Properties of Electromagnetic Waves Questions in Hindi

(D) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = 66\, Vm^{-1}$,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 3\, mm = 3 \times 10^{-3}\, m$,तरंग की गति $c = 3 \times 10^8\, ms^{-1}$.
$1$. चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0$ ज्ञात करें:
$B_0 = E_0 / c = 66 / (3 \times 10^8) = 22 \times 10^{-8} = 2.2 \times 10^{-7}\, T$.
$2$. कोणीय आवृत्ति $\omega$ ज्ञात करें:
$\omega = 2\pi f = 2\pi (c / \lambda) = 2\pi (3 \times 10^8 / 3 \times 10^{-3}) = 2\pi \times 10^{11}\, rad/s$.
$3$. दिशाएँ निर्धारित करें:
तरंग $X$ दिशा में यात्रा करती है और $E$,$Y$ दिशा में है। चूंकि प्रसार की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $B$ को $Z-$ दिशा में होना चाहिए।
$4$. समीकरण लिखें:
$E_y = E_0 \cos(\omega(t - x/c)) = 66 \cos(2\pi \times 10^{11}(t - x/c))$.
$B_z = B_0 \cos(\omega(t - x/c)) = 2.2 \times 10^{-7} \cos(2\pi \times 10^{11}(t - x/c))$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $D$ इन मानों से मेल खाता है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग की औसत तीव्रता $I_{av}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$I_{av} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2$
दिया गया है:
$E_0 = 36 \, V/m$
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$
मान रखने पर:
$I_{av} = \frac{1}{2} \times (3 \times 10^8) \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (36)^2$
$I_{av} = 0.5 \times 3 \times 10^8 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 1296$
$I_{av} = 1.5 \times 8.85 \times 1296 \times 10^{-4}$
$I_{av} = 17208.6 \times 10^{-4} \approx 1.72 \, W/m^2$

(B) बिंदु स्रोत से विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I = \frac{P_{av}}{4 \pi r^2}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_0$ के पदों में तीव्रता $I = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c}$ होती है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{P_{av}}{4 \pi r^2} = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c}$.
$E_0$ के लिए हल करने पर: $E_0 = \sqrt{\frac{\mu_0 c P_{av}}{2 \pi r^2}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $P_{av} = 800\,W$,$r = 3.5\,m$,$\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7}\,T\cdot m/A$,और $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
$E_0 = \sqrt{\frac{(4 \pi \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^8) \times 800}{2 \pi \times (3.5)^2}}$.
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times 10^{-7} \times 3 \times 10^8 \times 800}{12.25}} = \sqrt{\frac{48000}{12.25}} \approx 62.6\,V/m$.

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ द्वारा दी जाती है।
विद्युतचुंबकीय तरंग में चुंबकीय क्षेत्र से जुड़ी ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ द्वारा दी जाती है।
एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,कुल ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच समान रूप से विभाजित होती है,जिससे $u_E = u_B$ होता है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I = U_{av} c$ द्वारा दी जाती है।
विद्युत क्षेत्र के संदर्भ में, औसत ऊर्जा घनत्व $U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} E_{0}^{2}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र के संदर्भ में, औसत ऊर्जा घनत्व $U_{av} = \frac{1}{2} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}}$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र आयाम $E_{0}$ और चुंबकीय क्षेत्र आयाम $B_{0}$ के बीच संबंध $E_{0} = c B_{0}$ है, हम इसे विद्युत क्षेत्र ऊर्जा घनत्व के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$U_{av} (\text{विद्युत}) = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} (c B_{0})^{2} = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} c^{2} B_{0}^{2}$।
संबंध $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}}$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
$U_{av} (\text{विद्युत}) = \frac{1}{2} \varepsilon_{0} \left( \frac{1}{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \right) B_{0}^{2} = \frac{1}{2} \frac{B_{0}^{2}}{\mu_{0}} = U_{av} (\text{चुंबकीय})$।
अतः, दोनों क्षेत्रों का योगदान समान है, और अनुपात $1 : 1$ है।

(D) विद्युत क्षेत्र के लिए दिया गया समीकरण है:
$E = 3.1 \cos [ (1.8) y + (5.4 \times 10^8) t ] \hat{i}$ .......... $(i)$
इसे मानक तरंग समीकरण के साथ तुलना करने पर:
$E = E_0 \cos (ky + \omega t)$ .......... $(ii)$
हमें तरंग संख्या $k$ प्राप्त होती है:
$k = 1.8 \, rad \, m^{-1}$
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और तरंग संख्या $k$ के बीच का संबंध है:
$\lambda = \frac{2 \pi}{k}$
$k$ का मान रखने पर और $\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर:
$\lambda = \frac{2 \times 3.14159}{1.8} \approx 3.49 \, m$
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान है:
$\lambda \approx 3.5 \, m$

(A) निर्वात में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ द्वारा दी जाती है।
विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण का अनुपात प्रकाश की गति के बराबर होता है,अर्थात $\frac{E}{B} = c$।
इस मान को विकल्प $A$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \cdot \frac{E}{B} = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \cdot c = \sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = 1$।
चूंकि $1$ एक विमाहीन स्थिरांक है,इसलिए व्यंजक $\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \frac{E}{B}$ विमाहीन है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि विद्युतचुंबकीय तरंग का वेग सदिश $\vec{v}$ ऊर्जा प्रवाह (पॉइंटिंग सदिश) की दिशा में होता है,इसलिए वेग $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा में होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) तरंग का सामान्य समीकरण $E = E_0 \cos(\omega t - kx)$ है।
दिए गए समीकरण $E_y = 2.5 \cos[(2\pi \times 10^6)t - (\pi \times 10^{-2})x]$ के साथ तुलना करने पर,हमें कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi \times 10^6 \, rad/s$ और तरंग संख्या $k = \pi \times 10^{-2} \, rad/m$ प्राप्त होती है।
तरंग $+x$ दिशा में संचरित हो रही है क्योंकि पद $(\omega t - kx)$ है।
आवृत्ति $f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\pi \times 10^6}{2\pi} = 10^6 \, Hz$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{-2}} = 200 \, m$ है।

(B) दिया गया विद्युत क्षेत्र $E_y = E_0 \cos(\omega t - kx)$ के रूप में है।
इसे मानक तरंग समीकरण के साथ तुलना करने पर, तरंग धनात्मक $X$-दिशा में गति कर रही है।
समीकरण से, कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi \times 10^6 \, \text{rad/s}$ है।
चूंकि $\omega = 2\pi f$, हमारे पास $2\pi f = 2\pi \times 10^6 \, \text{Hz}$ है, जिससे $f = 10^6 \, \text{Hz}$ प्राप्त होता है।
तरंग संख्या $k = \pi \times 10^{-2} \, \text{rad/m}$ है।
चूंकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, हमारे पास $\frac{2\pi}{\lambda} = \pi \times 10^{-2}$ है।
तरंगदैर्ध्य के लिए हल करने पर, $\lambda = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{-2}} = 2 \times 10^2 = 200 \, \text{m}$।
अतः, तरंग $10^6 \, \text{Hz}$ की आवृत्ति और $200 \, \text{m}$ की तरंगदैर्ध्य के साथ $X$-दिशा में गति कर रही है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के बीच का संबंध $E_0 = c B_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
हम जानते हैं कि $B_0 = \mu_0 H_0$,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर: $E_0 = c \mu_0 H_0$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $E_0 = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \mu_0 H_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} H_0$ प्राप्त होता है।
$H_0$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है: $H_0 = E_0 \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}$।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग में विद्युत क्षेत्र के परिमाण $E$ और चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण $B$ के बीच का संबंध $E = B \cdot c$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
दिया गया है: $E = 10^4 \, V/m$ और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$B$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $B = \frac{E}{c}$.
मान रखने पर: $B = \frac{10^4}{3 \times 10^8} \, T$.
$B = \frac{1}{3} \times 10^{4-8} \, T = 0.333 \times 10^{-4} \, T = 3.33 \times 10^{-5} \, T$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण $3.3 \times 10^{-5} \, T$ होगा।

(C) निर्वात में संचरित होने वाली विद्युत चुम्बकीय $(EM)$ तरंग में,विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुम्बकीय क्षेत्र $(B)$ समान कला में दोलन करते हैं।
इसका अर्थ है कि दोनों क्षेत्र अंतरिक्ष में एक ही समय और एक ही स्थान पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं।
उनके परिमाणों के बीच का संबंध $E = cB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।

(D) निर्वात में संचरित हो रही विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $(B_0)$ के बीच का संबंध $E_0 = cB_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र के आयाम और विद्युत क्षेत्र के आयाम का अनुपात $\frac{B_0}{E_0} = \frac{1}{c}$ होता है।
यह निर्वात में प्रकाश की गति के व्युत्क्रम के बराबर है।

(C) विद्युत क्षेत्र के कारण ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र के कारण ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक विद्युत चुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच संबंध $E = cB$ है,जहाँ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ है।
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व के सूत्र में $B = \frac{E}{c}$ रखने पर,हमें $u_B = \frac{1}{2} \frac{(E/c)^2}{\mu_0} = \frac{1}{2} \frac{E^2}{c^2 \mu_0} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 = u_E$ प्राप्त होता है।
अतः,औसत ऊर्जा घनत्व में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों दोनों का समान योगदान होता है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंगें वे तरंगें हैं जो विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के बीच कंपन के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं।
इन तरंगों में,विद्युत क्षेत्र सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश एक-दूसरे के लंबवत और तरंग प्रसार की दिशा के भी लंबवत दोलन करते हैं।
चूंकि क्षेत्रों के दोलन प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं,इसलिए विद्युतचुंबकीय तरंगों को अनुप्रस्थ (transverse) तरंगों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दिया गया है: आवृत्ति $f = 3 \times 10^{10} \, Hz$,चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = 10^{-7} \, T$ है।
विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = c B_0 = (3 \times 10^8 \, m/s) \times (10^{-7} \, T) = 30 \, V/m$ है।
तरंग $X-$ दिशा में संचरित हो रही है और चुंबकीय क्षेत्र $Y-$ दिशा में है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $Z-$ दिशा $(E_z)$ में होना चाहिए।
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi f}{c} = \frac{2\pi (3 \times 10^{10})}{3 \times 10^8} = 2\pi (100) \, rad/m$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2\pi (3 \times 10^{10}) \, rad/s$ है।
विद्युत क्षेत्र के लिए व्यंजक $E_z = E_0 \sin(kx - \omega t) = 30 \sin(2\pi(100x - 3 \times 10^{10}t)) \, V/m$ होगा।

(B) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec E$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec B$ समान कला में दोलन करते हैं और एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
विद्युतचुंबकीय तरंगों के गुणों के अनुसार,तरंग के संचरण की दिशा (जो वेग सदिश $\vec v$ की दिशा है) विद्युत क्षेत्र सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के क्रॉस उत्पाद (cross product) द्वारा दी जाती है।
इसलिए,वेग सदिश $\vec v$,$\vec E \times \vec B$ के समानांतर होता है।
यह पॉइंटिंग सदिश $\vec S = \frac{1}{\mu_0} (\vec E \times \vec B)$ से भी संबंधित है,जो विद्युतचुंबकीय क्षेत्र के दिशात्मक ऊर्जा प्रवाह (प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में ऊर्जा का स्थानांतरण) को दर्शाता है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र के लिए दिया गया समीकरण $B_y = B_m \sin(kz - \omega t)$ है।
तरंग समीकरण $f(kz - \omega t)$ में,$(kz - \omega t)$ पद यह दर्शाता है कि तरंग धनात्मक $z-$ दिशा में संचरित हो रही है।
विद्युत चुंबकीय तरंगें प्रकृति में अनुप्रस्थ होती हैं,जिसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ और संचरण की दिशा $\vec{k}$ परस्पर लंबवत होते हैं।
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $y-$ अक्ष के अनुदिश दोलन करता है और तरंग $z-$ अक्ष के अनुदिश संचरित होती है,इसलिए विद्युत क्षेत्र को $x-$ अक्ष के अनुदिश दोलन करना चाहिए (क्योंकि $\vec{E} \propto \vec{B} \times \vec{k}$)।
अतः,तरंग के संचरण की दिशा $+z-$ अक्ष है और विद्युत सदिश $x-$ अक्ष के अनुदिश दोलन करता है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग का कुल ऊर्जा घनत्व $u$,विद्युत ऊर्जा घनत्व $u_E$ और चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B$ का योग होता है।
विद्युत ऊर्जा घनत्व $u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय ऊर्जा घनत्व $u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,कुल ऊर्जा घनत्व $u = u_E + u_B = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{B^2}{2\mu_0}$ है।

(D) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में दोलन करने वाला विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ होता है।
ये सदिश परस्पर लंबवत तलों में दोलन करते हैं,जिसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत होता है।
इसके अलावा,ये क्षेत्र समान कला (in phase) में दोलन करते हैं,जिसका अर्थ है कि वे अंतरिक्ष में एक ही समय और एक ही स्थान पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं।
इसलिए,सही विवरण यह है कि वे परस्पर लंबवत तलों में लेकिन समान कला में दोलन करते हैं।

(B) रेडियो तरंगें विद्युत चुम्बकीय तरंगें होती हैं,जो प्रकृति में अनुप्रस्थ (transverse) होती हैं। केवल अनुप्रस्थ तरंगों को ही ध्रुवित किया जा सकता है। इसलिए,कथन सही है।
हवा में ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य तरंगें होती हैं,जिन्हें ध्रुवित नहीं किया जा सकता है। इसलिए,कारण भी सही है।
हालाँकि,यह तथ्य कि ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं,यह स्पष्ट नहीं करता है कि रेडियो तरंगों को ध्रुवित क्यों किया जा सकता है। अतः,कारण कथन की सही व्याख्या नहीं है।

(A) माध्यम में प्रकाश का वेग $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\mu = \mu_{r} \mu_{0}$ और $\epsilon = \epsilon_{r} \epsilon_{0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r} \mu_{0} \epsilon_{0}}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि निर्वात में प्रकाश की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}} = 3 \times 10^{8} \;m/s$ है,इसलिए सूत्र $v = \frac{c}{\sqrt{\mu_{r} \epsilon_{r}}}$ बन जाता है।
यहाँ $\mu_{r} = 1.0$ और $\epsilon_{r} = 1.44$ दिया गया है,अतः $v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.0 \times 1.44}}$.
$v = \frac{3 \times 10^{8}}{\sqrt{1.44}} = \frac{3 \times 10^{8}}{1.2}$.
$v = 2.5 \times 10^{8} \;m/s$.

(A) दिया गया चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = B_0 \sin (kx + \omega t) \hat{j}$ है,जहाँ $B_0 = 3 \times 10^{-8} \; T$ है।
चूंकि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में संचरित हो रही है (जैसा कि $+kx$ द्वारा इंगित है),संचरण की दिशा $-\hat{i}$ है।
विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के आयामों के बीच संबंध $E_0 = c B_0$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ है।
$E_0 = (3 \times 10^{8} \; m/s) \times (3 \times 10^{-8} \; T) = 9 \; V/m$।
विद्युतचुंबकीय तरंग में,संचरण की दिशा $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ की दिशा द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$(-\hat{i}) = \hat{E} \times \hat{j}$ है।
चूंकि $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$ होता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\hat{k}$ दिशा में होना चाहिए।
अतः,$\overrightarrow{E} = 9 \sin (1.6 \times 10^{3} x + 48 \times 10^{10} t) \hat{k} \; V/m$ प्राप्त होता है।

(D) निर्वात में संचरित होने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$,चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ और वेग सदिश $\overrightarrow{c}$ के बीच का संबंध $\overrightarrow{E} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{B}$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग $z$-दिशा में संचरित हो रही है,इसलिए वेग सदिश $\overrightarrow{c} = c \hat{k} = (3 \times 10^{8}) \hat{k}\; m/s$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = 5 \times 10^{-8} \hat{j}\; T$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 10^{8} \hat{k}) \times (5 \times 10^{-8} \hat{j})$
इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के नियमों का उपयोग करते हुए $(\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i})$:
$\overrightarrow{E} = (3 \times 5) \times (10^{8} \times 10^{-8}) \times (\hat{k} \times \hat{j})$
$\overrightarrow{E} = 15 \times 1 \times (-\hat{i})$
$\overrightarrow{E} = -15 \hat{i}\; V/m$.

(A) संचरण की दिशा $\hat{n} = \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी गई है।
विद्युत क्षेत्र का ध्रुवीकरण $\hat{E} = \hat{k}$ है।
एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,संचरण की दिशा $\hat{n}$ विद्युत क्षेत्र की दिशा $\hat{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $\hat{B}$ के सदिश गुणनफल द्वारा दी जाती है,अर्थात $\hat{n} = \hat{E} \times \hat{B}$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}} = \hat{k} \times \hat{B}$.
हम जानते हैं कि $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ और $\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$.
इसलिए,$\hat{k} \times \left( \frac{\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\hat{j} - (-\hat{i})}{\sqrt{2}} = \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की दिशा $\hat{B} = \frac{\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B} = B_{0} \frac{\hat{i}-\hat{j}}{\sqrt{2}} \cos \left(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r}\right)$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}_{1}=E_{0} \hat{j} \cos (\omega t-kx)$ और $\overrightarrow{E}_{2}=E_{0} \hat{k} \cos (\omega t-ky)$ हैं।
$t=0$ और मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर,$\overrightarrow{E}_{1} = E_{0} \hat{j}$ और $\overrightarrow{E}_{2} = E_{0} \hat{k}$ प्राप्त होता है।
संगत चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B} = \frac{1}{c} (\hat{n} \times \overrightarrow{E})$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $\hat{n}$ प्रसार की दिशा है।
$\overrightarrow{E}_{1}$ के लिए,$\hat{n} = \hat{i}$,इसलिए $\overrightarrow{B}_{1} = \frac{1}{c} (\hat{i} \times E_{0} \hat{j}) = \frac{E_{0}}{c} \hat{k}$.
$\overrightarrow{E}_{2}$ के लिए,$\hat{n} = \hat{j}$,इसलिए $\overrightarrow{B}_{2} = \frac{1}{c} (\hat{j} \times E_{0} \hat{k}) = \frac{E_{0}}{c} \hat{i}$.
लोरेंत्ज़ बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{E}_{1} + \overrightarrow{E}_{2}) + q(\overrightarrow{v} \times (\overrightarrow{B}_{1} + \overrightarrow{B}_{2}))$ है।
मान रखने पर: $\overrightarrow{F} = q(E_{0} \hat{j} + E_{0} \hat{k}) + q(0.8 c \hat{j} \times (\frac{E_{0}}{c} \hat{k} + \frac{E_{0}}{c} \hat{i}))$.
$\overrightarrow{F} = q E_{0} \hat{j} + q E_{0} \hat{k} + 0.8 q E_{0} (\hat{j} \times \hat{k}) + 0.8 q E_{0} (\hat{j} \times \hat{i})$.
क्रॉस प्रोडक्ट $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ और $\hat{j} \times \hat{i} = -\hat{k}$ का उपयोग करने पर:
$\overrightarrow{F} = q E_{0} \hat{j} + q E_{0} \hat{k} + 0.8 q E_{0} \hat{i} - 0.8 q E_{0} \hat{k} = q E_{0} (0.8 \hat{i} + \hat{j} + 0.2 \hat{k})$.

(N/A) गैर-यांत्रिक तरंगें वे तरंगें हैं जिन्हें संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है। ये तरंगें निर्वात में भी यात्रा कर सकती हैं।
इन्हें विद्युत चुम्बकीय तरंगों के रूप में भी जाना जाता है।
गैर-यांत्रिक तरंगों के उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$1$. प्रकाश तरंगें
$2$. रेडियो तरंगें
$3$. $X$-किरणें
$4$. गामा किरणें
$5$. सूक्ष्म तरंगें (माइक्रोवेव्स)

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ का परिमाण विद्युत क्षेत्र $E$ से $B = \frac{E}{c}$ संबंध द्वारा संबंधित है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \; m/s$ मुक्त आकाश में प्रकाश की गति है।
दिए गए मानों को रखने पर: $B = \frac{6.3 \; V/m}{3 \times 10^8 \; m/s} = 2.1 \times 10^{-8} \; T$ प्राप्त होता है।
दिशा ज्ञात करने के लिए,हम जानते हैं कि विद्युतचुंबकीय तरंग $\vec{E} \times \vec{B}$ सदिश की दिशा में संचरित होती है।
चूंकि तरंग $x$-दिशा $(\hat{i})$ में यात्रा करती है और विद्युत क्षेत्र $y$-दिशा $(\hat{j})$ में है,इसलिए $\hat{j} \times \hat{B} = \hat{i}$ होगा।
हम जानते हैं कि $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $z$-दिशा $(\hat{k})$ में होना चाहिए।
अतः,$\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8} \hat{k} \; T$ है।

(A) दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप $B_y = B_0 \sin(kx + \omega t)$ से करने पर:
यहाँ,$k = 0.5 \times 10^3 \, rad/m$ और $\omega = 1.5 \times 10^{11} \, rad/s$ है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14}{0.5 \times 10^3} \approx 1.26 \, m$ है।
आवृत्ति $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{1.5 \times 10^{11}}{2 \times 3.14} \approx 2.39 \times 10^{10} \, Hz = 23.9 \, GHz$ है।
$(b)$ विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_0 = B_0 c = (2 \times 10^{-7} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s) = 60 \, V/m$ है।
चूंकि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में संचरित हो रही है और चुंबकीय क्षेत्र $y$-अक्ष पर है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $z$-अक्ष पर होना चाहिए। अतः,व्यंजक है:
$E_z = 60 \sin (0.5 \times 10^3 x + 1.5 \times 10^{11} t) \, V/m$.

(A) बल्ब,एक बिंदु स्रोत के रूप में,सभी दिशाओं में समान रूप से प्रकाश उत्सर्जित करता है। $r = 3\; m$ की दूरी पर,आसपास के गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2 = 4\pi(3)^2 = 113\; m^2$ है।
बल्ब द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = 100\; W \times 2.5\% = 2.5\; W$ है।
इस दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P}{A} = \frac{2.5\; W}{113\; m^2} \approx 0.022\; W/m^2$ है।
औसत ऊर्जा घनत्व विद्युत क्षेत्र से $I = \varepsilon_0 E_{rms}^2 c$ द्वारा संबंधित है। अतः,$E_{rms} = \sqrt{\frac{I}{\varepsilon_0 c}}$।
मान रखने पर: $E_{rms} = \sqrt{\frac{0.022}{(8.85 \times 10^{-12})(3 \times 10^8)}} \approx 2.87\; V/m \approx 2.9\; V/m$।
अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_0 = \sqrt{2} E_{rms} = \sqrt{2} \times 2.9 \approx 4.1\; V/m$।
रूट मीन स्क्वायर चुंबकीय क्षेत्र $B_{rms} = \frac{E_{rms}}{c} = \frac{2.9}{3 \times 10^8} \approx 9.7 \times 10^{-9}\; T$ है।
अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र $B_0 = \sqrt{2} B_{rms} = \sqrt{2} \times 9.7 \times 10^{-9} \approx 1.37 \times 10^{-8}\; T$ है।

(C) सभी विद्युत चुम्बकीय तरंगें,चाहे उनकी तरंगदैर्ध्य या आवृत्ति कुछ भी हो,निर्वात में समान चाल से चलती हैं।
इस चाल को $c$ द्वारा दर्शाया जाता है और इसका मान लगभग $3 \times 10^{8} \; m/s$ होता है।
चूंकि $X$-किरणें,लाल प्रकाश और रेडियो तरंगें सभी विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम का हिस्सा हैं,इसलिए वे निर्वात में इस मूलभूत गुण को साझा करती हैं।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग निर्वात में $z$-दिशा के अनुदिश गमन करती है। विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ $x-y$ तल में होते हैं और वे एक-दूसरे के तथा तरंग के संचरण की दिशा ($z$-दिशा) के लंबवत होते हैं।
तरंग की दी गई आवृत्ति,$\nu = 30 \; MHz = 30 \times 10^{6} \; s^{-1}$ है।
निर्वात में प्रकाश की चाल,$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ है।
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का सूत्र $\lambda = \frac{c}{\nu}$ है।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{3 \times 10^{8}}{30 \times 10^{6}} = \frac{300 \times 10^{6}}{30 \times 10^{6}} = 10 \; m$।

(N/A) रेडियो न्यूनतम आवृत्ति $v_{1} = 7.5\; MHz = 7.5 \times 10^{6}\; Hz$ पर ट्यून होता है।
अधिकतम आवृत्ति $v_{2} = 12\; MHz = 12 \times 10^{6}\; Hz$ है।
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8}\; m/s$ है।
तरंगदैर्घ्य $\lambda$ और आवृत्ति $v$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{c}{v}$ है।
न्यूनतम आवृत्ति $v_{1}$ के लिए,अधिकतम तरंगदैर्घ्य $\lambda_{1}$ इस प्रकार है:
$\lambda_{1} = \frac{c}{v_{1}} = \frac{3 \times 10^{8}}{7.5 \times 10^{6}} = 40\; m$.
अधिकतम आवृत्ति $v_{2}$ के लिए,न्यूनतम तरंगदैर्घ्य $\lambda_{2}$ इस प्रकार है:
$\lambda_{2} = \frac{c}{v_{2}} = \frac{3 \times 10^{8}}{12 \times 10^{6}} = 25\; m$.
अतः,संगत तरंगदैर्घ्य बैंड $25\; m$ से $40\; m$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंगों के सिद्धांत के अनुसार,एक दोलनशील आवेश विद्युतचुंबकीय विकिरण का स्रोत होता है। एक दोलनशील आवेश द्वारा उत्पन्न विद्युतचुंबकीय तरंगों की आवृत्ति स्वयं आवेश के दोलन की आवृत्ति के बराबर होती है। इसलिए,विद्युतचुंबकीय तरंगों की आवृत्ति $10^9 \; Hz$ है।

(D) निर्वात में एक विद्युतचुंबकीय तरंग के चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = 510 \; nT = 510 \times 10^{-9} \; T$ दिया गया है।
निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \; m/s$ है।
विद्युतचुंबकीय तरंग के विद्युत क्षेत्र का आयाम $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $(B_0)$ एक-दूसरे से $E_0 = c B_0$ संबंध द्वारा जुड़े होते हैं।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E_0 = (3 \times 10^8 \; m/s) \times (510 \times 10^{-9} \; T)$
$E_0 = 3 \times 510 \times 10^{-1} \; N/C$
$E_0 = 1530 \times 10^{-1} \; N/C = 153 \; N/C$.
अतः,तरंग के विद्युत क्षेत्र भाग का आयाम $153 \; N/C$ है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र का आयाम,$E_{0} = 120 \; N/C$.
स्रोत की आवृत्ति,$\nu = 50.0 \; MHz = 50 \times 10^{6} \; Hz$.
प्रकाश की गति,$c = 3 \times 10^{8} \; m/s$.
$(a)$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण इस प्रकार है:
$B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{120}{3 \times 10^{8}} = 4 \times 10^{-7} \; T = 400 \; nT$.
कोणीय आवृत्ति इस प्रकार है:
$\omega = 2 \pi \nu = 2 \pi \times 50 \times 10^{6} = 3.14 \times 10^{8} \; rad/s$.
प्रसार नियतांक इस प्रकार है:
$k = \frac{\omega}{c} = \frac{3.14 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}} = 1.05 \; rad/m$.
तरंगदैर्ध्य इस प्रकार है:
$\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{3 \times 10^{8}}{50 \times 10^{6}} = 6.0 \; m$.
$(b)$ मान लीजिए कि तरंग धनात्मक $x$-दिशा में संचरित हो रही है। तब,विद्युत क्षेत्र सदिश धनात्मक $y$-दिशा में होगा और चुंबकीय क्षेत्र सदिश धनात्मक $z$-दिशा में होगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि तीनों सदिश परस्पर लंबवत होते हैं। विद्युत क्षेत्र सदिश का समीकरण:
$\vec{E} = 120 \sin(1.05x - 3.14 \times 10^{8}t) \hat{j} \; V/m$.
और,चुंबकीय क्षेत्र सदिश का समीकरण:
$\vec{B} = (4 \times 10^{-7}) \sin(1.05x - 3.14 \times 10^{8}t) \hat{k} \; T$.

(A) दिया गया है:
आवृत्ति $v = 2.0 \times 10^{10} \; Hz$
विद्युत क्षेत्र का आयाम $E_{0} = 48 \; V m^{-1}$
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \; m s^{-1}$
$(a)$ तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^{8}}{2.0 \times 10^{10}} = 0.015 \; m$.
$(b)$ चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_{0} = \frac{E_{0}}{c} = \frac{48}{3 \times 10^{8}} = 1.6 \times 10^{-7} \; T$.
$(c)$ विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $U_{E} = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ है और चुंबकीय क्षेत्र के लिए $U_{B} = \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$ है।
$E = cB$ और $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_{0} \mu_{0}}}$ का उपयोग करते हुए,हमें $E^{2} = c^{2} B^{2} = \frac{B^{2}}{\epsilon_{0} \mu_{0}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\epsilon_{0} E^{2} = \frac{B^{2}}{\mu_{0}}$।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} = \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}}$,जो दर्शाता है कि $U_{E} = U_{B}$।

(A) विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष के अनुदिश दोलन कर रहा है और $y$ तथा $t$ के साथ बदल रहा है। चूंकि कोसाइन फलन का तर्क $(ky + \omega t)$ है,इसलिए तरंग ऋणात्मक $y$-दिशा में,यानी $-\hat{j}$ के अनुदिश संचरित होती है।
$(b)$ दिए गए समीकरण की तुलना मानक रूप $E = E_0 \cos(ky + \omega t)$ से करने पर,$k = 1.8 \; rad/m$ प्राप्त होता है। तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2 \times 3.14}{1.8} \approx 3.49 \; m$.
$(c)$ कोणीय आवृत्ति $\omega = 5.4 \times 10^{6} \; rad/s$ है। आवृत्ति $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{5.4 \times 10^{6}}{2 \times 3.14} \approx 8.6 \times 10^{5} \; Hz$.
$(d)$ चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = \frac{E_0}{c}$,जहाँ $E_0 = 3.1 \; N/C$ और $c = 3 \times 10^{8} \; m/s$ है। अतः,$B_0 = \frac{3.1}{3 \times 10^{8}} \approx 1.03 \times 10^{-8} \; T$.
$(e)$ चूंकि $\vec{E}$ दिशा $\hat{i}$ में है और संचरण $-\hat{j}$ दिशा में है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को $\hat{k}$ दिशा में होना चाहिए (क्योंकि $\vec{E} \times \vec{B}$ संचरण की दिशा देता है)। व्यंजक है: $\vec{B} = \{(1.03 \times 10^{-8} \; T) \cos [(1.8 \; rad/m) y + (5.4 \times 10^{6} \; rad/s) t] \} \hat{k}$.

(A) बल्ब की शक्ति रेटिंग,$P = 100 \; W$ है।
यह दिया गया है कि इसकी शक्ति का लगभग $5 \%$ दृश्य विकिरण में परिवर्तित हो जाता है।
$\therefore$ दृश्य विकिरण की शक्ति,$P' = \frac{5}{100} \times 100 = 5 \; W$ है।
$(a)$ बल्ब से $d = 1 \; m$ की दूरी पर,तीव्रता $I$ को सूत्र $I = \frac{P'}{4 \pi d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$I = \frac{5}{4 \times 3.14 \times (1)^2} \approx 0.398 \; W/m^2$ है।
$(b)$ बल्ब से $d = 10 \; m$ की दूरी पर,तीव्रता $I$ को $I = \frac{P'}{4 \pi d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$I = \frac{5}{4 \times 3.14 \times (10)^2} = \frac{5}{1256} \approx 0.00398 \; W/m^2$ है।

(N/A) लंबी दूरी के रेडियो प्रसारण शॉर्ट-वेव बैंड का उपयोग करते हैं क्योंकि ये तरंगें आयनमंडल (ionosphere) द्वारा अपवर्तित हो जाती हैं,जिससे वे पृथ्वी की वक्रता के चारों ओर लंबी दूरी तक यात्रा कर सकती हैं।
$(b)$ $TV$ संकेतों की आवृत्ति और ऊर्जा बहुत अधिक होती है। वे आयनमंडल द्वारा परावर्तित नहीं होते हैं; इसलिए,लंबी दूरी के संचार के लिए इन संकेतों को प्राप्त करने और पुनः प्रसारित करने के लिए उपग्रहों की आवश्यकता होती है।
$(c)$ पृथ्वी का वायुमंडल $X$-किरणों को अवशोषित कर लेता है,जिससे वे जमीन तक नहीं पहुँच पाती हैं। हालाँकि,दृश्य प्रकाश और रेडियो तरंगें वायुमंडल में प्रवेश कर सकती हैं,जिससे ऑप्टिकल और रेडियो टेलीस्कोप जमीन पर काम कर सकते हैं।
$(d)$ ओजोन परत सूर्य से आने वाले हानिकारक पराबैंगनी $(UV)$ विकिरण को अवशोषित करती है,जो अन्यथा जीवित जीवों को गंभीर नुकसान पहुँचा सकती है,जिसमें त्वचा कैंसर और आनुवंशिक उत्परिवर्तन शामिल हैं।
$(e)$ वायुमंडल के बिना,कोई ग्रीनहाउस प्रभाव नहीं होता। पृथ्वी का औसत सतही तापमान अभी की तुलना में काफी कम होता क्योंकि वायुमंडल सतह से विकीर्ण ऊष्मा को रोक कर रखता है।
$(f)$ एक वैश्विक परमाणु युद्ध वायुमंडल में भारी मात्रा में धुआं और धूल छोड़ेगा। ये कण सूर्य के प्रकाश को पृथ्वी की सतह तक पहुँचने से रोक देंगे,जिससे तापमान में भारी गिरावट आएगी,जिसे 'परमाणु शीतकाल' कहा जाता है,और ओजोन परत का क्षरण होगा।

(N/A) विद्युतचुंबकीय तरंगें वे तरंगें हैं जो एक विद्युत क्षेत्र और एक चुंबकीय क्षेत्र के बीच कंपन के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं।
दूसरे शब्दों में,विद्युतचुंबकीय तरंगें दोलनशील विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बनी होती हैं जो एक-दूसरे के और तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं।
इन तरंगों को प्रसार के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है और ये निर्वात में प्रकाश की गति,$c \approx 3 \times 10^8 \ m/s$ से यात्रा कर सकती हैं।

(N/A) विद्युतचुंबकीय तरंगों की विशेषताएं निम्नलिखित हैं:
$(1)$ विद्युतचुंबकीय तरंगों में विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,साथ ही वे तरंग संचरण की दिशा के भी लंबवत होते हैं।
$(2)$ विद्युतचुंबकीय तरंगें अनुप्रस्थ प्रकृति की होती हैं। यदि एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग $z$-दिशा में संचरित होती है,तो विद्युत क्षेत्र $E_{x}$ $x$-दिशा में और चुंबकीय क्षेत्र $B_{y}$ $y$-दिशा में दोलन करते हैं। वे ज्या (sine) फलन के अनुसार बदलते हैं।
$(3)$ इसका गणितीय निरूपण इस प्रकार है:
$E_{x} = E_{0} \sin(kz - \omega t)$
$B_{y} = B_{0} \sin(kz - \omega t)$
अतः,$\vec{E} = E_{0} \sin(kz - \omega t) \hat{i}$ और $\vec{B} = B_{0} \sin(kz - \omega t) \hat{j}$.
$(4)$ निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c = \frac{\omega}{k}$ है।
$(5)$ विद्युतचुंबकीय तरंगों के संचरण के लिए किसी भौतिक माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है; वे निर्वात में भी यात्रा कर सकती हैं।

(A) जगदीश चंद्र बोस रेडियो तरंगों के अध्ययन में अग्रणी थे। $1895$ में,उन्होंने सफलतापूर्वक मिलीमीटर रेंज की,विशेष रूप से $5 \ mm$ से $25 \ mm$ के बीच की विद्युत चुंबकीय तरंगें उत्पन्न कीं और उनका पता लगाया। यह कार्य आधुनिक वायरलेस संचार के विकास में एक महत्वपूर्ण योगदान था।

(A) जब एक विद्युतचुंबकीय तरंग $+x$ दिशा में संचरित होती है,तो विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ $y$-दिशा में और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ $z$-दिशा में दोलन करता है।
$+x$ दिशा में यात्रा करने वाली समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का सामान्य रूप तरंग समीकरणों द्वारा दिया जाता है:
$E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$
$B_z = B_0 \sin(kx - \omega t)$
यहाँ,$E_0$ और $B_0$ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के आयाम हैं,$k$ तरंग संख्या है,और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है। ये क्षेत्र समान कला में होते हैं और $E_0 = cB_0$ संबंध को संतुष्ट करते हैं,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के बीच का संबंध समीकरण $E = cB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र का अनुपात $\frac{E}{B} = c$ होता है।
यह अनुपात माध्यम (या निर्वात) में प्रकाश की गति को दर्शाता है।

(C) धनात्मक $x$-दिशा में गति करने वाली एक समतल विद्युतचुंबकीय तरंग में दोलन करते हुए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र होते हैं।
विद्युत क्षेत्र सदिश $y$-अक्ष पर दोलन करता है और इसे $E_y = E_0 \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र सदिश $z$-अक्ष पर दोलन करता है और इसे $B_z = B_0 \sin(kx - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$E_0$ और $B_0$ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के आयाम हैं,$k$ तरंग संख्या है,और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
अतः,दोनों समीकरण समतल विद्युतचुंबकीय तरंग के मानक रूप को दर्शाते हैं।

(A) मुक्त आकाश (निर्वात) में प्रकाश की गति एक सार्वभौमिक भौतिक स्थिरांक है जिसे $c$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसका मान लगभग $3 \times 10^8 \ m/s$ (अधिक सटीक रूप से $299,792,458 \ m/s$) है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक सरल लोलक में,विस्थापन को कोणीय विस्थापन $\theta$ द्वारा दर्शाया जाता है,जो वह कोण है जो धागा ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ बनाता है।
प्रकाश के संचरण (जो एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है) में,विस्थापन चर दोलन करने वाला विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ (और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$) है,जो अंतरिक्ष और समय में आवधिक रूप से बदलता रहता है।

हम जानते हैं कि स्थिर-वैद्युत नियतांक $\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ Nm}^{2}/\text{C}^{2}$ है और चुंबकीय नियतांक $\frac{\mu_{0}}{4 \pi} = 10^{-7} \text{ Tm/A}$ है।
इन दोनों नियतांकों का गुणा करने पर:
$\mu_{0} \epsilon_{0} = \left( \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \right) \left( 4 \pi \epsilon_{0} \right) = (10^{-7}) \left( \frac{1}{9 \times 10^{9}} \right) = \frac{1}{9 \times 10^{16}}$.
चूंकि निर्वात में प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ है, हम लिख सकते हैं:
$\mu_{0} \epsilon_{0} = \frac{1}{(3 \times 10^{8})^{2}} = \frac{1}{c^{2}}$.
अतः, संबंध $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}}$ है।