित प्रकाश की तीव्रता = $I_{0} - I_{t} = I_{0} - \frac{I_{0}}{2} = \frac{I_{0}}{2}$.

(C) माना प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता $I_{0}$ है।
मेलस के नियम के अनुसार,टूर्मेलाइन प्लेट से गुजरने के बाद प्रकाश की अंतिम तीव्रता $I$ इस प्रकार है:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
दिया गया है कि कोण $\theta = 60^{\circ}$ है,इसलिए:
$I = I_{0} \cos^{2} 60^{\circ} = I_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{I_{0}}{4}$
प्रारंभिक और अंतिम तीव्रताओं के बीच प्रतिशत अंतर की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{प्रतिशत अंतर} = \left(\frac{I_{0} - I}{I_{0}}\right) \times 100$
$I$ का मान रखने पर:
$\text{प्रतिशत अंतर} = \left(\frac{I_{0} - \frac{I_{0}}{4}}{I_{0}}\right) \times 100 = \left(\frac{\frac{3I_{0}}{4}}{I_{0}}\right) \times 100 = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \%$

(D) जब $I_1$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश एक पोलेरॉइड पर आपतित होता है,तो निर्गत ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_2$ अध्रुवित प्रकाश के लिए मैलस के नियम द्वारा दी जाती है।
इस नियम के अनुसार,पोलेराइज़र से गुजरने वाले प्रकाश की तीव्रता आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता की आधी होती है।
इसलिए,$I_2 = \frac{I_1}{2}$।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $I_1 = 2I_2$ प्राप्त होता है।

(D) मेलस के नियम (Malus's Law) के अनुसार,निर्गत प्रकाश की तीव्रता इस प्रकार दी जाती है:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
जहाँ $I$ निर्गत ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है,$I_{0}$ आपतित ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता है,और $\theta$ दोनों ध्रुवकों की पास अक्ष के बीच का कोण है।
यहाँ $\theta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए हम इस मान को सूत्र में रखते हैं:
$I = I_{0} \cos^{2}(60^{\circ})$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 1/2$,इसलिए:
$I = I_{0} \times (1/2)^{2}$
$I = I_{0} \times (1/4)$
$I = I_{0} / 4$
अतः,दूसरे ध्रुवक से निकलने वाले ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $I_{0} / 4$ है।

(B) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
पहले और दूसरे पोलरॉइड के पास अक्षों के बीच का कोण $\theta_{12} = 30^{\circ}$ है। मैलस के नियम के अनुसार,दूसरे पोलरॉइड से पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3 I_0}{8}$ होती है।
दूसरे और तीसरे पोलरॉइड के पास अक्षों के बीच का कोण $\theta_{23} = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
मैलस के नियम के अनुसार,तीसरे पोलरॉइड से पारगमित प्रकाश की तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{3 I_0}{8} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{3 I_0}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{3 I_0}{32}$ होती है।

(A) जब $I$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो उसकी तीव्रता $\frac{I}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,दूसरे पोलरॉइड से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I^{\prime}$ इस प्रकार दी जाती है:
$I^{\prime} = I_{0} \cos^2 \theta$
जहाँ $I_{0} = \frac{I}{2}$ दूसरे पोलरॉइड पर आपतित प्रकाश की तीव्रता है और $\theta$ पास अक्षों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $I^{\prime} = \frac{I}{4}$,इसलिए:
$\frac{I}{4} = \frac{I}{2} \cos^2 \theta$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = 45^{\circ}$

(C) जब $I_{0}$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेरॉइड $P_{1}$ से गुजरता है,तो संचरित प्रकाश की तीव्रता $I_{1} = \frac{I_{0}}{2}$ हो जाती है।
यहाँ $I_{0} = 128 \ Wm^{-2}$ दिया गया है,इसलिए $I_{1} = \frac{128}{2} = 64 \ Wm^{-2}$।
मेलस के नियम के अनुसार,जब $I_{1}$ तीव्रता का प्रकाश एक ऐसे पोलेरॉइड से गुजरता है जिसकी पास अक्ष आपतित प्रकाश की ध्रुवण दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो संचरित तीव्रता $I = I_{1} \cos^{2} \theta$ होती है।
$P_{2}$ के लिए,$P_{1}$ और $P_{2}$ की पास अक्ष के बीच का कोण $\theta_{1} = 45^{\circ}$ है।
$P_{2}$ के बाद तीव्रता $I_{2} = I_{1} \cos^{2} 45^{\circ} = 64 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} = 64 \times \frac{1}{2} = 32 \ Wm^{-2}$ है।
$P_{3}$ के लिए,$P_{2}$ और $P_{3}$ की पास अक्ष के बीच का कोण $\theta_{2} = 45^{\circ}$ है।
$P_{3}$ के बाद तीव्रता $I_{3} = I_{2} \cos^{2} 45^{\circ} = 32 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} = 32 \times \frac{1}{2} = 16 \ Wm^{-2}$ है।

(A) मेलस के नियम के अनुसार,एक पोलराइज़र के माध्यम से प्रेषित प्रकाश की तीव्रता इस प्रकार दी जाती है:
$I = I_{0} \cos^{2} \theta$
जहाँ $I_{0}$ दूसरे पोलराइज़र पर आपतित प्रकाश की तीव्रता है (जो पहले पोलराइज़र से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता है),और $\theta$ दो पोलराइज़र के पास अक्षों के बीच का कोण है।
यह दिया गया है कि दूसरे पोलराइज़र से प्रकाश की तीव्रता $(I)$ पहले पोलराइज़र की तीव्रता $(I_{0})$ की आधी है,इसलिए:
$I = \frac{I_{0}}{2}$
इसे मेलस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{I_{0}}{2} = I_{0} \cos^{2} \theta$
$\frac{1}{2} = \cos^{2} \theta$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^{\circ}$
अतः,पोलराइज़र के पास अक्षों के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।

(A) चीनी के घोल द्वारा उत्पन्न प्रकाशीय घूर्णन $\theta$ को सूत्र $\theta = S \cdot l \cdot C$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $S$ विशिष्ट घूर्णन है, $l$ नली की लंबाई है, और $C$ घोल की सांद्रता है。
पहले मामले में, $\theta = S \cdot l \cdot C$, जहाँ $l = 0.2 \,m$ और $C = \frac{m}{V}$, जहाँ $m$ चीनी का द्रव्यमान है और $V$ नली का आयतन है $(V = \pi R^2 l)$。
अतः, $\theta = S \cdot l \cdot \frac{m}{\pi R^2 l} = \frac{S \cdot m}{\pi R^2}$。
दूसरे मामले में, चीनी की समान मात्रा $m$ को $l_1 = 0.3 \,m$ लंबाई और समान त्रिज्या $R$ वाली नली में रखा जाता है। नई नली का आयतन $V_1 = \pi R^2 l_1 = \pi R^2 (0.3)$ है。
दूसरे मामले में घोल की सांद्रता $C_1 = \frac{m}{V_1} = \frac{m}{\pi R^2 (0.3)}$ है。
नया घूर्णन $\theta_1 = S \cdot l_1 \cdot C_1 = S \cdot (0.3) \cdot \frac{m}{\pi R^2 (0.3)} = \frac{S \cdot m}{\pi R^2}$ द्वारा दिया जाता है。
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें $\theta_1 = \theta$ प्राप्त होता है。

(C) ध्रुवण की घटना अनुप्रस्थ तरंगों का एक अभिलक्षणिक गुण है। अनुदैर्ध्य तरंगें,जैसे कि ध्वनि तरंगें,ध्रुवित नहीं हो सकतीं क्योंकि उनका दोलन संचरण की दिशा के अनुदिश होता है। चूंकि प्रकाश को ध्रुवित किया जा सकता है,यह पुष्टि करता है कि प्रकाश तरंगें अनुप्रस्थ प्रकृति की होती हैं।

(A) जब $I_{0}$ तीव्रता का एक अध्रुवित प्रकाश पुंज एक पोलरॉइड से होकर गुजरता है,तो यह समतल ध्रुवित हो जाता है।
पोलरॉइड के गुणों के अनुसार,निर्गत समतल ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता की ठीक आधी होती है।
अतः,निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I = \frac{I_{0}}{2}$ होती है।

(B) एक डाइक्रोइक क्रिस्टल वह पदार्थ है जो डाइक्रोइज़्म का गुण प्रदर्शित करता है,जो प्रकाश के ध्रुवीकरण की दिशा के आधार पर प्रकाश का चयनात्मक अवशोषण है।
टूरमैलीन जैसे कुछ क्रिस्टलों में एक विशिष्ट दिशा (जिसे ट्रांसमिशन अक्ष कहा जाता है) के लंबवत कंपन वाले प्रकाश को मजबूती से अवशोषित करने और उसके समानांतर कंपन वाले प्रकाश को संचारित करने का गुण होता है।
प्रकाश के इस चयनात्मक अवशोषण को डाइक्रोइज़्म कहा जाता है।
इसलिए,टूरमैलीन डाइक्रोइक क्रिस्टल का एक प्रसिद्ध उदाहरण है।

(D) विलयन $A$ के लिए: $L_{1} = 20 \ cm$,$\theta_{1} = +38^{\circ}$। माना सांद्रता $C_{1}$ है। विशिष्ट घूर्णन $\alpha_{1} = \frac{\theta_{1}}{L_{1} C_{1}} = \frac{38^{\circ}}{20 C_{1}}$ है।
विलयन $B$ के लिए: $L_{2} = 30 \ cm$,$\theta_{2} = -24^{\circ}$ (वाम-हस्त)। माना सांद्रता $C_{2}$ है। विशिष्ट घूर्णन $\alpha_{2} = \frac{\theta_{2}}{L_{2} C_{2}} = \frac{-24^{\circ}}{30 C_{2}}$ है।
मिश्रण में,आयतन का अनुपात $1:2$ है। अतः,नई सांद्रता $C_{1}' = \frac{C_{1}}{3}$ और $C_{2}' = \frac{2C_{2}}{3}$ होगी।
$l = 30 \ cm$ की पथ लंबाई के लिए कुल प्रकाशीय घूर्णन $\theta = (\alpha_{1} C_{1}' + \alpha_{2} C_{2}') l$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\theta = \left( \frac{38^{\circ}}{20 C_{1}} \cdot \frac{C_{1}}{3} + \frac{-24^{\circ}}{30 C_{2}} \cdot \frac{2 C_{2}}{3} \right) \times 30$.
$\theta = \left( \frac{38^{\circ}}{60} - \frac{48^{\circ}}{90} \right) \times 30 = \left( \frac{19^{\circ}}{30} - \frac{16^{\circ}}{30} \right) \times 30 = 19^{\circ} - 16^{\circ} = +3^{\circ}$.
चूंकि परिणाम धनात्मक है,यह $3^{\circ}$ का दक्षिण-हस्त घूर्णन है।

(C) मान लीजिए कि आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
प्रथम ध्रुवक (polariser) से गुजरने के बाद, तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार, ध्रुवक से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_{in} \cos^2 \theta$ होती है, जहाँ $\theta$ आपतित प्रकाश के ध्रुवण अक्ष और ध्रुवक के अक्ष के बीच का कोण है।
दूसरी शीट के लिए, पहली और दूसरी शीट के बीच का कोण $\theta = 30^{\circ}$ है। अतः, $I_2 = I_1 \cos^2(30^{\circ}) = (I_0 / 2) \times (\sqrt{3} / 2)^2 = (I_0 / 2) \times (3 / 4) = 3I_0 / 8$।
तीसरी शीट के लिए, दूसरी और तीसरी शीट के बीच का कोण भी $\theta = 30^{\circ}$ है। अतः, $I_3 = I_2 \cos^2(30^{\circ}) = (3I_0 / 8) \times (3 / 4) = 9I_0 / 32$।
दूसरी और तीसरी शीट से निकलने वाली तीव्रताओं का अनुपात $I_2 / I_3 = (3I_0 / 8) / (9I_0 / 32) = (3 / 8) \times (32 / 9) = 4 / 3$ है।
अतः, अनुपात $4: 3$ है।

(D) माना कि पहले पोलरॉइड पर आपतित अध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $I_0$ है।
जब अध्रुवीकृत प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो संचरित ध्रुवीकृत प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
मेलस के नियम के अनुसार,जब यह ध्रुवीकृत प्रकाश दूसरे पोलरॉइड से गुजरता है,तो उससे निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ होती है,जहाँ $\theta$ दोनों पोलरॉइड के अक्षों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $I_2 = 37.5 \% \text{ of } I_0 = 0.375 I_0$.
समीकरण में $I_1 = \frac{I_0}{2}$ रखने पर: $0.375 I_0 = \frac{I_0}{2} \cos^2 \theta$.
$0.375 = 0.5 \cos^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = \frac{0.375}{0.5} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = 30^{\circ}$.

(D) पोलराइज़र पर आपतित अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I$ है।
पोलराइज़र से गुजरने के बाद,ध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,एनालाइज़र से बाहर निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta$ होती है।
यहाँ $\theta = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $I_2 = \frac{I}{2} \cos^2 45^{\circ}$।
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I_2 = \frac{I}{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{I}{4}$।

(D) संबंध $I = I_0 \cos^2 \theta$ को मेलस का नियम कहा जाता है।
यह नियम बताता है कि जब पूर्णतः समतल-ध्रुवित प्रकाश किसी विश्लेषक पर आपतित होता है,तो विश्लेषक द्वारा प्रेषित प्रकाश की तीव्रता,विश्लेषक की संचरण अक्ष और आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल के बीच के कोण के कोज्या (cosine) के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
यहाँ,$I_0$ आपतित प्रकाश की अधिकतम तीव्रता को दर्शाता है,$I$ निर्गत प्रकाश की तीव्रता को दर्शाता है,और $\theta$ ध्रुवण की दिशा और विश्लेषक की अक्ष के बीच का कोण है।

(D) दिया गया है, अपवर्तनांक $\mu = 1.414 = \sqrt{2}$.
पूर्ण ध्रुवीकरण के लिए, आपतन कोण ब्रूस्टर कोण $i_p$ है, जहाँ $\tan i_p = \mu = \sqrt{2}$.
अतः, $\sin i_p = \sqrt{\frac{2}{3}}$ और $\cos i_p = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
स्नेल के नियम से, $\sin i_p = \mu \sin r$, इसलिए $\sin r = \frac{\sin i_p}{\mu} = \frac{\sqrt{2/3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
इसलिए, $r = \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. यह $(iii)$ से मेल खाता है।
परावर्तन कोण $\theta$ आपतन कोण $i_p$ के बराबर होता है। चूंकि $\cos i_p = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $i_p = \cos^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$. यह $(iv)$ से मेल खाता है।
अपवर्तित किरण का विचलन कोण $\delta$ का मान $i_p - r = \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) - \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ है। यह $(ii)$ से मेल खाता है।
आपतित किरण और परावर्तित (ध्रुवित) किरण के बीच का कोण $\phi$ का मान $i_p + \theta = 2i_p = 2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$ है। यह $(i)$ से मेल खाता है।
सही मिलान $A-(iv), B-(iii), C-(i), D-(ii)$ है।