Collision theory, Energy of activation and Arrhenius equation Questions in Hindi

(B) आरेनियस समीकरण: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
दिया गया है: $\frac{K_2}{K_1} = 2$,$T_1 = 300 \, K$,$T_2 = 310 \, K$,$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$.
मान रखने पर: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right]$
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \times \frac{10}{93000}$
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 93000}{10} \approx 53598 \, J \, mol^{-1} \approx 53.6 \, kJ \, mol^{-1}$.
निकटतम पूर्णांक में,सक्रियण ऊर्जा $54 \, kJ \, mol^{-1}$ है।

(D) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$k = A e^{-E_a / RT}$ होता है।
जब सक्रियण ऊर्जा $E_a = 0$ होती है,तो समीकरण $k = A e^0 = A$ हो जाता है।
चूंकि $A$ (आवृत्ति कारक) एक स्थिरांक है,इसलिए दर स्थिरांक $k$ तापमान से स्वतंत्र हो जाता है।

(C) वेग स्थिरांक $k$ को आर्हेनियस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $k = p Z e^{-E_a/RT}$।
अभिक्रिया के अधिक तेजी से आगे बढ़ने के लिए,वेग स्थिरांक $k$ का मान बढ़ना चाहिए।
समीकरण $k = p Z e^{-E_a/RT}$ में,$p$ स्टेरिक कारक है,$Z$ टक्कर आवृत्ति है,$E_a$ सक्रियण ऊर्जा है,$R$ गैस स्थिरांक है और $T$ तापमान है।
$k$ को बढ़ाने के लिए,घातांकीय पद $e^{-E_a/RT}$ का मान बढ़ना चाहिए।
यह तब होता है जब घातांक $-E_a/RT$ कम ऋणात्मक हो जाता है,जो तब होता है यदि सक्रियण ऊर्जा $E_a$ कम हो जाए या तापमान $T$ बढ़ जाए।
इसलिए,सक्रियण ऊर्जा $E_a$ में कमी होने से अभिक्रिया अधिक तेजी से आगे बढ़ेगी।

(C) एक ऊष्माशोषी अभिक्रिया में,उत्पादों $(P)$ की स्थितिज ऊर्जा अभिकारकों $(R)$ की तुलना में अधिक होती है।
सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ संक्रमण अवस्था (वक्र का शीर्ष) और अभिकारकों $(R)$ के बीच का ऊर्जा अंतर है।
आरेख $C$ दर्शाता है कि उत्पादों की ऊर्जा अभिकारकों से अधिक है (ऊष्माशोषी) और ऊर्जा अवरोध (शीर्ष) अभिकारक की ऊर्जा से काफी अधिक है,जो उच्च सक्रियण ऊर्जा को इंगित करता है।

(A) ऊष्माशोषी अभिक्रिया के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H$ धनात्मक $(+ve)$ होता है।
एन्थैल्पी परिवर्तन,अग्र सक्रियण ऊर्जा $(E_f)$ और पश्च सक्रियण ऊर्जा $(E_b)$ के बीच का संबंध समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta H = E_f - E_b$।
चूंकि $\Delta H > 0$,इसलिए $E_f - E_b > 0$,जिसका अर्थ है कि $E_f > E_b$ या $E_b < E_f$।

(A) आरेनियस समीकरण वेग स्थिरांक $(k)$ और तापमान $(T)$ के बीच संबंध को इस प्रकार दर्शाता है:
$k = A e^{-E_a/RT}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\ln k = \ln A - \frac{E_a}{RT}$
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(C) आरेनियस समीकरण $K = A \, e^{-E_a / RT}$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln \, K = \ln \, A - \frac{E_a}{RT}$ प्राप्त होता है।
इसे $10$ के आधार में बदलने के लिए $2.303$ से विभाजित करने पर,$\log \, K = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, RT}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = \log \, K$ और $x = \frac{1}{T}$ है,ढाल $m = -\frac{E_a}{2.303 \, R}$ होती है।

(C) ऊष्माशोषी अभिक्रिया के लिए,एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H$ धनात्मक होता है।
अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(f)})$,पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a(b)})$ और अभिक्रिया की एन्थैल्पी के बीच संबंध इस समीकरण द्वारा दिया जाता है: $E_{a(f)} = E_{a(b)} + \Delta H$।
चूँकि किसी भी अभिक्रिया के होने के लिए $E_{a(b)}$ हमेशा एक धनात्मक मान होना चाहिए,इसलिए $E_{a(f)} > \Delta H$ होता है।
अतः,सक्रियण ऊर्जा का न्यूनतम मान $\Delta H$ से अधिक होता है।

(C) आरेनियस समीकरण के अनुसार,$K = A e^{-E_a / RT}$ होता है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln K = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि दिए गए तापमान और आवृत्ति कारक $A$ के लिए दर स्थिरांक $K$,सक्रियण ऊर्जा $E_a$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
चूंकि $K' = 2K''$,इसका अर्थ है कि $K' > K''$ है।
इसलिए,जिस अभिक्रिया का दर स्थिरांक अधिक होता है,उसकी सक्रियण ऊर्जा कम होती है।
अतः,${E_a}' < {E_a}''$।

(B) आर्हेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a / RT}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे ही $T \to \infty$ होता है,पद $\frac{E_a}{RT} \to 0$ हो जाता है।
अतः,दर स्थिरांक $k$ प्री-एक्सपोनेंशियल फैक्टर $A$ (आर्हेनियस पैरामीटर) के बराबर हो जाता है।
चूंकि आर्हेनियस पैरामीटर $A = 6.0 \times 10^{14}\,s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए $T \to \infty$ पर दर स्थिरांक का मान $6.0 \times 10^{14}\,s^{-1}$ होगा।

(A) दी गई अभिक्रिया के लिए,$\Delta H = -44.12 \ kcal$ है। चूंकि $\Delta H < 0$,अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी है।
हम जानते हैं कि एन्थैल्पी परिवर्तन और सक्रियण ऊर्जा के बीच संबंध $\Delta H = E_f - E_b$ है,जहाँ $E_f$ अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_2)$ है और $E_b$ पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_1)$ है।
अतः,$\Delta H = E_2 - E_1$ है।
चूंकि $\Delta H$ ऋणात्मक है,$E_2 - E_1 < 0$,जिसका अर्थ है कि $E_1 > E_2$।

(A) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E^*/RT}$ है।
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर,$\log \, k = \log \, A - \frac{E^*}{2.303 R} \cdot \frac{1}{T}$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = mx + c$ के रैखिक रूप का प्रतिनिधित्व करता है,जहाँ $y = \log \, k$ और $x = \frac{1}{T}$ है।
$\log \, k$ बनाम $\frac{1}{T}$ का ग्राफ खींचने पर एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जिसका ढाल (slope) $-\frac{E^*}{2.303 R}$ के बराबर होता है।
इस प्रकार,इस ढाल से सक्रियण ऊर्जा $E^*$ निर्धारित की जा सकती है।

(C) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ का निर्धारण दो अलग-अलग तापमानों ($T_1$ और $T_2$) पर आर्हेनियस समीकरण का उपयोग करके किया जाता है।
आर्हेनियस समीकरण के अनुसार: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$.
दो अलग-अलग तापमानों पर दर स्थिरांकों ($K_1$ और $K_2$) को मापकर,सक्रियण ऊर्जा की गणना की जा सकती है।

(A) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \times R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
दिया गया है: $E_a = 9000 \, cal/mol$,$R \approx 2 \, cal \, K^{-1} \, mol^{-1}$,$T_1 = 298 \, K$,$T_2 = 308 \, K$.
गणना करने पर $\frac{K_2}{K_1} \approx 1.632$ प्राप्त होता है।
प्रतिशत वृद्धि = $\frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100 = 63.2 \% \approx 63 \%$.
सबसे निकटतम विकल्प $65 \%$ है।

(D) अभिक्रिया का एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{af})$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{ab})$ के अंतर द्वारा दिया जाता है।
$\Delta H = E_{af} - E_{ab}$
प्रारंभ में,$\Delta H = 180 \ kJ \ mol^{-1} - 200 \ kJ \ mol^{-1} = -20 \ kJ \ mol^{-1}$।
उत्प्रेरक अग्र और पश्च दोनों अभिक्रियाओं की सक्रियण ऊर्जा को समान मात्रा $(100 \ kJ \ mol^{-1})$ से कम करता है।
नई $E_{af}' = 180 - 100 = 80 \ kJ \ mol^{-1}$।
नई $E_{ab}' = 200 - 100 = 100 \ kJ \ mol^{-1}$।
नई $\Delta H' = E_{af}' - E_{ab}' = 80 - 100 = -20 \ kJ \ mol^{-1}$।
चूंकि उत्प्रेरक अभिक्रिया की एन्थैल्पी को नहीं बदलता है,इसलिए मान $-20 \ kJ \ mol^{-1}$ ही रहता है।

(C) आर्हेनियस समीकरण $k = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$ है।
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर,$\ln \, k = \ln \, A - \frac{E_a}{RT}$ प्राप्त होता है।
आधार $10$ के लघुगणक में बदलने पर,$\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, R} \cdot \frac{1}{T}$ प्राप्त होता है।
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = \log \, k$,$x = 1/T$,$m = -E_a / (2.303 \, R)$,और $c = \log \, A$ है।
अतः,$\log \, k$ और $1/T$ के बीच का आलेख एक सीधी रेखा देता है।

(B) चूंकि $K_1 = K_2$ दिया गया है:
$10^{16} \cdot e^{-2000/T} = 10^{15} \cdot e^{-1000/T}$
दोनों पक्षों को $10^{15}$ और $e^{-1000/T}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10^{16}}{10^{15}} = \frac{e^{-1000/T}}{e^{-2000/T}}$
$10 = e^{(-1000/T) - (-2000/T)}$
$10 = e^{1000/T}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक $(\ln)$ लेने पर:
$\ln(10) = \frac{1000}{T}$
$2.303 \cdot \log_{10}(10) = \frac{1000}{T}$
$2.303 = \frac{1000}{T}$
अतः,$T = \frac{1000}{2.303} \, K$.

(B) रासायनिक अभिक्रियाओं के टक्कर सिद्धांत के अनुसार,अभिक्रिया होने के लिए अभिकारक अणुओं का आपस में टकराना आवश्यक है।
हालाँकि,सभी टक्करें उत्पाद के निर्माण में परिणत नहीं होती हैं।
केवल वे टक्करें जिनमें अणुओं के पास सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ के बराबर या उससे अधिक ऊर्जा होती है और उचित अभिविन्यास होता है,उन्हें 'प्रभावी' या 'सफल' टक्कर माना जाता है।
इसलिए,यह कथन कि 'अभिकारकों के बीच होने वाली सभी टक्करें उत्पाद बनाती हैं' गलत है।

(D) अग्र अभिक्रिया $A \rightarrow B$ के लिए,सक्रियण ऊर्जा $E_a(f) = 17 \, kJ/mol$ है।
चूंकि अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी है,इसलिए एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H = -40 \, kJ/mol$ है।
अग्र $(E_a(f))$ और प्रतिवर्ती $(E_a(r))$ अभिक्रियाओं की सक्रियण ऊर्जा के बीच संबंध: $\Delta H = E_a(f) - E_a(r)$ है।
मान रखने पर: $-40 = 17 - E_a(r)$।
अतः,$E_a(r) = 17 + 40 = 57 \, kJ/mol$।

(C) दिया गया है: $T_1 = 27\,^oC = 300\,K$,$k_1 = k$
$T_2 = 37\,^oC = 310\,K$,$k_2 = 2k$
आरेनियस समीकरण का उपयोग करने पर: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$
मान रखने पर:
$\log \frac{2k}{k} = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \times \frac{310 - 300}{300 \times 310}$
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \times \frac{10}{93000}$
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \times 0.0001075$
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147}{0.0001075} \approx 53598.6\,J\,mol^{-1}$
$E_a \approx 53.6\,kJ\,mol^{-1}$

(A) आरेनियस समीकरण के अनुसार: $k = Ae^{-E_a/RT}$
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303R} \times \frac{1}{T}$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $(m)$ प्राप्त होता है: $m = -\frac{E_a}{2.303R}$
यहाँ ढाल $-8000$ दिया गया है,इसलिए: $\frac{E_a}{2.303R} = 8000$
$R = 1.987 \, cal \, K^{-1} \, mol^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$E_a = 8000 \times 2.303 \times 1.987$
$E_a = 36608 \, cal \, mol^{-1}$

(C) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ अभिक्रिया के होने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा है।
यह अभिक्रिया की क्रियाविधि और संक्रमण अवस्था का एक अभिलक्षणिक गुण है,जो अभिकारकों की प्रकृति और पथ पर निर्भर करता है,न कि रासायनिक समीकरण को संतुलित करने के लिए उपयोग किए गए रससमीकरणमितीय गुणांकों पर।
जब हम एक संतुलित रासायनिक समीकरण के रससमीकरणमितीय गुणांकों को किसी स्थिर संख्या से गुणा या भाग करते हैं,तो अभिक्रिया का पथ और संक्रमण अवस्था समान रहती है।
इसलिए,रससमीकरणमितीय गुणांकों के बावजूद सक्रियण ऊर्जा $E_a$ अपरिवर्तित रहती है।
अतः,$E_a = E_a'$।

(B) दर स्थिरांक $(K)$ अभिकारकों की सांद्रता से स्वतंत्र होता है।
यह केवल अभिक्रिया के तापमान पर निर्भर करता है।
आरेनियस समीकरण $K = Ae^{-E_a/RT}$ के अनुसार,तापमान $(T)$ बढ़ाने पर दर स्थिरांक $(K)$ का मान बढ़ता है।

(D) आरेनियस समीकरण $\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, RT}$ है।
दिए गए समीकरण $\log \, k = - \frac{2000}{T} + 6$ के साथ तुलना करने पर:
$\log \, A = 6 \implies A = 10^6 \, s^{-1}$.
$\frac{E_a}{2.303 \, R} = 2000$.
$E_a = 2000 \times 2.303 \times 8.314 \, J \, mol^{-1} \approx 38.3 \, kJ \, mol^{-1}$.

(C) उत्क्रमणीय अभिक्रिया $A \rightleftharpoons B$ के लिए,अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,f})$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,b})$ के बीच संबंध $\Delta H = E_{a,f} - E_{a,b}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि अभिक्रिया ऊष्माक्षेपी $(\Delta H < 0)$ है,तो $E_{a,b} > E_{a,f}$ होता है।
यदि अभिक्रिया ऊष्माशोषी $(\Delta H > 0)$ है,तो $E_{a,b} < E_{a,f}$ होता है।
अतः,पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा अभिक्रिया के एन्थैल्पी परिवर्तन पर निर्भर करती है,इसलिए यह $E_a$ से अधिक या कम हो सकती है।

(B) आर्हेनियस समीकरण $k = A \cdot e^{-E_a / (RT)}$ है।
जैसे-जैसे $T \rightarrow \infty$ होता है,घातांक पद $-E_a / (RT) \rightarrow 0$ हो जाता है।
इसलिए,$e^{-E_a / (RT)} \rightarrow e^0 = 1$ हो जाता है।
अतः,दर स्थिरांक $k$ आर्हेनियस कारक $A$ के बराबर हो जाता है।
दिया गया है $A = 6.0 \times 10^{14} \, s^{-1}$,इसलिए $T \rightarrow \infty$ पर दर स्थिरांक का मान $6.0 \times 10^{14} \, s^{-1}$ होगा।

(A) अभिक्रिया की दर $2^{\Delta T/10}$ के गुणक से बढ़ती है,जहाँ $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
दिया गया है,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0\,^{\circ}C$ और अंतिम तापमान $T_2 = 50\,^{\circ}C$ है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 50\,^{\circ}C - 0\,^{\circ}C = 50\,^{\circ}C$ है।
$10\,^{\circ}C$ के अंतरालों की संख्या $n = \frac{50}{10} = 5$ है।
अतः,अभिक्रिया की दर $2^n = 2^5 = 32$ गुना बढ़ जाएगी।

(B) तापमान में प्रत्येक $10^\circ C$ की वृद्धि के साथ अभिक्रिया की दर दोगुनी हो जाती है।
$10^\circ C$ के अंतरालों की संख्या $n = \frac{100^\circ C - 10^\circ C}{10^\circ C} = 9$ है।
दर में वृद्धि $2^n$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
अतः,दर में वृद्धि का कारक $2^9 = 512$ गुना होगा।

(B) ऊष्माशोषी अभिक्रिया के लिए,उत्पादों की ऊर्जा अभिकारकों की ऊर्जा से अधिक होती है।
गणितीय रूप से,एन्थैल्पी परिवर्तन $\Delta H = E_f - E_b > 0$ होता है।
इसका अर्थ है कि $E_f > E_b$,जिसे $E_b < E_f$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया है: तापमान गुणांक $= \frac{K_2}{K_1} = 2$.
$T_1 = 25^{\circ}C = 298 \ K$,$T_2 = 35^{\circ}C = 308 \ K$.
आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$.
मान रखने पर: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left( \frac{308 - 298}{298 \times 308} \right)$.
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \left( \frac{10}{91784} \right)$.
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 91784}{10} \approx 52897 \ J/mol \approx 52.9 \ kJ/mol$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$E_a = 52.31 \ kJ/mol$.

(B) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,तापमान $T$ पर दर स्थिरांक $k = A e^{-E_a/RT}$ होता है।
दो अलग-अलग तापमानों $T_1$ और $T_2$ के लिए:
$\ln k_1 = \ln A - \frac{E_a}{RT_1}$ और $\ln k_2 = \ln A - \frac{E_a}{RT_2}$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$\ln k_2 - \ln k_1 = \frac{E_a}{RT_1} - \frac{E_a}{RT_2} = \frac{E_a}{R} \left( \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2} \right) = \frac{E_a}{R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$.
$10$ के आधार वाले लघुगणक में बदलने पर:
$\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303 R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$.
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर:
$\log \frac{k_1}{k_2} = \frac{E_a}{2.303 R} \left( \frac{T_1 - T_2}{T_1 T_2} \right)$.

(A) आर्हेनियस समीकरण $k = Ae^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे-जैसे तापमान $(T)$ बढ़ता है,पद $e^{-E_a/RT}$ घातीय रूप से बढ़ता है।
इसलिए,तापमान $(T)$ में वृद्धि के साथ वेग स्थिरांक $(k)$ घातीय रूप से बढ़ता है।
यह संबंध एक घातीय वृद्धि वक्र द्वारा दर्शाया जाता है,जो विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए:
$\log_{10} \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303 \times R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 \times T_2} \right]$
दिया गया है:
$\frac{K_2}{K_1} = 3$,
$R = 8.314 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$,
$T_1 = 20 + 273 = 293 \, K$,
$T_2 = 50 + 273 = 323 \, K$,
$\log_{10} 3 \approx 0.4771$.
मान रखने पर:
$0.4771 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{323 - 293}{323 \times 293} \right]$
$E_a = \frac{0.4771 \times 2.303 \times 8.314 \times 323 \times 293}{30}$
$E_a \approx 28811.8 \, J \, mol^{-1} = 28.81 \, kJ \, mol^{-1}$.

(C) तापमान गुणांक $\mu = 2$ है।
वेग स्थिरांक और तापमान परिवर्तन के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\frac{K_2}{K_1} = \mu^{\frac{\Delta T}{10}}$
यहाँ $\Delta T = 50^\circ \text{C}$ और $\mu = 2$ दिया गया है:
$\frac{K_2}{K_1} = 2^{\frac{50}{10}}$
$\frac{K_2}{K_1} = 2^5 = 32$
अतः,अभिक्रिया का वेग $32$ गुना बढ़ जाएगा।

(B) आर्हेनियस समीकरण $K = A e^{-E_a/RT}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln K = \ln A - \frac{E_a}{RT}$ प्राप्त होता है।
तापमान $T$ के सापेक्ष दोनों तरफ अवकलन करने पर,$\frac{d}{dT}(\ln K) = \frac{d}{dT}(\ln A) - \frac{d}{dT}(\frac{E_a}{RT})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A$ और $E_a$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{d}{dT}(\ln A) = 0$ होता है।
अतः,$\frac{d}{dT}(\ln K) = -E_a \cdot \frac{d}{dT}(T^{-1}) = -E_a \cdot (-T^{-2}) = \frac{E_a}{RT^2}$।

(A) एंजाइम जैविक उत्प्रेरक के रूप में कार्य करते हैं।
उत्प्रेरक अभिक्रिया के लिए एक वैकल्पिक मार्ग प्रदान करते हैं जिसकी सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ कम होती है।
सक्रियण ऊर्जा को कम करके,प्रभावी टक्करों की संख्या बढ़ जाती है,जिससे अभिक्रिया की दर काफी बढ़ जाती है।
इसलिए,एंजाइमों की उपस्थिति में अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ कम हो जाती है।

(C) आरेनियस समीकरण $k = A e^{-E_a/RT}$ है।
$k$ को $A$ के बराबर होने के लिए,घातांकीय पद $e^{-E_a/RT}$ का मान $1$ होना चाहिए।
यह तब होता है जब घातांक $-E_a/RT = 0$ हो।
जैसे-जैसे $T \to \infty$ होता है,पद $E_a/RT$ का मान $0$ की ओर जाता है,और $e^0 = 1$ होता है।
अतः,जब $T \to \infty$ होता है तब $k = A$ होता है।

(D) एंजाइम जैविक उत्प्रेरक के रूप में कार्य करते हैं जो सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ को कम करके अभिक्रिया की दर को बढ़ाते हैं।
चूंकि एंजाइम की उपस्थिति में अभिक्रिया की दर काफी बढ़ जाती है,इसलिए उत्प्रेरित अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा,उत्प्रेरक रहित अभिक्रिया की तुलना में कम होती है।
हालाँकि,विशिष्ट आरेनियस मापदंडों या तापमान को जाने बिना केवल दर वृद्धि कारक से सक्रियण ऊर्जा का सटीक मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

(B) आरेनियस समीकरण: $\log \frac{K_2}{K_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right)$.
दिया गया है: $T_1 = 298 \, K$,$T_2 = 308 \, K$,और $K_2 = 2K_1$.
मान रखने पर: $\log 2 = \frac{E_a}{2.303R} \left( \frac{10}{298 \times 308} \right)$.
$E_a$ के लिए हल करने पर: $E_a = \frac{2.303 \times R \times 298 \times 308 \times \log 2}{10}$.

(D) एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,f})$ और पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,b})$ का अंतर होता है।
$\Delta H = E_{a,f} - E_{a,b}$
उत्प्रेरक अभिक्रिया की एन्थैल्पी को परिवर्तित नहीं करता है।
प्रारंभिक स्थिति में: $\Delta H = 180 - 200 = -20 \, kJ \, mol^{-1}$
उत्प्रेरक की उपस्थिति में,नई सक्रियण ऊर्जा:
$E'_{a,f} = 180 - 100 = 80 \, kJ \, mol^{-1}$
$E'_{a,b} = 200 - 100 = 100 \, kJ \, mol^{-1}$
नया एन्थैल्पी परिवर्तन: $\Delta H' = E'_{a,f} - E'_{a,b} = 80 - 100 = -20 \, kJ \, mol^{-1}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) अग्र अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,f})$,पश्च अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,r})$ और एन्थैल्पी परिवर्तन $(\Delta H)$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\Delta H = E_{a,f} - E_{a,r}$.
दिया गया है: $E_{a,f} = 60 \ kJ \ mol^{-1}$ और $\Delta H = -20 \ kJ \ mol^{-1}$.
समीकरण में मान रखने पर: $-20 = 60 - E_{a,r}$.
$E_{a,r}$ के लिए हल करने पर: $E_{a,r} = 60 + 20 = 80 \ kJ \ mol^{-1}$.

(B) आरेनियस समीकरण है: $\log K = \log A - \frac{E_a}{2.303 \, RT}$.
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\log K - \log A = -\frac{E_a}{2.303 \, RT}$.
$\log(K/A) = -\frac{E_a}{2.303 \, RT}$ का उपयोग करते हुए:
$E_a = 2.303 \, RT$ का मान रखने पर:
$\log(K/A) = -\frac{2.303 \, RT}{2.303 \, RT} = -1$.
अतः,अनुपात $\frac{K}{A} = \text{antilog}(-1) = 10^{-1} = 0.1$।

(C) आरेनियस समीकरण: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
दिया गया है: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 298 \, K$,$T_2 = 308 \, K$,$R = 8.314 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$.
मान रखने पर: $\log(2) = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{308 - 298}{308 \times 298} \right]$
$0.3010 = \frac{E_a}{19.147} \left[ \frac{10}{91784} \right]$
$E_a = \frac{0.3010 \times 19.147 \times 91784}{10} \approx 52897 \, J \, mol^{-1} \approx 52.9 \, kJ \, mol^{-1}$.

(C) किसी भी रासायनिक अभिक्रिया के लिए,सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ वह न्यूनतम ऊर्जा है जो अभिकारकों को सक्रिय संकुल बनाने के लिए आवश्यक होती है।
एक ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया में,उत्पादों की ऊर्जा अभिकारकों की ऊर्जा से कम होती है।
सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$,अभिक्रिया की एन्थैल्पी $(\Delta H)$ और विपरीत अभिक्रिया की सक्रियण ऊर्जा $(E_{a,reverse})$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$E_a - E_{a,reverse} = \Delta H$।
चूंकि $E_{a,reverse}$ हमेशा एक धनात्मक मान होना चाहिए,इसलिए $E_a$ का मान $\Delta H$ से अधिक होना चाहिए (ऊष्माक्षेपी अभिक्रिया के लिए $\Delta H$ के परिमाण को ध्यान में रखते हुए)।
अतः,सक्रियण ऊर्जा हमेशा एक धनात्मक मान होती है और यह अभिक्रिया के एन्थैल्पी परिवर्तन से अधिक होती है।

(A) सक्रियण ऊर्जा $(E_a)$ को अभिकारक अणुओं द्वारा अवशोषित अतिरिक्त न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है ताकि उनकी कुल ऊर्जा देहली ऊर्जा $(E_T)$ के बराबर हो जाए।
गणितीय रूप से,$E_a = E_T - E_{\text{average}}$।

(A) आरेनियस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\log \frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{2.303R} \left[ \frac{T_2 - T_1}{T_1 T_2} \right]$
दिया गया है: $k_2 = 2k_1$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 310 \ K$,$R = 8.314 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
$\log 2 = \frac{E_a}{2.303 \times 8.314} \left[ \frac{310 - 300}{300 \times 310} \right]$
$0.301 = \frac{E_a}{19.147} \left[ \frac{10}{93000} \right]$
$E_a = \frac{0.301 \times 19.147 \times 9300}{10} \approx 53598 \ J \ mol^{-1} \approx 53.6 \ kJ \ mol^{-1}$.

(D) आर्हेनियस समीकरण के अनुसार,$K_1 = A_1 e^{-Ea_1/RT}$ और $K_2 = A_2 e^{-Ea_2/RT}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{A_1}{A_2} e^{(Ea_2 - Ea_1)/RT}$.
दिया गया है कि $Ea_2 = 2 Ea_1$,इस मान को घातांक में रखने पर: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{A_1}{A_2} e^{(2 Ea_1 - Ea_1)/RT} = \frac{A_1}{A_2} e^{Ea_1/RT}$.
अतः,$K_1 = A' K_2 e^{Ea_1/RT}$,जहाँ $A' = \frac{A_1}{A_2}$.

(D) अभिक्रिया का दर स्थिरांक $(k)$ एक विशिष्ट गुण है जो मुख्य रूप से अभिक्रिया के तापमान पर निर्भर करता है,जैसा कि आर्हेनियस समीकरण द्वारा वर्णित है: $k = A e^{-E_a / RT}$.
यह अभिकारकों की सांद्रता,उत्पादों की सांद्रता या समय से स्वतंत्र होता है।

(B) आरेनियस समीकरण के अनुसार: $k = A e^{-E_a / RT}$।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\ln \, k = \ln \, A - \frac{E_a}{RT}$
$10$ के आधार में बदलने पर:
$\log \, k = \log \, A - \frac{E_a}{2.303 \, R} \left( \frac{1}{T} \right)$
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ $y = \log \, k$,$x = 1/T$,और ढाल $m = -\frac{E_a}{2.303 \, R}$ है।
चूंकि ढाल ऋणात्मक है,इसलिए $\log \, k$ बनाम $1/T$ का ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है,जैसा कि विकल्प $B$ में दिखाया गया है।