Polarisation of Light and Malus' Law Questions in Hindi

(A) जब $I_0$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलेराइज़र से गुजरता है,तो यह रैखिक रूप से ध्रुवित हो जाता है और इसकी तीव्रता $I_1 = I_0 / 2$ हो जाती है।
चूंकि पहले और दूसरे पोलेरॉइड शुरू में लंबवत ($90^{\circ}$ के कोण पर) थे,इसलिए तीसरे पोलेरॉइड को पहले के साथ $\theta$ कोण पर और दूसरे के साथ $(90^{\circ} - \theta)$ कोण पर रखा गया है।
मेलस के नियम के अनुसार,दूसरे (मध्य) पोलेराइज़र के बाद तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = (I_0 / 2) \cos^2 \theta$ है।
तीसरे (अंतिम) पोलेराइज़र के बाद तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = (I_0 / 2) \cos^2 \theta \sin^2 \theta$ है।
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2 2\theta = 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$I_3 = \frac{I_0}{2} \cdot \frac{\sin^2 2\theta}{4} = \frac{I_0}{8} \sin^2 2\theta$ होगा।

(C) मान लीजिए $I_0 = 32 \ W m^{-2}$ अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता है।
पहले पोलेरॉइड से गुजरने के बाद,तीव्रता $I_1 = I_0 / 2 = 32 / 2 = 16 \ W m^{-2}$ हो जाती है।
मान लीजिए पहले और दूसरे पोलेरॉइड की अक्षों के बीच का कोण $\theta$ है। दूसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता $I_2 = I_1 \cos^2 \theta = 16 \cos^2 \theta$ है।
दूसरे और तीसरे पोलेरॉइड के बीच का कोण $(90^{\circ} - \theta)$ है क्योंकि पहली और तीसरी शीट एक-दूसरे के लंबवत हैं।
तीसरे पोलेरॉइड के बाद तीव्रता $I_3 = I_2 \cos^2(90^{\circ} - \theta) = I_2 \sin^2 \theta$ है।
$I_2$ का मान रखने पर,हमें $I_3 = 16 \cos^2 \theta \sin^2 \theta = 16 (\sin \theta \cos \theta)^2 = 16 (\sin(2\theta) / 2)^2 = 4 \sin^2(2\theta)$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $I_3 = 3 \ W m^{-2}$,इसलिए $4 \sin^2(2\theta) = 3$,जिसका अर्थ है $\sin^2(2\theta) = 3/4$।
अतः,$\sin(2\theta) = \sqrt{3}/2$,जिसका अर्थ है $2\theta = 60^{\circ}$ या $120^{\circ}$।
इसलिए,$\theta = 30^{\circ}$ या $60^{\circ}$।

(B) द्वि-अपवर्तन (birefringence) में,एक क्रिस्टल अध्रुवित प्रकाश पुंज को दो किरणों में विभाजित करता है: साधारण किरण ($O$-ray) और असाधारण किरण ($E$-ray)।
कथन $A$ सही है: $E$-किरण का अपवर्तनांक ऑप्टिक अक्ष के सापेक्ष प्रसार की दिशा पर निर्भर करता है,जिसका अर्थ है कि यह आपतन कोण के साथ बदलता है।
कथन $B$ सही है: साधारण और असाधारण दोनों किरणें समतल-ध्रुवित होती हैं। ध्रुवण वह घटना है जिसमें प्रकाश तरंगें 'एकतरफा' हो जाती हैं (कंपन एक ही तल तक सीमित हो जाते हैं)।
अतः,दोनों कथन सही हैं।

(B) प्रारंभ में,दो पोलराइज़र $P_1$ और $P_2$ एक-दूसरे के लंबवत (cross) रखे गए हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी पास-अक्ष के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,जो प्रकाश को पूरी तरह से अवरुद्ध कर देता है।
जब $I_0$ तीव्रता वाली अध्रुवित किरण पहले पोलराइज़र $P_1$ से गुजरती है,तो निर्गत प्रकाश की तीव्रता $I_1 = \frac{I_0}{2}$ होती है।
एक तीसरा पोलराइज़र $P_3$ को $P_1$ और $P_2$ के बीच $P_1$ के सापेक्ष $60^{\circ}$ के कोण $(\theta_1 = 60^{\circ})$ पर रखा जाता है।
मेलस के नियम का उपयोग करते हुए,$P_3$ से निकलने वाली तीव्रता $I_3 = I_1 \cos^2(60^{\circ}) = \frac{I_0}{2} \times (\frac{1}{2})^2 = \frac{I_0}{8}$ है।
$P_3$ और $P_2$ की पास-अक्ष के बीच का कोण $\theta_2 = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ है।
अतः,$P_2$ से निकलने वाली अंतिम तीव्रता $I_f = I_3 \cos^2(30^{\circ}) = \frac{I_0}{8} \times (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{I_0}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{32} I_0$ होगी।

(C) प्रकाश आंशिक रूप से ध्रुवित है। मुख्य अक्षों के अनुदिश तीव्रताएँ $I_y = I_0$ और $I_x = \frac{2I_0}{3}$ हैं।
जब एक पोलेरॉइड को उसके पास अक्ष के साथ $y$-अक्ष से $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर रखा जाता है,तो संचरित तीव्रता $I$ पास अक्ष के अनुदिश तीव्रताओं के घटकों के योग द्वारा दी जाती है:
$I = I_y \cos^2(45^{\circ}) + I_x \cos^2(45^{\circ})$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = I_0 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{2I_0}{3} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$
$I = I_0 \cdot \frac{1}{2} + \frac{2I_0}{3} \cdot \frac{1}{2}$
$I = \frac{I_0}{2} + \frac{I_0}{3} = \frac{3I_0 + 2I_0}{6} = \frac{5I_0}{6}$

(D) अनुदैर्ध्य तरंगों को ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। ध्रुवीकरण केवल अनुप्रस्थ तरंगों (transverse waves) का एक गुण है,जहाँ दोलन तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं। अनुदैर्ध्य तरंगों में,दोलन तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर होते हैं। चूंकि प्रसार की दिशा के सापेक्ष दोलन की दिशा में कोई विषमता नहीं होती है,इसलिए अनुदैर्ध्य तरंगों को कंपन के एक ही तल तक सीमित नहीं किया जा सकता है।

(C) मान लीजिए $I_0$ अध्रुवित प्रकाश की प्रारंभिक तीव्रता है।
$1$. तीसरे ध्रुवक के बिना: पहला ध्रुवक तीव्रता को घटाकर $I_1 = I_0/2$ कर देता है। पहले ध्रुवक ($30^\circ$ पर) के सापेक्ष दूसरे ध्रुवक ($90^\circ$ पर) का कोण $\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ है। निर्गत तीव्रता $I_{final} = I_1 \cos^2(60^\circ) = (I_0/2) \times (1/4) = I_0/8$ है।
$2$. $60^\circ$ पर तीसरे ध्रुवक के साथ: $I_1 = I_0/2$। तीसरे ध्रुवक के बाद तीव्रता (कोण $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$): $I_2 = I_1 \cos^2(30^\circ) = (I_0/2) \times (3/4) = 3I_0/8$। दूसरे ध्रुवक के बाद तीव्रता (कोण $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$): $I_{final}' = I_2 \cos^2(30^\circ) = (3I_0/8) \times (3/4) = 9I_0/32$।
अनुपात = $(9I_0/32) / (I_0/8) = 9/4$।

(A) पोलराइज़र से गुजरने के बाद अध्रुवित प्रकाश की तीव्रता $I_p = \frac{I_0}{2}$ होती है।
मान लीजिए कि प्रकाशिक सक्रिय विलयन द्वारा उत्पन्न घूर्णन कोण $\theta$ है।
विश्लेषक पर आपतित प्रकाश,विश्लेषक की संचरण अक्ष के सापेक्ष $\theta$ कोण पर ध्रुवित होता है (क्योंकि पोलराइज़र और विश्लेषक शुरू में एक-दूसरे के सापेक्ष $0^{\circ}$ पर हैं)।
मेलस के नियम के अनुसार,विश्लेषक से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I = I_p \cos^2(\theta) = \frac{I_0}{2} \cos^2(\theta)$ है।
दिया गया है कि $I = \frac{3}{8} I_0$,इसलिए $\frac{I_0}{2} \cos^2(\theta) = \frac{3}{8} I_0$।
इसे सरल करने पर,$\cos^2(\theta) = \frac{3}{4}$,जिससे $\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।