Basic of Elasticity, Stress and Strain relationship and Graphical analysis Questions in Gujarati

(A) હા,તારમાં પ્રતિબળ હશે. ભલે કોઈ બાહ્ય વજન જોડાયેલ ન હોય,તારનું પોતાનું દળ હોય છે. તારની સમગ્ર લંબાઈ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વિરૂપક બળ (deforming force) તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે તાર તણાવ પ્રતિબળ અનુભવે છે,જે લટકાવવાના બિંદુએ મહત્તમ હોય છે.

(C) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) એ ટેન્સર રાશિ છે.
આનું કારણ એ છે કે સ્ટ્રેસને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અને તે સપાટીના અભિગમ (લંબ સદિશ) અને લાગુ પડતા બળની દિશા બંને પર આધાર રાખે છે.
તેને સંપૂર્ણ રીતે વર્ણવવા માટે સપાટીના લંબ અને બળની દિશા બંનેની જરૂર હોવાથી,તેને દ્વિતીય-ક્રમના ટેન્સર તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) જ્યારે ધાતુના તાર પર તેની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં વિરૂપક બળ લગાડવામાં આવે છે અને પછી તે દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાર તેના મૂળ પરિમાણો પાછા મેળવે છે. જો કે,જો વિરૂપક બળ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા કરતાં વધી જાય,તો પદાર્થ કાયમી વિરૂપણ (પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ) અનુભવે છે. આ સ્થિતિમાં,આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળો અણુઓને તેમની મૂળ સંતુલન સ્થિતિમાં પાછા લાવવા માટે અપૂરતા હોય છે,જેના કારણે તારમાં કાયમી લંબાઈમાં વધારો જોવા મળે છે.

(B) પદાર્થનો જે ગુણધર્મ તેને બાહ્ય વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તેના મૂળ આકાર અને કદમાં પાછા લાવે છે,તેને સ્થિતિસ્થાપકતા કહેવામાં આવે છે. આ ગુણધર્મ પદાર્થને વિરૂપણનો વિરોધ કરવાની ક્ષમતા આપે છે.

(N/A) હૂકનો નિયમ જણાવે છે કે સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ નિયમની મર્યાદા એ છે કે તે ફક્ત નાની વિકૃતિઓ માટે જ માન્ય છે જ્યાં પદાર્થ તેની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં રહે છે. જો પ્રતિબળ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદાને વટાવી જાય,તો પદાર્થમાં કાયમી વિકૃતિ (પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ) આવે છે અને પ્રતિબળ તથા વિકૃતિ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ જળવાતો નથી.

(N/A) $\Delta PRQ$ માં,સમતલ $PQ$ ના લંબ અને બળ $F$ ની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આડછેદ $PR$ નું ક્ષેત્રફળ $a$ છે.
નમેલા સમતલ $PQ$ નું ક્ષેત્રફળ $A_{PQ} = \frac{a}{\cos \theta}$ થશે.
બળ $F$ એ આડછેદ $PR$ ને લંબ રૂપે લાગે છે. આ બળ $F$ નો સમતલ $PQ$ ને લંબ ઘટક $F' = F \cos \theta$ છે.
સમતલ $PQ$ પરનું તણાવ પ્રતિબળ એ લંબ બળ અને સમતલના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે:
$\text{તણાવ પ્રતિબળ} = \frac{F'}{A_{PQ}} = \frac{F \cos \theta}{a / \cos \theta} = \frac{F \cos^2 \theta}{a}$.

(N/A) રેલવેના પાટાને '$I$-આકારના' આડછેદ સાથે ડિઝાઇન કરવામાં આવે છે જેથી ઓછામાં ઓછા મટીરીયલના વપરાશ સાથે મહત્તમ માળખાકીય મજબૂતી અને જડતા મળી રહે.
ઉપરના અને નીચેના ભાગમાં મટીરીયલને કેન્દ્રિત કરવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,જે ટ્રેનના ભારે વજન હેઠળ વળવા કે બકલિંગ થવાની શક્યતાને ઘટાડે છે.
મધ્યમાં રહેલો ઊભો ભાગ (web) જરૂરી ઊંડાઈ પૂરી પાડે છે જેથી તે શીયર ફોર્સનો સામનો કરી શકે અને પાટા હળવા તથા ખર્ચ-અસરકારક રહે.

(B) ના,માત્ર બળ લગાડીને ધાતુના તારની લંબાઈ બમણી કરવી શક્ય નથી.
દરેક ધાતુના તારની એક ચોક્કસ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા (elastic limit) હોય છે.
જો તારને તેની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદાથી વધુ ખેંચવામાં આવે,તો તેમાં પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ (plastic deformation) થાય છે અને અંતે તે તૂટી જાય છે.
ધાતુના પદાર્થોમાં એટલી તન્યતા (ductility) હોતી નથી કે તે તૂટ્યા વગર લંબાઈમાં $100\%$ વધારો (વિકૃતિ $1$) સહન કરી શકે.

(C) ખોટું. યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $Y$ એ દ્રવ્યનો અચળાંક હોવાથી,આપેલ બળ,લંબાઈ અને ક્ષેત્રફળ માટે તે લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta L$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$(b)$ ખોટું. બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ પદાર્થ તૂટી જાય તે પહેલાં સહન કરી શકે તેવો મહત્તમ પ્રતિબળ (stress) છે; તે સ્થિતિસ્થાપકતાનો પર્યાય નથી.
$(c)$ સાચું. ક્વાર્ટઝને લગભગ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ માનવામાં આવે છે કારણ કે તે ખૂબ જ ઓછું આંતરિક ઘર્ષણ દર્શાવે છે અને વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી લગભગ સંપૂર્ણપણે તેના મૂળ આકારમાં પાછો આવે છે.

(A) ખોટું. પ્રવાહીનો શીયર મોડ્યુલસ શૂન્ય હોય છે કારણ કે પ્રવાહી શીયર સ્ટ્રેસ સહન કરી શકતા નથી.
$(b)$ ખોટું. સ્ટીલની સરખામણીમાં રબરનો યંગ મોડ્યુલસ ઓછો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આપેલ ભાર માટે,સ્ટીલ કરતા રબરમાં વધુ વિકૃતિ જોવા મળે છે.
$(c)$ સાચું. ટીપવું કે વણવું જેવી યાંત્રિક પ્રક્રિયાઓ અને ગરમ કે ઠંડુ કરવું જેવી ઉષ્મીય પ્રક્રિયાઓ પદાર્થની આંતરિક રચનામાં ફેરફાર કરી શકે છે,જેનાથી તેના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો પ્રભાવિત થાય છે.

(A) આ પદાર્થને $Brittle$ (ભંગુર) પદાર્થ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ભંગુર પદાર્થ તૂટતા પહેલા ખૂબ જ ઓછી અથવા શૂન્ય પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ દર્શાવે છે.
$(b)$ એક સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ જેને મોટા વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે ખેંચી શકાય છે તેને $Elastomer$ (ઇલાસ્ટોમર) કહેવામાં આવે છે (દા.ત.,રબર).

$(C)$ હૂકના નિયમ મુજબ, સમપ્રમાણતાની હદની અંદર, પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સીધા સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી, $(a)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
જ્યારે તાર પરથી ભાર દૂર કરવામાં આવે છે, જો પદાર્થ તેના મૂળ પરિમાણને પાછું મેળવે છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે પદાર્થનું વિરૂપણ તેની સ્થિતિસ્થાપકતાની હદની અંદર થયું છે. તેથી, $(b)$ એ $(i)$ સાથે જોડાય છે.
આમ, સાચી જોડ $(a-ii), (b-i)$ છે.

(A) $1$. હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$(a)$ એ $(iv)$ સાથે જોડાય છે.
$2$. સંકોચનીયતા એ બલ્ક મોડ્યુલસ $(K)$ નો વ્યસ્ત છે. પ્રતિબળનું પરિમાણીય સૂત્ર $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે અને વિકૃતિ પરિમાણરહિત છે. તેથી,બલ્ક મોડ્યુલસના પરિમાણ $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$ છે.
$3$. સંકોચનીયતા $= 1/K$,તેથી તેના પરિમાણ $[M^{-1} L^1 T^2]$ થાય છે. તેથી,$(b)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
$4$. આમ,સાચી જોડ $(a - iv), (b - ii)$ છે.

(A) હાથીદાંતનો દડો ભીની માટીના દડા કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક હોય છે.
જ્યારે હાથીદાંતનો દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે સ્થિતિસ્થાપક વિરૂપણ અનુભવે છે અને ઝડપથી તેનો મૂળ આકાર પાછો મેળવે છે,જે તેને ઉછળવામાં મદદ કરે છે.
તેની સરખામણીમાં,ભીની માટીનો દડો અત્યંત પ્લાસ્ટિક (અસ્થિતિસ્થાપક) હોય છે; તે અથડામણ વખતે કાયમી વિરૂપણ અનુભવે છે અને મોટાભાગની ગતિઊર્જા શોષી લે છે,જેના પરિણામે તે બિલકુલ ઉછળતો નથી અથવા ખૂબ ઓછો ઉછળે છે.
તેથી,હાથીદાંતનો દડો જમીન સાથે અથડાયા પછી વધુ ઊંચાઈ સુધી ઉછળશે.

(N/A) ધારો કે $A$ એ બળ $F$ ને લંબ સળિયાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સળિયાની લંબાઈ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતા સમતલ $aa'$ ને ધ્યાનમાં લો. આ સમતલનું ક્ષેત્રફળ $A' = A / \sin \theta$ છે.
બળ $F$ ને આ સમતલની સાપેક્ષ બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. લંબ બળ: $F_N = F \sin \theta$
$2$. શીયર બળ: $F_S = F \cos \theta$
તણાવ પ્રતિબળ (લંબ પ્રતિબળ) $\sigma = F_N / A' = (F \sin \theta) / (A / \sin \theta) = (F/A) \sin^2 \theta$.
શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau = F_S / A' = (F \cos \theta) / (A / \sin \theta) = (F/A) \sin \theta \cos \theta = (F/2A) \sin(2\theta)$.
$(a)$ તણાવ પ્રતિબળ $\sigma = (F/A) \sin^2 \theta$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin^2 \theta = 1$,એટલે કે $\theta = 90^\circ$.
$(b)$ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau = (F/2A) \sin(2\theta)$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $\sin(2\theta) = 1$,એટલે કે $2\theta = 90^\circ$ અથવા $\theta = 45^\circ$.

(N/A) પરમાણુઓ વચ્ચેનું બળ તેમની વચ્ચેના અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે,જે સંતુલન અંતર $r_0$ (જ્યાં સ્થિતિ ઊર્જા ન્યૂનતમ હોય છે) ની સાપેક્ષમાં હોય છે.
$1$. જ્યારે પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર સંતુલન અંતર કરતા ઓછું હોય $(r < r_0)$,ત્યારે બળ અપાકર્ષી હોય છે. આ વિસ્તારમાં,પરમાણુઓના ઇલેક્ટ્રોન વાદળો એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે,જેના પરિણામે પ્રબળ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ ઉદભવે છે.
$2$. જ્યારે પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર સંતુલન અંતર કરતા વધારે હોય $(r > r_0)$,ત્યારે બળ આકર્ષી હોય છે. આ વિસ્તારમાં,જેમ $r$ વધે છે તેમ આંતર-પરમાણ્વીય સ્થિતિ ઊર્જા વધે છે,અને પરમાણુઓ પર આકર્ષી બળ લાગે છે જે તેમને સંતુલન સ્થિતિ તરફ પાછા ખેંચે છે.

(N/A) હૂકનો નિયમ જણાવે છે કે નાના વિરૂપણ માટે,પદાર્થ પર લાગતું પ્રતિબળ તેમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$\text{પ્રતિબળ} \propto \text{વિકૃતિ}$
$\text{પ્રતિબળ} = k \times \text{વિકૃતિ}$
જ્યાં $k$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે જેને સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે.

(N/A) દઢ વસ્તુ એટલે એવી વસ્તુ કે જેનો આકાર સંપૂર્ણપણે નિશ્ચિત અને અપરિવર્તિત હોય છે. આવી વસ્તુના કોઈપણ બે કણો વચ્ચેનું અંતર તેના પર લાગતા બાહ્ય બળોને કારણે બદલાતું નથી. વાસ્તવમાં,કોઈ પણ વસ્તુ સંપૂર્ણપણે દઢ હોતી નથી; જોકે,ઘણા કિસ્સાઓમાં સ્ટીલના દડા કે લાકડાના બ્લોક જેવી વસ્તુઓને દઢ વસ્તુ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
ઘન વસ્તુ એ દ્રવ્યની એવી અવસ્થા છે જે તેની રચનાત્મક દઢતા અને સપાટી પર લાગતા બળ સામેના પ્રતિકાર દ્વારા ઓળખાય છે. દઢ વસ્તુથી વિપરીત,ઘન વસ્તુ પર બાહ્ય બળ લગાડતા તેમાં વિરૂપણ (આકાર કે કદમાં ફેરફાર) થઈ શકે છે,જેમ કે સ્થિતિસ્થાપક અથવા પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ.

(B) વળ આપેલા સળિયામાં ઉદ્ભવતું શીયર સ્ટ્રેન $\phi$ એ સંબંધ $r \theta = L \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ સળિયાની ત્રિજ્યા છે,$\theta$ એ વળનો ખૂણો છે,$L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે અને $\phi$ એ શીયર સ્ટ્રેન છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$
લંબાઈ $L = 2 \,m$
વળનો ખૂણો $\theta = 0.8 \,radians$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10^{-2} \times 0.8 = 2 \times \phi$
$0.008 = 2 \times \phi$
$\phi = \frac{0.008}{2} = 0.004$
આમ,ઉદ્ભવતું શીયર સ્ટ્રેન $0.004$ છે.

(C) હૂકનો નિયમ માન્ય છે તેમ ધારતા,તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $\Delta \ell = \ell - \ell_{0}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જ્યાં $\ell_{0}$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
$T = k(\ell - \ell_{0})$
આપેલ બે સ્થિતિઓ માટે:
$T_{1} = k(\ell_{1} - \ell_{0})$ --- $(1)$
$T_{2} = k(\ell_{2} - \ell_{0})$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\ell_{1} - \ell_{0}}{\ell_{2} - \ell_{0}}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$T_{1}(\ell_{2} - \ell_{0}) = T_{2}(\ell_{1} - \ell_{0})$
$T_{1}\ell_{2} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{2}\ell_{0}$
$\ell_{0}$ માટે પદ ગોઠવતા:
$T_{2}\ell_{0} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0}(T_{2} - T_{1}) = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0} = \frac{T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}}{T_{2} - T_{1}}$

(C) લીસી ગરગડી પરથી પસાર થતા $m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે બ્લોકને જોડતા તારમાં તણાવ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$
આપેલ કિંમતો $m_1 = 3 \, kg$,$m_2 = 5 \, kg$,અને $g = 10 \, ms^{-2}$ મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 3 \times 5 \times 10}{3 + 5} = \frac{300}{8} = 37.5 \, N$
સ્ટ્રેસ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ,તેથી $\text{Stress} = \frac{T}{A} = \frac{T}{\pi R^2}$.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\frac{24}{\pi} \times 10^2 \, Nm^{-2}$ આપેલ હોવાથી:
$\frac{24}{\pi} \times 10^2 = \frac{37.5}{\pi R^2}$
$2400 = \frac{37.5}{R^2}$
$R^2 = \frac{37.5}{2400} = \frac{375}{24000} = \frac{1}{64} \, m^2$
$R = \sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{1}{8} \, m = 0.125 \, m$
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $R = 0.125 \times 100 \, cm = 12.5 \, cm$.

(B) ધારો કે પેનમાં મૂકવામાં આવેલ દળ $m$ છે. તાર $W_{2}$ માં તણાવ $T_{2} = (m + 10)g$ છે. તાર $W_{1}$ માં તણાવ $T_{1} = (m + 10 + 20)g = (m + 30)g$ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma_{b} = 1.25 \times 10^{9} \, N/m^{2}$.
તાર $W_{2}$ માટે: $T_{2,max} = \sigma_{b} \times A_{2} = (1.25 \times 10^{9}) \times (4 \times 10^{-7}) = 500 \, N$.
$(m + 10) \times 10 = 500 \Rightarrow m + 10 = 50 \Rightarrow m = 40 \, kg$.
તાર $W_{1}$ માટે: $T_{1,max} = \sigma_{b} \times A_{1} = (1.25 \times 10^{9}) \times (8 \times 10^{-7}) = 1000 \, N$.
$(m + 30) \times 10 = 1000 \Rightarrow m + 30 = 100 \Rightarrow m = 70 \, kg$.
કારણ કે જ્યારે $m = 40 \, kg$ હોય ત્યારે તાર $W_{2}$ પહેલા તૂટી જશે,તેથી મૂકી શકાય તેવું મહત્તમ દળ $40 \, kg$ છે.

(A) હૂકના નિયમ મુજબ,તારમાં તણાવ $T$ તેની લંબાઈમાં થતા વધારા સાથે $T = k(l - l_{0})$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે,$l$ એ ખેંચાયેલી લંબાઈ છે અને $l_{0}$ એ વાસ્તવિક (કુદરતી) લંબાઈ છે.
તણાવ $T_{1}$ માટે,લંબાઈ $l_{1}$ છે: $T_{1} = k(l_{1} - l_{0})$ --- $(i)$
તણાવ $T_{2}$ માટે,લંબાઈ $l_{2}$ છે: $T_{2} = k(l_{2} - l_{0})$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{l_{1} - l_{0}}{l_{2} - l_{0}}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$T_{1}(l_{2} - l_{0}) = T_{2}(l_{1} - l_{0})$
$T_{1}l_{2} - T_{1}l_{0} = T_{2}l_{1} - T_{2}l_{0}$
$l_{0}$ માટે પદ ગોઠવતા:
$T_{1}l_{2} - T_{2}l_{1} = T_{1}l_{0} - T_{2}l_{0}$
$T_{1}l_{2} - T_{2}l_{1} = l_{0}(T_{1} - T_{2})$
$l_{0} = \frac{T_{1}l_{2} - T_{2}l_{1}}{T_{1} - T_{2}}$
આમ,તારની વાસ્તવિક લંબાઈ $\frac{T_{1}l_{2} - T_{2}l_{1}}{T_{1} - T_{2}}$ છે.

(C) ધારો કે તારની મૂળભૂત લંબાઈ $\ell_0$ છે અને બળ અચળાંક $k$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,તારમાં તણાવ $T = k(\ell - \ell_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ ખેંચાયેલી લંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $T_{1} = k(l_{1} - \ell_0)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $T_{2} = k(l_{2} - \ell_0)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{l_{1} - \ell_0}{l_{2} - \ell_0}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$T_{1}(l_{2} - \ell_0) = T_{2}(l_{1} - \ell_0)$
$T_{1}l_{2} - T_{1}\ell_0 = T_{2}l_{1} - T_{2}\ell_0$
$\ell_0$ માટે ઉકેલતા:
$T_{2}\ell_0 - T_{1}\ell_0 = T_{2}l_{1} - T_{1}l_{2}$
$\ell_0(T_{2} - T_{1}) = T_{2}l_{1} - T_{1}l_{2}$
$\ell_0 = \frac{l_{1} T_{2} - l_{2} T_{1}}{T_{2} - T_{1}}$

(C) આલેખ પરથી,ઢાળ એ યંગ મોડ્યુલસના વ્યસ્તને દર્શાવે છે,$1/Y = \frac{\text{વિકૃતિ}}{\text{પ્રતિબળ}}$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,$Y = 2.0 \times 10^{10} \; N/m^2$ લેતા.
ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ} = \frac{1}{2} Y (\text{વિકૃતિ})^2$.
$u = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{10}) \times (5 \times 10^{-4})^2$.
$u = 1.0 \times 10^{10} \times 25 \times 10^{-8} = 2500 \; J/m^3 = 2.5 \; kJ/m^3$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $25$ છે.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
શીયર સ્ટ્રેન એટલે પદાર્થના કદમાં ફેરફાર કર્યા વગર તેના આકારમાં થતો ફેરફાર.
આ પ્રકારની વિકૃતિ ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે પદાર્થની સપાટી પર સ્પર્શક બળ લગાડવામાં આવે છે.
પ્રવાહી અને વાયુઓ (ફ્લુઇડ્સ) સ્થિર શીયર સ્ટ્રેસ સહન કરી શકતા નથી કારણ કે જ્યારે તેમના પર આવા બળો લગાડવામાં આવે છે ત્યારે તેઓ વહેવા લાગે છે.
તેથી,શીયર સ્ટ્રેન માત્ર ઘન પદાર્થોમાં જ શક્ય છે,કારણ કે તેઓ ચોક્કસ આકાર ધરાવે છે અને વિકૃતિનો સામનો કરવા માટે દ્રઢતા ધરાવે છે.

(A) ધારો કે બે તારની ત્રિજ્યા $r_1$ અને $r_2$ છે,તો $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$ (આપેલ છે).
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિબળ (Stress) = $\frac{F}{A}$,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
કારણ કે બંને તાર પર લાગતું બળ $F$ સમાન છે,તેથી પ્રતિબળ એ ક્ષેત્રફળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\text{Stress} \propto \frac{1}{A}$.
વર્તુળાકાર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,બે તારમાં ઉત્પન્ન થતા પ્રતિબળનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{Stress}_1}{\text{Stress}_2} = \frac{A_2}{A_1} = \frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{1}$,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{\text{Stress}_1}{\text{Stress}_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રતિબળ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\text{પ્રતિબળ} (S) = \frac{F}{A}$
વર્તુળાકાર આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$S = \frac{F}{\pi r^2}$
આપેલ છે કે બંને તાર પર લાગતું બળ $F$ સમાન છે,તેથી પ્રતિબળ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$S \propto \frac{1}{r^2}$
તેથી,પ્રતિબળનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2$ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_1 : r_2 = 2 : 1$ આપેલ છે,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
આમ,પ્રતિબળનો ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(C) ઊભી લટકાવેલા તારનું બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{Breaking Stress} = \rho \cdot g \cdot L$,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે,$g$ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $L$ તારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $= 7.5 \times 10^7 \,N m^{-2}$
ઘનતા $\rho = 2.7 \times 10^3 \,kg m^{-3}$
$g = 9.8 \,m s^{-2}$
$L$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$L = \frac{\text{Breaking Stress}}{\rho \cdot g}$
$L = \frac{7.5 \times 10^7}{2.7 \times 10^3 \times 9.8}$
$L = \frac{7.5 \times 10^7}{26.46 \times 10^3}$
$L \approx 0.2834 \times 10^4 \,m = 2.834 \times 10^3 \,m$.
નજીકની કિંમત લેતા,$L \approx 2.83 \times 10^3 \,m$.

(A) સ્થિતિસ્થાપક બળો પદાર્થમાં પ્રતિબળ અને વિકૃતિ વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જ્યારે હૂકનો નિયમ $(F = -kx)$ આદર્શ સ્થિતિસ્થાપક વર્તણૂકનું વર્ણન કરે છે જ્યાં બળો સંરક્ષી હોય છે,ત્યારે વાસ્તવિક પદાર્થો ઘણીવાર ઉચ્ચ પ્રતિબળ હેઠળ હિસ્ટરિસીસ અથવા પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ દર્શાવે છે.
આવા કિસ્સાઓમાં,સ્થિતિસ્થાપક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય લેવાયેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે અને ઉર્જા ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.
તેથી,સ્થિતિસ્થાપક બળો હંમેશા સંરક્ષી હોતા નથી; તેઓ ફક્ત ત્યારે જ સંરક્ષી હોય છે જ્યારે પદાર્થ સંપૂર્ણપણે સ્થિતિસ્થાપક રીતે વર્તે છે (ઉર્જાના વ્યય વિના હૂકના નિયમનું પાલન કરે છે).

(C) તારમાં વિસ્તરણ $\Delta x$ માટેનું સૂત્ર $\Delta x = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ લોડ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તમામ તાર સમાન લંબાઈ $L$ ધરાવે છે અને સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે (સમાન $Y$),તેથી અચળ લોડ $F$ માટે,આપણને $\Delta x \propto \frac{1}{A}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે આપેલ લોડ માટે,જે તારમાં મહત્તમ વિસ્તરણ થાય છે તેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હશે,જે તેને સૌથી પાતળો તાર બનાવે છે.
આલેખ જોતા,નિશ્ચિત લોડ માટે,રેખા $OA$ માટે વિસ્તરણ મહત્તમ છે.
તેથી,$OA$ સૌથી પાતળો તાર દર્શાવે છે.

(A) હૂકનો નિયમ જણાવે છે કે સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(Stress \propto Strain)$.
આ સમપ્રમાણતા એ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થોની મૂળભૂત લાક્ષણિકતા છે,જ્યાં વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી પદાર્થ તેના મૂળ આકારમાં પાછો આવે છે.
પ્લાસ્ટિક પદાર્થો કાયમી વિરૂપણ અનુભવે છે અને આ રેખીય સંબંધનું પાલન કરતા નથી.
ઇલાસ્ટોમર્સ,જોકે સ્થિતિસ્થાપક છે,પરંતુ તેઓ પ્રતિબળ-વિકૃતિના વક્ર પર હૂકનો નિયમ વિશાળ શ્રેણીમાં પાળતા નથી.
તેથી,હૂકનો નિયમ માત્ર સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થો માટે જ લાગુ પડે છે.

(C) તારનો બળ અચળાંક $K$ એ તાર પર લગાડવામાં આવેલા બળ $F$ અને તેમાં ઉત્પન્ન થતા લંબાઈના વધારા $\Delta x$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$K = \frac{F}{\Delta x}$
આપેલ છે:
દળ $m = 10 \,kg$,તેથી બળ $F = mg = 10 \times 10 = 100 \,N$ ($g = 10 \,m/s^2$ લેતા).
લંબાઈમાં વધારો $\Delta x = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m = 0.002 \,m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{100}{0.002} = \frac{100000}{2} = 5 \times 10^4 \,N/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સાચો જવાબ $B$ છે.
જે પદાર્થો ખૂબ જ ટૂંકો પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર ધરાવે છે તેને ભંગુર (brittle) પદાર્થો કહેવામાં આવે છે.
ભંગુર પદાર્થોમાં,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા (elastic limit) વટાવ્યા પછી તરત જ પદાર્થ તૂટી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ભંગાણ પહેલાં તેમાં ખૂબ જ ઓછું કાયમી (પ્લાસ્ટિક) વિરૂપણ થઈ શકે છે.

(D) સાચી જોડી $D$ છે.
$1$. રેખીય વિકૃતિ લંબાઈમાં થતા ફેરફાર સાથે સંબંધિત છે.
$2$. આકાર વિકૃતિ એ આકારમાં થતા ફેરફાર સાથે સંબંધિત છે.
$3$. કદ વિકૃતિ (Bulk strain) એ કદમાં થતા ફેરફાર સાથે સંબંધિત છે.
$4$. બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ ના વ્યસ્તને સંકોચનીયતા $(K = 1/B)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(B) તણાવ પ્રતિબળ એટલે કોઈ બિંદુએ લાગતું તણાવ બળ અને સળિયાના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણોત્તર.
ઉપરના આધારથી $x$ અંતરે સળિયામાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ તે બિંદુની નીચે લાગતા કુલ વજન જેટલું હોય છે.
$x$ અંતરે આવેલા બિંદુની નીચે સળિયાની લંબાઈ $(l-x)$ છે.
સળિયાના આ ભાગનું દળ $m \times (l-x)$ થાય.
આ ભાગનું વજન $mg(l-x)$ થાય.
નીચે લટકાવેલ $M$ દળનો ભાર પણ તણાવમાં ફાળો આપે છે,જેનું વજન $Mg$ છે.
તેથી,$x$ અંતરે કુલ તણાવ $T = Mg + mg(l-x)$ થાય.
તણાવ પ્રતિબળ $\sigma = \frac{T}{A} = \frac{Mg + mg(l-x)}{A}$ મળે.

(C) તાર દ્વારા સહન કરી શકાતું મહત્તમ વજન અથવા બ્રેકિંગ ફોર્સ તેના બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ (તણાવ) પર આધારિત છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ પદાર્થનો ગુણધર્મ છે અને તે તારની લંબાઈ પર આધાર રાખતું નથી.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $= \frac{\text{બ્રેકિંગ ફોર્સ}}{\text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{F}{A}$.
જ્યારે તારને નાના ટુકડાઓમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ અને તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ સમાન રહે છે,તેથી બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અચળ રહે છે.
તેથી,દરેક ભાગ જે મહત્તમ વજન સહન કરી શકે છે તે મૂળ તાર જેટલું જ રહે છે.
આમ,દરેક ભાગ $15 \, kg$ વજન સહન કરી શકે છે.

(A) આપેલ છે,શરીરનું દળ,$m = 50 \, kg$.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ,$g = 10 \, m/s^2$.
બે સાથળના હાડકાંનું કુલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 2 \times 10 \, cm^2 = 20 \, cm^2$.
ક્ષેત્રફળને $m^2$ માં ફેરવતા: $A = 20 \times 10^{-4} \, m^2 = 2 \times 10^{-3} \, m^2$.
શરીરના ઉપરના ભાગ દ્વારા લાગતું બળ તેના વજન જેટલું હોય છે,$F = mg = 50 \times 10 = 500 \, N$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{500}{2 \times 10^{-3}} = 250 \times 10^3 = 2.5 \times 10^5 \, N/m^2$.

(D) તટસ્થ પરમાણુઓ અથવા અણુઓ માટે મોટા અંતરે આંતર-પરમાણ્વીય સ્થિતિમાન ઉર્જા $U(R)$ પર વાન્ડર વાલ્સ આકર્ષણનું વર્ચસ્વ હોય છે,જે પ્રેરિત દ્વિધ્રુવ-પ્રેરિત દ્વિધ્રુવ આંતરક્રિયાઓ (લંડન ડિસ્પર્શન ફોર્સ) થી ઉદભવે છે.
આ આંતરક્રિયાઓના સિદ્ધાંત મુજબ,સ્થિતિમાન ઉર્જા $U$ એ આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $R$ ના છઠ્ઠા ઘાત સાથે વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $U(R) \propto R^{-6}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$\text{Stress} = \frac{F}{A}$.
સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા માટે,સ્ટ્રેસ $3.5 \times 10^{10} \, N/m^2$ આપેલ છે.
તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
વ્યાસ $0.75 \, mm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{0.75}{2} \times 10^{-3} \, m$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્ર $F = A \times \text{Stress}$ માં મૂકતા:
$F = \pi \times \left( \frac{0.75}{2} \times 10^{-3} \right)^2 \times 3.5 \times 10^{10}$
$F = 3.14 \times \frac{0.5625}{4} \times 10^{-6} \times 3.5 \times 10^{10}$
$F = 3.14 \times 0.140625 \times 3.5 \times 10^4$
$F \approx 1.545 \times 10^4 \, N \approx 1.55 \times 10^4 \, N$.

(C) બાંધકામમાં સ્ટીલનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે કારણ કે તેમાં ઉચ્ચ તણાવ શક્તિ (tensile strength) અને ઉચ્ચ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા હોય છે.
સ્થિતિસ્થાપકતા એટલે પદાર્થની વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તેના મૂળ આકારમાં પાછા આવવાની ક્ષમતા.
સ્ટીલ રબર જેવા અન્ય ઘણા પદાર્થો કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે કારણ કે સમાન વિકૃતિ (strain) ઉત્પન્ન કરવા માટે તેને ખૂબ મોટા બળની જરૂર પડે છે,અને તેની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા ઊંચી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે કાયમી વિકૃતિ વિના નોંધપાત્ર તણાવ સહન કરી શકે છે.
તેથી,વિધાન અને કારણ બંને સાચા છે,અને કારણ એ સમજાવે છે કે બાંધકામમાં સ્ટીલને કેમ પસંદ કરવામાં આવે છે.

(C) તણાવ પ્રતિબળ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ દીઠ બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $F = mg$ અને $A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ છે.
આપેલ છે: $\sigma = 7 \times 10^5\,N m^{-2}$,$D = 14\,mm = 14 \times 10^{-3}\,m$,$g = 9.8\,m s^{-2}$,અને $\pi = \frac{22}{7}$.
આ મૂલ્યોને સૂત્ર $\sigma = \frac{4mg}{\pi D^2}$ માં મૂકતા:
$m = \frac{\sigma \pi D^2}{4g}$
$m = \frac{(7 \times 10^5) \times (22/7) \times (14 \times 10^{-3})^2}{4 \times 9.8}$
$m = \frac{(7 \times 10^5) \times (22/7) \times (196 \times 10^{-6})}{39.2}$
$m = \frac{22 \times 10^5 \times 28 \times 10^{-6}}{39.2} = \frac{616 \times 10^{-1}}{39.2} = \frac{61.6}{39.2} = 11\,kg$.

(C) લંબગત પ્રતિબળને એકમ આડછેદના ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ કિસ્સામાં,તારના મુક્ત છેડા પર લટકાવેલું વજન $W$ નીચેની તરફ બળ લગાડે છે,જે તારના કોઈપણ આડછેદ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશાના આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળ $F = W$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
તેથી,લંબગત પ્રતિબળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{W}{A}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) વિધાન $(A)$ સ્થિતિસ્થાપકતાને તે ગુણધર્મ તરીકે યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરે છે જેના દ્વારા પદાર્થ વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તેનો મૂળ આકાર અને કદ પાછું મેળવે છે.
કારણ $(R)$ યોગ્ય રીતે જણાવે છે કે પુનઃસ્થાપક બળ,જે પદાર્થને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછું લાવે છે,તે ઘન પદાર્થની અંદરના આંતરઆણ્વિય અને આંતરપરમાણ્વિય બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
જેহেতু પુનઃસ્થાપક બળ એ ભૌતિક પદ્ધતિ છે જે સ્થિતિસ્થાપકતાના ગુણધર્મને સક્ષમ કરે છે,તેથી કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ માટે સાચી સમજૂતી છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) યાદી-$I$ માં આપેલી વ્યાખ્યાઓ યાદી-$II$ ના નીચેના ભૌતિક ખ્યાલો સાથે સુસંગત છે:
$(A)$ એકમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછું લાવતું બળ એ $\text{Stress} = \frac{F_{\text{restoring}}}{A}$ ની વ્યાખ્યા છે. જો $A = 1$ હોય,તો $\text{Stress} = F_{\text{restoring}}$. તેથી,$(A)-(III)$.
$(B)$ પદાર્થની વિરુદ્ધ સપાટીઓને સમાંતર લાગતા બે સમાન અને વિરુદ્ધ બળો પદાર્થના કદમાં ફેરફાર કર્યા વિના તેના આકારમાં ફેરફાર કરે છે,જે $\text{Shear modulus}$ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(B)-(IV)$.
$(C)$ સપાટીને દરેક જગ્યાએ લંબ રૂપે લાગતું બળ,જે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દરેક જગ્યાએ સમાન હોય,તે કદ પ્રતિબળ (volumetric stress) ઉત્પન્ન કરે છે,જે $\text{Bulk modulus}$ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(C)-(I)$.
$(D)$ વિરુદ્ધ સપાટીઓને લંબ રૂપે લાગતા બે સમાન અને વિરુદ્ધ બળો લંબાઈમાં ફેરફાર કરે છે,જે $\text{Young's modulus}$ સાથે સંબંધિત છે. તેથી,$(D)-(II)$.
તેથી,સાચી જોડ $(A)-(III), (B)-(IV), (C)-(I), (D)-(II)$ છે.

(B) હુકે $1679$ માં પ્રાયોગિક રીતે દર્શાવ્યું હતું કે જો વિકૃતિ નાની હોય,તો પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર આપેલ પદાર્થના દ્રવ્ય માટે અચળ હોય છે અને તેને સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ $E$ કહેવામાં આવે છે.
આમ,$E = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \text{constant}$.
તેથી,જો પ્રતિબળ વધારવામાં આવે (સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં),તો પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર અચળ રહે છે.

(C) તારનું તોડવાનું બળ $F$ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે।
$A = \pi r^2$ હોવાથી, તોડવાનું બળ $F = \text{Breaking Stress} \times \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સમાન દ્રવ્યના તાર માટે, બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અચળ રહે છે।
તેથી, $F \propto r^2$.
અહીં $r_1 = 1 \,mm$ માટે $F_1 = 10 \,N$ અને $r_2 = 3 \,mm$ આપેલ છે।
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F_2}{10} = \frac{3^2}{1^2} = 9$.
આમ, $F_2 = 10 \times 9 = 90 \,N$.

(C) જ્યારે લિફ્ટ ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થાય ત્યારે દોરડા પર લાગતું કુલ બળ $F = M(g+a)$ છે.
પ્રતિબળને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $s = \frac{F}{A} = \frac{M(g+a)}{\pi r^2}$,જ્યાં $r$ એ દોરડાની ત્રિજ્યા છે.
$r^2$ માટે પદ ગોઠવતા,આપણને $r^2 = \frac{M(g+a)}{\pi s}$ મળે છે.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,$r = \frac{D}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{D}{2})^2 = \frac{M(g+a)}{\pi s} \implies \frac{D^2}{4} = \frac{M(g+a)}{\pi s}$.
$D$ માટે ઉકેલતા,આપણને $D^2 = \frac{4 M(g+a)}{\pi s}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $D = \left[\frac{4 M(g+a)}{\pi s}\right]^{\frac{1}{2}}$.