Evaluation of various forms of integration Questions in Hindi

(D) माना $I = \int \frac{dx}{9 \cos^2 2x + 16 \sin^2 2x}$ है।
अंश और हर को $\cos^2 2x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 2x dx}{9 + 16 \tan^2 2x}$.
माना $u = \tan 2x$,तब $du = 2 \sec^2 2x dx$,जिसका अर्थ है कि $\sec^2 2x dx = \frac{du}{2}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{du/2}{9 + 16u^2} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{9 + 16u^2}$.
हर से $16$ बाहर निकालने पर:
$I = \frac{1}{2 \times 16} \int \frac{du}{\frac{9}{16} + u^2} = \frac{1}{32} \int \frac{du}{(\frac{3}{4})^2 + u^2}$.
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{32} \times \frac{1}{3/4} \tan^{-1}(\frac{u}{3/4}) + C = \frac{1}{32} \times \frac{4}{3} \tan^{-1}(\frac{4u}{3}) + C$.
$I = \frac{1}{24} \tan^{-1}(\frac{4}{3} \tan 2x) + C$.

(A) माना $I = \int \sqrt{\operatorname{cosec} x + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1}{\sin x} + 1} dx = \int \sqrt{\frac{1 + \sin x}{\sin x}} dx$.
$\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$ और $1 + \sin x = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$ का उपयोग करके,हम $u = \tan(x/2)$ और $dx = \frac{2}{1+u^2} du$ प्रतिस्थापन करते हैं।
समाकलन $I = \int \sqrt{\frac{(1+u)^2}{2u}} \cdot \frac{2}{1+u^2} du = \sqrt{2} \int \frac{1+u}{\sqrt{u}(1+u^2)} du$ बन जाता है।
माना $v = \sqrt{u}$,तो $dv = \frac{1}{2\sqrt{u}} du$,इसलिए $du = 2v dv$.
$I = 2\sqrt{2} \int \frac{1+v^2}{1+v^4} dv = \sqrt{2} \int \frac{1+1/v^2}{v^2+1/v^2} dv = \sqrt{2} \int \frac{d(v-1/v)}{(v-1/v)^2 + 2} + \sqrt{2} \int \frac{d(v+1/v)}{(v+1/v)^2 - 2}$.
इसका मूल्यांकन करने पर $I = 2 \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{2\tan(x/2)}}{1-\tan(x/2)}\right) + c$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 2$ और $f(x) = \frac{\sqrt{2\tan(x/2)}}{1-\tan(x/2)}$.
$x = \pi/6$ के लिए,$\tan(x/2) = \tan(\pi/12) = 2 - \sqrt{3}$.
$f(\pi/6) = \frac{\sqrt{2(2-\sqrt{3})}}{1-(2-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{3}-1} = 1$.
इसलिए,$\frac{1}{k} f(\pi/6) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{x^m (x^m+1)^{1/m}} dx$ को हल करने के लिए,रेडिकल से $x^m$ को बाहर निकालें:
$I = \int \frac{1}{x^m \cdot x (1 + x^{-m})^{1/m}} dx = \int \frac{1}{x^{m+1} (1 + x^{-m})^{1/m}} dx$.
माना $u = 1 + x^{-m}$. तब $du = -m x^{-m-1} dx = -m x^{-(m+1)} dx$.
अतः,$dx / x^{m+1} = -du / m$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{u^{1/m}} \cdot \left(-\frac{du}{m}\right) = -\frac{1}{m} \int u^{-1/m} du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = -\frac{1}{m} \cdot \frac{u^{1 - 1/m}}{1 - 1/m} + C = -\frac{1}{m} \cdot \frac{u^{(m-1)/m}}{(m-1)/m} + C = -\frac{1}{m-1} u^{(m-1)/m} + C$.
$u = 1 + x^{-m} = \frac{x^m+1}{x^m}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{m-1} \left(\frac{x^m+1}{x^m}\right)^{(m-1)/m} + C = -\frac{1}{m-1} \left(\frac{(x^m+1)^{1/m}}{x}\right)^{m-1} + C$.
यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(D) हमारे पास $I = \int \frac{1}{x^4+8x^2+9} dx$ है। अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{6} \int \frac{(1+3/x^2)}{(x-3/x)^2+14} dx - \frac{1}{6} \int \frac{(1-3/x^2)}{(x+3/x)^2+2} dx$.
माना $t = x-3/x$ और $u = x+3/x$ है। तब $dt = (1+3/x^2) dx$ और $du = (1-3/x^2) dx$ होगा।
$I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{t^2+(\sqrt{14})^2} - \frac{1}{6} \int \frac{du}{u^2+(\sqrt{2})^2}$.
$I = \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{\sqrt{14}} \tan^{-1} \left( \frac{x-3/x}{\sqrt{14}} \right) - \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x+3/x}{\sqrt{2}} \right) \right] + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$k=6$,$f(x) = \frac{x-3/x}{\sqrt{14}}$,और $g(x) = \frac{x+3/x}{\sqrt{2}}$ है।
अब,$f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}-3/\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = 0$ और $g(1) = \frac{1+3/1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,$\sqrt{\frac{k}{2} + f(\sqrt{3}) + g(1)} = \sqrt{\frac{6}{2} + 0 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$.

(A) माना $I = \int \frac{\sec x}{3(\sec x+\tan x)+2} dx$.
अंश और हर को $(\sec x - \tan x)$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sec x(\sec x - \tan x)}{3(\sec^2 x - \tan^2 x) + 2(\sec x - \tan x)} dx$.
चूंकि $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$,इसलिए:
$I = \int \frac{\sec^2 x - \sec x \tan x}{3 + 2(\sec x - \tan x)} dx$.
माना $u = \sec x - \tan x$. तब $du = (\sec x \tan x - \sec^2 x) dx$,अर्थात $-du = (\sec^2 x - \sec x \tan x) dx$.
$I = \int \frac{-du}{3 + 2u} = -\frac{1}{2} \ln|3 + 2u| + C = -\frac{1}{2} \ln|3 + 2(\sec x - \tan x)| + C$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sec x = \frac{1+\tan^2(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$ और $\tan x = \frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{3(1-\tan^2(x/2)) + 2(1+\tan^2(x/2)) - 4\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{5 - 4\tan(x/2) - \tan^2(x/2)}{(1-\tan(x/2))(1+\tan(x/2))} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{(5+\tan(x/2))(1-\tan(x/2))}{(1-\tan(x/2))(1+\tan(x/2))} \right| + C$.
$I = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{5+\tan(x/2)}{1+\tan(x/2)} \right| + C = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+\tan(x/2)}{5+\tan(x/2)} \right| + C$.

(C) हम $\tan \frac{x}{2} = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं,जिसका अर्थ है $dx = \frac{2 dt}{1 + t^2}$,$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$,और $\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$\int \frac{1}{3(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}) - 4(\frac{2t}{1 + t^2}) + 5} \cdot \frac{2 dt}{1 + t^2}$
$= \int \frac{2 dt}{3(1 - t^2) - 8t + 5(1 + t^2)}$
$= \int \frac{2 dt}{3 - 3t^2 - 8t + 5 + 5t^2}$
$= \int \frac{2 dt}{2t^2 - 8t + 8} = \int \frac{dt}{t^2 - 4t + 4}$
$= \int \frac{dt}{(t - 2)^2} = -(t - 2)^{-1} + c$
$= \frac{-1}{t - 2} + c = \frac{1}{2 - t} + c$
$t = \tan \frac{x}{2}$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2 - \tan \frac{x}{2}} + c$ प्राप्त होता है।

(A) समाकलन $I = \int \frac{1}{16-7 \sin^2 x} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करें:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{16 \sec^2 x - 7 \tan^2 x} dx$
$\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{16(1 + \tan^2 x) - 7 \tan^2 x} dx = \int \frac{\sec^2 x}{16 + 9 \tan^2 x} dx$
माना $\tan x = t$,तब $\sec^2 x dx = dt$:
$I = \int \frac{dt}{16 + 9t^2} = \frac{1}{9} \int \frac{dt}{\frac{16}{9} + t^2} = \frac{1}{9} \int \frac{dt}{(\frac{4}{3})^2 + t^2}$
सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{9} \times \frac{1}{4/3} \tan^{-1}\left(\frac{t}{4/3}\right) + C = \frac{1}{9} \times \frac{3}{4} \tan^{-1}\left(\frac{3t}{4}\right) + C$
$I = \frac{1}{12} \tan^{-1}\left(\frac{3 \tan x}{4}\right) + C$

(A) $\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx$ को हल करने के लिए,अंश को वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के अवकलज के गुणज के रूप में व्यक्त करें। $3x^2-2x+1$ का अवकलज $6x-2$ है।
हम $2x+3 = \frac{1}{3}(6x-2) + \frac{11}{3}$ लिख सकते हैं।
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \frac{2x+3}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx = \frac{1}{3} \int \frac{6x-2}{\sqrt{3x^2-2x+1}} dx + \frac{11}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3})}}$.
पहले भाग के लिए,$u = 3x^2-2x+1$ लेने पर,$du = (6x-2)dx$ प्राप्त होता है। समाकलन $\frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1}$ होता है।
दूसरे भाग के लिए,पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = (x-\frac{1}{3})^2 + \frac{2}{9}$.
अतः,$\frac{11}{3\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{(x-\frac{1}{3})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{3})^2}} = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{x-1/3}{\sqrt{2}/3}\right) = \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right)$.
इस प्रकार,अंतिम उत्तर $\frac{2}{3} \sqrt{3x^2-2x+1} + \frac{11}{3\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left(\frac{3x-1}{\sqrt{2}}\right) + C$ प्राप्त होता है।

(B) हमारे पास $I = \int(\sqrt{1-\sin x} + \sqrt{1+\sin x}) \, dx$ है।
$1 \pm \sin x = \left(\cos \frac{x}{2} \pm \sin \frac{x}{2}\right)^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \left( \sqrt{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})^2} + \sqrt{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} \right) \, dx = \int \left( |\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| + |\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| \right) \, dx$.
दिया गया है कि $\frac{3 \pi}{2} < x < \frac{5 \pi}{2}$,इसलिए $\frac{3 \pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{5 \pi}{4}$ है।
इस अंतराल में,$\sin \frac{x}{2} > \cos \frac{x}{2}$ और $\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2} < 0$ (क्योंकि $\frac{x}{2}$ तीसरे चतुर्थांश में है)।
अतः,$|\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}| = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$ और $|\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}| = -(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})$.
$I = \int (\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}) \, dx = \int -2 \cos \frac{x}{2} \, dx = -4 \sin \frac{x}{2} + c$.
अतः,$f(x) = -4 \sin \frac{x}{2}$.
तब $f\left(\frac{\pi}{3}\right) - f(0) = -4 \sin \frac{\pi}{6} - (-4 \sin 0) = -4 \left(\frac{1}{2}\right) + 0 = -2$.

(A) माना $I = \int \frac{d x}{(x-1)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{5}{4}}}$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{1}{(x-1)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{3}{4}}(x+2)^{\frac{2}{4}}} d x = \int \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{(x+2)^2} d x$.
माना $t = \frac{x-1}{x+2}$.
तब,$dt = \frac{(x+2)(1) - (x-1)(1)}{(x+2)^2} d x = \frac{3}{(x+2)^2} d x$.
अतः,$\frac{1}{(x+2)^2} d x = \frac{dt}{3}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int t^{-\frac{3}{4}} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-\frac{3}{4}} dt$.
$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{t^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}} + C = \frac{4}{3} t^{\frac{1}{4}} + C$.
$t = \frac{x-1}{x+2}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{4}{3} \left(\frac{x-1}{x+2}\right)^{\frac{1}{4}} + C$.

(C) माना $I = \int \frac{\cos \left(\log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)\right)}{(3-2x)^2} \, dx$.
$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2x+3}{3-2x} = e^t$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) = \frac{(3-2x)(2) - (2x+3)(-2)}{(3-2x)^2} = \frac{6-4x+4x+6}{(3-2x)^2} = \frac{12}{(3-2x)^2}$.
अतः,$\frac{12}{(3-2x)^2} \, dx = e^t \, dt$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{(3-2x)^2} \, dx = \frac{1}{12} e^t \, dt$.
समाकलन में मान रखने पर: $I = \int \cos(t) \cdot \frac{1}{12} e^t \, dt = \frac{1}{12} \int e^t \cos(t) \, dt$.
दिए गए सूत्र $\int e^t \cos(t) \, dt = \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{12} \cdot \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t) = \frac{e^t}{24}(\cos t + \sin t)$.
$t = \log \left(\frac{2x+3}{3-2x}\right)$ और $e^t = \frac{2x+3}{3-2x}$ वापस रखने पर,$I = \frac{\frac{2x+3}{3-2x}}{24} \left[ \cos \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) + \sin \left( \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right) \right) \right] + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$f(x) = \frac{2x+3}{3-2x}$ और $g(x) = \log \left( \frac{2x+3}{3-2x} \right)$.
अतः,$g(x) = \log(f(x))$,जिसका अर्थ है $g(1) = \log(f(1))$.

(C) हमें समाकलन $I = \int \frac{3 x^6-2 x^4+x^2-2}{x^2+1} d x$ का मान ज्ञात करना है।
अंश $3x^6 - 2x^4 + x^2 - 2$ को हर $x^2 + 1$ से विभाजित करने पर:
$3x^6 - 2x^4 + x^2 - 2 = (x^2 + 1)(3x^4 - 5x^2 + 6) - 8$.
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int \left( 3x^4 - 5x^2 + 6 - \frac{8}{x^2+1} \right) d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$I = 3 \int x^4 d x - 5 \int x^2 d x + 6 \int 1 d x - 8 \int \frac{1}{x^2+1} d x$.
मानक समाकलन सूत्रों का उपयोग करने पर:
$I = 3 \left( \frac{x^5}{5} \right) - 5 \left( \frac{x^3}{3} \right) + 6x - 8 \tan^{-1} x + c$.
$I = \frac{3}{5} x^5 - \frac{5}{3} x^3 + 6x - 8 \tan^{-1} x + c$.

(A) दिया गया है $f(x) = \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{(2 \sin x \cos x)^2} \right] dx$.
चूँकि $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$,व्यंजक $\int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{4 \sin^2 x \cos^2 x} \right] dx$ बन जाता है।
$= \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right] dx$.
$= \int \left[ (\sec^2 x - 1) + (\csc^2 x - 1) + \sec x \tan x + \csc x \cot x \right] dx$.
$= \tan x - x - \cot x - x + \sec x - \csc x + C$.
$f(x) = \tan x - \cot x + \sec x - \csc x - 2x + C$.
दिया है $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$: $\tan\frac{\pi}{4} - \cot\frac{\pi}{4} + \sec\frac{\pi}{4} - \csc\frac{\pi}{4} - 2\left(\frac{\pi}{4}\right) + C = 0$.
$1 - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} - \frac{\pi}{2} + C = 0 \implies C = \frac{\pi}{2}$.
अतः $f(x) = \tan x - \cot x + \sec x - \csc x - 2x + \frac{\pi}{2}$.
अब $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \tan\frac{\pi}{6} - \cot\frac{\pi}{6} + \sec\frac{\pi}{6} - \csc\frac{\pi}{6} - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{2}$.
$= \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - 2 - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} = \frac{3}{\sqrt{3}} - \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - 2$.
तब $3 \left[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \right] = 3 \left[ \frac{\pi}{6} - 2 + 2 \right] = 3 \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{2}$.

(A) माना $I = \int \frac{d x}{\sin x + \cos x}$ है।
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x}$।
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)}$।
$\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d x}{2 \sin \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)}$।
अंश और हर को $\cos^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)$ से भाग देने पर:
$I = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{\sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x}{\tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)}$।
माना $t = \tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right)$,तब $dt = \frac{1}{2} \sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x$,अतः $\sec^2 \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) d x = 2 dt$।
$I = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \frac{2 dt}{t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{\sqrt{2}} \log |t| + C$।
$t$ का मान वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{8}\right) \right| + C$।

(D) माना $I = \int \left( \frac{\sqrt{1+x+x^2}}{1+x} + \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} - \frac{1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx$.
पहले और तीसरे पद को संयोजित करने पर:
$I = \int \left( \frac{1+x+x^2-1}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} \right) dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
अंश को सरल करने पर:
$I = \int \frac{x(1+x)}{(1+x) \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
पहले समाकलन को $2$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \int \frac{2x}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{2x+1-1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
समाकलन को अलग करने पर:
$I = \int \frac{2x+1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx - \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx + \int \frac{1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx = \int \frac{2x+1}{2 \sqrt{1+x+x^2}} dx$.
माना $t = x^2+x+1$,तब $dt = (2x+1) dx$.
$I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = \sqrt{t} + C = \sqrt{x^2+x+1} + C$.

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{2 x^{12}+5 x^9}{\left(x^5+x^3+1\right)^3} d x$ है।
अंश और हर को $x^{15}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{2 x^{-3} + 5 x^{-6}}{(1 + x^{-2} + x^{-5})^3} d x$.
माना $t = 1 + x^{-2} + x^{-5}$ है।
तब $dt = (-2x^{-3} - 5x^{-6}) dx$,जिसका अर्थ है कि $-(2x^{-3} + 5x^{-6}) dx = dt$ है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = -\int \frac{dt}{t^3} = -\int t^{-3} dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $\frac{1}{2} f(x) + C$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{1}{t^2} = \frac{1}{(1 + x^{-2} + x^{-5})^2} = \frac{x^{10}}{(x^5 + x^3 + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
अब,$f(1) - f(0)$ की गणना करें।
$f(1) = \frac{1^{10}}{(1^5 + 1^3 + 1)^2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$।
$f(0)$ के लिए,$x=0$ पर व्यंजक $\frac{x^{10}}{(x^5 + x^3 + 1)^2}$ का मान $0$ है।
अतः,$f(1) - f(0) = \frac{1}{9} - 0 = \frac{1}{9}$।

(C) माना $I = \int \frac{dx}{(x^2 - a^2)^{3/2}}$.
$x = a \sec \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{(a^2 \tan^2 \theta)^{3/2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{a^3 \tan^3 \theta} = \frac{1}{a^2} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta$.
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} d\theta = \frac{1}{a^2} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} d\theta$.
$u = \sin \theta$ लेने पर,$du = \cos \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{a^2} \int u^{-2} du = \frac{1}{a^2} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{a^2 \sin \theta} + C$.
चूंकि $x = a \sec \theta$,इसलिए $\sec \theta = \frac{x}{a}$ और $\cos \theta = \frac{a}{x}$ है।
अतः $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x}$।
यह मान रखने पर:
$I = -\frac{1}{a^2 \left( \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{x} \right)} + C = -\frac{x}{a^2 \sqrt{x^2 - a^2}} + C$.

(D) हमारे पास $5+2 x+x^2 = (x+1)^2 + 4$ है।
माना $x+1 = z$,तब $dx = dz$ होगा।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{dz}{(z^2+4)^{3/2}}$ प्राप्त होता है।
माना $z = 2 \tan \theta$,तब $dz = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ होगा।
साथ ही,$(z^2+4)^{3/2} = (4 \tan^2 \theta + 4)^{3/2} = (4 \sec^2 \theta)^{3/2} = 8 \sec^3 \theta$।
अतः,$I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{8 \sec^3 \theta} = \frac{1}{4} \int \cos \theta \ d\theta = \frac{1}{4} \sin \theta + C$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{z}{2}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{z}{\sqrt{z^2+4}}$।
अतः,$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{z}{\sqrt{z^2+4}} + C = \frac{x+1}{4 \sqrt{(x+1)^2+4}} + C = \frac{x+1}{4 \sqrt{5+2x+x^2}} + C$।

(D) माना $I = \int \frac{1-(\cot x)^{2019}}{\tan x+(\cot x)^{2020}} dx$ है।
अंश और हर को $\sin x \cos^{2019} x$ से गुणा करने पर,समाकल्य का सरलीकरण प्राप्त होता है।
इसके अतिरिक्त,$\frac{d}{dx}(\sin^{2021} x + \cos^{2021} x) = 2021 \sin^{2020} x \cos x - 2021 \cos^{2020} x \sin x = 2021 \sin x \cos x (\sin^{2019} x - \cos^{2019} x)$ होता है।
अतः,समाकलन $\frac{1}{2021} \ln |\sin^{2021} x + \cos^{2021} x| + c$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूप के साथ तुलना करने पर,$n = 2021$,$f(x) = \sin x$,और $g(x) = \cos x$ प्राप्त होते हैं।
हमें $n[(f(x))^4 + (g(x))^4]_{x=\frac{\pi}{3}} = 2021 [\sin^4(\frac{\pi}{3}) + \cos^4(\frac{\pi}{3})]$ का मान ज्ञात करना है।
$= 2021 [(\frac{\sqrt{3}}{2})^4 + (\frac{1}{2})^4] = 2021 [\frac{9}{16} + \frac{1}{16}] = 2021 [\frac{10}{16}] = 2021 [\frac{5}{8}] = \frac{10105}{8}$.

(B) हमें दिया गया है,$\int \frac{a \cos x-2 \sin x}{b \sin x+5 \cos x} d x=\frac{7}{41} x+\frac{22}{41} \log |b \sin x+5 \cos x|+C$.
माना $a \cos x-2 \sin x = \lambda(b \sin x+5 \cos x) + \mu(b \cos x-5 \sin x)$.
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$a = 5\lambda + \mu b$ और $-2 = b\lambda - 5\mu$.
दिया है $\lambda = \frac{7}{41}$ और $\mu = \frac{22}{41}$,अतः:
$a = 5(\frac{7}{41}) + b(\frac{22}{41}) = \frac{35+22b}{41}$ और $-2 = b(\frac{7}{41}) - 5(\frac{22}{41}) \Rightarrow -82 = 7b - 110 \Rightarrow 7b = 28 \Rightarrow b = 4$.
$a$ में $b=4$ रखने पर: $a = \frac{35+22(4)}{41} = \frac{35+88}{41} = \frac{123}{41} = 3$.
अब,$\int \frac{d x}{b+a \cos x} = \int \frac{d x}{4+3 \cos x}$.
$\tan \frac{x}{2} = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ और $dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$:
$\int \frac{2 dt}{(1+t^2)(4+3(\frac{1-t^2}{1+t^2}))} = \int \frac{2 dt}{4+4t^2+3-3t^2} = \int \frac{2 dt}{7+t^2}$.
$= \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1}(\frac{t}{\sqrt{7}}) + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \tan^{-1}\left(\frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{7}}\right) + C$.

(D) माना $I = \int e^{\sin ^2 x}(\sin x \cos x + \cos ^3 x \sin x) d x$.
$\sin x \cos x$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \int e^{\sin ^2 x}(1 + \cos ^2 x) \sin x \cos x d x$.
चूंकि $\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$,इसलिए:
$I = \int e^{\sin ^2 x}(1 + 1 - \sin ^2 x) \sin x \cos x d x = \int e^{\sin ^2 x}(2 - \sin ^2 x) \sin x \cos x d x$.
माना $t = \sin ^2 x$,तब $dt = 2 \sin x \cos x d x$,अर्थात $\sin x \cos x d x = \frac{dt}{2}$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \int e^t(2 - t) d t = \int e^t d t - \frac{1}{2} \int t e^t d t$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर $\int t e^t d t = t e^t - e^t$:
$I = e^t - \frac{1}{2}(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - \frac{t}{2} + \frac{1}{2}) + C = e^t(\frac{3}{2} - \frac{t}{2}) + C$.
$e^{\sin ^2 x}(1 + f(x)) + C$ से तुलना करने पर,$1 + f(x) = \frac{3}{2} - \frac{\sin ^2 x}{2}$.
अतः,$f(x) = \frac{1}{2} - \frac{\sin ^2 x}{2}$.
अवकलन करने पर: $f^{\prime}(x) = 0 - \frac{1}{2}(2 \sin x \cos x) = -\sin x \cos x = -\frac{1}{2} \sin 2 x$.

(B) माना $I = \int \frac{d x}{(x-2) \sqrt{x^2-3 x+5}}$.
$x-2 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ और $x = 2 + \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-1/t^2 dt}{(1/t) \sqrt{(2+1/t)^2 - 3(2+1/t) + 5}}$
$I = -\int \frac{dt/t}{\sqrt{4 + 4/t + 1/t^2 - 6 - 3/t + 5}}$
$I = -\int \frac{dt}{\sqrt{1/t^2 + 1/t + 3}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{(1 + t + 3t^2)/t^2}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{3t^2 + t + 1}}$
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + t/3 + 1/3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t + 1/6)^2 + 11/36}}$
सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{t + 1/6}{\sqrt{11}/6} \right) + C = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6t + 1}{\sqrt{11}} \right) + C$
चूंकि $t = \frac{1}{x-2}$,इसलिए:
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6/(x-2) + 1}{\sqrt{11}} \right) + C = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{6 + x - 2}{\sqrt{11}(x-2)} \right) + C$
$I = -\frac{1}{\sqrt{3}} \sinh^{-1}\left( \frac{x + 4}{\sqrt{11}(x-2)} \right) + C$.

(B) हमारे पास है,$I = \int \frac{(x-1) dx}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}}$.
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \int \frac{(1 - 1/x) dx}{(1 + 1/x) \sqrt{x + 1 + 1/x}}$.
माना $t = \sqrt{x + 1 + 1/x}$. तब $t^2 = x + 1 + 1/x$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2t dt = (1 - 1/x^2) dx = \frac{x^2-1}{x^2} dx = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2} dx$.
साथ ही,$1 + 1/x = \frac{x+1}{x}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $I = \int \frac{2t dt}{t^2 \cdot (t^2-1) \cdot \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x}} = \int \frac{2 dt}{t^2+1} = 2 \tan^{-1}(t) + C$.
अतः,$I = 2 \tan^{-1} \sqrt{x + 1 + 1/x} + C$.
$A \tan^{-1} \sqrt{f(x)} + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = 2$ और $f(x) = x + 1 + 1/x$ प्राप्त होता है।
तब $f(-1) = -1 + 1 + (1/-1) = -1$.
इसलिए,क्रमित युग्म $(A, f(-1)) = (2, -1)$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{\cos 2x}}{\sin x} dx$.
हम जानते हैं कि $\cos 2x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}$.
अतः,$I = \int \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sec x \sin x} dx = \int \frac{\sqrt{1-\tan^2 x}}{\tan x} dx$.
माना $1-\tan^2 x = t^2$,तो $-2\tan x \sec^2 x dx = 2t dt$,जिसका अर्थ है कि $dx = \frac{-t dt}{\tan x (1+\tan^2 x)} = \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int \frac{t}{\sqrt{1-t^2}} \cdot \frac{-t dt}{\sqrt{1-t^2}(2-t^2)} = -\int \frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर,$\frac{t^2}{(1-t^2)(2-t^2)} = \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1}$.
इस प्रकार,$I = -\int \left( \frac{2}{t^2-2} - \frac{1}{t^2-1} \right) dt = 2 \int \frac{1}{2-t^2} dt + \int \frac{1}{t^2-1} dt$.
मानक समाकलन का उपयोग करने पर,$I = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt{2}-t} \right| + \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + c$.
$t = \sqrt{1-\tan^2 x}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}+\sqrt{1-\tan^2 x}}{\sqrt{2}-\sqrt{1-\tan^2 x}} \right| - \frac{1}{2} \log \left| \frac{1+\sqrt{1-\tan^2 x}}{1-\sqrt{1-\tan^2 x}} \right| + c$.

(D) माना $I = \int \sin ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x$.
$x = a \tan^2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ प्राप्त होता है।
तब $\sqrt{\frac{x}{a+x}} = \sqrt{\frac{a \tan^2 \theta}{a(1+\tan^2 \theta)}} = \sqrt{\sin^2 \theta} = \sin \theta$.
अतः,$I = \int \theta \cdot 2a \tan \theta \sec^2 \theta d\theta = 2a \int \theta \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \theta$ और $dv = \tan \theta \sec^2 \theta d\theta$ लेने पर,$du = d\theta$ और $v = \frac{1}{2} \tan^2 \theta$ प्राप्त होता है।
$I = 2a \left[ \frac{1}{2} \theta \tan^2 \theta - \int \frac{1}{2} \tan^2 \theta d\theta \right] = a \theta \tan^2 \theta - a \int (\sec^2 \theta - 1) d\theta$.
$I = a \theta \tan^2 \theta - a (\tan \theta - \theta) + c = a \theta (\tan^2 \theta + 1) - a \tan \theta + c$.
चूंकि $\tan^2 \theta = \frac{x}{a}$,इसलिए $\theta = \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}}$ है।
$I = a \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} (\frac{x}{a} + 1) - a \sqrt{\frac{x}{a}} + c = (x+a) \tan^{-1} \sqrt{\frac{x}{a}} - \sqrt{ax} + c$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(1+x) \sqrt{8+7x-x^2}}$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $8+7x-x^2 = (8-x)(1+x)$.
अतः,$I = \int \frac{dx}{(1+x) \sqrt{(8-x)(1+x)}} = \int \frac{dx}{(1+x)^{3/2} \sqrt{8-x}} = \int \frac{dx}{(1+x)^2 \sqrt{\frac{8-x}{1+x}}}$.
माना $t^2 = \frac{8-x}{1+x}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2t \frac{dt}{dx} = \frac{(1+x)(-1) - (8-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-8+x}{(1+x)^2} = \frac{-9}{(1+x)^2}$.
इस प्रकार,$\frac{dx}{(1+x)^2} = -\frac{2}{9} t \, dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \left(-\frac{2}{9} t \, dt\right) = -\frac{2}{9} \int dt = -\frac{2}{9} t + c$.
$t = \sqrt{\frac{8-x}{1+x}}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{2}{9} \sqrt{\frac{8-x}{1+x}} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{3 \sin x + 5 \cos x + 4}{\sin x + \cos x + 2} dx$.
हम अंश को $A(\sin x + \cos x + 2) + B \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x + 2) + C$ के रूप में व्यक्त करते हैं।
$3 \sin x + 5 \cos x + 4 = A(\sin x + \cos x + 2) + B(\cos x - \sin x) + C$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$A - B = 3$
$A + B = 5$
$2A + C = 4$
इन्हें हल करने पर,हमें $2A = 8 \Rightarrow A = 4$,$B = 1$,और $C = 4 - 2(4) = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int 4 dx + \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x + 2} dx - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$.
$I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4 \int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2}$.
$\tan(x/2) = t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dx = \frac{2 dt}{1+t^2}$,$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$,$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$.
$\int \frac{dx}{\sin x + \cos x + 2} = \int \frac{2 dt / (1+t^2)}{\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} + 2} = \int \frac{2 dt}{2t + 1 - t^2 + 2 + 2t^2} = \int \frac{2 dt}{t^2 + 2t + 3} = \int \frac{2 dt}{(t+1)^2 + 2}$.
$= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{t+1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2) + 1}{\sqrt{2}}\right)$.
अतः,$I = 4x + \log|\sin x + \cos x + 2| - 4\sqrt{2} \tan^{-1}\left(\frac{\tan(x/2) + 1}{\sqrt{2}}\right) + c$.

(C) $I = \int \frac{dx}{4 \sin x + 3 \cos x}$
माना $3 = r \cos \theta$ और $4 = r \sin \theta$.
वर्ग करके जोड़ने पर,$r^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,अतः $r = 5$.
भाग देने पर,$\tan \theta = \frac{4}{3}$,अतः $\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{dx}{r \cos(x - \theta)} = \frac{1}{5} \int \sec(x - \theta) dx$.
सूत्र $\int \sec u du = \log |\sec u + \tan u| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{5} \log |\sec(x - \theta) + \tan(x - \theta)| + c$.
$\theta = \tan^{-1} \frac{4}{3}$ रखने पर,$I = \frac{1}{5} \log |\sec(x - \tan^{-1} \frac{4}{3}) + \tan(x - \tan^{-1} \frac{4}{3})| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{dx}{(2ax+x^2)^{3/2}}$.
हम समाकल के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{dx}{(x^2+2ax)^{3/2}} = \int \frac{dx}{[x(x+2a)]^{3/2}} = \int \frac{dx}{x^{3/2}(x+2a)^{3/2}}$.
वैकल्पिक रूप से,कोष्ठक के अंदर पूर्ण वर्ग बनाएं:
$2ax+x^2 = (x+a)^2 - a^2$.
माना $x+a = a \sec \theta$,तब $dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$.
साथ ही,$(x+a)^2 - a^2 = a^2 \sec^2 \theta - a^2 = a^2 \tan^2 \theta$.
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{(a^2 \tan^2 \theta)^{3/2}} = \int \frac{a \sec \theta \tan \theta d\theta}{a^3 \tan^3 \theta} = \frac{1}{a^2} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} d\theta$.
$I = \frac{1}{a^2} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} d\theta = \frac{1}{a^2} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} d\theta$.
माना $u = \sin \theta$,तब $du = \cos \theta d\theta$.
$I = \frac{1}{a^2} \int u^{-2} du = \frac{1}{a^2} (-u^{-1}) + c = -\frac{1}{a^2 \sin \theta} + c$.
चूंकि $\sec \theta = \frac{x+a}{a}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{a}{x+a}$.
तब $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{a^2}{(x+a)^2}} = \sqrt{\frac{(x+a)^2 - a^2}{(x+a)^2}} = \frac{\sqrt{x^2+2ax}}{x+a}$.
अतः,$I = -\frac{1}{a^2} \cdot \frac{x+a}{\sqrt{x^2+2ax}} + c$.

(D) माना $I = \int(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x$.
$\sin x$ और $\cos x$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \left(\sqrt{\frac{\sin x}{\cos x}} + \sqrt{\frac{\cos x}{\sin x}}\right) d x = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{\sin x \cos x}} d x$.
$\sqrt{2}$ से गुणा और भाग करने पर:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{2 \sin x \cos x}} d x$.
चूँकि $1 - (\sin x - \cos x)^2 = 1 - (\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x) = 2 \sin x \cos x$:
$I = \sqrt{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} d x$.
माना $t = \sin x - \cos x$,तब $dt = (\cos x + \sin x) d x$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \sqrt{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sqrt{2} \sin^{-1}(t) + c$.
$t = \sin x - \cos x$ वापस रखने पर:
$I = \sqrt{2} \sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$.

(A) हमारे पास है,$\int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} x^3 + c$.
माना $I = \int \frac{x^4+1}{x^6+1} dx = \int \frac{(x^4-x^2+1) + x^2}{(x^2)^3 + 1^3} dx$.
सर्वसमिका $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ का उपयोग करते हुए,$x^6+1 = (x^2+1)(x^4-x^2+1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{x^4-x^2+1}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)} dx + \int \frac{x^2}{x^6+1} dx$.
$I = \int \frac{1}{x^2+1} dx + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.
$I = \tan^{-1} x + \int \frac{x^2}{(x^3)^2+1} dx$.
माना $x^3 = t$,तब $3x^2 dx = dt$,अर्थात $x^2 dx = \frac{1}{3} dt$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \int \frac{1}{t^2+1} dt = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} t + c$.
$I = \tan^{-1} x + \frac{1}{3} \tan^{-1} x^3 + c$.
$A \tan^{-1} x + B \tan^{-1} x^3 + c$ से तुलना करने पर,हमें $A=1$ और $B=\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x^2+1}{x^4+7 x^2+1} d x$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+7+\frac{1}{x^2}} d x = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x^2+\frac{1}{x^2}+2)+5} d x$.
$I = \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{(x-\frac{1}{x})^2+9} d x$.
माना $t = x - \frac{1}{x}$,तब $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{t}{3}) + C$.
$t = x - \frac{1}{x}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x - \frac{1}{x}}{3}) + C = \frac{1}{3} \tan^{-1}(\frac{x^2-1}{3x}) + C$.

(D) माना $I = \int \sqrt{\frac{2+x}{2-x}} \, dx$.
वर्गमूल के अंदर अंश और हर को $\sqrt{2+x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{2+x}{\sqrt{(2-x)(2+x)}} \, dx = \int \frac{2+x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
समाकलन को दो भागों में विभाजित करने पर:
$I = 2 \int \frac{1}{\sqrt{2^2-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} \, dx$.
पहले भाग के लिए,मानक समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर।
दूसरे भाग के लिए,$u = 4-x^2$ लेने पर,जिससे $du = -2x \, dx$ या $x \, dx = -\frac{1}{2} du$ प्राप्त होता है।
$I = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2} (2u^{1/2}) + C$.
$I = 2 \sin^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) - \sqrt{4-x^2} + C$.

(C) माना $I = \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4+x^2}}$.
$x = 2 \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = 2 \sec^2 \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
समाकलन इस प्रकार होगा: $I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{(4 \tan^2 \theta) \sqrt{4 + 4 \tan^2 \theta}}$.
चूंकि $\sqrt{4(1+\tan^2 \theta)} = 2 \sec \theta$,इसलिए:
$I = \int \frac{2 \sec^2 \theta \ d\theta}{4 \tan^2 \theta \cdot 2 \sec \theta} = \frac{1}{4} \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \ d\theta$.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \ d\theta = \frac{1}{4} \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \ d\theta$.
$u = \sin \theta$ लेने पर,$du = \cos \theta \ d\theta$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{1}{4} \int u^{-2} \ du = \frac{1}{4} (-u^{-1}) + C = -\frac{1}{4 \sin \theta} + C$.
यहाँ $\tan \theta = \frac{x}{2}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ होगा।
अतः,$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{x} + C = -\frac{\sqrt{4+x^2}}{4x} + C$.

(D) माना $I = \int (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int e^{x + x^{-1}} dx + \int (x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx$.
$x e^{x + x^{-1}}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} (x e^{x + x^{-1}}) = 1 \cdot e^{x + x^{-1}} + x \cdot e^{x + x^{-1}} \cdot (1 - x^{-2}) = e^{x + x^{-1}} + x e^{x + x^{-1}} - x^{-1} e^{x + x^{-1}} = (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}}$.
अतः,$\int (1 + x - x^{-1}) e^{x + x^{-1}} dx = x e^{x + x^{-1}} + C$.

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{a^2 \sin^2 x + b^2 \cos^2 x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर को $\cos^2 x$ से विभाजित करें:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{a^2 \tan^2 x + b^2}$
अब,मान लीजिए $u = \tan x$,तो $du = \sec^2 x dx$:
$I = \int \frac{du}{a^2 u^2 + b^2} = \frac{1}{a^2} \int \frac{du}{u^2 + (b/a)^2}$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{x^2 + k^2} = \frac{1}{k} \tan^{-1}(\frac{x}{k}) + C$ का उपयोग करते हुए:
$I = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{b/a} \tan^{-1}\left(\frac{u}{b/a}\right) + C$
$I = \frac{1}{ab} \tan^{-1}\left(\frac{a \tan x}{b}\right) + C$

(B) माना $I = \int \frac{dx}{4+3 \cot x} = \int \frac{\sin x dx}{4 \sin x + 3 \cos x}$ है।
हम अंश को $A(4 \cos x - 3 \sin x) + B(4 \sin x + 3 \cos x)$ के रूप में व्यक्त करते हैं,जहाँ $4 \cos x - 3 \sin x$ हर $4 \sin x + 3 \cos x$ का अवकलन है।
$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4B - 3A = 1$ और $3B + 4A = 0$ प्राप्त होता है।
$3B + 4A = 0$ से,हमें $A = -\frac{3B}{4}$ मिलता है।
पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $4B - 3(-\frac{3B}{4}) = 1 \Rightarrow 4B + \frac{9B}{4} = 1 \Rightarrow \frac{25B}{4} = 1 \Rightarrow B = \frac{4}{25}$।
अतः $A = -\frac{3}{25}$ है।
इस प्रकार,$I = \int \frac{-\frac{3}{25}(4 \cos x - 3 \sin x) + \frac{4}{25}(4 \sin x + 3 \cos x)}{4 \sin x + 3 \cos x} dx$ है।
$I = -\frac{3}{25} \int \frac{4 \cos x - 3 \sin x}{4 \sin x + 3 \cos x} dx + \frac{4}{25} \int dx$ है।
$I = -\frac{3}{25} \ln |4 \sin x + 3 \cos x| + \frac{4}{25} x + C$ है।

(A) हमें समाकलन $I = \int \sin (101 x)(\sin x)^{99} d x$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,$\sin(100x + x) = \sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x$ प्राप्त होता है।
इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int (\sin(100x)\cos x + \cos(100x)\sin x)(\sin x)^{99} d x$
$I = \int \sin(100x) \cos x (\sin x)^{99} d x + \int \cos(100x) (\sin x)^{100} d x$.
प्रथम समाकलन $\int \sin(100x) \cdot (\cos x (\sin x)^{99}) d x$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर:
मान लीजिए $u = \sin(100x)$ और $dv = \cos x (\sin x)^{99} d x$ है।
तब $du = 100 \cos(100x) d x$ और $v = \frac{(\sin x)^{100}}{100}$ प्राप्त होता है।
$\int u dv = uv - \int v du$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \sin(100x) \cdot \frac{(\sin x)^{100}}{100} - \int \frac{(\sin x)^{100}}{100} \cdot 100 \cos(100x) d x + \int \cos(100x) (\sin x)^{100} d x$.
$I = \frac{\sin(100x)(\sin x)^{100}}{100} - \int \cos(100x)(\sin x)^{100} d x + \int \cos(100x)(\sin x)^{100} d x + C$.
$I = \frac{\sin(100x)(\sin x)^{100}}{100} + C$.
इसकी तुलना दिए गए रूप $\frac{\sin (100 x)(\sin x)^\lambda}{\mu}+c$ से करने पर,हमें $\lambda = 100$ और $\mu = 100$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\lambda}{\mu} = \frac{100}{100} = 1$.

(C) माना $I = \int \frac{\sin x \sec^2 x - \tan x \sin x + \cos x}{1 - \cos 2x} dx$ है।
$1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin x \sec^2 x - \tan x \sin x + \cos x}{2 \sin^2 x} dx$
$I = \frac{1}{2} \int \left( \frac{\sin x \sec^2 x}{\sin^2 x} - \frac{\tan x \sin x}{\sin^2 x} + \frac{\cos x}{\sin^2 x} \right) dx$
$I = \frac{1}{2} \int \left( \sec x \tan x - \sec x + \operatorname{cosec} x \cot x \right) dx$
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$\int \sec x \tan x dx = \sec x$
$\int \sec x dx = \log |\sec x + \tan x| = \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})|$
$\int \operatorname{cosec} x \cot x dx = -\operatorname{cosec} x$
अतः,$I = \frac{1}{2} [\sec x - \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})| - \operatorname{cosec} x] + c$
$I = \frac{1}{2} [\sec x - \operatorname{cosec} x - \log |\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2})|] + c$
जो विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।

(D) माना $I = \int x[\log (1+x)]^3 dx$.
$\log (1+x) = t$ रखने पर,$1+x = e^t$ और $dx = e^t dt$ प्राप्त होता है।
$I = \int (e^t - 1) t^3 e^t dt = \int (e^{2t} t^3 - e^t t^3) dt$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int e^{at} t^n dt = \frac{e^{at}}{a} [t^n - \frac{n t^{n-1}}{a} + \frac{n(n-1) t^{n-2}}{a^2} - \dots]$.
$I = \frac{e^{2t}}{2} [t^3 - \frac{3t^2}{2} + \frac{6t}{4} - \frac{6}{8}] - e^t [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$e^t = 1+x$ और $t = \log (1+x)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{(1+x)^2}{16} [8t^3 - 12t^2 + 12t - 6] - (1+x) [t^3 - 3t^2 + 6t - 6] + C$.
$\frac{(1+x)^2}{16} f(x) + (1+x) g(x)$ से तुलना करने पर,$f(x) = 8t^3 - 12t^2 + 12t - 6$ और $g(x) = -t^3 + 3t^2 - 6t + 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) + g(x) = 7t^3 - 9t^2 + 6t + C = 7(\log (1+x))^3 - 9(\log (1+x))^2 + 6 \log (1+x) + C$.

(A) माना $I = \int (\log(\sin x) + x \cot x) dx$.
हम समाकलन को $I = \int \log(\sin x) dx + \int x \cot x dx$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
प्रथम भाग $I_1 = \int \log(\sin x) dx$ पर विचार करें। खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(\sin x)$ और $dv = dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x dx = \cot x dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन के सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I_1 = x \log(\sin x) - \int x \cot x dx$.
इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = (x \log(\sin x) - \int x \cot x dx) + \int x \cot x dx + c$.
$I = x \log(\sin x) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{d x}{(x+1) \sqrt{x^2+4}}$.
$x+1 = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = \frac{1}{t} - 1 = \frac{1-t}{t}$ और $dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{\frac{1}{t} \sqrt{(\frac{1-t}{t})^2 + 4}} = -\int \frac{dt}{t \sqrt{\frac{1-2t+t^2+4t^2}{t^2}}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{5t^2-2t+1}}$.
हर में पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$5t^2 - 2t + 1 = 5(t^2 - \frac{2}{5}t + \frac{1}{5}) = 5((t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{25}) = 5(t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}$.
$I = -\int \frac{dt}{\sqrt{5(t-\frac{1}{5})^2 + \frac{4}{5}}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \int \frac{dt}{\sqrt{(t-\frac{1}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2}}$.
सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{u^2+a^2}} = \sinh^{-1}(\frac{u}{a})$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{t-\frac{1}{5}}{2/5}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{5t-1}{2}) + C$.
$t = \frac{1}{x+1}$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{\frac{5}{x+1}-1}{2}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{5-x-1}{2(x+1)}) + C = -\frac{1}{\sqrt{5}} \sinh^{-1}(\frac{4-x}{2(x+1)}) + C$.

(A) माना $I = \int \frac{2x+2}{\sqrt{x^2-4x-5}} dx$.
अंश को $2x+2 = A \frac{d}{dx}(x^2-4x-5) + B$ के रूप में व्यक्त करने पर।
$2x+2 = A(2x-4) + B$.
$x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर,$2A = 2 \Rightarrow A = 1$ और $-4A + B = 2 \Rightarrow -4(1) + B = 2 \Rightarrow B = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int \frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4x-5}} dx + 6 \int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2 - 3^2}}$.
प्रथम समाकलन के लिए,$t = x^2-4x-5$ लेने पर,$dt = (2x-4)dx$ प्राप्त होता है।
$I = \int t^{-1/2} dt + 6 \int \frac{dx}{\sqrt{(x-2)^2 - 3^2}}$.
$I = 2\sqrt{t} + 6 \log |(x-2) + \sqrt{(x-2)^2 - 3^2}| + C$.
$I = 2\sqrt{x^2-4x-5} + 6 \log |(x-2) + \sqrt{x^2-4x-5}| + C$.

(B) माना $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = t^2$ और $dx = 2t \, dt$ प्राप्त होता है।
अतः $I = \int \frac{2t \, dt}{(1+t) t \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{(1-t)(1+t)}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} (1-t)^{1/2}}$.
दिए गए रूप का अवकलन करने पर,हमें $A=2$ और $B=-2$ प्राप्त होता है।
अतः,$A+B = 2 + (-2) = 0$.

(C) कथन $A$ के लिए: मान लीजिए $I = \int \left(\frac{x^2-1}{x^2}\right) e^{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)} d x$.
हम समाकल्य को $I = \int \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x + \frac{1}{x}\right)} d x$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $t = x + \frac{1}{x}$. तब $dt = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) d x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int e^t d t = e^t + c = e^{x + \frac{1}{x}} + c = e^{\frac{x^2+1}{x}} + c$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $A$ सत्य है।
कथन $R$ के लिए: समाकलन $\int f^{\prime}(x) e^{f(x)} d x$ का मूल्यांकन $t = f(x)$ प्रतिस्थापित करके किया जाता है,जिससे $dt = f^{\prime}(x) d x$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\int e^t d t = e^t + c = e^{f(x)} + c$.
कथन $R$ में परिणाम $f(x) + c$ होने का दावा किया गया है,जो गलत है।
इसलिए,$A$ सत्य है और $R$ असत्य है।