Properties of Electromagnetic Waves Questions in Hindi

(N/A) एक विद्युतचुंबकीय तरंग का कुल ऊर्जा घनत्व $u$,विद्युत क्षेत्र के कारण ऊर्जा घनत्व $(u_E)$ और चुंबकीय क्षेत्र के कारण ऊर्जा घनत्व $(u_B)$ का योग होता है।
विद्युत क्षेत्र के कारण ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र के कारण ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि एक विद्युतचुंबकीय तरंग में ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच समान रूप से विभाजित होती है $(u_E = u_B)$,इसलिए कुल ऊर्जा घनत्व है:
$u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$।
वैकल्पिक रूप से,इसे $u = \epsilon_0 E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

$(A)$ माइक्रोवेव $1 \text{ GHz}$ से $300 \text{ GHz}$ तक की आवृत्ति वाले विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम का एक हिस्सा हैं।
ये क्लाइस्ट्रॉन, मैग्नेट्रॉन और गन डायोड जैसी विशेष वैक्यूम ट्यूबों में इलेक्ट्रॉनों के दोलन द्वारा उत्पन्न होते हैं।
ये उपकरण इलेक्ट्रॉनों के तीव्र दोलन को सुगम बनाते हैं, जो बदले में माइक्रोवेव आवृत्ति रेंज में विद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्पन्न करते हैं।

(B) ब्रॉडकास्टिंग स्टेशन द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय तरंगें समतल-ध्रुवीकृत होती हैं।
इसका अर्थ है कि तरंग का विद्युत क्षेत्र वेक्टर एक विशिष्ट तल में दोलन करता है।
अधिकतम रिसेप्शन के लिए,पोर्टेबल रेडियो का एंटीना आने वाली विद्युत चुम्बकीय तरंग के विद्युत क्षेत्र वेक्टर की दिशा के समानांतर होना चाहिए।
यदि एंटीना विद्युत क्षेत्र के लंबवत है,तो प्रेरित इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(EMF)$ न्यूनतम होगा,जिसके परिणामस्वरूप सिग्नल खराब प्राप्त होगा या बिल्कुल नहीं मिलेगा।

(N/A) माइक्रोवेव ओवन पानी के अणुओं वाले खाद्य पदार्थों को सबसे कुशलतापूर्वक गर्म करता है क्योंकि ओवन द्वारा उत्पन्न माइक्रोवेव की आवृत्ति पानी के अणुओं की अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) से मेल खाती है।
जब ये माइक्रोवेव पानी के अणुओं के साथ परस्पर क्रिया करते हैं,तो वे अनुनाद के कारण अणुओं को तेजी से दोलन और घूर्णन करने के लिए प्रेरित करते हैं।
यह तीव्र गति अणुओं के बीच आंतरिक घर्षण पैदा करती है,जो खाद्य पदार्थ में तापीय ऊर्जा (ऊष्मा) उत्पन्न करती है,जिसके परिणामस्वरूप कुशल हीटिंग होती है।

(A) दिए गए समीकरण $B = 12 \times 10^{-8} \sin(1.20 \times 10^7 z - 3.60 \times 10^{15} t) \text{ T}$ की तुलना मानक तरंग समीकरण से करने पर,चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = 12 \times 10^{-8} \text{ T}$ प्राप्त होता है।
विद्युतचुंबकीय तरंग की औसत तीव्रता $I_{\text{avg}}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I_{\text{avg}} = \frac{B_0^2}{2\mu_0} c$
मान रखने पर: $B_0 = 12 \times 10^{-8} \text{ T}$,$c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$,और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$:
$I_{\text{avg}} = \frac{(12 \times 10^{-8})^2 \times 3 \times 10^8}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}}$
$I_{\text{avg}} = \frac{144 \times 10^{-16} \times 3 \times 10^8}{8\pi \times 10^{-7}}$
$I_{\text{avg}} = \frac{432 \times 10^{-8}}{25.12 \times 10^{-7}} \approx 1.72 \text{ W/m}^2$.

(N/A) एक विद्युत चुम्बकीय तरंग में,मान लीजिए $\vec E$,$y$-दिशा में है,$\vec B$,$z$-दिशा में है और विद्युत चुम्बकीय तरंग $x$-दिशा में प्रसारित हो रही है। ऊर्जा का प्रसार $\vec E \times \vec B$ की दिशा में ($x$-दिशा में) होगा।
$\vec E = E_0 \sin(\omega t - kx) \hat j$
$\vec B = B_0 \sin(\omega t - kx) \hat k$
$\therefore \vec S = \frac{1}{\mu_0}(\vec E \times \vec B) = \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 \sin^2(\omega t - kx) (\hat j \times \hat k)$
$\therefore \vec S = \frac{E_0 B_0}{\mu_0} \sin^2(\omega t - kx) \hat i$ [चूंकि $\hat j \times \hat k = \hat i$]
$|\vec S|$ के परिमाण में समय के साथ परिवर्तन नीचे दिए गए ग्राफ में दिखाया गया है। $|\vec S|$ का परिमाण $\sin^2(\omega t - kx)$ के रूप में बदलता है,जिसका अर्थ है कि यह हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है और विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की तुलना में दोगुनी आवृत्ति के साथ दोलन करता है,जिसका आवर्तकाल $T = \frac{\pi}{\omega}$ है।

(N/A) रेडियंट फ्लक्स घनत्व (पॉइंटिंग वेक्टर) $S = \frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $B = \frac{E}{c}$,इसलिए इसका परिमाण $S = \frac{EB}{\mu_0} = \frac{E^2}{c\mu_0}$ होता है।
एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,$E = E_0 \cos(kx - \omega t)$ होता है।
इस मान को $S$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = \frac{E_0^2 \cos^2(kx - \omega t)}{c\mu_0}$ प्राप्त होता है।
एक पूर्ण आवर्तकाल $T$ पर $\cos^2(\theta)$ का औसत मान $\frac{1}{T} \int_0^T \cos^2(\omega t) dt = \frac{1}{2}$ होता है।
अतः,औसत रेडियंट फ्लक्स घनत्व $\langle S \rangle = \frac{E_0^2}{c\mu_0} \times \frac{1}{2} = \frac{E_0^2}{2c\mu_0}$ प्राप्त होता है।

(N/A) विकिरण दबाव $P$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया गया है,$P = \frac{F}{A}$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल संवेग परिवर्तन की दर है,$F = \frac{dp}{dt}$।
विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,ऊर्जा $U$ और संवेग $p$ के बीच का संबंध $p = \frac{U}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $F = \frac{d}{dt} \left( \frac{U}{c} \right) = \frac{1}{c} \frac{dU}{dt}$।
तीव्रता $I$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल और प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है,$I = \frac{1}{A} \frac{dU}{dt}$,जिसका अर्थ है $\frac{dU}{dt} = I \cdot A$।
इसे बल के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$F = \frac{1}{c} (I \cdot A)$।
अंत में,दबाव $P = \frac{F}{A} = \frac{I \cdot A}{A \cdot c} = \frac{I}{c}$।

(N/A) विद्युतचुंबकीय तरंग का विद्युत क्षेत्र एक दोलनशील क्षेत्र है, और इसलिए आवेशित कण पर इसके द्वारा लगाया गया विद्युत बल भी दोलनशील होता है। यह बल $F = qE_0 \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया जाता है। जब इसे पूर्ण चक्रों की संख्या पर औसत किया जाता है, तो शुद्ध बल शून्य होता है क्योंकि बल की दिशा हर आधे चक्र में बदल जाती है। चूंकि विकिरण दबाव को प्रति इकाई क्षेत्रफल समय-औसत बल के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए दोलनशील विद्युत क्षेत्र इसमें योगदान नहीं देता है। हालांकि, विद्युत क्षेत्र आवेश पर कार्य करता है, जिससे ऊर्जा का स्थानांतरण होता है।

(N/A) $(i)$ लूप $1234$ पर रेखीय समाकलन $\oint \vec E \cdot d\vec l = \int_1^2 \vec E \cdot d\vec l + \int_2^3 \vec E \cdot d\vec l + \int_3^4 \vec E \cdot d\vec l + \int_4^1 \vec E \cdot d\vec l$ है। चूँकि $\vec E$,$\hat i$ दिशा में है और खंड $1-2$ तथा $3-4$ $\hat z$ दिशा में हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य है। खंड $2-3$ और $4-1$ के लिए,$\vec E$,$d\vec l$ के समानांतर/प्रति-समानांतर है। अतः,$\oint \vec E \cdot d\vec l = h E_0 [\sin(kz_2 - \omega t) - \sin(kz_1 - \omega t)]$।
$(ii)$ चुंबकीय फ्लक्स $\phi_B = \int \vec B \cdot d\vec s$ है। $d\vec s = h dz \hat j$ के साथ,$\phi_B = \int_{z_1}^{z_2} B_0 \sin(kz - \omega t) h dz = \frac{B_0 h}{k} [\cos(kz_1 - \omega t) - \cos(kz_2 - \omega t)]$।
$(iii)$ फैराडे के नियम $\oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\phi_B}{dt}$ का उपयोग करके,हम फ्लक्स का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे रेखीय समाकलन के बराबर रखते हैं। आयामों की तुलना करने पर,हमें $E_0 = c B_0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{E_0}{B_0} = c$।
$(iv)$ एम्पीयर-मैक्सवेल नियम $\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ का उपयोग करके,जहाँ $\phi_E = \int E dA$ है। फैराडे के नियम जैसी ही व्युत्पत्ति प्रक्रिया का पालन करते हुए,हमें $B_0 = \mu_0 \epsilon_0 c E_0$ प्राप्त होता है। $E_0 = c B_0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $B_0 = \mu_0 \epsilon_0 c^2 B_0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ या $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ हो जाता है।

(N/A) $(i)$ विद्युत क्षेत्र $E$ से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ है।
कुल तात्कालिक ऊर्जा घनत्व $u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ है।
एक समतल तरंग के लिए,$E = E_0 \sin(kz - \omega t)$ और $B = B_0 \sin(kz - \omega t)$ है।
एक चक्र पर $\sin^2(kz - \omega t)$ का समय औसत $\frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$\langle E^2 \rangle = \frac{E_0^2}{2}$ और $\langle B^2 \rangle = \frac{B_0^2}{2}$ है।
इन मानों को औसत ऊर्जा घनत्व के व्यंजक में रखने पर:
$U_{av} = \langle u_E \rangle + \langle u_B \rangle = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{E_0^2}{2} \right) + \frac{1}{2 \mu_0} \left( \frac{B_0^2}{2} \right) = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \frac{B_0^2}{\mu_0}$.
$(ii)$ चूंकि $E_0 = c B_0$,इसलिए $B_0 = \frac{E_0}{c}$ है। साथ ही,$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$,इसलिए $\frac{1}{\mu_0} = c^2 \epsilon_0$ है।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में $B_0$ और $\frac{1}{\mu_0}$ का मान रखने पर:
$U_{av} = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} (c^2 \epsilon_0) \left( \frac{E_0}{c} \right)^2 = \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 + \frac{1}{4} \epsilon_0 E_0^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$.
तीव्रता $I_{av}$ प्रति इकाई समय में प्रति इकाई क्षेत्रफल से गुजरने वाली ऊर्जा है,जो $I_{av} = U_{av} \cdot c$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$I_{av} = \left( \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 \right) c = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$.

(C) प्रकाश तरंगें विद्युतचुंबकीय तरंगें होती हैं क्योंकि उन्हें संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है।
ये प्रकृति में अनुप्रस्थ (Transverse) होती हैं क्योंकि दोलन करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं।

(B) नहीं। न्यूटन के गति के नियम कणों और सतत माध्यमों (पदार्थ) की यांत्रिकी पर आधारित हैं। विद्युतचुंबकीय तरंगें दोलनशील विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बनी होती हैं और इन्हें संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है। इसलिए,न्यूटन के नियमों को विद्युतचुंबकीय तरंगों पर उसी तरह लागू नहीं किया जा सकता जैसे उन्हें यांत्रिक तरंगों पर लागू किया जाता है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\hat{E} \times \hat{B}$ है।
दिया गया है,विद्युत क्षेत्र की दिशा $\hat{E} = \hat{k}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की दिशा सदिश $\vec{B} = 2\hat{i} - 2\hat{j}$ द्वारा दी गई है।
चुंबकीय क्षेत्र के लिए इकाई सदिश $\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|B|} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{j}}{\sqrt{8}} = \frac{2\hat{i} - 2\hat{j}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$ है।
संचरण की दिशा $\hat{C} = \hat{E} \times \hat{B} = \hat{k} \times [\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})]$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ और $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\hat{C} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{k} \times \hat{i} - \hat{k} \times \hat{j}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - (-\hat{i})) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} + \hat{j})$।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग का कुल ऊर्जा घनत्व $u$ सूत्र $u = \frac{B_0^2}{2 \mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $u = 1.02 \times 10^{-8} \ J/m^3$ और $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$ दिया गया है।
चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$B_0^2 = 2 \mu_0 u$
$B_0^2 = 2 \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1.02 \times 10^{-8})$
$B_0^2 = 8 \pi \times 1.02 \times 10^{-15}$
$B_0^2 \approx 25.13 \times 1.02 \times 10^{-15} \approx 25.63 \times 10^{-15} \approx 256.3 \times 10^{-16}$
वर्गमूल लेने पर:
$B_0 \approx 16 \times 10^{-8} \ T$
चूँकि $1 \ nT = 10^{-9} \ T$,इसलिए $B_0 = 160 \times 10^{-9} \ T = 160 \ nT$ प्राप्त होता है।

(C) $x$-दिशा में संचरित होने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $y$-दिशा $(\hat{j})$ में है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $z$-दिशा $(\hat{k})$ में होना चाहिए क्योंकि संचरण की दिशा $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\overrightarrow{E} = E_{0} \cos(\omega t - kx) \hat{j}$।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_{0} = \frac{E_{0}}{c}$ है,जहाँ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ है।
अतः,$B_{0} = E_{0} \sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}$।
चुंबकीय क्षेत्र का तरंग समीकरण $\overrightarrow{B} = B_{0} \cos(\omega t - kx) \hat{k}$ है।
$t = 0$ पर,$\overrightarrow{B} = B_{0} \cos(-kx) \hat{k} = B_{0} \cos(kx) \hat{k}$।
$B_{0}$ का मान रखने पर,हमें $\overrightarrow{B} = E_{0} \sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}} \cos(kx) \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया चुंबकीय क्षेत्र: $\overrightarrow{B} = 3 \times 10^{-8} \sin [200 \pi(y + ct)] \hat{i} \, T$.
विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0$ और चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0$ का संबंध $E_0 = c B_0$ है।
मान रखने पर: $E_0 = (3 \times 10^{8} \, m/s) \times (3 \times 10^{-8} \, T) = 9 \, V/m$.
तरंग संचरण की दिशा $(y + ct)$ द्वारा दी गई है,जिसका अर्थ है कि तरंग ऋणात्मक $y$-दिशा में संचरित हो रही है,इसलिए $\hat{k}_{prop} = -\hat{j}$ है।
विद्युत क्षेत्र की दिशा $\hat{E} = \hat{k}_{prop} \times \hat{B}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $\hat{B} = \hat{i}$ और $\hat{k}_{prop} = -\hat{j}$ है।
अतः,$\hat{E} = -\hat{j} \times \hat{i} = -(-\hat{k}) = \hat{k}$.
विद्युतचुंबकीय तरंगों के लिए $\vec{E} \times \vec{B}$ संचरण की दिशा में होता है,इसलिए सही उत्तर $\vec{E} = -9 \sin [200 \pi(y + ct)] \hat{k} \, V/m$ है।

(B) दिया गया विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = E_{0}(\hat{x} + \hat{y}) \sin(kz - \omega t)$ है।
तरंग के संचरण की दिशा $+z$-अक्ष की ओर है,इसलिए $\hat{k} = \hat{z}$.
संचरण की दिशा,विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का संबंध $\hat{k} = \hat{E} \times \hat{B}$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत क्षेत्र के लिए इकाई सदिश $\hat{E} = \frac{\hat{x} + \hat{y}}{\sqrt{2}}$ है।
मान रखने पर: $\hat{z} = \left(\frac{\hat{x} + \hat{y}}{\sqrt{2}}\right) \times \hat{B}$.
$\hat{B}$ के लिए हल करने पर,हमें $\hat{B} = \frac{-\hat{x} + \hat{y}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_{0} = \frac{E_{0}}{c}$ है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = \frac{E_{0}}{c}(-\hat{x} + \hat{y}) \sin(kz - \omega t)$ होगा।

(B) $x = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}}$ निर्वात में प्रकाश की गति को दर्शाता है,इसलिए इसकी विमा $[x] = [L^{1}T^{-1}]$ है।
$y = \frac{E}{B}$ विद्युत चुम्बकीय तरंग की गति को दर्शाता है,इसलिए इसकी विमा $[y] = [L^{1}T^{-1}]$ है।
$z = \frac{l}{CR}$ जहाँ $RC$ समय नियतांक $(\tau)$ है,इसलिए $z = \frac{l}{\tau}$। इसकी विमा $[z] = \frac{[L]}{[T]} = [L^{1}T^{-1}]$ है।
चूँकि तीनों राशियों की विमा समान $[L^{1}T^{-1}]$ है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = E_0 \sin(kx - \omega t) \hat{j}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $E_0 = 30 \, V/m$,$\omega = 1.5 \times 10^7 \, rad/s$,और $k = 5 \times 10^{-2} \, rad/m$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0$,विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ से $B_0 = \frac{E_0}{c}$ द्वारा संबंधित है।
$B_0 = \frac{30}{3 \times 10^8} = 10^{-7} \, T$.
इलेक्ट्रॉन $y$-अक्ष पर $\overrightarrow{v} = 0.1 c \hat{j} = 0.1 \times 3 \times 10^8 \hat{j} = 3 \times 10^7 \hat{j} \, m/s$ के वेग से गति करता है।
चुंबकीय बल $\overrightarrow{F}_{mag} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $\overrightarrow{v}$,$y$-अक्ष पर है और $\overrightarrow{E}$,$y$-अक्ष पर है,तरंग $x$-अक्ष पर संचरित होती है। चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ को संचरण की दिशा ($x$-अक्ष) और विद्युत क्षेत्र ($y$-अक्ष) दोनों के लंबवत होना चाहिए,इसलिए $\overrightarrow{B}$,$z$-अक्ष पर है।
$F_{max} = q v B_0 = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (3 \times 10^7 \, m/s) \times (10^{-7} \, T)$.
$F_{max} = 1.6 \times 3 \times 10^{-19} = 4.8 \times 10^{-19} \, N$.

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_0$ और चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ के बीच संबंध $E_0 = c B_0$ होता है।
यहाँ $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ और $B_0 = 1.2 \times 10^{-7} \text{ T}$ दिया गया है,इसलिए $E_0 = 3 \times 10^{8} \times 1.2 \times 10^{-7} = 36 \text{ V/m}$।
तरंग $-x$ दिशा में संचरित हो रही है क्योंकि साइन फलन का तर्क $(kx + \omega t)$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\hat{k}$ दिशा ($z$-अक्ष) में है।
संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ द्वारा दी जाती है,और चूँकि संचरण $-\hat{i}$ दिशा में है,हम जानते हैं कि $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$। अतः $-\hat{i}$ प्राप्त करने के लिए,हमें $(-\hat{j}) \times \hat{k} = -\hat{i}$ लेना होगा।
अतः,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{ E }( x , t ) = [-36 \sin (0.5 \times 10^{3} x + 1.5 \times 10^{11} t) \hat{ j }] \text{ V/m}$ होगा।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और $rms$ विद्युत क्षेत्र $E_{rms}$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $I = \epsilon_0 E_{rms}^2 c$.
$E_{rms}^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $E_{rms}^2 = \frac{I}{\epsilon_0 c}$.
यहाँ $I = \frac{315}{\pi} \ W/m^2$,$\epsilon_0 = 8.86 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N m^2 C^{-2}$,इसलिए $\frac{1}{\epsilon_0} = 4\pi \times 9 \times 10^9 = 36\pi \times 10^9$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$E_{rms}^2 = \frac{315}{\pi} \times (36\pi \times 10^9) \times \frac{1}{3 \times 10^8}$
$E_{rms}^2 = 315 \times 36 \times 10^9 \times \frac{1}{3 \times 10^8}$
$E_{rms}^2 = 315 \times 12 \times 10 = 37800$.
वर्गमूल लेने पर: $E_{rms} = \sqrt{37800} \approx 194.42 \ V/m$.
निकटतम पूर्णांक $194$ है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग $(EMW)$ में,विद्युत क्षेत्र से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है और चुंबकीय क्षेत्र से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ है।
चूंकि $E = cB$ और $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,इसलिए $u_E = u_B$ होता है।
चूंकि तरंग की तीव्रता ऊर्जा घनत्व के समानुपाती होती है,इसलिए कुल तीव्रता में विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के घटकों का योगदान बराबर होता है।
अतः,अनुपात $1:1$ है।

(A) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का सामान्य समीकरण $B = B_{0} \sin (kx + \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $B_{y} = 2 \times 10^{-7} \sin (\pi \times 10^{3} x + 3 \pi \times 10^{11} t) \; T$ के साथ तुलना करने पर, हम तरंग संख्या $k$ को इस प्रकार पहचानते हैं:
$k = \pi \times 10^{3} \; \text{rad/m}$.
तरंग संख्या $k$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है。
$k$ का मान रखने पर:
$\pi \times 10^{3} = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ के लिए हल करने पर:
$\lambda = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{3}} = 2 \times 10^{-3} \; m$.

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ के बीच का संबंध $\overrightarrow{E} = c(\overrightarrow{B} \times \hat{n})$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{n}$ तरंग के प्रसार की दिशा है।
यहाँ,तरंग $y$-दिशा में यात्रा कर रही है,इसलिए $\hat{n} = \hat{y}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = 8.0 \times 10^{-8} \hat{z}\, T$ है।
मान रखने पर:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 10^{8}\, m/s) \times (8.0 \times 10^{-8} \hat{z} \times \hat{y})$
चूँकि $\hat{z} \times \hat{y} = -\hat{x}$ होता है,इसलिए:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 8.0) \times (-\hat{x}) = -24 \hat{x}\, V/m$.

(A) विद्युत चुम्बकीय तरंग $(EMW)$ में,विद्युत क्षेत्र से जुड़ी औसत ऊर्जा घनत्व $U_{e} = \frac{1}{4} \epsilon_{0} E_{0}^{2}$ द्वारा दी जाती है।
चुम्बकीय क्षेत्र से जुड़ी औसत ऊर्जा घनत्व $U_{m} = \frac{1}{4} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $E_{0} = c B_{0}$ और $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$,हमारे पास $E_{0}^{2} = c^{2} B_{0}^{2} = \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0} \epsilon_{0}}$ है।
इसे $U_{e}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U_{e} = \frac{1}{4} \epsilon_{0} \left( \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0} \epsilon_{0}} \right) = \frac{1}{4} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}} = U_{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत और चुम्बकीय क्षेत्रों के कारण औसत ऊर्जा घनत्व समान होते हैं।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ का परिमाण चुंबकीय क्षेत्र $B$ से $E = B \cdot c$ संबंध द्वारा संबंधित है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c = 3 \times 10^8 \, m/s)$।
दिया गया है $B = 2.0 \times 10^{-8} \, T$,इसलिए $E = (2.0 \times 10^{-8} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 6.0 \, V/m$।
विद्युतचुंबकीय तरंग के प्रसार की दिशा $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है।
यहाँ,तरंग $x$-दिशा $(\hat{i})$ में यात्रा कर रही है,और $\overrightarrow{B}$,$z$-दिशा $(\hat{k})$ में है।
चूंकि $\hat{i} = \hat{j} \times \hat{k}$,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ को $y$-दिशा $(\hat{j})$ में होना चाहिए।
अतः,$\overrightarrow{E} = 6.0 \hat{j} \, V/m$।

(C) तरंग सदिश $\vec{k}$ की दिशा में संचरित होने वाली एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं और दोनों संचरण की दिशा $\vec{k}$ के भी लंबवत होते हैं।
यहाँ तरंग y-दिशा में संचरित हो रही है,इसलिए संचरण की दिशा $\hat{j}$ है।
अतः,$\vec{E}$ और $\vec{B}$ दोनों को xz-तल में होना चाहिए। इसका अर्थ है कि उनके घटक केवल x या z दिशा में ही हो सकते हैं।
विशेष रूप से,यदि $\vec{E}$,x-अक्ष पर है $(E_{x})$,तो $\vec{B}$ को z-अक्ष पर होना चाहिए $(B_{z})$,क्योंकि $\vec{E} \times \vec{B}$ को संचरण की दिशा में होना चाहिए।
विकल्पों की जाँच करने पर: $\vec{E}$ और $\vec{B}$ के घटक x और z दिशा में होने चाहिए। विकल्प $(C)$ में $E_{x}, B_{z}$ या $E_{z}, B_{x}$ दिया गया है,जो इस शर्त को पूरा करते हैं कि दोनों क्षेत्र संचरण की y-दिशा के लंबवत हैं।

(C) दिया गया है: तरंग की आवृत्ति $f = 5\, GHz = 5 \times 10^{9}\, Hz$.
सापेक्ष पारगम्यता,$\epsilon_{r} = 2$.
सापेक्ष चुंबकशीलता,$\mu_{r} = 2$.
माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति का सूत्र है:
$v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_{r} \mu_{0} \cdot \epsilon_{r} \epsilon_{0}}}$
$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$
जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^{8}\, m/s)$.
मान रखने पर:
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{2 \times 2}} = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{4}} = \frac{3 \times 10^{8}}{2} = 1.5 \times 10^{8}\, m/s$.
$v = 15 \times 10^{7}\, m/s$.
अतः,वेग $15 \times 10^{7}\, m/s$ है।

(A) बल्ब द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P_{rad} = \text{दक्षता} \times P_{total} = \frac{1.25}{100} \times 1000 \, W = 12.5 \, W$ है।
$r = 2 \, m$ की दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^2} = \frac{12.5}{4 \pi (2)^2} = \frac{12.5}{16 \pi} \, W/m^2$ द्वारा दी जाती है।
तीव्रता और अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_0$ के बीच संबंध $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ है।
तीव्रता के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{12.5}{16 \pi} = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times E_0^2$.
$E_0^2 = \frac{12.5 \times 2}{16 \times 3.14159 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8} \approx \frac{25}{132.73} \times 10^4 \approx 188.35$.
$E_0 = \sqrt{188.35} \approx 13.724 \, V/m$.
इसे $x \times 10^{-1} \, V/m$ के रूप में व्यक्त करने पर, हमें $E_0 = 137.24 \times 10^{-1} \, V/m$ प्राप्त होता है।
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर, $x = 137$।

(A) तरंग की आवृत्ति $f = 3 \, GHz = 3 \times 10^9 \, Hz$ है।
निर्वात में तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \, m/s}{3 \times 10^9 \, Hz} = 0.1 \, m = 10 \, cm$ है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ द्वारा दिया जाता है। यह मानते हुए कि माध्यम अचुंबकीय है,$\mu_r = 1$ होगा।
अतः,$n = \sqrt{2.25} = 1.5$ प्राप्त होता है।
माध्यम में तरंगदैर्ध्य $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{10 \, cm}{1.5} = \frac{100}{15} \, cm = 6.666... \, cm \approx 6.67 \, cm$ है।
इसे $x \times 10^{-2} \, cm$ के रूप में व्यक्त करने पर,हमें $6.67 \, cm = 667 \times 10^{-2} \, cm$ प्राप्त होता है।

(D) बल्ब की शक्ति $P = 80\, W$ है। दक्षता $10\, \%$ है,इसलिए विकिरित शक्ति $P_{rad} = 80 \times 0.10 = 8\, W$ है।
चूंकि यह एक बिंदु स्रोत है,$r = 10\, m$ की दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^{2}} = \frac{8}{4 \pi (10)^{2}} = \frac{8}{400 \pi} = \frac{1}{50 \pi} \, W/m^{2}$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता और अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_{0}$ के बीच संबंध $I = \frac{1}{2} c \epsilon_{0} E_{0}^{2}$ है।
$\epsilon_{0} = \frac{1}{\mu_{0} c^{2}}$ का उपयोग करने पर,$I = \frac{1}{2} c \left( \frac{1}{\mu_{0} c^{2}} \right) E_{0}^{2} = \frac{E_{0}^{2}}{2 \mu_{0} c}$ प्राप्त होता है।
$I$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{E_{0}^{2}}{2 \mu_{0} c} = \frac{1}{50 \pi}$.
$E_{0}^{2} = \frac{2 \mu_{0} c}{50 \pi} = \frac{\mu_{0} c}{25 \pi}$.
$E_{0} = \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{25 \pi}} = \frac{1}{5} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}} = \frac{2}{10} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}}$.
इसकी तुलना $\frac{x}{10} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}}$ से करने पर,$x = 2$ प्राप्त होता है।

(B) विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_{0} = 200 \text{ V/m}$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2} c$ द्वारा दी जाती है।
एक पूर्णतः परावर्तक सतह के लिए,विकिरण दाब $P = \frac{2I}{c}$ होता है।
दाब के सूत्र में $I$ का मान रखने पर: $P = \frac{2}{c} \left( \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2} c \right) = \varepsilon_{0} E_{0}^{2}$।
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m}$ का उपयोग करते हुए,$P = 8.85 \times 10^{-12} \times (200)^{2}$ प्राप्त होता है।
$P = 8.85 \times 10^{-12} \times 40000 = 8.85 \times 4 \times 10^{-8} = 35.4 \times 10^{-8} = \frac{354}{10^{9}} \text{ N/m}^{2}$।
इसकी तुलना $\frac{x}{10^{9}} \text{ N/m}^{2}$ से करने पर,$x = 354$ प्राप्त होता है।

(D) विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = 800 \text{ V/m}$ है।
विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के बीच संबंध $B_0 = E_0 / c$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ प्रकाश की गति है।
$B_0 = \frac{800}{3 \times 10^8} \text{ T}$.
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $F = qvB \sin \theta$ है। अधिकतम बल के लिए,इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ और $\sin 90^\circ = 1$ होगा।
$F_{\max} = e v B_0 = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (3 \times 10^7 \text{ m/s}) \times \left( \frac{800}{3 \times 10^8} \text{ T} \right)$.
$F_{\max} = 1.6 \times 10^{-19} \times 800 \times 10^{-1} = 1.6 \times 8 \times 10^{-18} = 12.8 \times 10^{-18} \text{ N}$.

(A) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का मात्रक $\text{volt/metre}$ $(V/m)$ है।
चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता $H$ का मात्रक $\text{Ampere/metre}$ $(A/m)$ है।
अतः,अनुपात $E/H$ का मात्रक इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\frac{E}{H} = \frac{\text{volt/metre}}{\text{Ampere/metre}} = \frac{\text{volt}}{\text{Ampere}}$.
ओम के नियम के अनुसार,$R = V/I$ होता है,इसलिए $V/I$ का मात्रक $ohm$ $(\Omega)$ है।
इस प्रकार,$E/H$ का मात्रक $ohm$ है।

(C) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए सामान्य समीकरण $E = E_0 \sin(kx - \omega t)$ है।
दिए गए समीकरण $E = 50 \sin(500x - 10 \times 10^{10}t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
तरंग संख्या $k = 500 \, \text{rad/m}$
कोणीय आवृत्ति $\omega = 10 \times 10^{10} \, \text{rad/s}$
तरंग का वेग $v$,$v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \frac{10 \times 10^{10}}{500} = \frac{10^{11}}{5 \times 10^2} = 2 \times 10^8 \, \text{m/s}$.
चूंकि निर्वात में प्रकाश की गति $C = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ है,इसलिए हम लिख सकते हैं कि $v = \frac{2}{3} \times 3 \times 10^8 = \frac{2}{3} C$.

(B) मुक्त आकाश में यात्रा करने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के परिमाण के बीच का संबंध $B = \frac{E}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है कि $E = 6 \text{ V/m}$ और $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$B = \frac{6}{3 \times 10^{8}} \text{ T}$
$B = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$
इसे दिए गए व्यंजक $x \times 10^{-8} \text{ T}$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x = 2$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E = E_0 \sin \omega(t - x/c)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $E_0 = 50 \, NC^{-1}$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग का ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$ होता है।
$V$ आयतन में कुल ऊर्जा $U = u \cdot V = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 V$ है।
दिया गया है $U = 5.5 \times 10^{-12} \, J$ और $\epsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \, C^2 N^{-1} m^{-2}$,अतः:
$5.5 \times 10^{-12} = \frac{1}{2} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (50)^2 \times V$.
$5.5 = 0.5 \times 8.8 \times 2500 \times V$.
$5.5 = 4.4 \times 2500 \times V$.
$5.5 = 11000 \times V$.
$V = \frac{5.5}{11000} = 0.0005 \, m^3$.
$m^3$ को $cm^3$ में बदलने पर:
$V = 0.0005 \times (100 \, cm)^3 = 0.0005 \times 10^6 \, cm^3 = 500 \, cm^3$.

(A) समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग का सामान्य समीकरण $E = E_0 \cos(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $E = 20 \cos(2 \times 10^{10} t - 200 x)$ के साथ तुलना करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \times 10^{10} \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = 200 \, rad/m$ प्राप्त होती है।
माध्यम में तरंग की गति $v = \omega / k = (2 \times 10^{10}) / 200 = 10^8 \, m/s$ है।
माध्यम का अपवर्तनांक $n = c / v$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
अतः,$n = (3 \times 10^8) / 10^8 = 3$ है।
एक गैर-चुंबकीय माध्यम के लिए,अपवर्तनांक $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu_r = 1$ दिया गया है,इसलिए $n = \sqrt{\epsilon_r}$ होगा।
$n$ का मान रखने पर,$3 = \sqrt{\epsilon_r}$,जिसका अर्थ है कि $\epsilon_r = 3^2 = 9$।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\vec{E} \times \vec{B}$ है।
चूंकि तरंग $x$-दिशा में संचरित हो रही है,इसलिए हमारे पास $\vec{E} \times \vec{B} = \hat{i}$ होना चाहिए।
आइए विकल्प $B$ की जांच करें: $\vec{E} = -\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{B} = -\hat{j} - \hat{k}$।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(-\hat{j} + \hat{k}) \times (-\hat{j} - \hat{k}) = (-\hat{j} \times -\hat{j}) - (\hat{j} \times -\hat{k}) + (\hat{k} \times -\hat{j}) - (\hat{k} \times -\hat{k})$।
$= 0 + (\hat{j} \times \hat{k}) - (\hat{k} \times \hat{j}) - 0 = \hat{i} - (-\hat{i}) = 2\hat{i}$।
चूंकि परिणामी सदिश $x$-दिशा में है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $\vec{E} \times \vec{B}$ के समानांतर होती है।
यहाँ $\vec{E} = E_{0} \hat{i}$ और $\vec{B} = B_{0} \hat{k}$ दिया गया है।
संचरण की दिशा $\hat{i} \times \hat{k}$ है।
इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों के अनुसार: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,और $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ होता है।
चूंकि क्रम उल्टा है,इसलिए $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ होगा।
अतः,संचरण की दिशा $-\hat{j}$ है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और शिखर चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ के बीच संबंध: $I = \frac{B_0^2 c}{2 \mu_0}$ है।
हम जानते हैं कि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,इसलिए $\frac{1}{\mu_0} = \epsilon_0 c^2$ है।
इस मान को तीव्रता के सूत्र में रखने पर: $I = \frac{B_0^2 c}{2} (\epsilon_0 c^2) = \frac{1}{2} \epsilon_0 c^3 B_0^2$ प्राप्त होता है।
$B_0$ के लिए सूत्र: $B_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c^3}}$ है।
यहाँ $I = 0.092 \, W/m^2$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ है:
$B_0 = \sqrt{\frac{2 \times 0.092}{8.85 \times 10^{-12} \times (3 \times 10^8)^3}}$.
गणना करने पर: $B_0 \approx 2.77 \times 10^{-8} \, T$।

(D) आपतित तरंग $+z$ दिशा में यात्रा कर रही है,जो $\cos(kz - \omega t)$ के रूप में है।
जब एक विद्युत चुम्बकीय तरंग एक पूर्णतः परावर्तक दीवार पर लंबवत आपतित होती है,तो परावर्तित तरंग विपरीत दिशा ($-z$ दिशा) में यात्रा करती है।
परावर्तित तरंग $\cos(kz + \omega t)$ के रूप में होगी।
दी गई आपतित तरंग $E_i = 3.1 \cos \left[(1.8)z - (5.4 \times 10^6)t\right] \hat{i}$ के लिए,परावर्तित तरंग $E_r$ का आयाम और आवृत्ति समान होगी लेकिन संचरण की दिशा उलट जाएगी।
अतः,$E_r = 3.1 \cos \left[(1.8)z + (5.4 \times 10^6)t\right] \hat{i} \text{ N/C}$ होगी।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(C) किसी माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \varepsilon_{r}}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति $(3 \times 10^{8} \text{ m/s})$ है,$\mu_{r}$ सापेक्ष पारगम्यता (relative permeability) है और $\varepsilon_{r}$ सापेक्ष विद्युतशीलता है।
दिया गया है $\mu_{r} = 1$ और $\varepsilon_{r} = 81$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1 \times 81}}$
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{9}$
$v = 0.333 \times 10^{8} \text{ m/s}$
$v = 3.33 \times 10^{7} \text{ m/s}$।

(C) किसी माध्यम का अपवर्तनांक $n$,उसकी सापेक्ष विद्युतशीलता $\varepsilon_{r}$ और सापेक्ष चुंबकशीलता $\mu_{r}$ से इस सूत्र द्वारा संबंधित होता है: $n = \sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}$.
चूंकि अपवर्तनांक को निर्वात में प्रकाश की चाल $c$ और माध्यम में प्रकाश की चाल $v$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए $n = \frac{c}{v}$ होता है।
इसे $v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \frac{c}{n}$ प्राप्त होता है।
$n$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}}$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदु स्रोत से $r$ दूरी पर विद्युत चुम्बकीय तरंग की तीव्रता $I = \frac{\eta P}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\eta = 0.035$ दक्षता है और $P = 200 \, W$ शक्ति है।
तीव्रता और अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ के बीच संबंध $I = \frac{c B_0^2}{2 \mu_0}$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{\eta P}{4 \pi r^2} = \frac{c B_0^2}{2 \mu_0}$.
$B_0$ के लिए सूत्र: $B_0 = \sqrt{\frac{\mu_0 \eta P}{2 \pi c r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{\frac{\mu_0 \eta P}{2 \pi c}}$.
दिए गए मान: $\frac{\mu_0}{4 \pi} = 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,$r = 4 \, m$,$\eta = 0.035$,और $P = 200 \, W$.
गणना करने पर: $B_0 = \frac{1}{4} \sqrt{\frac{2 \times 10^{-7} \times 0.035 \times 200}{3 \times 10^8}} = 1.71 \times 10^{-8} \, T$ प्राप्त होता है।

(C) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंग की गति $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $\mu_{r} = 1.61$ और $\epsilon_{r} = 6.44$,अतः गति $v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.61 \times 6.44}} = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{10.3684}} = \frac{3 \times 10^{8}}{3.22} \approx 9.317 \times 10^{7} \; m s^{-1}$ है।
विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच संबंध $E = vB$ है।
चूंकि $B = \mu_{0} \mu_{r} H$,इसलिए $E = v \mu_{0} \mu_{r} H$ होगा।
$E = (9.317 \times 10^{7}) \times (4 \pi \times 10^{-7}) \times (1.61) \times (4.5 \times 10^{-2})$.
$E = 9.317 \times 4 \times 3.1416 \times 1.61 \times 4.5 \times 10^{-2} \approx 8.48 \; V m^{-1}$.

(A) माध्यम में विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\mu = \mu_0 \mu_r$ और $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$,इसलिए $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \epsilon_0 \epsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}}$,जहाँ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} = 3.0 \times 10^8 \ m/s$ है।
दिया गया है कि $v = 2.0 \times 10^8 \ m/s$ और $\mu_r = 1.0$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{c}{v} = \sqrt{\mu_r \epsilon_r}$.
$\frac{3.0 \times 10^8}{2.0 \times 10^8} = \sqrt{1.0 \times \epsilon_r}$.
$1.5 = \sqrt{\epsilon_r}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\epsilon_r = (1.5)^2 = 2.25$.

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र है: $I = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2} c$।
यहाँ,अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_{0} = 56.5 \; V/m$,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \; C^{2} N^{-1} m^{-2}$,और $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (56.5)^{2} \times (3 \times 10^{8})$।
$I = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3192.25 \times 3 \times 10^{8}$।
$I = 4.24 \; W m^{-2}$।

(C) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -301.6 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{x} + 452.4 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{y}$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,आयामों के बीच संबंध $B_{0} = E_{0} / c$ और $H_{0} = B_{0} / \mu_{0} = E_{0} / (c \mu_{0})$ होता है।
यहाँ $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ और $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}$ दिया गया है,इसलिए मुक्त आकाश का प्रतिबाधा $Z_{0} = \mu_{0} c = 4\pi \times 10^{-7} \times 3 \times 10^{8} \approx 377 \text{ } \Omega$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के घटक $H_{x} = -E_{y} / Z_{0}$ और $H_{y} = E_{x} / Z_{0}$ हैं।
गुणांकों की गणना करने पर: $301.6 / 377 = 0.8$ और $452.4 / 377 = 1.2$ प्राप्त होता है।
दिशा के गुण $\hat{k} = \hat{E} \times \hat{H}$ का उपयोग करते हुए,$\vec{E} = E_{x} \hat{i} + E_{y} \hat{j}$ के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{H} = \frac{1}{Z_{0}} (E_{y} \hat{i} - E_{x} \hat{j})$ होता है।
मान रखने पर: $\vec{H} = \frac{1}{377} [452.4 \sin (kz - \omega t) \hat{i} - (-301.6 \sin (kz - \omega t)) \hat{j}] = 1.2 \sin (kz - \omega t) \hat{i} + 0.8 \sin (kz - \omega t) \hat{j}$।
तरंग संचरण की दिशा $+z$ होने के कारण,सही उत्तर $\vec{H} = -0.8 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{y} - 1.2 \sin (kz - \omega t) \hat{a}_{x}$ प्राप्त होता है।