चित्रों में दिखाए अनुसार,$l$ लंबाई की एक समान छड़ $OO^{\prime}$ को बिंदु $O$ पर कब्ज़े (hinged) द्वारा जोड़ा गया है और समान स्प्रिंग नियतांक $K$ वाली दो द्रव्यमानहीन स्प्रिंगों का उपयोग करके दो दीवारों के बीच लंबवत रखा गया है। जैसा कि चित्र $1$ में दिखाया गया है,स्प्रिंगें छड़ के मध्य बिंदु और ऊपरी सिरे $(O^{\prime})$ पर जुड़ी हुई हैं,और छड़ को एक छोटे कोणीय विस्थापन द्वारा दोलन कराया जाता है। छड़ के दोलन की आवृत्ति $f_1$ है। दूसरी ओर,यदि दोनों स्प्रिंगें चित्र $2$ में दिखाए अनुसार छड़ के मध्य बिंदु पर जुड़ी हों और छड़ को एक छोटे कोणीय विस्थापन द्वारा दोलन कराया जाता है,तो दोलन की आवृत्ति $f_2$ है। गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा करते हुए और केवल आरेख के तल में गति मानते हुए,$\frac{f_1}{f_2}$ का मान ज्ञात कीजिए:

  • A
    $2$
  • B
    $\sqrt{2}$
  • C
    $\sqrt{\frac{5}{2}}$
  • D
    $\sqrt{\frac{2}{5}}$

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$r$ त्रिज्या और $m$ द्रव्यमान की एक डिस्क का केंद्र $R > r$ त्रिज्या वाले एक रिंग के अंदर $k$ स्प्रिंग नियतांक वाली स्प्रिंग से जुड़ा है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। स्प्रिंग का दूसरा सिरा रिंग की परिधि पर जुड़ा है। रिंग और डिस्क दोनों एक ही ऊर्ध्वाधर तल में हैं। डिस्क केवल रिंग की आंतरिक परिधि के साथ बिना फिसले लुढ़क सकती है। स्प्रिंग केवल हुक के नियम का पालन करते हुए रिंग की परिधि के साथ खिंच या दब सकती है। संतुलन में,डिस्क रिंग के निचले हिस्से पर है। डिस्क के छोटे विस्थापन को मानते हुए,डिस्क के द्रव्यमान केंद्र के दोलन का आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ के रूप में लिखा जाता है। $\omega$ के लिए सही व्यंजक है ($g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है):

एक घड़ी $S$ स्प्रिंग के दोलन पर आधारित है और एक घड़ी $P$ लोलक की गति पर आधारित है। पृथ्वी पर दोनों घड़ियाँ समान दर पर चलती हैं। पृथ्वी के समान घनत्व लेकिन दोगुनी त्रिज्या वाले ग्रह पर,निम्नलिखित में से क्या सत्य है?

Difficult
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जब कोई पिंड $S.H.M.$ में हो,तो निम्नलिखित का मिलान करें:
List-$I$ List-$II$
$A$. वेग अधिकतम है $I$. त्वरण अधिकतम है
$B$. $K.E.$ कुल ऊर्जा का $\left(\frac{3}{4}\right)^{\text{th}}$ है $II$. माध्य स्थिति पर
$C$. $P.E.$ कुल ऊर्जा का $\left(\frac{3}{4}\right)^{\text{th}}$ है $III$. आयाम के आधे पर
$D$. त्वरण अधिकतम है $IV$. आयाम के $\frac{\sqrt{3}}{2}$ गुना पर

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$1.$ यदि एक स्प्रिंग को दो बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े का स्प्रिंग नियतांक घट जाता है।
$2.$ जैसे-जैसे सरल आवर्ती दोलक $(SHO)$ का विस्थापन बढ़ता है,उसका त्वरण घटता है।
$3.$ एक निकाय एक से अधिक प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन कर सकता है।
$4.$ सरल आवर्त गति $(SHM)$ का आवर्तकाल आयाम,ऊर्जा या कला नियतांक पर निर्भर करता है।

एक निकाय अवमंदित-रहित सरल आवर्त गति (undamped simple harmonic motion) कर रहा है। तो

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