First Order reaction Questions in Hindi

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर नियम इस प्रकार है: $\text{Rate} = k[R]^1$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \text{Rate}$,$x = [R]$,$m = \text{slope}$ और $c = 0$ है।
अतः,$\text{Rate}$ बनाम $[R]$ के ग्राफ का ढाल दर स्थिरांक $k$ के बराबर होता है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log_{10} \frac{[A]_0}{[A]_t}$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\log_{10} \frac{[A]_0}{[A]_t} = \frac{k}{2.303} t$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log_{10} \frac{[A]_0}{[A]_t}$,$x = t$,$c = 0$,और $m$ ढाल है:
ढाल $m = \frac{k}{2.303}$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण है: $\ln \frac{[R]_0}{[R]} = Kt$.
इसे $\log_{10}$ में बदलने पर: $\log \frac{[R]_0}{[R]} = \frac{Kt}{2.303}$.
इस समीकरण की तुलना सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = \log \frac{[R]_0}{[R]}$ और $x = t$,ढाल $m = \frac{K}{2.303}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\log \frac{[R]_0}{[R]}$ बनाम $t$ का ग्राफ $\frac{K}{2.303}$ की ढाल देता है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण है:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]}$
इस समीकरण को $y = mx + c$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\log \frac{[R]_0}{[R]} = \frac{K}{2.303} \times t$
इसे सरल रेखा के समीकरण $y = mx$ से तुलना करने पर,जहाँ $y = \log \frac{[R]_0}{[R]}$,$x = t$,और ढाल $m = \frac{K}{2.303}$ है।
अतः,ग्राफ की ढाल $\frac{K}{2.303}$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर समीकरण $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[R]_0}{[R]}$ है।
यहाँ सांद्रता प्रारंभिक मान के $1/16$ वें भाग तक कम हो जाती है,इसलिए $\frac{[R]_0}{[R]} = 16$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{k} \log(16)$.
$t = \frac{2.303}{60} \log(2^4) = \frac{2.303 \times 4 \times 0.3010}{60}$.
$t = \frac{2.303 \times 1.204}{60} \approx 0.0462 \text{ s}$.
अतः,$t = 4.6 \times 10^{-2} \text{ s}$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण $\log \frac{[R]_0}{[R]} = \frac{kt}{2.303}$ है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log \frac{[R]_0}{[R]}$,$x = t$,$m = \frac{k}{2.303}$,और $c = 0$ है।
चूंकि y-अंतःखंड $c$ का मान $0$ है,इसलिए $\log \frac{[R]_0}{[R]}$ बनाम $t$ का ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 40 \ minutes$।
समय को सेकंड में बदलने पर: $t_{1/2} = 40 \times 60 \ s = 2400 \ s$।
अब,वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ की गणना करें।
$k = \frac{0.693}{2400} \ s^{-1} = 0.00028875 \ s^{-1}$।
तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$k = 2.88 \times 10^{-4} \ s^{-1}$।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण $\log \frac{[R]_0}{[R]} = \frac{kt}{2.303}$ है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log \frac{[R]_0}{[R]}$,$x = t$,$m = \frac{k}{2.303}$,और $c = 0$ है।
चूंकि अंतःखंड $c = 0$ है,इसलिए $\log \frac{[R]_0}{[R]}$ बनाम $t$ का ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K$ का सूत्र है: $K = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[A]_0}{[A]_t} \right)$।
चूंकि अभिक्रिया $75 \%$ पूर्ण हो चुकी है,शेष सांद्रता $[A]_t = [A]_0 - 0.75 [A]_0 = 0.25 [A]_0$ है।
मान रखने पर: $K = \frac{2.303}{20} \log \left( \frac{[A]_0}{0.25 [A]_0} \right)$।
$K = \frac{2.303}{20} \log (4) = \frac{2.303}{20} \times 0.6021 \approx \frac{1.386}{20} = 0.0693 \ s^{-1}$।
वैकल्पिक रूप से,$t_{75\%} = 2 \times t_{1/2}$। चूंकि $t_{1/2} = \frac{0.693}{K}$,इसलिए $20 = 2 \times \frac{0.693}{K}$,जिससे $K = \frac{1.386}{20} = 0.0693 \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए, समाकलित दर समीकरण $t = \frac{2.303}{k} \log\left(\frac{[A]_0}{[A]}\right)$ है।
दिया गया है $k = 2.303 \times 10^{-2} \text{ s}^{-1}$ और $[A] = \frac{[A]_0}{10}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, $t = \frac{2.303}{2.303 \times 10^{-2}} \log\left(\frac{[A]_0}{[A]_0 / 10}\right)$.
$t = \frac{1}{10^{-2}} \log(10) = 10^2 \times 1 = 100 \text{ s}$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ का मान $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]}$ होता है।
अर्ध-आयु $(t = t_{1/2})$ पर,सांद्रता $[A] = \frac{[A]_0}{2}$ होती है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $k = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log \frac{[A]_0}{[A]_0/2} = \frac{2.303}{t_{1/2}} \log 2$.
अतः,$t_{1/2} = \frac{2.303 \times 0.3010}{k} = \frac{0.693}{k}$.
चूंकि $t_{1/2}$ केवल दर स्थिरांक $k$ पर निर्भर करता है और प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0$ पर नहीं,इसलिए यह सांद्रता से स्वतंत्र है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है: $[A]_0 = 0.05 \ M$,$[A]_t = 0.05 - 0.015 = 0.035 \ M$,और $t = 45 \ min$.
मान रखने पर: $k = \frac{2.303}{45} \log \frac{0.05}{0.035} = \frac{2.303}{45} \log (1.4286) \approx 0.02673 \ min^{-1}$.
अर्ध-आयु काल है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.02673} \approx 25.92 \ min$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ होता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 5 \ min$,इसलिए $k = \frac{0.693}{5} \ min^{-1}$.
$99.9 \%$ पूर्णता के लिए आवश्यक समय $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$99.9 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.001[A]_0$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{0.693/5} \log \frac{[A]_0}{0.001[A]_0}$.
$t = \frac{2.303 \times 5}{0.693} \log(1000)$.
चूंकि $\log(1000) = 3$,इसलिए $t \approx 3.32 \times 5 \times 3 = 49.8 \approx 50 \ min$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ का सूत्र है: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$।
दिया गया है $k = 5.5 \times 10^{-14} \ s^{-1}$।
सूत्र में $k$ का मान रखने पर:
$t_{1/2} = \frac{0.693}{5.5 \times 10^{-14}} \ s$।
$t_{1/2} = 0.126 \times 10^{14} \ s$।
$t_{1/2} = 1.26 \times 10^{13} \ s$।

(B) किसी अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2}$ प्रारंभिक सांद्रता $[R]_0$ से $t_{1/2} \propto [R]_0^{1-n}$ व्यंजक द्वारा संबंधित होती है,जहाँ $n$ अभिक्रिया की कोटि है।
यदि $t_{1/2}$ बनाम $[R]_0$ का आलेख $x$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है,तो इसका अर्थ है कि $t_{1/2}$ प्रारंभिक सांद्रता $[R]_0$ पर निर्भर नहीं करता है।
यह तब होता है जब $1-n = 0$,जिसका अर्थ है $n = 1$।
अतः,यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए वेग स्थिरांक की इकाई $s^{-1}$ होती है।

(C) अर्ध-आयु की संख्या $(n)$ की गणना इस प्रकार की जाती है: $n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{80 \ s}{20 \ s} = 4$.
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष अभिकारक की सांद्रता का सूत्र है: $[A_t] = [A_0] \times (\frac{1}{2})^n$.
मान रखने पर: $[A_t] = 0.2 \ M \times (\frac{1}{2})^4 = 0.2 \times \frac{1}{16} = 0.0125 \ M$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $t_{1/2} = 45 \ min$,इसलिए $k = \frac{0.693}{45} \ min^{-1}$.
$99.9 \%$ पूर्णता के लिए,शेष मात्रा $(a-x) = 100 - 99.9 = 0.1$ है।
आवश्यक समय $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{a}{a-x}$ है।
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{0.693 / 45} \log \frac{100}{0.1} = \frac{2.303 \times 45}{0.693} \log 1000$.
चूंकि $\log 1000 = 3$,इसलिए $t = \frac{2.303 \times 45 \times 3}{0.693} \approx 448.5 \ min$.
घंटों में बदलने पर: $t = \frac{448.5}{60} \approx 7.475 \ hrs \approx 7.5 \ hours$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण $t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]}$ है।
दिया गया है कि $99 \%$ अभिक्रिया पूर्ण हो चुकी है,इसलिए शेष सांद्रता $[R] = 100 \% - 99 \% = 1 \%$ प्रारंभिक सांद्रता $[R]_0$ है।
अतः,$[R] = 0.01 [R]_0 = \frac{[R]_0}{100}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[R]_0}{[R]_0 / 100} = \frac{2.303}{k} \log(100)$.
चूंकि $\log(100) = 2$,इसलिए $t = \frac{2.303 \times 2}{k} = \frac{4.606}{k}$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
$60 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.40[A]_0$ और $t = 50 \ min$.
$k = \frac{2.303}{50} \log 2.5$.
$93.6 \%$ पूर्णता के लिए,$[A]_t = 0.064[A]_0$.
$k = \frac{2.303}{t'} \log \frac{1}{0.064} = \frac{2.303}{t'} \log 15.625$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$t' = 50 \times \frac{\log 15.625}{\log 2.5} = 50 \times 3 = 150 \ min$.

(A) $1^{st}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष मात्रा का सूत्र: $[A] = [A]_0 \times (1/2)^n$ है।
अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{\text{कुल समय}}{\text{अर्ध-आयु}} = \frac{240 \ minutes}{60 \ minutes} = 4$.
शेष प्रतिशत $= (1/2)^n \times 100 = (1/2)^4 \times 100$.
शेष प्रतिशत $= \frac{1}{16} \times 100 = 6.25 \%$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]}$ है।
दिया गया है कि सांद्रता $1 \ hr$ $(60 \ min)$ में $12.5 \%$ हो जाती है,इसलिए $[A]_0 = 100$ और $[A] = 12.5$.
$k = \frac{2.303}{60} \log \frac{100}{12.5} = \frac{2.303}{60} \log 8 = 0.0346 \ min^{-1}$.
अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.0346} \approx 20 \ min$.

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ होता है।
यहाँ $t_{1/2} = 10 \ min$ है,इसलिए $k = \frac{0.693}{10} = 0.0693 \ min^{-1}$।
$20 \ min$ के बाद (जो $2 \times t_{1/2}$ है),सांद्रता $[A]$ प्रारंभिक सांद्रता की $\frac{1}{4}$ हो जाएगी।
$[A] = \frac{12}{4} = 3 \ M$।
अभिक्रिया की दर $Rate = k[A]$ द्वारा दी जाती है।
$Rate = 0.0693 \times 3 \ M \ min^{-1}$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,अर्ध-आयु $t_{1/2} = 25 \ min$ है।
$100 \ min$ में अर्ध-आयु की संख्या $n = \frac{100 \ min}{25 \ min} = 4$ है।
$n$ अर्ध-आयु के बाद शेष अभिकारक की मात्रा $\frac{A_0}{2^n}$ द्वारा दी जाती है।
शेष मात्रा $= \frac{100}{2^4} = \frac{100}{16} = 6.25 \%$.
उत्पाद में परिवर्तित अभिकारक की मात्रा $= 100 \% - 6.25 \% = 93.75 \%$.

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{a}{a-x}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $I$: दिया गया है $x = 60 \%$,$t = 20 \ min$,इसलिए $a-x = 40$.
$k = \frac{2.303}{20} \log \frac{100}{40} = \frac{2.303}{20} \log 2.5$.
$k = \frac{2.303}{20} \times 0.3979 \approx 0.0458 \ min^{-1}$.
स्थिति $II$: $84 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 84$,इसलिए $a-x = 16$.
$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{16} = \frac{2.303}{0.0458} \log 6.25$.
$t = \frac{2.303}{0.0458} \times 0.7959 \approx 40 \ min$.

(C) अभिक्रिया $A(g) \longrightarrow B(g) + C(g)$ है।
माना $A$ का प्रारंभिक दाब $P_i$ है।
$t = 0$ पर: $P_A = P_i$,$P_B = 0$,$P_C = 0$. कुल दाब $P_{total} = P_i = 180 \ mm \ of \ Hg$ (पूर्णता पर)।
$t = 20 \ min$ पर: $P_A = P_i - x$,$P_B = x$,$P_C = x$.
कुल दाब $P_t = (P_i - x) + x + x = P_i + x = 100 \ mm \ of \ Hg$.
यहाँ $2P_i = 180 \ mm \ of \ Hg$ है,इसलिए $P_i = 90 \ mm \ of \ Hg$।
$t = 20 \ min$ पर: $P_t = P_i + x = 100 \ mm \ of \ Hg$.
$90 + x = 100 \implies x = 10 \ mm \ of \ Hg$.
$20 \ min$ पर $A$ का आंशिक दाब $P_A = P_i - x = 90 - 10 = 80 \ mm \ of \ Hg$ है।

(A) अभिक्रिया $2A_{(g)} \longrightarrow B_{(g)} + C_{(s)}$ के लिए,मान लीजिए $A$ का प्रारंभिक दाब $P_0 = 2p$ है।
$t = \infty$ पर,$2A$ पूर्णतः उपभोग हो जाता है,अतः $P_{total} = P_B + P_C = p + p = 2p = 200 \ Pa$. अतः $p = 100 \ Pa$ और $P_0 = 200 \ Pa$.
$t = 10 \ min$ पर,$A$ का दाब $2p - x$,$B$ का $x/2$ और $C$ ठोस है।
$P_{total} = (2p - x) + x/2 = 2p - x/2 = 300 \ Pa$.
$2p = 200$ रखने पर,$200 - x/2 = 300$ प्राप्त होता है,जो डेटा में विसंगति दर्शाता है।
मानक मॉडल का उपयोग करते हुए,$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{P_A}$ से,$k = \frac{2.303}{10} \log \frac{400}{200} \approx 0.0693 \ min^{-1}$।

(A) अभिक्रिया $2 A_{(g)} \rightarrow B_{(g)} + C_{(s)}$ है।
माना $A$ का प्रारंभिक दबाव $P_0$ है।
$t = \infty$ (पूर्णता) पर,केवल $B_{(g)}$ उपस्थित है,इसलिए $P_B = P_0 / 2 = 200 \ Pa$,जिसका अर्थ है $P_0 = 400 \ Pa$.
$t = 10 \ min$ पर,माना $A$ का अभिक्रियाशील दबाव $2x$ है।
प्रारंभिक: $P_A = 400, P_B = 0, P_C = 0$.
$t = 10$ पर: $P_A = 400 - 2x, P_B = x, P_C = 0$ (क्योंकि $C$ ठोस है)।
कुल दबाव $P_t = (400 - 2x) + x = 400 - x = 300 \ Pa$.
इसलिए,$x = 100 \ Pa$.
$t = 10 \ min$ पर $A$ का आंशिक दबाव $P_A = 400 - 2(100) = 200 \ Pa$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{P_0}{P_A} \right)$.
$k = \frac{2.303}{10} \log \left( \frac{400}{200} \right) = \frac{2.303}{10} \log 2$.
$k = \frac{2.303 \times 0.3010}{10} \approx 0.0693 \ min^{-1}$.

(B) दिया गया है,अर्ध-आयु काल $t_{1/2} = 69.3 \ s$.
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k = \frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{69.3} = 10^{-2} \ s^{-1}$.
प्रथम कोटि की बलगतिकी के लिए,$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{P_0}{P_t}$,जहाँ $P_0$ प्रारंभिक दाब है और $P_t$ समय $t$ पर दाब है।
$10^{-2} = \frac{2.303}{230} \log \frac{0.4}{P_t}$.
$1 = \log \frac{0.4}{P_t} \implies \frac{0.4}{P_t} = 10 \implies P_t = 0.04 \ atm$.
अभिक्रिया $A_{(g)} \rightarrow P_{(g)} + Q_{(g)} + R_{(g)}$ से:
$t = 0$ पर,$P_A = 0.4 \ atm$,$P_P = 0, P_Q = 0, P_R = 0$.
$t = 230 \ s$ पर,$P_A = 0.04 \ atm$. $A$ के दाब में कमी $0.4 - 0.04 = 0.36 \ atm$ है।
स्टोइकियोमेट्री के अनुसार,निर्मित उत्पादों का दाब $P_P = 0.36 \ atm, P_Q = 0.36 \ atm, P_R = 0.36 \ atm$ है।
कुल दाब $P_{total} = P_A + P_P + P_Q + P_R = 0.04 + 0.36 + 0.36 + 0.36 = 1.12 \ atm$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर नियम है: $\text{Rate} = k[A]$.
दिए गए डेटा से,हम दर स्थिरांक $k$ ज्ञात कर सकते हैं:
$0.2 = k \times 0.02 \implies k = \frac{0.2}{0.02} = 10 \ \text{min}^{-1}$.
अब,$0.4$ दर का उपयोग करके $x$ ज्ञात करते हैं:
$0.4 = 10 \times x \implies x = 0.04 \ M$.
इसके बाद,$1.0$ दर का उपयोग करके $y$ ज्ञात करते हैं:
$1.0 = 10 \times y \implies y = 0.10 \ M$.
$x : y$ का अनुपात $0.04 : 0.10 = 4 : 10 = 2 : 5$ है।

(A) दिया गया है: $\Delta t = 25 \ min = 25 \times 60 \ s = 1500 \ s$.
सांद्रता में परिवर्तन $\Delta [R] = [R]_f - [R]_i = 0.02 - 0.03 = -0.01 \ mol \ L^{-1}$.
दर $= -\frac{\Delta [R]}{\Delta t} = -\frac{-0.01}{1500} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.
दर $= \frac{0.01}{1500} = \frac{1}{150000} = 6.667 \times 10^{-6} \ mol \ L^{-1} \ s^{-1}$.

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[X]_0}{[X]_t}$
दिया गया है $[X]_0 = 1.0 \ M$,$[X]_t = 0.25 \ M$,और $t = 40 \ min$:
$k = \frac{2.303}{40} \log \frac{1.0}{0.25} = \frac{2.303}{40} \log 4$
$k = \frac{2.303 \times 0.60}{40} = 0.034545 \ min^{-1}$
अब,जब $[X] = 0.1 \ M$ हो,तो अभिक्रिया की दर:
$Rate = k[X] = 0.034545 \times 0.1$
$Rate = 0.0034545 \ mol \ L^{-1} \ min^{-1} = 3.45 \times 10^{-3} \ mol \ L^{-1} \ min^{-1}$

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t$ समय के बाद सांद्रता $[A]_t = [A]_0 \times (1/2)^n$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ अर्ध-आयु की संख्या है।
यह दिया गया है कि सांद्रता प्रारंभिक सांद्रता की $1/8$ रह जाती है,इसलिए $(1/2)^n = 1/8$ है।
चूंकि $1/8 = (1/2)^3$,इसलिए $n = 3$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $75 \ minutes$ में $3$ अर्ध-आयु बीत चुकी हैं।
अतः,$3 \times t_{1/2} = 75 \ minutes$ है।
$t_{1/2} = 75 / 3 = 25 \ minutes$ है।
सबसे निकटतम विकल्प $25.1 \ minutes$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$f$ भाग पूर्ण करने में लगा समय $t = \frac{2.303}{k} \log(\frac{1}{1-f})$ द्वारा दिया जाता है।
अर्ध-आयु $(t_{1/2})$ के लिए,$f = 0.5$,अतः $t_{1/2} = \frac{2.303}{k} \log(2)$।
$\frac{3}{4}$ भाग पूर्ण करने के लिए,$f = 0.75$,अतः $t_{3/4} = \frac{2.303}{k} \log(\frac{1}{1-0.75}) = \frac{2.303}{k} \log(4) = \frac{2.303}{k} \log(2^2) = 2 \times \frac{2.303}{k} \log(2)$।
अतः,अनुपात $\frac{t_{3/4}}{t_{1/2}} = \frac{2 \times \frac{2.303}{k} \log(2)}{\frac{2.303}{k} \log(2)} = 2$।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$।
दिया गया है,$k = 4.606 \times 10^{-3} \ s^{-1}$ और $[A]_t = \frac{1}{10} [A]_0$,इसलिए $\frac{[A]_0}{[A]_t} = 10$।
मान रखने पर: $4.606 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t} \log(10)$।
चूंकि $\log(10) = 1$,इसलिए $4.606 \times 10^{-3} = \frac{2.303}{t}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{2.303}{4.606 \times 10^{-3}} = \frac{1}{2} \times 10^3 = 500 \ s$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण इस प्रकार है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है:
$k = 2.303 \times 10^{-3} \ s^{-1}$
$[A]_0 = 4 \ g$
$[A]_t = 0.2 \ g$
मान रखने पर:
$t = \frac{2.303}{2.303 \times 10^{-3}} \log \frac{4}{0.2}$
$t = \frac{1}{10^{-3}} \log 20$
$t = 1000 \times 1.301 = 1301 \ s$
समय को घंटों में बदलने पर:
$t = \frac{1301}{3600} \approx 0.36 \ hours$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ का सूत्र है: $k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{a}{a-x} \right)$।
$10 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 0.1a$ और $t = 20 \text{ min}$।
$k = \frac{2.303}{20} \log \left( \frac{a}{0.9a} \right) = \frac{2.303}{20} \log \left( \frac{1}{0.9} \right)$।
$19 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 0.19a$ और $t = ?$।
$k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{a}{0.81a} \right) = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{1}{0.81} \right) = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{1}{0.9^2} \right) = \frac{2.303}{t} \times 2 \log \left( \frac{1}{0.9} \right)$।
$k$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{2.303}{20} \log \left( \frac{1}{0.9} \right) = \frac{2.303}{t} \times 2 \log \left( \frac{1}{0.9} \right)$।
$\frac{1}{20} = \frac{2}{t} \implies t = 40 \text{ मिनट}$।

(B) $10:00 \ am$ और $11:30 \ am$ के बीच का समय अंतराल $t = 90 \ min$ है।
$10:00 \ am$ पर,$20 \%$ पूर्ण हो चुकी है,इसलिए शेष सांद्रता प्रारंभिक सांद्रता $([A]_0)$ का $80 \%$ है।
$11:30 \ am$ पर,$20 \%$ शेष है,इसलिए $[A]_t = 0.20 [A]_0$ है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए दर स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_{initial}}{[A]_{final}}$ है।
मान रखने पर: $k = \frac{2.303}{90} \log \frac{0.80 [A]_0}{0.20 [A]_0} = \frac{2.303}{90} \log 4$।
$\log 4 \approx 0.602$ का उपयोग करने पर,$k = \frac{2.303 \times 0.602}{90} \approx 0.0154 \ min^{-1}$।
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.0154} \approx 45 \ min$।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर समीकरण है:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है: $K = 4.606 \times 10^{-3} \ s^{-1}$
यदि प्रारंभिक मात्रा का $90 \%$ अपघटित हो जाता है,तो शेष मात्रा $[A]_t = 100 \% - 90 \% = 10 \%$ होगी।
मान लीजिए $[A]_0 = 100$,तो $[A]_t = 10$ होगा।
मान रखने पर:
$t = \frac{2.303}{4.606 \times 10^{-3}} \log \frac{100}{10}$
$t = \frac{2.303}{4.606 \times 10^{-3}} \log(10)$
चूंकि $\log(10) = 1$:
$t = \frac{2.303}{4.606 \times 10^{-3}} \times 1 = 0.5 \times 10^3 = 500 \ s$.

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $K$ का सूत्र है:
$K = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
दिया गया है $K = 3.3 \times 10^{-4} \ s^{-1}$ और अभिक्रिया $90 \%$ पूर्ण होती है,इसलिए $[A]_t = 0.10[A]_0$।
मान रखने पर:
$3.3 \times 10^{-4} = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{0.10[A]_0}$
$3.3 \times 10^{-4} = \frac{2.303}{t} \log(10)$
चूंकि $\log(10) = 1$ है:
$t = \frac{2.303}{3.3 \times 10^{-4}} \ s$
$t \approx 6978 \ s$
समय को मिनट में बदलने पर:
$t = \frac{6978}{60} \ min \approx 116.3 \ min$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $116.67 \ min$ है।

(C) अभिक्रिया $A_{(g)} \rightarrow B_{(g)} + 2C_{(g)}$ के लिए,मान लीजिए $t = 0$ पर $A$ की प्रारंभिक सांद्रता $100 \ M$ है।
$t = 24 \ min$ पर,मान लीजिए $A$ की अभिक्रिया करने वाली सांद्रता $x$ है।
$A$ की शेष सांद्रता $= 100 - x$.
$B$ की सांद्रता $= x$ और $C$ की सांद्रता $= 2x$.
उत्पादों की कुल सांद्रता $= x + 2x = 3x$.
दिया गया है कि उत्पादों और अभिकारक का अनुपात $1:3$ है,इसलिए $\frac{3x}{100 - x} = \frac{1}{3}$.
$9x = 100 - x \implies 10x = 100 \implies x = 10$.
$A$ की शेष सांद्रता $[A]_t = 100 - 10 = 90$.
वेग स्थिरांक $k = \frac{2.303}{t} \log(\frac{[A]_0}{[A]_t}) = \frac{2.303}{24} \log(\frac{100}{90}) = \frac{2.303}{24} \log(1.11)$.
$\log 1.11 = 0.046$ का उपयोग करते हुए,$k = \frac{2.303 \times 0.046}{24} \approx 0.004415 \ min^{-1}$.
अर्ध-आयु $t_{1/2} = \frac{0.693}{k} = \frac{0.693}{0.004415} \approx 157.19 \ min$,जो लगभग $157.8 \ min$ है।

(D) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित दर समीकरण है: $\ln(a-x) = -Kt + \ln a$।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \ln(a-x)$,$x = \text{समय}$,ढाल $m = -K$,और अंतःखंड $c = \ln a$ है।
दिए गए ग्राफ से:
अंतःखंड $c = -2.303 = \ln a$।
अतः,$a = e^{-2.303} \approx 10^{-1} \ mol \ L^{-1}$।
ढाल $m = -(10)^{-2} = -K$।
अतः,$K = 10^{-2} \ s^{-1}$।
इस प्रकार,दर स्थिरांक $10^{-2} \ s^{-1}$ और प्रारंभिक सांद्रता $10^{-1} \ mol \ L^{-1}$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समाकलित वेग समीकरण $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ है।
दिया गया है कि $93.75 \%$ अभिक्रिया पूर्ण हो चुकी है,अतः शेष सांद्रता $[A]_t = [A]_0 - 0.9375[A]_0 = 0.0625[A]_0$ है।
$t = x$ के लिए वेग समीकरण में यह मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{x} \log \frac{[A]_0}{0.0625[A]_0} = \frac{2.303}{x} \log(16) = \frac{2.303}{x} \log(2^4) = \frac{2.303 \times 4 \times \log(2)}{x} = \frac{4 \times 0.693}{x}$.
हम जानते हैं कि अर्ध-आयु काल $t_{1/2}$ के लिए $k = \frac{0.693}{t_{1/2}}$ होता है।
$k$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{0.693}{t_{1/2}} = \frac{4 \times 0.693}{x}$.
अतः,$t_{1/2} = \frac{x}{4}$ मिनट।

(A) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का सूत्र है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]}$
दिए गए मान हैं:
$t = 5 \ min$
$[A]_0 = 0.6 \ mol \ L^{-1}$
$[A] = 0.2 \ mol \ L^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$k = \frac{2.303}{5} \log \frac{0.6}{0.2}$
$k = \frac{2.303}{5} \log 3$
$\log 3 = 0.4771$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{2.303 \times 0.4771}{5}$
$k = \frac{1.0988}{5} = 0.21976 \ min^{-1} \approx 0.219 \ min^{-1}$

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया $A \longrightarrow B$ के लिए:
$B$ के निर्माण की दर $R = \frac{d[B]}{dt} = k[A]$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम कोटि की बलगतिकी के लिए,समय $t$ पर अभिकारक $A$ की सांद्रता $[A] = [A]_0 e^{-kt}$ होती है।
इसे दर व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $R = k[A]_0 e^{-kt}$।
यह समीकरण दर्शाता है कि दर $R$ समय $t$ के साथ चरघातांकी रूप से घटती है। अतः,$R$ बनाम $t$ का ग्राफ एक चरघातांकी क्षय वक्र है।

(B) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,दर स्थिरांक $k$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$
यह दिया गया है कि $80 \%$ अभिक्रिया पूर्ण हो चुकी है,इसलिए:
$[A]_0 = 100$
$[A]_t = 100 - 80 = 20$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$k = \frac{2.303}{t} \log \frac{100}{20}$
$k = \frac{2.303}{t} \log 5$
चूंकि $\log 5 \approx 0.699$,हमें प्राप्त होता है:
$k = \frac{2.303 \times 0.699}{t}$
$k \approx \frac{1.609}{t}$
अतः,आवश्यक समय $t$ है:
$t \approx \frac{1.6}{k}$

(A) दिया गया है: वेग स्थिरांक $k = 4.606 \times 10^{-3} \ s^{-1}$.
प्रारंभिक सांद्रता $[A]_0 = 400 \ g$.
अंतिम सांद्रता $[A]_t = 50 \ g$.
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए सूत्र: $k = \frac{2.303}{t} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$.
मान रखने पर: $t = \frac{2.303}{4.606 \times 10^{-3}} \log \frac{400}{50}$.
$t = \frac{2.303}{4.606 \times 10^{-3}} \log 8$.
$t = \frac{2.303}{4.606 \times 10^{-3}} \times 0.9030$.
$t = 0.5 \times 10^3 \times 0.9030 = 451.5 \ s$.
मिनट में बदलने पर: $t = \frac{451.5}{60} \ min = 7.525 \ min \approx 7.52 \ min$.

(C) $1^{\text{st}}$ कोटि की अभिक्रिया के लिए,समाकलित वेग समीकरण है:
$t = \frac{2.303}{k} \log \left(\frac{a}{a-x}\right)$
$\left(\frac{3}{4}\right)^{\text{th}}$ आयु के लिए,$x = \frac{3}{4}a$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$t_{3/4} = \frac{2.303}{k} \log \left(\frac{a}{a - \frac{3}{4}a}\right)$
$t_{3/4} = \frac{2.303}{k} \log \left(\frac{a}{\frac{1}{4}a}\right)$
$t_{3/4} = \frac{2.303}{k} \log (4)$

(C) $k$ की इकाई $s^{-1}$ है,जो दर्शाती है कि यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।
प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,$t = \frac{2.303}{k} \log \frac{[A]_0}{[A]_t}$ सूत्र का उपयोग किया जाता है।
$t_{99.9}$ के लिए,शेष सांद्रता प्रारंभिक सांद्रता का $0.1 \%$ है,इसलिए $t_{99.9} = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{0.1} = \frac{2.303}{k} \log 1000 = \frac{2.303 \times 3}{k}$।
$t_{50}$ के लिए,यह अर्ध-आयु काल है,$t_{50} = \frac{0.693}{k} = \frac{2.303 \times 0.301}{k}$।
अनुपात $\frac{t_{99.9}}{t_{50}} = \frac{3 \times 2.303 / k}{0.301 \times 2.303 / k} = \frac{3}{0.301} \approx 10$।