Properties of Electromagnetic Waves Questions in Hindi

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच का संबंध है: $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 c E_0^2$.
$E_0$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c}}$.
दिया गया है: $I = \frac{500}{\pi} \, W/m^2$,$\epsilon_0 = \frac{1}{36\pi \times 10^9} \, F/m$,और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
मान रखने पर:
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times (500/\pi)}{(1 / (36\pi \times 10^9)) \times 3 \times 10^8}}$
$E_0 = \sqrt{\frac{1000}{\pi} \times \frac{36\pi \times 10^9}{3 \times 10^8}}$
$E_0 = \sqrt{1000 \times 12 \times 10} = \sqrt{120000} = \sqrt{12 \times 10^4} = 2\sqrt{3} \times 10^2 \, N/C$.

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ का सूत्र $I = \frac{B_0^2}{2\mu_0} c$ है,जहाँ $B_0$ चुंबकीय क्षेत्र का अधिकतम मान है,$\mu_0$ निर्वात की पारगम्यता $(4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A})$ है,और $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \text{ m/s})$ है।
यहाँ $B_0 = 100 \text{ nT} = 100 \times 10^{-9} \text{ T} = 10^{-7} \text{ T}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$I = \frac{(10^{-7})^2}{2 \times 4\pi \times 10^{-7}} \times 3 \times 10^8$
$I = \frac{10^{-14}}{8\pi \times 10^{-7}} \times 3 \times 10^8$
$I = \frac{3 \times 10^{-14} \times 10^8}{8\pi \times 10^{-7}}$
$I = \frac{3 \times 10^{-6}}{8\pi \times 10^{-7}} = \frac{30}{8\pi} = \frac{15}{4\pi} \approx 1.1936 \text{ W/m}^2$.
अतः,तीव्रता लगभग $1.2 \text{ W/m}^2$ है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,अधिकतम विद्युत क्षेत्र तीव्रता $(E_0)$ और अधिकतम चुंबकीय फ्लक्स घनत्व $(B_0)$ के बीच संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $B_0 = \frac{E_0}{c}$,जहाँ $c$ निर्वात में प्रकाश की गति है $(c \approx 3 \times 10^8 \, m/s)$।
दिया गया है: $E_0 = 10^{-4} \, V/m$।
मान रखने पर: $B_0 = \frac{10^{-4}}{3 \times 10^8} \, T$।
$B_0 = \frac{1}{3} \times 10^{-12} \, T = 0.333 \times 10^{-12} \, T = 3.33 \times 10^{-13} \, T$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व $\langle u_E \rangle$ चुंबकीय क्षेत्र के औसत ऊर्जा घनत्व $\langle u_B \rangle$ के बराबर होता है।
विद्युत क्षेत्र के औसत ऊर्जा घनत्व का सूत्र $\langle u_E \rangle = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ है।
यहाँ,आयाम $E_0 = 2 \, V/m$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$ दी गई है।
मान रखने पर:
$\langle u_B \rangle = \langle u_E \rangle = \frac{1}{4} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (2)^2$
$\langle u_B \rangle = \frac{1}{4} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 4$
$\langle u_B \rangle = 8.85 \times 10^{-12} \, J/m^3$.

(B) एक बिंदु स्रोत से $R$ दूरी पर विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi R^2}$ द्वारा दी जाती है।
साथ ही,अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_0$ के संदर्भ में तीव्रता $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ होती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{P}{4 \pi R^2} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$.
$E_0$ के लिए हल करने पर: $E_0 = \sqrt{\frac{P}{2 \pi R^2 \varepsilon_0 c}}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P = 800\,W$,$R = 4.0\,m$,$\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,F/m$,और $c = 3 \times 10^8\,m/s$.
$E_0 = \sqrt{\frac{800}{2 \times 3.1416 \times (4.0)^2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8}}$.
$E_0 = \sqrt{\frac{800}{133.27 \times 10^{-4}}} \approx \sqrt{60028.5} \approx 54.77\,V/m$.

(B) समतल विद्युतचुंबकीय तरंग का सामान्य समीकरण $\vec E = E_0 \cos(ky + \omega t)\hat i$ या $\vec E = E_0 \cos(ky - \omega t)\hat i$ होता है।
दिए गए समीकरण $\vec E = 3\cos(1.8y + 5.4 \times 10^8 t)\hat i$ की तुलना मानक रूप $\vec E = E_0 \cos(ky + \omega t)\hat i$ से करने पर, हमें तरंग सदिश $k = 1.8 \, \text{rad/m}$ प्राप्त होता है।
$ky$ और $\omega t$ के बीच धनात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि तरंग ऋणात्मक $y$-दिशा में संचरित हो रही है, जिसे इकाई सदिश $-\hat j$ द्वारा दर्शाया जाता है।
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना $\lambda = \frac{2\pi}{k}$ संबंध का उपयोग करके की जाती है।
$k = 1.8$ रखने पर, हमें $\lambda = \frac{2 \times 3.14159}{1.8} \approx 3.49 \, \text{m}$ प्राप्त होता है, जो लगभग $3.5 \, \text{m}$ है।
अतः, संचरण की दिशा $-\hat j$ है और तरंगदैर्ध्य $3.5 \, \text{m}$ है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग दोलनशील विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बनी होती है जो एक-दूसरे के और तरंग संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं।
विद्युतचुंबकीय तरंगों के गुणों के अनुसार,संचरण की दिशा पॉइंटिंग सदिश $\vec S$ द्वारा दी जाती है,जिसे $\vec S = \frac{1}{\mu_0} (\vec E \times \vec B)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $\mu_0$ एक धनात्मक स्थिरांक है,इसलिए तरंग संचरण की दिशा विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec E$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec B$ के क्रॉस उत्पाद (cross product) की दिशा के समान होती है।
अतः,संचरण की दिशा $\vec E \times \vec B$ है।

(D) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ एक-दूसरे के परस्पर लंबवत होते हैं और तरंग के संचरण की दिशा के भी लंबवत होते हैं।
इसलिए,यह कथन कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के सदिश एक-दूसरे के समानांतर होते हैं,गलत है।
विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ के सदिश गुणनफल द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि संचरण की दिशा धनात्मक $y-$ अक्ष की ओर है,इसलिए दिशा $\hat{j}$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ की दिशा धनात्मक $x-$ अक्ष की ओर है,इसलिए दिशा $\hat{i}$ है।
मान लीजिए कि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा $\hat{n}$ है।
तब,$\hat{n} \times \hat{i} = \hat{j}$.
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में इकाई सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
अतः,विद्युत क्षेत्र धनात्मक $z-$ अक्ष की दिशा में कंपन करता है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I = 6 \, W/m^2$ है। दर्पण का क्षेत्रफल $A = 30 \, cm^2 = 30 \times 10^{-4} \, m^2$ है।
पूर्ण परावर्तक सतह के लिए,विकिरण दाब $P = \frac{2I}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ प्रकाश की गति है।
दर्पण पर लगने वाला बल $F = P \times A = \frac{2I}{c} \times A$ है।
प्रति सेकंड स्थानांतरित संवेग दर्पण पर लगने वाले बल के बराबर होता है।
मान रखने पर: $F = \frac{2 \times 6 \times 30 \times 10^{-4}}{3 \times 10^8}$.
$F = \frac{360 \times 10^{-4}}{3 \times 10^8} = 120 \times 10^{-12} = 1.2 \times 10^{-10} \, kg \cdot m/s$.

(D) दिया गया है: $\lambda = 10.6 \times 10^{-6} \, m$,$E_{max} = 1.5 \times 10^6 \, V/m$,संचरण की दिशा $-\hat i$ है।
$1$. $B_{max}$ की गणना: $B_{max} = \frac{E_{max}}{c} = \frac{1.5 \times 10^6}{3.0 \times 10^8} = 5.0 \times 10^{-3} \, T$.
$2$. तरंग संख्या $k$ की गणना: $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2 \times 3.14159}{10.6 \times 10^{-6}} \approx 5.93 \times 10^5 \, rad/m$.
$3$. कोणीय आवृत्ति $\omega$ की गणना: $\omega = c k = (3 \times 10^8) \times (5.93 \times 10^5) = 1.78 \times 10^{14} \, rad/s$.
$4$. दिशा निर्धारित करना: तरंग $-\hat i$ दिशा में यात्रा करती है। चूंकि $\vec E$ दिशा $\hat k$ के अनुदिश है,और संचरण की दिशा $\vec E \times \vec B$ है,इसलिए $-\hat i = \hat k \times \vec B$। इसका अर्थ है कि $\vec B$ को $\hat j$ दिशा में होना चाहिए क्योंकि $\hat k \times \hat j = -\hat i$.
$5$. ऋणात्मक $x-$ दिशा के लिए तरंग समीकरण $\cos(kx + \omega t)$ है। अतः,$\vec E = \hat k [1.5 \times 10^6 \cos(5.93 \times 10^5 x + 1.78 \times 10^{14} t)]$ और $\vec B = \hat j [5.0 \times 10^{-3} \cos(5.93 \times 10^5 x + 1.78 \times 10^{14} t)]$। सही विकल्प $D$ है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग के संचरण की दिशा पॉइंटिंग वेक्टर $\vec S = \vec E \times \vec B$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि संचरण की दिशा का इकाई सदिश $\hat k_{prop} = \hat E \times \hat B$ है।
यहाँ तरंग $-z$ अक्ष की दिशा में संचरित हो रही है,इसलिए संचरण की दिशा $-\hat k$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: $\vec E = E_0 \hat j$ और $\vec B = B_0 \hat i$ है।
अतः $\hat E \times \hat B = \hat j \times \hat i = -\hat k$।
यह संचरण की दिशा $-\hat k$ से मेल खाता है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(D) मैक्सवेल ने निष्कर्ष निकाला कि निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंग के प्रसार की गति मुक्त स्थान की पारगम्यता (permeability) $\mu_0$ और विद्युतशीलता (permittivity) $\epsilon_0$ द्वारा इस प्रकार निर्धारित होती है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
जहाँ $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T m/A}$ और $\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{C}^2 \text{N}^{-1} \text{m}^{-2}$ मान रखने पर प्रकाश की गति $c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ प्राप्त होती है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंगें दोलित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बनी होती हैं जो एक-दूसरे के और प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं।
निर्वात में, सभी विद्युतचुंबकीय तरंगें अपनी आवृत्ति या तरंगदैर्ध्य की परवाह किए बिना समान गति $c = 3 \times 10^8\, m/s$ से चलती हैं।
निर्वात में विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि निर्वात में गति स्थिर होती है, इसलिए यह कथन कि वे आवृत्ति के आधार पर अलग-अलग गति से चलते हैं, गलत है।
विद्युतचुंबकीय तरंगें अंतरिक्ष में ऊर्जा और संवेग दोनों का परिवहन करती हैं।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,प्रसार की दिशा $\vec E \times \vec B$ सदिश की दिशा द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि तरंग $+y$ दिशा में यात्रा कर रही है,इसलिए प्रसार की दिशा $\hat{j}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\vec E$,$+z$ दिशा में है,इसलिए $\vec E = E_0 \hat{k}$ है।
मान लीजिए कि चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$,$\hat{n}$ दिशा में है। तो,$\hat{k} \times \hat{n} = \hat{j}$ होगा।
इकाई सदिशों के गुणों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$),हम देख सकते हैं कि $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$ होता है।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$,$+x$ दिशा में होना चाहिए।

(A) एक रैखिक रूप से ध्रुवीकृत विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ समान कला में दोलन करते हैं।
इसका अर्थ यह है कि दोनों क्षेत्र एक ही समय पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं और एक साथ शून्य हो जाते हैं।
हालाँकि वे अंतरिक्ष में एक-दूसरे के लंबवत होते हैं,लेकिन उनके दोलन समय के संदर्भ में सिंक्रनाइज़ होते हैं।
इसलिए,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र सदिशों के बीच का कलांतर $0$ है।

(B) तरंग संचरण की दिशा इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ द्वारा दी गई है。
विद्युत क्षेत्र $\hat{k}$ दिशा में ध्रुवीकृत है, इसलिए $\vec{E} = E_0 \hat{k} \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)$.
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को संचरण की दिशा $\hat{n}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ दोनों के लंबवत होना चाहिए。
अतः, $\vec{B}$ की दिशा $\hat{n} \times \hat{k} = \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \times \hat{k} = \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} = - \left( \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right)$ है。
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0 = \frac{E_0}{c}$ है。
तरंग सदिश $\vec{k}$ का परिमाण $k = \frac{2\pi v}{c} = \frac{2\pi (3/2\pi \times 10^{12})}{3 \times 10^8} = 10^4 \, m^{-1}$ है。
अतः, $\vec{B} = \frac{E_0}{c} \left( \frac{\hat{j} - \hat{i}}{\sqrt{2}} \right) \cos \left[ 10^4 \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \cdot \vec{r} - (2\pi v)t \right]$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, विकल्प $B$ आवश्यक दिशा और तरंग सदिश से मेल खाता है।

(A) समतल विद्युत चुम्बकीय तरंग का विद्युत क्षेत्र $E(z, t) = E_0 \sin(kz - \omega t)$ द्वारा दिया जाता है।
$t = t_1$ पर,$z = z_1$ पर $E = 0$ है,इसलिए $\sin(kz_1 - \omega t_1) = 0$ है।
इसका अर्थ है $kz_1 - \omega t_1 = n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है)।
इसके पड़ोस में अगला शून्य $z_2$ पर होता है,इसलिए $kz_2 - \omega t_1 = (n \pm 1)\pi$ है।
इन समीकरणों को घटाने पर $k(z_2 - z_1) = \pm \pi$ प्राप्त होता है।
चूँकि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,हमारे पास $\frac{2\pi}{\lambda} |z_2 - z_1| = \pi$ है,जो सरल होकर $\lambda = 2|z_2 - z_1|$ हो जाता है।
आवृत्ति $f = \frac{c}{\lambda}$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है।
मान रखने पर,$f = \frac{3 \times 10^8}{2|z_2 - z_1|}$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही विकल्प $A$ है।

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच संबंध $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2$ है।
हल करने पर,$E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$ प्राप्त होता है।
चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण $B_0 = \frac{E_0}{c}$ होता है।
तरंग का संचरण $\vec E \times \vec B$ की दिशा में होता है। चूँकि संचरण धनात्मक $Y$-दिशा (इकाई सदिश $\hat j$) में है,विकल्प $C$ के लिए जाँच करने पर: $\hat k \times \hat i = \hat j$। यह संचरण की दिशा से मेल खाता है। अतः,सही व्यंजक $\vec E = E_0 \cos[\frac{2\pi}{\lambda}(y - ct)] \hat k$ और $\vec B = \frac{E_0}{c} \cos[\frac{2\pi}{\lambda}(y - ct)] \hat i$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र $(E_0)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B_0)$ के आयामों के बीच का संबंध $E_0 = c B_0$ होता है।
चूंकि तरंग ऋणात्मक $x$-दिशा में संचरित हो रही है (जो $kx + \omega t$ द्वारा इंगित है),संचरण की दिशा $\vec E \times \vec B$ के क्रॉस उत्पाद द्वारा दी जाती है।
संचरण की दिशा $-\hat i$ है।
दिया गया है कि $\vec B$,$\hat j$ दिशा में है,इसलिए $\vec E \times (B_0 \hat j) \propto -\hat i$।
चूंकि $\hat k \times \hat j = -\hat i$,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\hat k$ दिशा में होना चाहिए।
अतः,$\vec E = E_0 \sin(kx + \omega t) \hat k = B_0 c \sin(kx + \omega t) \hat k \ V/m$।

(C) दिया गया है कि मोनोक्रोमैटिक विकिरण का विद्युत क्षेत्र घटक $\vec E = 2E_0 \hat i \cos kz \cos \omega t$ है।
मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार,विद्युत क्षेत्र $\vec E$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$ के बीच संबंध $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$ होता है।
$z$-दिशा में संचरित तरंग के लिए,जहाँ विद्युत क्षेत्र $x$-दिशा में है,यह संबंध $\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$ के रूप में सरल हो जाता है।
$E_x$ का $z$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial E_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} (2E_0 \cos kz \cos \omega t) = -2E_0 k \sin kz \cos \omega t$.
इस मान को संबंध में रखने पर: $-2E_0 k \sin kz \cos \omega t = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$.
अतः,$\frac{\partial B_y}{\partial t} = 2E_0 k \sin kz \cos \omega t$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$B_y = \int 2E_0 k \sin kz \cos \omega t \, dt = 2E_0 k \sin kz \left( \frac{\sin \omega t}{\omega} \right) = \frac{2E_0 k}{\omega} \sin kz \sin \omega t$.
हम जानते हैं कि $c = \frac{\omega}{k}$,इसलिए $\frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}$.
इस प्रकार,$B_y = \frac{2E_0}{c} \sin kz \sin \omega t$.
चूंकि तरंग संचरण की दिशा $z$-अक्ष है और विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष पर है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $y$-अक्ष $(\hat j)$ पर होगा।
अतः,$\vec B = \frac{2E_0}{c} \hat j \sin kz \sin \omega t$.

(A) माइक्रोवेव ओवन ऐसी आवृत्ति पर विद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्पन्न करके कार्य करता है जो पानी के अणुओं की अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) से मेल खाती है। ये तरंगें पानी के अणुओं को तेजी से घुमाती हैं,जिससे उनकी घूर्णी गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है। यह ऊर्जा टक्करों के माध्यम से भोजन के अन्य अणुओं में स्थानांतरित हो जाती है,जिसके परिणामस्वरूप भोजन गर्म हो जाता है। इसलिए,मुख्य सिद्धांत पानी के अणुओं में घूर्णी मोड को उत्तेजित करना है।

(D) $+x$ दिशा में संचरित हो रही विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ को $(x, t)$ का फलन होना चाहिए।
विद्युतचुंबकीय तरंग में,संचरण की दिशा पॉइंटिंग वेक्टर $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$ की दिशा द्वारा दी जाती है।
$+x$ दिशा में संचरण के लिए,$\vec{E} \times \vec{B}$ को $+x$ दिशा में होना चाहिए।
विकल्प $D$ में,$\vec{E} \propto (\hat{y} - \hat{z})$ और $\vec{B} \propto (\hat{y} + \hat{z})$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(\hat{y} - \hat{z}) \times (\hat{y} + \hat{z}) = (\hat{y} \times \hat{y}) + (\hat{y} \times \hat{z}) - (\hat{z} \times \hat{y}) - (\hat{z} \times \hat{z}) = 0 + \hat{x} - (-\hat{x}) - 0 = 2\hat{x}$ है।
चूंकि क्रॉस प्रोडक्ट का परिणाम $+x$ दिशा में है,इसलिए यह एक मान्य विद्युतचुंबकीय तरंग को दर्शाता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = \frac{E_0}{c}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E_0 = 27 \, Vm^{-1}$ और $c = 3 \times 10^8 \, ms^{-1}$,इसलिए $B_0 = \frac{27}{3 \times 10^8} = 9 \times 10^{-8} \, T$.
चूंकि तरंग $x-$ दिशा में यात्रा करती है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र को $y-z$ तल में दोलन करना चाहिए। अतः,दिशा $\hat{j}$ या $\hat{k}$ होगी।
तरंग संख्या $k = \frac{2\pi f}{c} = \frac{2\pi \times 2 \times 10^{14}}{3 \times 10^8} = \frac{4\pi}{3} \times 10^6 \approx 4.19 \times 10^6 \, m^{-1}$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,साइन फलन के अंदर का पद $2\pi (\frac{x}{\lambda} - ft)$ है। यहाँ $\frac{1}{\lambda} = \frac{f}{c} = \frac{2 \times 10^{14}}{3 \times 10^8} \approx 1.5 \times 10^{-6} \, m^{-1}$.
अतः,सही रूप $\vec{B}(x, t) = (9 \times 10^{-8} \, T) \hat{k} \sin [2\pi (1.5 \times 10^{-6} \, x - 2 \times 10^{14} \, t)]$ है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ परस्पर लंबवत होते हैं,अर्थात $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$.
साथ ही,तरंग के संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ की दिशा द्वारा दी जाती है,जो $z$-दिशा (अर्थात $\hat{k}$) में होनी चाहिए।
विकल्प $(b)$ की जाँच करने पर:
$\vec{E} \cdot \vec{B} = (-2\hat{i} - 3\hat{j}) \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j}) = (-2)(3) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0$.
$\vec{E} \times \vec{B} = (-2\hat{i} - 3\hat{j}) \times (3\hat{i} - 2\hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 9(\hat{j} \times \hat{i}) = 4\hat{k} - 9(-\hat{k}) = 4\hat{k} + 9\hat{k} = 13\hat{k}$.
चूंकि परिणाम $z$-दिशा में है,इसलिए विकल्प $(b)$ सही है।

(C) दिया गया है: विद्युत क्षेत्र का आयाम,$E_0 = 4 \, V/m$.
निर्वात की विद्युतशीलता,$\varepsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \, C^2/N \cdot m^2$.
विद्युत क्षेत्र का औसत ऊर्जा घनत्व $(u_E)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$u_E = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$
दिए गए मानों को रखने पर:
$u_E = \frac{1}{4} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (4)^2$
$u_E = \frac{1}{4} \times 8.8 \times 10^{-12} \times 16$
$u_E = 2.2 \times 16 \times 10^{-12} = 35.2 \times 10^{-12} \, J/m^3$.

(B) लैंप द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की शक्ति $P = 100\,W \times 0.03 = 3\,W$ है।
$r = 5\,m$ की दूरी पर तीव्रता $I$,$I = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{3}{4\pi (5)^2} = \frac{3}{100\pi}\,W/m^2$ द्वारा दी जाती है।
तीव्रता और विद्युत क्षेत्र के आयाम $E_0$ के बीच का संबंध $I = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2$ है।
$E_0$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $E_0 = \sqrt{\frac{2I}{c \varepsilon_0}}$ प्राप्त होता है।
$c = 3 \times 10^8\,m/s$ और $\varepsilon_0 = \frac{1}{4\pi \times 9 \times 10^9}$ मान रखने पर,हमें $E_0 = \sqrt{\frac{2 \times (3 / 100\pi)}{(3 \times 10^8) \times (1 / (4\pi \times 9 \times 10^9))}}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक को सरल करने पर: $E_0 = \sqrt{\frac{6}{100\pi} \times (4\pi \times 9 \times 10^9) / (3 \times 10^8)} = \sqrt{\frac{6 \times 36 \times 10^9}{100 \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{216 \times 10}{300}} = \sqrt{7.2} \approx 2.68\,V/m$।

(B) तरंग का दिया गया समीकरण $\vec{E} = \vec{E}_0 \sin(4 \times 10^7 x - 50t)$ है।
इसे सामान्य तरंग समीकरण $\vec{E} = \vec{E}_0 \sin(kx - \omega t)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\omega = 50 \times 10^7 \text{ rad/s}$ और $k = 4 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$।
माध्यम में तरंग का वेग $v = \frac{\omega}{k} = \frac{50 \times 10^7}{4 \times 10^7} = 12.5 \text{ m/s}$ है।
विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए,$v = \frac{c}{n} = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r \mu_r}}$ होता है। चूंकि माध्यम गैर-चुंबकीय है,$\mu_r = 1$,इसलिए $v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}$।
विकल्पों को देखते हुए,यदि $n = 2.4$ है,तो $\epsilon_r = n^2 = (2.4)^2 = 5.76 \approx 5.8$ होगा।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंगों को प्रसार के लिए किसी माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है; वे निर्वात में यात्रा कर सकती हैं।
ये प्रकृति में अनुप्रस्थ (transverse) होती हैं,जिसका अर्थ है कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के दोलन तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं।
विद्युतचुंबकीय तरंगें त्वरित आवेशों द्वारा उत्पन्न होती हैं,न कि एकसमान वेग से गतिमान आवेशों द्वारा।
वे अंतरिक्ष में प्रसार के दौरान ऊर्जा और संवेग दोनों का वहन करती हैं,जो इन तरंगों का एक मूलभूत गुण है।

(C) रेडियो तरंगों की तरंगदैर्घ्य सूक्ष्म तरंगों (microwaves) से अधिक होती है। चूंकि आवृत्ति $f$,तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(f = c/\lambda)$,इसलिए रेडियो तरंगों की आवृत्ति सूक्ष्म तरंगों की तुलना में कम होती है। अतः,कथन-$2$ असत्य है।
विवर्तन तब अधिक स्पष्ट होता है जब तरंग की तरंगदैर्घ्य बाधा या छिद्र के आकार के तुलनीय होती है। चूंकि रेडियो तरंगों की तरंगदैर्घ्य सूक्ष्म तरंगों से अधिक होती है,इसलिए वे अधिक विवर्तन प्रदर्शित करती हैं। अतः,कथन-$1$ सत्य है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में, विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$, चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ और तरंग के संचरण की दिशा $\vec{k}$ परस्पर लंबवत होते हैं।
दिया गया है कि तरंग $+y$ दिशा में संचरित होती है, इसलिए तरंग सदिश $y$-अक्ष के अनुदिश है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ $+x$ अक्ष के अनुदिश है।
चूंकि संचरण की दिशा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के क्रॉस उत्पाद $(\vec{E} \times \vec{B} \propto \vec{v})$ द्वारा दी जाती है, इसलिए $\hat{E} \times \hat{x} = \hat{y}$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि विद्युत क्षेत्र $z$-अक्ष के अनुदिश होना चाहिए (क्योंकि $\hat{z} \times \hat{x} = \hat{y}$)।
$+y$ दिशा में यात्रा करने वाली तरंग के लिए, चरण पद $(\omega t - ky)$ है, जहाँ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ है।
अतः, विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E} = E_0 \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} y \right) \hat{z}$ है।

(D) दी गई आवृत्ति $v = 830 \, kHz = 830 \times 10^3 \, Hz$.
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = 4.82 \times 10^{-11} \, T$.
प्रकाश की गति $c = 3 \times 10^8 \, m/s$.
$1$. तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ की गणना:
$\lambda = \frac{c}{v} = \frac{3 \times 10^8}{830 \times 10^3} = \frac{3000}{83} \approx 361.4 \, m \approx 360 \, m$.
$2$. विद्युत क्षेत्र के आयाम $(E_0)$ की गणना:
संबंध $E_0 = B_0 c$ का उपयोग करते हुए,
$E_0 = (4.82 \times 10^{-11} \, T) \times (3 \times 10^8 \, m/s)$,
$E_0 = 14.46 \times 10^{-3} \, N/C \approx 0.014 \, N/C$.
अतः,विद्युत क्षेत्र $0.014 \, N/C$ है और तरंगदैर्ध्य $360 \, m$ है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए, विद्युत क्षेत्र के परिमाण $E$ और चुंबकीय क्षेत्र के परिमाण $B$ के बीच संबंध $E = cB$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $c$ मुक्त आकाश में प्रकाश की गति है $(c = 3 \times 10^8\, m/s)$।
इसलिए, $B = \frac{E}{c} = \frac{6.3}{3 \times 10^8} = 2.1 \times 10^{-8}\, T$।
तरंग प्रसार की दिशा सदिश $\vec{E} \times \vec{B}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि तरंग $+x$ दिशा $(\hat i)$ में यात्रा करती है और विद्युत क्षेत्र $+y$ दिशा $(\hat j)$ में है, हमारे पास $\hat i = \hat j \times \hat B$ है।
इसका अर्थ है कि चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ की दिशा $+z$ दिशा $(\hat k)$ में होनी चाहिए, क्योंकि $\hat j \times \hat k = \hat i$ होता है।
अतः, $\vec{B} = 2.1 \times 10^{-8}\,\hat k\,T$ होगा।

(D) मुक्त आकाश में विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $U_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $U_B = \frac{B^2}{2 \mu_0}$ द्वारा दिया जाता है।
संबंध $B = \frac{E}{c}$ और $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ का उपयोग करते हुए,हम $U_B$ के व्यंजक में $B$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$U_B = \frac{(E/c)^2}{2 \mu_0} = \frac{E^2}{2 \mu_0 c^2}$.
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}$ रखने पर:
$U_B = \frac{E^2}{2 \mu_0 (1 / \mu_0 \varepsilon_0)} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$.
अतः,$U_E = U_B$ होता है।

(B) विद्युतचुंबकीय तरंग में अधिकतम विद्युत क्षेत्र $(E_0)$ और अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र $(B_0)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$E_0 = B_0 \times c$
चुंबकीय क्षेत्र के दिए गए समीकरण से,आयाम $B_0$ है:
$B_0 = 100 \times 10^{-6} \, T$
प्रकाश की गति $c$ है:
$c = 3 \times 10^8 \, m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E_0 = (100 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^8)$
$E_0 = 100 \times 3 \times 10^{8-6}$
$E_0 = 300 \times 10^2$
$E_0 = 3 \times 10^4 \, N/C$

(B) दिया गया विद्युत क्षेत्र $\vec E(x,z,t) = 10 \hat j \cos(6x + 8z - \omega t)$ है।
मुक्त आकाश में तरंग का वेग $c = \omega / k$ है। तरंग सदिश $\vec k = 6\hat i + 8\hat k$ है। इसका परिमाण $k = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ है।
अतः,$\omega = ck = 10c$.
विद्युत क्षेत्र $\vec E = 10 \hat j \cos(6x + 8z - 10ct)$ है।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = E_0 / c = 10/c$ है।
प्रसारण की दिशा $\hat n = \vec k / k = (6\hat i + 8\hat k) / 10 = 0.6\hat i + 0.8\hat k$ है।
चुंबकीय क्षेत्र $\vec B = \frac{1}{c} (\hat n \times \vec E)$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec B = \frac{1}{c} [(0.6\hat i + 0.8\hat k) \times 10\hat j] \cos(6x + 8z - 10ct)$.
$\vec B = \frac{1}{c} [6(\hat i \times \hat j) + 8(\hat k \times \hat j)] \cos(6x + 8z - 10ct)$.
चूंकि $\hat i \times \hat j = \hat k$ और $\hat k \times \hat j = -\hat i$,हमें प्राप्त होता है:
$\vec B = \frac{1}{c} (6\hat k - 8\hat i) \cos(6x + 8z - 10ct)$.

(D) विद्युत चुम्बकीय तरंग की तीव्रता $I = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 c$ द्वारा दी जाती है। चूंकि माध्यम में प्रवेश करते समय तीव्रता स्थिर रहती है,इसलिए $I_i = I_f$.
अतः,$\frac{1}{2} \epsilon_0 E_i^2 c = \frac{1}{2} \epsilon E_f^2 v$,जहाँ $v = \frac{c}{n}$ और $\epsilon = n^2 \epsilon_0$.
$\epsilon_0 E_i^2 c = (n^2 \epsilon_0) E_f^2 (\frac{c}{n}) \Rightarrow E_i^2 = n E_f^2 \Rightarrow \frac{E_i}{E_f} = \sqrt{n}$.
चुंबकीय क्षेत्र के लिए,$B = \frac{E}{v}$.
$\frac{B_i}{B_f} = \frac{E_i / c}{E_f / v} = \frac{E_i}{E_f} \cdot \frac{v}{c} = \sqrt{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$.
अतः,अनुपात $\left( \sqrt{n}, \frac{1}{\sqrt{n}} \right)$ है।

(D) विद्युत चुम्बकीय तरंग की तीव्रता $I$ को इस प्रकार दिया जाता है:
$I = \frac{\text{Power}}{\text{Area}} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 c$
दिया गया है:
शक्ति $P = 27 \times 10^{-3}\, W$
क्षेत्रफल $A = 10 \times 10^{-6}\, m^2$
$\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12}\, SI\, \text{मात्रक}$
$c = 3 \times 10^8\, m/s$
मान रखने पर:
$\frac{27 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2} \times (9 \times 10^{-12}) \times E_0^2 \times (3 \times 10^8)$
$2700 = \frac{27 \times 10^{-4}}{2} \times E_0^2$
$E_0^2 = \frac{2700 \times 2}{27 \times 10^{-4}} = 200 \times 10^4 = 2 \times 10^6$
$E_0 = \sqrt{2} \times 10^3\, V/m \approx 1.414 \times 10^3\, V/m$
चूंकि $10^3\, V/m = 1\, kV/m$, इसलिए $E_0 \approx 1.4\, kV/m$।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग की तीव्रता $I$ और चुंबकीय क्षेत्र के आयाम $B_0$ के बीच का संबंध $I = \frac{B_0^2}{2 \mu_0} c$ है।
यहाँ $I = 10^8 \ W/m^2$,$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$,और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ दिया गया है।
सबसे पहले,अधिकतम चुंबकीय क्षेत्र $B_0$ ज्ञात करें:
$B_0^2 = \frac{2 \mu_0 I}{c} = \frac{2 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 10^8}{3 \times 10^8} = \frac{8\pi}{3} \times 10^{-7} \approx 8.37 \times 10^{-7} \ T^2$.
$B_0 = \sqrt{8.37 \times 10^{-7}} \approx 9.15 \times 10^{-4} \ T$.
चुंबकीय क्षेत्र का $rms$ मान $B_{rms} = \frac{B_0}{\sqrt{2}}$ होता है।
$B_{rms} = \frac{9.15 \times 10^{-4}}{1.414} \approx 6.47 \times 10^{-4} \ T$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,यह मान $10^{-4} \ T$ के सबसे निकट है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग के प्रसार की दिशा $\overrightarrow{E} \times \overrightarrow{B}$ की दिशा में होती है।
चूंकि तरंग $x$-दिशा $(\hat{i})$ में यात्रा करती है और विद्युत क्षेत्र $y$-दिशा $(\hat{j})$ में है, इसलिए:
$\hat{i} = \hat{j} \times \hat{B}$
इसका अर्थ है कि $\hat{B} = \hat{k}$, अतः चुंबकीय क्षेत्र $z$-दिशा में है।
मुक्त आकाश में विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के परिमाणों के बीच का संबंध $C = \frac{E}{B}$ है, जहाँ $C = 3 \times 10^8 \; ms^{-1}$ प्रकाश की गति है।
इसलिए, $B = \frac{E}{C} = \frac{6}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-8} \; T$.
अतः, चुंबकीय क्षेत्र घटक $z$-दिशा में $2 \times 10^{-8} \; T$ होगा।

(A) विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_0 = c B_0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ है।
दिया गया है $B_0 = 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{2^2 + 1^2} = 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{5}$।
अतः,$E_0 = 3 \times 10^8 \times 1.6 \times 10^{-6} \times \sqrt{5} = 4.8 \times 10^2 \sqrt{5}$।
तरंग $-\hat k$ की दिशा में संचरित होती है (क्योंकि कला $kz + \omega t$ है)।
संचरण की दिशा $\vec E \times \vec B$ की दिशा द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\vec E \cdot \vec B = 0$,सदिश $\vec E$ को $(2\hat i + \hat j)$ के लंबवत होना चाहिए।
विकल्प $(A)$ की जाँच करने पर: $\vec E \propto (-\hat i + 2\hat j)$।
डॉट गुणनफल: $(-\hat i + 2\hat j) \cdot (2\hat i + \hat j) = -2 + 2 = 0$। यह लंबवत होने की शर्त को पूरा करता है।
क्रॉस गुणनफल: $(-\hat i + 2\hat j) \times (2\hat i + \hat j) = -\hat k - 4\hat k = -5\hat k$। यह संचरण की दिशा $-\hat k$ से मेल खाता है।

(D) विद्युतचुंबकीय तरंग में एक स्थिर आवेश $Q$ पर लगने वाला बल केवल विद्युत क्षेत्र $\vec E$ के कारण होता है,क्योंकि $\vec F = Q\vec E$।
विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,$\vec E = c(\vec B \times \hat k)$,जहाँ $\hat k$ संचरण की दिशा ($z$-अक्ष) है।
दिया गया है $\vec B = B_0 \cos(kz - \omega t) \hat i + B_1 \cos(kz - \omega t) \hat j$।
अतः $\vec E = c [ (B_0 \hat i + B_1 \hat j) \times \hat k ] \cos(kz - \omega t) = c [ -B_0 \hat j + B_1 \hat i ] \cos(kz - \omega t)$।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = c \sqrt{B_0^2 + B_1^2} |\cos(kz - \omega t)|$ है।
अधिकतम बल $F_0 = Q E_{max} = Q c \sqrt{B_0^2 + B_1^2}$ है।
मान रखने पर: $F_0 = 10^{-4} \times 3 \times 10^8 \times \sqrt{(3 \times 10^{-5})^2 + (2 \times 10^{-6})^2} \approx 10^{-4} \times 3 \times 10^8 \times 3 \times 10^{-5} = 0.9 \, N$।
rms बल $F_{rms} = \frac{F_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.9}{1.414} \approx 0.636 \, N$।
अतः,निकटतम मान $0.6 \, N$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec E = E_0 \hat i \cos(kz) \cos(\omega t)$ है।
चूंकि तरंग $+z$ दिशा में संचरित हो रही है और $\vec E$,$x$-अक्ष के अनुदिश है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र $\vec B$,$y$-अक्ष के अनुदिश होना चाहिए।
फैराडे के नियम का उपयोग करते हुए: $\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$.
$z$-दिशा में संचरित तरंग के लिए,$\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$.
$E_x$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{\partial}{\partial z} [E_0 \cos(kz) \cos(\omega t)] = -k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t)$.
अतः,$\frac{\partial B_y}{\partial t} = k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t)$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $B_y = \int k E_0 \sin(kz) \cos(\omega t) dt = \frac{k E_0}{\omega} \sin(kz) \sin(\omega t)$.
चूंकि $c = \frac{\omega}{k}$,इसलिए $\frac{k}{\omega} = \frac{1}{c}$ होता है।
अतः,$\vec B = \frac{E_0}{c} \hat j \sin(kz) \sin(\omega t)$।

(D) निर्वात की विद्युतशीलता का विमीय सूत्र $[\varepsilon_0] = M^{-1}L^{-3}T^4A^2$ है।
निर्वात की चुंबकशीलता का विमीय सूत्र $[\mu_0] = MLT^{-2}A^{-2}$ है।
विद्युत प्रतिरोध का विमीय सूत्र $[R] = ML^2T^{-3}A^{-2}$ है।
अब,व्यंजक $\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}$ पर विचार करें:
$\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} = \sqrt{\frac{MLT^{-2}A^{-2}}{M^{-1}L^{-3}T^4A^2}} = \sqrt{M^2L^4T^{-6}A^{-4}} = ML^2T^{-3}A^{-2}$.
यह विद्युत प्रतिरोध $[R]$ की विमा से मेल खाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) विद्युतचुंबकीय तरंग का सामान्य रूप $\vec{E} = E_0 \hat{n} \sin(\omega t + \vec{k} \cdot \vec{r})$ है।
दिए गए समीकरण $\vec{E} = E_0 \hat{n} \sin[\omega t + (6y - 8z)]$ के साथ तुलना करने पर,हमें तरंग सदिश $\vec{k} = 6\hat{j} - 8\hat{k}$ प्राप्त होता है।
संचरण की दिशा $\hat{s}$,$-\vec{k}$ की दिशा में इकाई सदिश है।
अतः,$\hat{s} = -\frac{\vec{k}}{|\vec{k}|} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{\sqrt{36 + 64}} = -\frac{6\hat{j} - 8\hat{k}}{10} = \frac{-6\hat{j} + 8\hat{k}}{10} = \frac{-3\hat{j} + 4\hat{k}}{5}$.

(C) विद्युतचुंबकीय तरंग $+z$ दिशा में संचरित होती है,इसलिए तरंग समीकरण $B = B_0 \sin(kz - \omega t)$ के रूप में होना चाहिए।
चुंबकीय क्षेत्र का आयाम $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{60}{3 \times 10^8} = 2 \times 10^{-7} \, T$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi n = 2 \times 3.14 \times 23.9 \times 10^9 \approx 1.5 \times 10^{11} \, rad/s$ है।
तरंग संख्या $k = \frac{\omega}{c} = \frac{1.5 \times 10^{11}}{3 \times 10^8} = 0.5 \times 10^3 \, m^{-1}$ है।
चूंकि तरंग $+z$ दिशा में संचरित होती है और विद्युत क्षेत्र आमतौर पर $x$ या $y$ दिशा में होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र को संचरण की दिशा $(z)$ और विद्युत क्षेत्र दोनों के लंबवत होना चाहिए। इस प्रकार,$y$ दिशा में विद्युत क्षेत्र के लिए,चुंबकीय क्षेत्र $x$ दिशा में होता है। सही रूप $\vec B = 2 \times 10^{-7} \sin(0.5 \times 10^3 z - 1.5 \times 10^{11} t) \hat i$ है।

(A) एक विद्युतचुंबकीय तरंग $(EMW)$ में,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec E$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec B$ समान कला में दोलन करते हैं।
इसका अर्थ यह है कि दोनों क्षेत्र एक ही समय और एक ही स्थान पर अपने अधिकतम,न्यूनतम और शून्य मान प्राप्त करते हैं।
इसलिए,$\vec E$ और $\vec B$ के बीच का कलांतर $0$ है।

(C) बल्ब द्वारा उत्सर्जित शक्ति $P = 100 \times \frac{2.5}{100} = 2.5 \, W$ है।
$r = 3 \, m$ की दूरी पर तीव्रता $I = \frac{P}{4 \pi r^2} = \frac{2.5}{4 \pi (3)^2} = \frac{2.5}{36 \pi} \, W/m^2$ है।
तीव्रता $I$ और शिखर विद्युत क्षेत्र $E_0$ के बीच संबंध $I = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2 c$ है।
$E_0$ के लिए हल करने पर,$E_0 = \sqrt{\frac{2I}{\varepsilon_0 c}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \, F/m$ और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$:
$E_0 = \sqrt{\frac{2 \times (2.5 / 36 \pi)}{(1 / 36 \pi \times 10^9) \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{2 \times 2.5 \times 36 \pi \times 10^9}{36 \pi \times 3 \times 10^8}} = \sqrt{\frac{5 \times 10}{3}} = \sqrt{16.67} \approx 4.08 \, V/m$।

(C) निर्वात में संचरित होने वाली विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ हमेशा एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
इसके अतिरिक्त,वे दोनों तरंग संचरण की दिशा के भी लंबवत होते हैं।
इन क्षेत्रों के परिमाण के बीच का संबंध $E = cB$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है।
चूंकि ये क्षेत्र समान आवृत्ति के साथ दोलन करते हैं और एक ही समय और स्थान पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करते हैं,इसलिए उन्हें समान कला (in phase) में कहा जाता है।
अतः,सदिश $\vec{E}$ और $\vec{B}$ एक-दूसरे के लंबवत और समान कला में होते हैं।

(A) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में दोलन करते हुए विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के और संचरण की दिशा के लंबवत होते हैं।
परिभाषा के अनुसार,ध्रुवण का तल वह तल है जिसमें संचरण की दिशा और विद्युत क्षेत्र सदिश दोनों स्थित होते हैं।
चूंकि संचरण की दिशा ध्रुवण के तल के भीतर ही स्थित होती है,इसलिए उनके बीच का कोण $0^{\circ}$ होता है।