Maxwell's equations , Concept of displacement current and Hertz experiment Questions in Gujarati

(A) જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલે $1861$ માં સ્થાનાંતર પ્રવાહ (displacement current) નો ખ્યાલ રજૂ કર્યો હતો. તેમણે સમજ્યું કે સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે,જે રીતે વહન પ્રવાહ (conduction current) કાર્ય કરે છે. એમ્પીયરના નિયમમાં આ સુધારાને એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ કહેવામાં આવે છે,જે $\oint B \cdot dl = \mu_0 (I_c + I_d)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ છે. તેથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

(N/A) જ્યારે કેપેસિટર ચાર્જ થઈ રહ્યું હોય, ત્યારે કેપેસિટરની અંદર વહેતા પ્રવાહને $\text{સ્થાનાંતરિત પ્રવાહ}$ $(I_d)$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
સમજૂતી:
$1$. કેપેસિટરની પ્લેટો સાથે જોડાયેલા વાહક તારમાં વહેતો પ્રવાહ $\text{વહન પ્રવાહ}$ $(I_c)$ છે, જે ઇલેક્ટ્રોનના વાસ્તવિક પ્રવાહને કારણે હોય છે.
$2$. કેપેસિટરની પ્લેટોની વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોન વહેવા માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમ હોતું નથી, તેથી ત્યાં $\text{વહન પ્રવાહ}$ શૂન્ય હોય છે.
$3$. જો કે, જેમ કેપેસિટર ચાર્જ થાય છે, તેમ પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ સમય સાથે બદલાય છે.
$4$. એમ્પિયરના નિયમમાં મેક્સવેલના સુધારા મુજબ, આ સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે, જે પ્રવાહને સમકક્ષ છે.
$5$. આ પ્રવાહને $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $\frac{d\Phi_E}{dt}$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
$6$. આમ, $\text{સ્થાનાંતરિત પ્રવાહ}$ સર્કિટમાં કુલ પ્રવાહની સાતત્યતા જાળવી રાખે છે.

(B) એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ જણાવે છે કે $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_{enclosed}$.
ચાર્જ થઈ રહેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનો વિચાર કરો. જો આપણે પ્લેટોની વચ્ચે એક સપાટ વર્તુળાકાર સપાટી પસંદ કરીએ,તો તેમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ શૂન્ય છે,જેનો અર્થ છે કે $B = 0$.
જો કે,જો આપણે સમાન સીમા સાથે ફુગ્ગાના આકારની સપાટી પસંદ કરીએ,તો તેમાંથી વહન પ્રવાહ $I_c$ પસાર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $B \neq 0$.
આ વિરોધાભાસ એટલા માટે ઉદભવે છે કારણ કે એમ્પિયરનો નિયમ પ્લેટો વચ્ચેના સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લેતો નથી,જે સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આમ,અસ્થાયી પ્રવાહો માટે આ નિયમ અધૂરો છે.

(N/A) એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ એ એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમનું વ્યાપક સ્વરૂપ છે,જે સ્થાનાંતર પ્રવાહ (displacement current) ને ધ્યાનમાં લે છે. તેને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે:
$\oint B \cdot dl = \mu_0 (I_c + I_d)$
જ્યાં:
$1$. $\oint B \cdot dl$ એ બંધ ગાળાની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખીય સંકલન છે.
$2$. $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી છે.
$3$. $I_c$ એ વહન પ્રવાહ (conduction current) છે.
$4$. $I_d$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ છે,જે $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $\Phi_E$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
આમ,સંપૂર્ણ સમીકરણ છે: $\oint B \cdot dl = \mu_0 I_c + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$.

(A) પદ ${\epsilon _0}\left( {\frac{{d{\Phi _E}}}{{dt}}} \right)$ એ સ્થાનાંતર પ્રવાહ (displacement current) દર્શાવે છે,જેને ${I_d}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમમાં મેક્સવેલના સુધારા મુજબ,સ્થાનાંતર પ્રવાહને ${I_d} = {\epsilon _0}\frac{{d{\Phi _E}}}{{dt}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
${I_d}$ એ પ્રવાહ હોવાથી,તેનો $SI$ એકમ વિદ્યુત પ્રવાહના એકમ જેવો જ હોય છે.
વિદ્યુત પ્રવાહનો $SI$ એકમ એમ્પિયર $(A)$ છે.

(A) એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ માર્ગની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ નું રેખા સંકલન તે માર્ગ દ્વારા ઘેરાયેલા સપાટીમાંથી પસાર થતા કુલ પ્રવાહ $I$ ના $\mu_0$ ગણું હોય છે.
મેક્સવેલે નોંધ્યું કે સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્રો માટે આ નિયમ અસંગત હતો.
પ્રવાહની સાતત્યતા જાળવી રાખવા માટે તેમણે સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ નો ખ્યાલ રજૂ કર્યો.
સુધારેલ એમ્પીયરનો સર્કિટલ નિયમ $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_c + I_d) = \mu_0 I_c + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, મેક્સવેલે મૂળ નિયમમાં ઉમેરેલું ખૂટતું પદ $\mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ છે.

(B) સ્થાનાંતર પ્રવાહ એટલે એવો પ્રવાહ જે એવા વિસ્તારમાં ઉદભવે છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાતું હોય.
તેને જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ દ્વારા એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમની સુસંગતતા જાળવવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો.
સ્થાનાંતર પ્રવાહનું ગાણિતિક સૂત્ર $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $\frac{d\Phi_E}{dt}$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર છે.
વહન પ્રવાહ (conduction current) થી વિપરીત,તેમાં ચાર્જ કેરિયર્સનો વાસ્તવિક પ્રવાહ સામેલ નથી,પરંતુ તે સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે સંકળાયેલ છે.

(N/A) સમીકરણ $i = i_c + i_d$ એ પરિપથમાં કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ દર્શાવે છે,જે વહન પ્રવાહ $(i_c)$ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(i_d)$ નો સરવાળો છે.
$1$. વહન પ્રવાહ $(i_c)$: આ વાહકમાંથી વિદ્યુતભારો (ઇલેક્ટ્રોન) ના વાસ્તવિક પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ છે.
$2$. સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(i_d)$: આ પ્રવાહ કોઈ વિસ્તારમાં સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવે છે,જેમ કે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે.
આ સમીકરણ જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ દ્વારા એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમને વ્યાપક બનાવવા માટે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું,જેથી એ સુનિશ્ચિત કરી શકાય કે કુલ પ્રવાહ એવા વિસ્તારોમાં પણ સાતત્યપૂર્ણ રહે છે જ્યાં કોઈ ભૌતિક વિદ્યુતભારનો પ્રવાહ નથી,જેમ કે કેપેસિટરની ગેપમાં.

(N/A) સ્થિર વિદ્યુતભારો અથવા અચળ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારો (સ્થાયી પ્રવાહ) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સ્ત્રોત બની શકતા નથી. આનું કારણ એ છે કે સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને અચળ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારો વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ આ ક્ષેત્રો સમય સાથે બદલાતા નથી.
મેક્સવેલના મતે,પ્રવેગિત વિદ્યુતભારો વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરે છે.
દોલિત વિદ્યુતભાર એ પ્રવેગિત ગતિનું ઉદાહરણ છે. જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભાર ચોક્કસ આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે,ત્યારે તે અવકાશમાં દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે આ ઘટનાનું પુનરાવર્તન થાય છે,ત્યારે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો અવકાશમાં પ્રસરણ પામે છે,જેને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો કહેવામાં આવે છે.
આ તરંગો વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ દિશામાં પ્રસરણ પામે છે. વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજાને લંબ રૂપે દોલન કરે છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની આવૃત્તિ એ દોલન કરતા વિદ્યુતભારની આવૃત્તિ જેટલી હોય છે. પ્રવેગિત વિદ્યુતભારની ઉર્જા પ્રસરણ પામતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે તે કલ્પના કરવી સરળ છે,પરંતુ પ્રયોગશાળામાં તેનું પરીક્ષણ કરવું મુશ્કેલ છે કારણ કે આધુનિક ઇલેક્ટ્રોનિક સર્કિટનો ઉપયોગ કરીને $10^{11} \text{ Hz}$ સુધીની આવૃત્તિ મેળવી શકાય છે,જ્યારે દ્રશ્યમાન વર્ણપટમાં પીળા પ્રકાશની આવૃત્તિ લગભગ $6 \times 10^{14} \text{ Hz}$ હોય છે. તેથી,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો પ્રાયોગિક પુરાવો આપવા માટે,હર્ટ્ઝનો પ્રયોગ રેડિયો તરંગોની નીચી શ્રેણીમાં કરવામાં આવ્યો હતો.
હર્ટ્ઝના પ્રયોગની સફળતા પછી,કોલકાતામાં કામ કરતા જગદીશ ચંદ્ર બોઝ ખૂબ જ ટૂંકી તરંગલંબાઇ ($25 \text{ mm}$ થી $5 \text{ mm}$) ના વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરવામાં અને અવલોકન કરવામાં સફળ થયા હતા. તેમનો પ્રયોગ પ્રયોગશાળા પૂરતો મર્યાદિત હતો. આ સમય દરમિયાન ઇટાલિયન વૈજ્ઞાનિક માર્કોની ઘણા માઇલ સુધી વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો મોકલવામાં સફળ થયા હતા.

(C) મેક્સવેલના વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર અચળ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ તે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતું નથી.
જો કે,જ્યારે વિદ્યુતભાર પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે તે સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,જે અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે.
તેથી,વિદ્યુતભારો દ્વારા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ઉત્સર્જન માટે પ્રવેગ એ આવશ્યક શરત છે.

(B) $1887$ માં,જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી $Heinrich \text{ } Hertz$ એ સૌપ્રથમ વખત પ્રયોગશાળામાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરવામાં અને તેને શોધવામાં સફળતા મેળવી હતી. આ પ્રાયોગિક ચકાસણીએ $James \text{ } Clerk \text{ } Maxwell$ દ્વારા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વ અંગે કરવામાં આવેલી સૈદ્ધાંતિક આગાહીઓની પુષ્ટિ કરી હતી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(N/A) પ્રકાશના તરંગવાદને સ્થાપિત કરવામાં મુખ્ય મુશ્કેલી એ હતી કે,પરંપરાગત રીતે તરંગોને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે,તેથી તે અસ્પષ્ટ હતું કે પ્રકાશના તરંગો શૂન્યાવકાશમાં કેવી રીતે મુસાફરી કરી શકે.
જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના નિયમોનું વર્ણન કરતા સમીકરણોનો સમૂહ વિકસાવીને આ સમસ્યા ઉકેલી હતી. આ સમીકરણો પરથી તેમણે તરંગ સમીકરણ તારવ્યું,જેણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વની આગાહી કરી હતી.
મેક્સવેલે મુક્ત અવકાશમાં આ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપની ગણતરી કરી અને જાણવા મળ્યું કે સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય પ્રકાશની માપેલ ઝડપ સાથે મેળ ખાય છે. પરિણામે,તેમણે પ્રસ્તાવ મૂક્યો કે પ્રકાશ એ એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે.
મેક્સવેલના મતે,પ્રકાશના તરંગો દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોના બનેલા હોય છે. બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર સમય-આધારિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય-આધારિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ સ્વ-સહાયક પ્રક્રિયા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને ભૌતિક માધ્યમ વિના શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરવા દે છે.
જ્યારે કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર (સુરેખ પ્રસરણ પર આધારિત) પરાવર્તન અને વક્રીભવન જેવી ઘટનાઓ સમજાવે છે,ત્યારે તરંગ પ્રકાશશાસ્ત્ર વિવર્તન અને વ્યતિકરણ જેવી ઘટનાઓ સમજાવે છે,જ્યાં પ્રકાશ તેની તરંગલંબાઇ (આશરે $0.5 \ \mu m$) જેટલા કદના અવરોધોની આસપાસ વળે છે.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું અસ્તિત્વ સૈદ્ધાંતિક રીતે જેમ્સ ક્લાર્ક મેક્સવેલ દ્વારા $1865$ માં દર્શાવવામાં આવ્યું હતું. જોકે,$1887$ માં હેનરિક હર્ટ્ઝે સૌપ્રથમ વખત સ્પાર્ક-ગેપ ટ્રાન્સમીટરનો ઉપયોગ કરીને પ્રાયોગિક રીતે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કર્યા અને તેને શોધી કાઢ્યા હતા. આ પ્રયોગે મેક્સવેલના સિદ્ધાંતની પુષ્ટિ કરી હતી.

(A) રેડિયો કોમ્યુનિકેશનના પ્રારંભિક પ્રયોગોમાં,ખાસ કરીને જગદીશ ચંદ્ર બોઝ અને ગુગલીએલ્મો માર્કોની દ્વારા કરવામાં આવેલા પ્રયોગોમાં,રેડિયો તરંગોને શોધવા માટે $Coherer$ (કોહેરર) નો ઉપયોગ કરવામાં આવતો હતો. $Coherer$ એ ધાતુના રજકણોથી ભરેલી એક નળી છે,જે જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના સંપર્કમાં આવે છે ત્યારે તેનો વિદ્યુત અવરોધ બદલાય છે,જેનાથી સિગ્નલની શોધ શક્ય બને છે.

(B) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની ઝડપ મેક્સવેલના સમીકરણો પરથી મેળવેલા સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંત મુજબ,શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $c$ એ શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી ${\mu _0}$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી ${\epsilon _0}$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા જોડાયેલ છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
આ સંબંધ દર્શાવે છે કે પ્રકાશની ઝડપ શૂન્યાવકાશના મૂળભૂત વિદ્યુતચુંબકીય અચળાંકો દ્વારા નક્કી થાય છે.

(A) રેડિયો તરંગો વાહક તાર અથવા એન્ટેનામાં ઇલેક્ટ્રોનના ઝડપી પ્રવેગ અને પ્રતિપ્રવેગ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે. જ્યારે એન્ટેનામાંથી એસી $(AC)$ પ્રવાહ પસાર થાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન આગળ-પાછળ દોલન કરે છે. વિદ્યુતભારોની આ દોલિત ગતિ સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર બનાવે છે,જે બદલામાં સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ પરસ્પર લંબ,સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો તરીકે પ્રસરણ પામે છે,જેને રેડિયો તરંગો કહેવામાં આવે છે.

(B) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ વાહક તારમાંથી વહેતા વહન પ્રવાહ $I_c$ જેટલો હોય છે,જે પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$I_d = I_c = \frac{dq}{dt}$
આપેલ વિદ્યુતભાર $q = q_0 \cos(2\pi \nu t)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$I_d = \frac{d}{dt} [q_0 \cos(2\pi \nu t)]$
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(kx)$ નું વિકલન $-k \sin(kx)$ થાય છે:
$I_d = q_0 \cdot [-\sin(2\pi \nu t)] \cdot (2\pi \nu)$
$I_d = -2\pi \nu q_0 \sin(2\pi \nu t)$

(B) કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{c}$ નું સૂત્ર $X_{c} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
પરિપથમાં વહેતો વહન પ્રવાહ $I_{c}$ એ $I_{c} = \frac{V}{X_{c}} = V(2 \pi f C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેક્સવેલના એમ્પીયરના નિયમના સુધારા મુજબ,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_{d}$ એ પરિપથના વહન પ્રવાહ $I_{c}$ જેટલો જ હોય છે,તેથી $I_{d} = I_{c} = 2 \pi f C V$.
અહીં $I_{d} \propto f$ હોવાથી,જો આવૃત્તિ $f$ ઘટે,તો સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_{d}$ પણ ઘટશે.

(N/A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે $r$ ત્રિજ્યાનો એક વર્તુળાકાર લૂપ ધ્યાનમાં લો. એમ્પીયર-મેક્સવેલના નિયમ મુજબ,આ લૂપની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખા સંકલન નીચે મુજબ છે:
$\oint B \cdot dl = \mu_0 I_d$
$B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$
પ્લેટોની વચ્ચે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ સમાન હોવાથી,$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = E \cdot A = E(\pi r^2)$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt}(E \pi r^2)$
$B(2\pi r) = \mu_0 \epsilon_0 \pi r^2 \frac{dE}{dt}$
બંને બાજુ $2\pi r$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_0 \epsilon_0 r}{2} \cdot \frac{dE}{dt}$

(N/A) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નું સૂત્ર $I_d = C \frac{dV}{dt}$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 2 \,\mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = 1 \, mA = 10^{-3} \, A$
આપણે સ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt}$ શોધવાનો છે.
સૂત્ર $I_d = C \frac{dV}{dt}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I_d}{C} = \frac{10^{-3}}{2 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^3 = 500 \, V/s$.
આમ,પ્લેટો વચ્ચેના સ્થિતિમાનના તફાવતને $500 \, V/s$ ના દરે બદલીને,$1 \, mA$ નો ત્વરિત સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરી શકાય છે.

(N/A) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારિત તારથી $a$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ગૌસના નિયમ મુજબ $\vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a} \hat{r}$ મળે છે,જ્યાં $\hat{r}$ એ $xy-$સમતલમાં ત્રિજ્યાવર્તી એકમ સદિશ છે.
ગતિમાન વિદ્યુતભારિત તાર વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \lambda v$ ઉત્પન્ન કરે છે. એમ્પીયરના નિયમ મુજબ તારથી $a$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \hat{\phi} = \frac{\mu_0 \lambda v}{2\pi a} \hat{\phi}$ મળે છે,જ્યાં $\hat{\phi}$ એ એઝિમુથલ એકમ સદિશ છે.
પોઈન્ટિંગ સદિશની વ્યાખ્યા $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \times \vec{B})$ છે.
$\vec{E}$ અને $\vec{B}$ ના મૂલ્યો મૂકતા:
$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \left( \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a} \hat{r} \times \frac{\mu_0 \lambda v}{2\pi a} \hat{\phi} \right)$
$\vec{S} = \frac{\lambda^2 v}{4\pi^2 \epsilon_0 a^2} (\hat{r} \times \hat{\phi})$
કારણ કે $\hat{r} \times \hat{\phi} = \hat{k}$ ($z-$અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ),
$\vec{S} = \frac{\lambda^2 v}{4\pi^2 \epsilon_0 a^2} \hat{k}$.

(4/9) ધારો કે કેપેસિટરની બે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે અને લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V(t) = V_0 \sin(2\pi vt)$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V_0}{d} \sin(2\pi vt)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,વહન પ્રવાહ ઘનતા $J_c = \sigma E = \frac{E}{\rho} = \frac{V_0}{\rho d} \sin(2\pi vt)$ છે.
ધારો કે $J_0^c = \frac{V_0}{\rho d}$,તેથી $J_c = J_0^c \sin(2\pi vt)$.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $J_d = \epsilon \frac{\partial E}{\partial t} = \epsilon \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{V_0}{d} \sin(2\pi vt) \right] = \frac{\epsilon (2\pi v) V_0}{d} \cos(2\pi vt)$ છે.
ધારો કે $J_0^d = \frac{2\pi v \epsilon V_0}{d}$,તેથી $J_d = J_0^d \cos(2\pi vt)$.
કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{J_0^d}{J_0^c} = \frac{2\pi v \epsilon V_0}{d} \times \frac{\rho d}{V_0} = 2\pi v \epsilon \rho$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\epsilon = 80\epsilon_0$,$\rho = 0.25\,\Omega m$,અને $v = 4 \times 10^8\, Hz$.
$\frac{J_0^d}{J_0^c} = 2\pi v (80\epsilon_0) \rho = 160\pi \epsilon_0 v \rho$.
$4\pi\epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $160\pi\epsilon_0 = 40 \times (4\pi\epsilon_0) = \frac{40}{9 \times 10^9}$ મળે છે.
$\frac{J_0^d}{J_0^c} = \frac{40}{9 \times 10^9} \times (4 \times 10^8) \times 0.25 = \frac{40 \times 4 \times 10^8 \times 0.25}{9 \times 10^9} = \frac{40}{90} = \frac{4}{9}$.

(N/A) $(i)$ સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે $\vec{E}(s,t) = \mu_0 I_0 \nu \cos(2\pi \nu t) \ln(s/a) \hat{k}$.
$\vec{J}_d = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} [\mu_0 I_0 \nu \cos(2\pi \nu t) \ln(s/a) \hat{k}] = \epsilon_0 \mu_0 I_0 \nu \ln(s/a) \hat{k} \cdot \frac{d}{dt} [\cos(2\pi \nu t)]$.
કારણ કે $\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$,આપણને મળે છે $\vec{J}_d = \frac{1}{c^2} I_0 \nu \ln(s/a) \hat{k} \cdot (-2\pi \nu \sin(2\pi \nu t)) = -\frac{2\pi \nu^2 I_0}{c^2} \ln(s/a) \sin(2\pi \nu t) \hat{k}$.
$\lambda = c/\nu$ નો ઉપયોગ કરતા,$\vec{J}_d = \frac{2\pi I_0}{\lambda^2} \ln(a/s) \sin(2\pi \nu t) \hat{k}$.
$(ii)$ કુલ સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \int \vec{J}_d \cdot d\vec{A} = \int_0^a J_d (2\pi s ds)$.
$I_d = \int_0^a \frac{2\pi I_0}{\lambda^2} \ln(a/s) \sin(2\pi \nu t) (2\pi s ds) = \frac{4\pi^2 I_0 \sin(2\pi \nu t)}{\lambda^2} \int_0^a s \ln(a/s) ds$.
ધારો કે $x = s/a$,તો $ds = a dx$. સંકલન $a^2 \int_0^1 x \ln(1/x) dx = a^2 \int_0^1 -x \ln x dx = a^2 [1/4] = a^2/4$ બને છે.
આમ,$I_d = \frac{4\pi^2 I_0 \sin(2\pi \nu t)}{\lambda^2} \cdot \frac{a^2}{4} = I_0 \sin(2\pi \nu t) (\frac{\pi a}{\lambda})^2$.
$(iii)$ $I_d$ ની $I(t) = I_0 \sin(2\pi \nu t)$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $I_d = I(t) (\frac{\pi a}{\lambda})^2$ મળે છે. કારણ કે $a << \lambda$,સ્થાનાંતર પ્રવાહ વહન પ્રવાહ કરતા ઘણો નાનો છે.

(A) $1887$ માં,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરવાના પ્રયોગો કરતી વખતે,હેનરિક હર્ટ્ઝે અવલોકન કર્યું કે જ્યારે રિસીવરની ધાતુની સપાટી પર આર્ક લેમ્પમાંથી આવતા અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશને આપાત કરવામાં આવે છે,ત્યારે રિસીવરના ગેપમાં તણખા (sparks) ઉત્પન્ન થવાની પ્રક્રિયા વધુ તીવ્ર બને છે. આ ઘટનાને પાછળથી ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર તરીકે ઓળખવામાં આવી હતી.

(D) વહન પ્રવાહ ઘનતા $J_{c} = \sigma E = \frac{E}{\rho} = \frac{V(t)}{\rho d}$ છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $J_{d} = \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t} = \varepsilon \frac{1}{d} \frac{dV}{dt} = \frac{\varepsilon}{d} V_{0} (2 \pi f) \cos(2 \pi ft)$ છે.
આપેલ છે કે $J_{c} = 10^{x} J_{d}$,તેથી $\frac{V_{0} \sin(2 \pi ft)}{\rho d} = 10^{x} \frac{\varepsilon}{d} V_{0} (2 \pi f) \cos(2 \pi ft)$.
આ સમીકરણ $\tan(2 \pi ft) = 10^{x} \cdot \rho \cdot \varepsilon \cdot 2 \pi f$ માં પરિણમે છે.
અહીં $f = 900 \, Hz$,$t = \frac{1}{800} \, s$,$\rho = 0.25 \, \Omega m$,અને $\varepsilon = 80 \varepsilon_{0}$ છે.
$2 \pi ft = 2 \pi \times 900 \times \frac{1}{800} = \frac{9 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\tan(2 \pi ft) = \tan(\pi/4) = 1$.
હવે,$1 = 10^{x} \times 0.25 \times 80 \varepsilon_{0} \times 2 \pi \times 900$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\varepsilon_{0} = \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}}$.
$1 = 10^{x} \times 20 \times \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}} \times 1800 \pi = 10^{x} \times \frac{36000}{36 \times 10^{9}} = 10^{x} \times 10^{-6}$.
$10^{x} = 10^{6}$,જે દર્શાવે છે કે $x = 6$.

(A) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ $V = V_{0} \sin \omega t$ મૂકતા,આપણને $q = C V_{0} \sin \omega t$ મળે છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_{d}$ એ કેપેસિટરની પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારના ફેરફારના દર જેટલો હોય છે,એટલે કે $I_{d} = \frac{dq}{dt}$.
$I_{d} = \frac{d}{dt} (C V_{0} \sin \omega t)$.
અહીં $C$ અને $V_{0}$ અચળ હોવાથી,$I_{d} = C V_{0} \frac{d}{dt} (\sin \omega t)$.
$\sin \omega t$ નું વિકલન $\omega \cos \omega t$ થાય છે,તેથી $I_{d} = C V_{0} \omega \cos \omega t$.
આમ,$I_{d} = V_{0} \omega C \cos \omega t$ મળે છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 4.425 \times 10^{-9} \, F$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100 \pi \, rad/s$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0$ એ $I_0 = V_0 \omega C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_0 = 20 \times (100 \pi) \times (4.425 \times 10^{-9})$.
$I_0 = 2000 \times 3.14159 \times 4.425 \times 10^{-9} \approx 27.79 \times 10^{-6} \, A$.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $27.79 \, \mu A$ છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_{d}$ માટેનું સૂત્ર: $I_{d} = \varepsilon_{0} A \frac{dE}{dt} = \varepsilon_{0} A \frac{d}{dt} (\frac{V}{d}) = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \frac{dV}{dt}$.
આપેલ કિંમતો:
$I_{d} = 4.425 \times 10^{-6} \,A$
$\frac{dV}{dt} = 10^{6} \,V s^{-1}$
$A = 40 \,cm^{2} = 40 \times 10^{-4} \,m^{2} = 4 \times 10^{-3} \,m^{2}$
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \,C^{2} N^{-1} m^{-2}$
$d$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$d = \frac{\varepsilon_{0} A}{I_{d}} \frac{dV}{dt}$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-3} \times 10^{6}}{4.425 \times 10^{-6}}$
$d = \frac{8.85 \times 4 \times 10^{-9}}{4.425 \times 10^{-6}}$
$d = 2 \times 4 \times 10^{-3} \,m = 8 \times 10^{-3} \,m$
આને $x \times 10^{-3} \,m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(C-D) ચુંબકીય વીજભારો ધરાવતી દુનિયા માટે સુધારેલા મેક્સવેલ-એમ્પિયરના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય $emf$ એ $\oint B \cdot dl = \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{d\phi_{E}}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{E} = E \cdot A = E \cdot (l \cdot x)$ છે,જ્યાં $x$ એ સળિયાનું સ્થાન છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સમાં થતો ફેરફારનો દર $\frac{d\phi_{E}}{dt} = E \cdot l \cdot \frac{dx}{dt} = E \cdot l \cdot v$ છે.
આ કિંમતને $emf$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $emf = \mu_{0} \epsilon_{0} E l v$ મળે છે.
ચુંબકીય અચળાંકો માટે $c^{2} = \frac{1}{\mu_{0} \epsilon_{0}}$ હોવાથી,$emf = \frac{E v l}{c^{2}}$ થાય છે.
પ્રેરિત ચુંબકીય પ્રવાહની દિશા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ની દિશા પર આધાર રાખે છે. જો $E$ બહારની તરફ હોય,તો પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હશે; જો $E$ અંદરની તરફ હોય,તો પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે. આમ,$E$ ની દિશાના આધારે વિકલ્પ $(c)$ અને $(d)$ બંને શક્ય છે.

(D) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ સૂત્ર $I_d = \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\phi_E$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_E = E \cdot A = \frac{V}{d} \cdot A$ હોવાથી (જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે),સ્થાનાંતર પ્રવાહ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતના સમય સાથેના ફેરફારના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $I_d = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \frac{dV}{dt}$.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહ અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમય સાથે બદલાતો હોવો જોઈએ (એટલે કે,$\frac{dV}{dt} \neq 0$).

(A) પ્લેટો વચ્ચેનો કુલ સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ વાયરમાં વહેતા વહન પ્રવાહ $i$ જેટલો હોય છે,તેથી $I_d = i = \varepsilon_0 A \frac{dE}{dt} = \varepsilon_0 (\pi R^2) \frac{dE}{dt}$.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $J_d$ પ્લેટો પર સમાન છે,જે $J_d = \frac{I_d}{A} = \frac{i}{\pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r = \frac{R}{2}$ અને $r = R$ વચ્ચેના વલયાકાર વિસ્તારમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d'$ એ તે ક્ષેત્રફળ પર પ્રવાહ ઘનતાનું સંકલન છે:
$I_d' = J_d \times A' = \frac{i}{\pi R^2} \times [\pi R^2 - \pi (\frac{R}{2})^2]$
$I_d' = \frac{i}{\pi R^2} \times [\pi R^2 - \frac{\pi R^2}{4}]$
$I_d' = \frac{i}{\pi R^2} \times [\frac{3}{4} \pi R^2] = \frac{3}{4} i$.

(C) હર્ટ્ઝનો પ્રયોગ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના અસ્તિત્વનું પ્રથમ પ્રાયોગિક નિદર્શન હતું.
આ પ્રયોગમાં,હેનરિક હર્ટ્ઝે ઇન્ડક્શન કોઇલનો ઉપયોગ કરીને સ્પાર્ક ગેપમાં ઉચ્ચ વોલ્ટેજનો તણખો ઉત્પન્ન કર્યો હતો,જે ટ્રાન્સમીટર તરીકે કાર્ય કરીને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરતું હતું.
તેમણે નાના સ્પાર્ક ગેપ ધરાવતા એક અલગ લૂપનો પણ ઉપયોગ કર્યો હતો,જે આ તરંગોને શોધવા (detect કરવા) માટે રીસીવર તરીકે કાર્ય કરતું હતું.
તેથી,હર્ટ્ઝનો પ્રયોગ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ઉત્પાદન અને સંસૂચન બંને માટે વપરાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) પ્રવાહની સાતત્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,વાહક તારમાં વહેતો વહન પ્રવાહ (conduction current) એ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેના સ્થાનાંતર પ્રવાહ (displacement current) જેટલો હોય છે.
અહીં સર્કિટમાં વહન પ્રવાહ $i$ આપેલ છે,તેથી કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d$ પણ $i$ જેટલો જ હશે.
તેથી,$i_d = i$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ સર્કિટમાંથી વહેતા વહન પ્રવાહ $I$ જેટલો હોય છે.
કેપેસિટરમાં પ્રવાહનું સૂત્ર $I = C \frac{dV}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કેપેસિટન્સ $C = \frac{1}{2} \text{ F}$ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = I$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{dV}{dt}$.
$\frac{dV}{dt}$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\frac{dV}{dt} = 2I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) મેક્સવેલના ચાર સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્થિત વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{s} = \frac{q}{\epsilon_0}$ $(A-IV)$
$2$. ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d \vec{l} = -\frac{d \phi_B}{d t}$ $(B-I)$
$3$. ચુંબકત્વમાં ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{A} = 0$ $(C-II)$
$4$. એમ્પીયર-મેક્સવેલનો નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d \vec{l} = \mu_0 i_C + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d \phi_E}{d t}$ $(D-III)$
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-I, C-II, D-III$ છે.

(C) મેક્સવેલના સમીકરણો વર્ણવે છે કે કેવી રીતે વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો એકબીજા દ્વારા અને વિદ્યુતભારો અને પ્રવાહો દ્વારા ઉત્પન્ન અને બદલાય છે.
ફેરાડેનો ઇન્ડક્શનનો નિયમ,જે $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{\partial \phi_B}{\partial t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તે જણાવે છે કે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(EMF)$ ઉત્પન્ન કરે છે.
સ્થિર પરિસ્થિતિઓમાં,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B$ સમયની સાપેક્ષમાં અચળ હોય છે,તેથી $\frac{\partial \phi_B}{\partial t} = 0$ થાય છે,જે સમીકરણને $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$ માં ઘટાડે છે.
જોકે આ સમીકરણ સ્થિર પરિસ્થિતિઓમાં સાચું છે,તે ખાસ કરીને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનની ઘટનાને વર્ણવવા માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જે ફક્ત સમય સાથે બદલાતી પરિસ્થિતિઓમાં જ થાય છે.

$(A)$ સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે.
$1$. કાયમી ચુંબક સ્થિર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. સમય સાથે રેખીય રીતે બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર અચળ સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt})$ ઉત્પન્ન કરે છે, જે અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર આપે છે, સમય સાથે બદલાતું નહીં.
$3$. ડાયરેક્ટ કરંટ અચળ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$4$. પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભારિત કણ એ પ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર છે, જે સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો (વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો) ઉત્પન્ન કરે છે.
$5$. ડિજિટલ સિગ્નલ ધરાવતું એન્ટેના ઝડપથી બદલાતા પ્રવાહો ધરાવે છે, જે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી, $(D)$ અને $(E)$ બંને સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રના સ્ત્રોત છે.

(A) મેક્સવેલના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. એમ્પીયર-મેક્સવેલ નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 i_c + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d\phi_E}{dt}$ ($A-IV$ સાથે જોડાય છે)
$2$. ફેરાડેનો પ્રેરણનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$ ($B-III$ સાથે જોડાય છે)
$3$. વિદ્યુત માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}$ ($C-I$ સાથે જોડાય છે)
$4$. ચુંબકત્વ માટે ગૌસનો નિયમ: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0$ ($D-II$ સાથે જોડાય છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-I, D-II$ છે.

(D) મેક્સવેલના સમીકરણો સંકલિત સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$A$. સ્થિત-ચુંબકત્વ માટેનો ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ શૂન્ય હોય છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{a} = 0$ $(A-II)$.
$B$. વિદ્યુત ચુંબકીય પ્રેરણ માટે ફેરાડેનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ લૂપમાં પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ એ લૂપમાંથી પસાર થતા ચુંબકીય ફ્લક્સના ફેરફારના દરના ઋણ મૂલ્ય જેટલું હોય છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d}{dt} \int \vec{B} \cdot d\vec{a}$ $(B-III)$.
$C$. એમ્પિયરનો નિયમ (તેના મૂળ સ્વરૂપમાં) બંધ લૂપની આસપાસના ચુંબકીય ક્ષેત્રના રેખા સંકલનને લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલી સપાટીમાંથી પસાર થતા પ્રવાહ સાથે સંબંધિત કરે છે: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I$ $(C-IV)$.
$D$. સ્થિત-વિદ્યુત માટેનો ગૌસનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ એ ઘેરાયેલા કુલ વિદ્યુતભાર અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટીના ગુણોત્તર જેટલું હોય છે: $\oint \vec{E} \cdot d\vec{a} = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho dV$ $(D-I)$.
આમ,સાચી જોડ $A-II, B-III, C-IV, D-I$ છે.

(D) કેપેસિટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(I_d)$ એ સર્કિટમાં વહેતા વહન પ્રવાહ $(I_c)$ જેટલો જ હોય છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}$
આપેલ છે:
$V_{max} = 40 \, V$
$f = 4 \, kHz = 4 \times 10^3 \, Hz$
$C = 12 \, \mu F = 12 \times 10^{-6} \, F$
$X_C$ ની ગણતરી કરતા:
$X_C = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 4 \times 10^3 \times 12 \times 10^{-6}}$
$X_C = \frac{1}{8 \pi \times 12 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.3016} \approx 3.317 \, \Omega$
મહત્તમ પ્રવાહ $(I_{max})$ છે:
$I_{max} = \frac{V_{max}}{X_C} = \frac{40}{3.317} \approx 12.06 \, A$
આમ, મહત્તમ સ્થાનાંતર પ્રવાહ આશરે $12 \, A$ છે.

(A) સુધારેલા એમ્પીયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ,કુલ પ્રવાહ એ વહન પ્રવાહ $(I_C)$ અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $(I_D)$ નો સરવાળો છે: $\oint B \cdot dl = \mu_0(I_C + I_D)$.
તારમાં,માત્ર વહન પ્રવાહ $I_C = I$ હોય છે,અને સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D = 0$ હોય છે.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યામાં,કોઈ વહન પ્રવાહ હોતો નથી $(I_C = 0)$,પરંતુ બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_D$ ઉત્પન્ન કરે છે.
પ્રવાહની સાતત્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ગેપમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ એ તારમાં વહન પ્રવાહ જેટલો જ હોવો જોઈએ,એટલે કે $I_D = I_C = I$.
આ સ્થાનાંતર પ્રવાહ પરિપથમાં કુલ પ્રવાહની સાતત્યતા જાળવી રાખવા માટે વહન પ્રવાહની દિશામાં જ વહે છે.

(C) કેપેસિટર પ્લેટોના આડછેદ પર સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $J_d$ સમાન હોય છે.
$J_d = \frac{I}{A} = \frac{6 \ A}{16 \ cm^2}$.
નાના ક્ષેત્રફળ $A_0$ માંથી વહેતો સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ $I_d = J_d \times A_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I_d = \left( \frac{6}{16} \right) \times 3.2 \ A$.
$I_d = 0.375 \times 3.2 \ A = 1.2 \ A$.
$1 \ A = 1000 \ mA$ હોવાથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $1.2 \times 1000 \ mA = 1200 \ mA$ થાય.

(D) કેપેસીટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $I_d = C \frac{dV}{dt}$.
અહીં,$C = 2.5 \mu \text{F} = 2.5 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને $I_d = 0.25 \text{ mA} = 0.25 \times 10^{-3} \text{ A}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{I_d}{C}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{dV}{dt} = \frac{0.25 \times 10^{-3}}{2.5 \times 10^{-6}}$.
$\frac{dV}{dt} = \frac{0.25}{2.5} \times 10^{3} = 0.1 \times 1000 = 100 \text{ V s}^{-1}$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાં થતા ફેરફારનો દર $100 \text{ V s}^{-1}$ છે.

(D) મેક્સવેલ દ્વારા એમ્પીયરના નિયમમાં કરેલા સુધારા મુજબ,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $i_d$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$i_d = \varepsilon_0 \frac{d \phi_{E}}{dt}$
અહીં $i_d$ એ પ્રવાહ દર્શાવે છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર વિદ્યુત પ્રવાહના પારિમાણિક સૂત્ર સમાન હોય છે.
તેથી,$\left(\varepsilon_0 \frac{d \phi_{E}}{dt}\right)$ ના પરિમાણો વિદ્યુત પ્રવાહના પરિમાણોને સમાન છે.

(C) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ $I_d = \epsilon_0 \frac{d\phi_e}{dt} = \epsilon_0 \frac{d}{dt}(EA \cos 0^{\circ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$,તેથી $I_d = \epsilon_0 A \frac{d}{dt}(\frac{\sigma}{\epsilon_0}) = A \frac{d\sigma}{dt}$.
આપેલ છે કે સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ અચળ દરે વધે છે,તેથી $\frac{d\sigma}{dt}$ અચળ છે,તેથી $I_d$ અચળ છે.
એમ્પીયર-મેક્સવેલના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,અક્ષથી $r$ અંતરે (પ્લેટોની અંદર,$r < R$) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ $B(2\pi r) = \mu_0 I_{enclosed} = \mu_0 I_d (\frac{\pi r^2}{\pi R^2})$ છે.
આમ,$B = \frac{\mu_0 I_d r}{2\pi R^2}$.
$r > R$ (પ્લેટોની બહાર) માટે,$B(2\pi r) = \mu_0 I_d$,તેથી $B = \frac{\mu_0 I_d}{2\pi r}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર દરેક જગ્યાએ શૂન્ય સિવાયનું છે અને તે સીમા $r = R$ (પ્લેટોના પરિઘને જોડતી કાલ્પનિક નળાકાર સપાટી) પર તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

(A) કેપેસીટરમાં સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ એ વાહક તારમાંથી વહેતા વહન પ્રવાહ $I_c$ જેટલો જ હોય છે,જેનું સૂત્ર $I_d = I_c = C \frac{dV}{dt}$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસીટન્સ $C = 1 \ \mu F = 1 \times 10^{-6} \ F$.
વોલ્ટેજમાં ફેરફારનો દર $\frac{dV}{dt} = 4 \ V/s$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_d = (1 \times 10^{-6} \ F) \times (4 \ V/s) = 4 \times 10^{-6} \ A = 4 \ \mu A$.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહ $4 \ \mu A$ છે.

(B) સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d$ ને $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\Phi_E$ એ સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન હોય છે અને તે $E = \frac{q}{\epsilon_0 A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર છે.
પ્લેટોને સમાંતર $A'$ ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi_E = E \cdot A' = \frac{q}{\epsilon_0 A} \cdot A'$ છે.
$A' = A/2$ મૂકતા,આપણને $\Phi_E = \frac{q}{\epsilon_0 A} \cdot \frac{A}{2} = \frac{q}{2\epsilon_0}$ મળે છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ $I_d = \epsilon_0 \frac{d}{dt} \left( \frac{q}{2\epsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \frac{dq}{dt}$ થાય છે.
ચાર્જિંગ પ્રવાહ $I = \frac{dq}{dt}$ હોવાથી,$I_d = \frac{I}{2}$ મળે છે.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું અસ્તિત્વ સૌપ્રથમ $1887$ માં જર્મન ભૌતિકશાસ્ત્રી હેનરિક હર્ટ્ઝ દ્વારા પ્રાયોગિક રીતે સાબિત કરવામાં આવ્યું હતું. તેમણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરવા અને શોધવા માટે સ્પાર્ક-ગેપ ટ્રાન્સમીટરનો ઉપયોગ કર્યો હતો,જેના દ્વારા મેક્સવેલની સૈદ્ધાંતિક આગાહીઓને માન્યતા મળી હતી.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
સ્થળાંતર પ્રવાહ $(i_{d})$ એ સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત ક્ષેત્રને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ છે.
સ્થળાંતર પ્રવાહ માટેનું ગાણિતિક સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$i_{d} = \varepsilon_{0} \frac{d}{dt}(\phi_{E})$
જ્યાં $\phi_{E}$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
કેમ કે $\phi_{E} = E \cdot A$,અચળ ક્ષેત્રફળ $A$ માટે,આ સૂત્ર આ રીતે લખી શકાય:
$i_{d} = \varepsilon_{0} A \frac{dE}{dt}$
આમ,બદલાતું વિદ્યુત ક્ષેત્ર એ સ્થળાંતર પ્રવાહનો સ્ત્રોત છે.

(A) હર્ટ્ઝના પ્રયોગમાં,હાઈ-વોલ્ટેજ ઇન્ડક્શન કોઈલ સાથે જોડાયેલા બે ધાતુના સળિયા કેપેસિટરની પ્લેટો તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે સળિયા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પૂરતો ઊંચો થાય છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેની હવા આયનીકૃત થાય છે,જેના કારણે ગેપમાં તણખો (spark) ઉત્પન્ન થાય છે. વીજભારના આ દોલનોને કારણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.