Properties of ITF Questions in Gujarati

(C) આપણી પાસે છે,$\sum_{n=1}^k \tan ^{-1}\left(\frac{1}{n^2+3 n+3}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
નિત્યસમ $\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સરવાળાની અંદરના પદને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{n^2+3n+3} = \frac{(n+2)-(n+1)}{1+(n+2)(n+1)}$.
આમ,સરવાળો આ મુજબ બને છે:
$\sum_{n=1}^k (\tan ^{-1}(n+2) - \tan ^{-1}(n+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા:
$(\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 2) + (\tan ^{-1} 4 - \tan ^{-1} 3) + \dots + (\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1}(k+1)) = \tan ^{-1} \alpha$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે:
$\tan ^{-1}(k+2) - \tan ^{-1} 2 = \tan ^{-1} \alpha$.
ફરીથી સૂત્ર લાગુ કરતા:
$\tan ^{-1}\left(\frac{(k+2)-2}{1+(k+2)(2)}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
$\tan ^{-1}\left(\frac{k}{1+2k+4}\right) = \tan ^{-1} \alpha$.
તેથી,$\alpha = \frac{k}{2k+5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{4x}{1+4x^2} \right)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $\sin^{-1} \left( \frac{2\theta}{1+\theta^2} \right) = 2 \tan^{-1} \theta$,જે $-1 \leq \theta \leq 1$ માટે સાચું છે.
અહીં,$\theta = 2x$ લેતા,સમીકરણ $2 \tan^{-1} 2x = \sin^{-1} \left( \frac{2(2x)}{1+(2x)^2} \right)$ બને છે.
આ નિત્યસમ ત્યારે જ માન્ય છે જો $-1 \leq 2x \leq 1$ હોય.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$x$ ના મૂલ્યો $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ અંતરાલમાં આવેલા છે.

(D) આપેલ છે,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)$.
$x=\tan \theta$ લેતા,તેથી $\theta = \tan^{-1} x$.
આ પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$y = \tan^{-1}(\tan 3\theta) + \tan^{-1}(\tan 4\theta)$.
આનું સાદું રૂપ $y = 3\theta + 4\theta = 7\theta$ થાય છે.
કિંમત પાછી મૂકતા,$y = 7 \tan^{-1} x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d y}{d x} = 7 \times \frac{1}{1+x^2} = \frac{7}{1+x^2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
$\sin ^{-1} x = 2 \sin ^{-1} 2a$ હોવાથી,$2 \sin ^{-1} 2a$ ની કિંમત $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$\Rightarrow -\frac{\pi}{2} \leq 2 \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{2}$
$\Rightarrow -\frac{\pi}{4} \leq \sin ^{-1} 2a \leq \frac{\pi}{4}$
બધી બાજુ સાઈન લેતા:
$\sin(-\frac{\pi}{4}) \leq 2a \leq \sin(\frac{\pi}{4})$
$\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2a \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$
$2$ વડે ભાગતા:
$-\frac{1}{2\sqrt{2}} \leq a \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$
જે $|a| \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$ ને સમાન છે.

(B) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $t_{n} = \cot^{-1}(2n^2)$ છે.
$\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$t_{n} = \tan^{-1} \frac{1}{2n^2}$ મળે.
આને $t_{n} = \tan^{-1} \frac{2}{4n^2} = \tan^{-1} \frac{(2n+1) - (2n-1)}{1 + (2n+1)(2n-1)}$ તરીકે લખી શકાય.
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$t_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1)$ મળે.
સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} t_{k} = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1}(2n-1))$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે,તેથી $S_{n} = \tan^{-1}(2n+1) - \tan^{-1} 1$.
$n \rightarrow \infty$ લેતા,$\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} \theta$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ છે કે $\sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y+\sin ^{-1} z=\frac{3 \pi}{2}$.
દરેક પદ $\sin ^{-1} x, \sin ^{-1} y, \sin ^{-1} z$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,સરવાળો $\frac{3 \pi}{2}$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,$\sin ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$,અને $\sin ^{-1} z = \frac{\pi}{2}$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,$y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$,અને $z = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$x^{9}+y^{9}+z^{9}-\frac{1}{x^{9} y^{9} z^{9}} = (1)^{9}+(1)^{9}+(1)^{9}-\frac{1}{(1)^{9}(1)^{9}(1)^{9}}$
$= 1+1+1-\frac{1}{1 \times 1 \times 1}$
$= 3-1 = 2$.

(D) આપણને અસમતા $\cos ^{-1} x < \sin ^{-1} x$ આપેલી છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x < \sin ^{-1} x$
$\frac{\pi}{2} < 2 \sin ^{-1} x$
$\sin ^{-1} x > \frac{\pi}{4}$
બંને બાજુ સાઈન (sine) લેતા (કારણ કે $\sin x$ તેના પ્રદેશમાં વધતું વિધેય છે):
$x > \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$
$x > \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin ^{-1} x$ અને $\cos ^{-1} x$ નો પ્રદેશ $[-1, 1]$ હોવાથી,$x \le 1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,ઉકેલ ગણ $x \in \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1\right]$ છે.

(A) આપેલ છે,$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right)=\frac{\pi}{2} \quad ...(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{-1}(z) = \sin^{-1}(\frac{1}{z})$.
તેથી,$\operatorname{cosec}^{-1}\left(\frac{13}{12}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$.
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\sin ^{-1}\left(\frac{x}{13}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)=\frac{\pi}{2}$.
આપણે નિત્યસમ $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ જાણીએ છીએ.
વળી,$\sin^{-1}(\frac{12}{13}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2}) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - \frac{144}{169}}) = \cos^{-1}(\sqrt{\frac{25}{169}}) = \cos^{-1}(\frac{5}{13})$.
તેથી,$\sin^{-1}(\frac{x}{13}) + \cos^{-1}(\frac{5}{13}) = \frac{\pi}{2}$.
આને $\sin^{-1}(\theta) + \cos^{-1}(\theta) = \frac{\pi}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x}{13} = \frac{5}{13}$ મળે.
આમ,$x = 5$.

(C) આપેલ છે કે $\cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=3 \pi$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos ^{-1} x$ નો વિસ્તાર $[0, \pi]$ છે.
ત્રણ પદોનો સરવાળો $3 \pi$ છે અને દરેક પદની મહત્તમ કિંમત $\pi$ હોઈ શકે,તેથી દરેક પદ $\pi$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\cos ^{-1} \alpha = \pi$,$\cos ^{-1} \beta = \pi$,અને $\cos ^{-1} \gamma = \pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha = \cos(\pi) = -1$,$\beta = \cos(\pi) = -1$,અને $\gamma = \cos(\pi) = -1$.
હવે,આપણે પદાવલિ $\alpha(\beta+\gamma)+\beta(\gamma+\alpha)+\gamma(\alpha+\beta)$ ની ગણતરી કરીએ.
$\alpha = -1$,$\beta = -1$,અને $\gamma = -1$ મૂકતા:
$(-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) + (-1)(-1-1) = (-1)(-2) + (-1)(-2) + (-1)(-2) = 2 + 2 + 2 = 6$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $2 \cot ^{-1} \frac{1}{2} - \cot ^{-1} \frac{4}{3}$
$x > 0$ માટે $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \tan ^{-1} 2 - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$x > 1$ માટે $2 \tan ^{-1} x = \pi + \tan ^{-1} \frac{2x}{1-x^2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{2(2)}{1-2^2} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi + \tan ^{-1} \frac{4}{-3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - \tan ^{-1} \frac{4}{3} - \tan ^{-1} \frac{3}{4}$
$= \pi - (\tan ^{-1} \frac{4}{3} + \tan ^{-1} \frac{3}{4})$
$x > 0$ માટે $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$

(B) ધારો કે $f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (cos^{-1}x)^{2}$.
$cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - sin^{-1}x$ હોવાથી,આપણને મળે:
$f(x) = (sin^{-1}x)^{2} + (\frac{\pi}{2} - sin^{-1}x)^{2}$
$f(x) = 2(sin^{-1}x)^{2} - \pi sin^{-1}x + \frac{\pi^{2}}{4}$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$f(x) = 2(sin^{-1}x - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8}$.
$x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ માટે,$sin^{-1}x$ નો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4}]$ છે.
$f(x)$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $sin^{-1}x$ ની એવી કિંમત પસંદ કરીએ જે $\frac{\pi}{4}$ થી સૌથી દૂર હોય,જે $-\frac{\pi}{3}$ છે.
મહત્તમ કિંમત $= 2(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = 2(-\frac{7\pi}{12})^{2} + \frac{\pi^{2}}{8} = \frac{49\pi^{2}}{72} + \frac{9\pi^{2}}{72} = \frac{58\pi^{2}}{72} = \frac{29\pi^{2}}{36}$.
આમ,$m = 29$ અને $n = 36$. $\gcd(29, 36) = 1$ હોવાથી,$m+n = 29 + 36 = 65$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan^{-1}4x + \tan^{-1}6x = \frac{\pi}{6}$.
સૂત્ર $\tan^{-1}A + \tan^{-1}B = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{4x+6x}{1-(4x)(6x)}\right) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{10x}{1-24x^2} = \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$10\sqrt{3}x = 1 - 24x^2 \implies 24x^2 + 10\sqrt{3}x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{(10\sqrt{3})^2 - 4(24)(-1)}}{2(24)} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{300 + 96}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm \sqrt{396}}{48} = \frac{-10\sqrt{3} \pm 6\sqrt{11}}{48} = \frac{-5\sqrt{3} \pm 3\sqrt{11}}{24}$.
અંતરાલ $-\frac{1}{2\sqrt{6}} < x < \frac{1}{2\sqrt{6}}$ છે,જ્યાં $\frac{1}{2\sqrt{6}} \approx 0.204$.
$x_1 = \frac{-5\sqrt{3} + 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 + 9.95}{24} \approx 0.054$ (અંતરાલમાં છે).
$x_2 = \frac{-5\sqrt{3} - 3\sqrt{11}}{24} \approx \frac{-8.66 - 9.95}{24} \approx -0.775$ (અંતરાલમાં નથી).
માત્ર એક જ ઉકેલ શરતનું પાલન કરે છે.

(A) ધારો કે $x = \sin\theta$. કારણ કે $x \in [-1/2, 1/2]$,તેથી $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$ થાય.
આપેલ પદાવલિ $y = 3\sin^{-1}(\sin\theta) + \sin^{-1}(\sin(3\theta))$ બને છે.
કારણ કે $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$,તેથી $3\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ થાય.
તેથી,$\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta$ અને $\sin^{-1}(\sin(3\theta)) = 3\theta$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$y = 3\theta + 3\theta = 6\theta$ મળે.
આપેલ છે કે $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$,તેથી $6$ વડે ગુણતા $6\theta \in [-\pi, \pi]$ મળે.
આમ,$y \in [-\pi, \pi]$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $\tan^{-1}(1 - \alpha) + \tan^{-1}(1 - \beta) = \frac{\pi}{4}$ છે.
સૂત્ર $\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{(1-\alpha)+(1-\beta)}{1-(1-\alpha)(1-\beta)} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 - (\alpha + \beta) = 1 - (1 - \alpha - \beta + \alpha\beta)$ મળે છે.
$2 - \alpha - \beta = \alpha + \beta - \alpha\beta \Rightarrow 2 = 2(\alpha + \beta) - \alpha\beta$.
સમીકરણમાં $\beta = \frac{1}{3\alpha}$ મૂકતા:
$2 = 2(\alpha + \frac{1}{3\alpha}) - \alpha(\frac{1}{3\alpha}) = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} - \frac{1}{3}$.
$2 + \frac{1}{3} = 2\alpha + \frac{2}{3\alpha} \Rightarrow \frac{7}{3} = \frac{6\alpha^2 + 2}{3\alpha}$.
$7\alpha = 6\alpha^2 + 2 \Rightarrow 6\alpha^2 - 7\alpha + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2\alpha - 1)(3\alpha - 2) = 0$.
તેથી,$\alpha = \frac{1}{2}$ અથવા $\alpha = \frac{2}{3}$.
જો $\alpha = \frac{1}{2}$ હોય,તો $\beta = \frac{1}{3(1/2)} = \frac{2}{3}$.
જો $\alpha = \frac{2}{3}$ હોય,તો $\beta = \frac{1}{3(2/3)} = \frac{1}{2}$.
બંને કિસ્સામાં,$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{7}{6}$.
તેથી,$6(\alpha + \beta) = 6 \times \frac{7}{6} = 7$.

(A) આપણે નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ પદ $\tan^{-1} \left( \frac{2^{p-1}}{1+2^{2p-1}} \right)$ ને આપણે $\tan^{-1} \left( \frac{2^p - 2^{p-1}}{1 + 2^p \cdot 2^{p-1}} \right) = \tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
હવે,આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણીનો સરવાળો કરતા: $\sum_{p=1}^{11} (\tan^{-1}(2^p) - \tan^{-1}(2^{p-1})) = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^{10}))$.
આનું સાદું રૂપ $\tan^{-1}(2^{11}) - \tan^{-1}(2^0) = \tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}$ મળે છે.
આ કિંમતને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\pi}{4} + (\tan^{-1}(2048) - \frac{\pi}{4}) = \tan^{-1}(2048)$.
આમ,$\tan^{-1} \alpha = \tan^{-1}(2048)$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2048$.
તેથી,$\tan \alpha = \tan(2048)$.