Basic of Elasticity, Stress and Strain relationship and Graphical analysis Questions in Gujarati

(B) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
બંને તાર સમાન ભારથી ખેંચાયેલા હોવાથી,બળ $F$ અચળ છે.
તેથી,$\text{Stress} \propto \frac{1}{r^2}$.
આપેલ છે કે તાર $A$ ની ત્રિજ્યા તાર $B$ ની ત્રિજ્યા કરતા બમણી છે,તેથી $r_A = 2r_B$.
સ્ટ્રેસ $S_A$ અને $S_B$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{S_B}{S_A} = \frac{r_A^2}{r_B^2} = \left(\frac{2r_B}{r_B}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,$S_B = 4 S_A$.
તાર $B$ પરનો સ્ટ્રેસ એ તાર $A$ પરના સ્ટ્રેસ કરતા ચાર ગણો છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta l}$ છે,જ્યાં $F$ એ લોડ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta l$ એ વિસ્તરણ છે.
બધા તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,$Y$ અચળ છે. સમાન લંબાઈ $L$ ધરાવતા તાર માટે,$A = \frac{FL}{Y \Delta l}$ થાય.
અચળ લોડ $F$ માટે,ક્ષેત્રફળ $A$ એ વિસ્તરણ $\Delta l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(A \propto \frac{1}{\Delta l})$.
આલેખ પરથી,આપેલ લોડ $F$ માટે,રેખા $OA$ માટે વિસ્તરણ $\Delta l$ મહત્તમ છે (એટલે કે,$\Delta l_A > \Delta l_B > \Delta l_C > \Delta l_D$).
જેમ કે $A \propto \frac{1}{\Delta l}$,જે તારનું વિસ્તરણ સૌથી વધુ હશે તેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હશે.
તેથી,રેખા $OA$ સૌથી પાતળા તારનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(B) પ્રતિબળ (Stress) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર છે: $\text{Stress} = \frac{F}{A}$.
આપેલ છે કે બંને તાર સમાન ભાર (બળ $F$) વડે ખેંચાય છે,તેથી બળ $F$ બંને માટે અચળ છે.
ધારો કે તાર $A$ નું ક્ષેત્રફળ $A_A$ છે અને તાર $B$ નું ક્ષેત્રફળ $A_B$ છે. રકમ મુજબ,$A_A = 2 A_B$.
તાર $A$ પરનું પ્રતિબળ $\sigma_A = \frac{F}{A_A} = \frac{F}{2 A_B}$ છે.
તાર $B$ પરનું પ્રતિબળ $\sigma_B = \frac{F}{A_B}$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\sigma_B = 2 \times \left(\frac{F}{2 A_B}\right) = 2 \sigma_A$.
તેથી,તાર $B$ પરનું પ્રતિબળ એ તાર $A$ પરના પ્રતિબળ કરતા બમણું છે.

(A) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\sigma$ એ બળ $F$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ નો ગુણોત્તર છે. સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા એ પદાર્થ સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ પ્રતિબળ છે.
આપેલ છે: સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા $\sigma = \frac{400}{\pi} \text{ MPa} = \frac{400}{\pi} \times 10^6 \text{ Pa}$, બળ $F = 484 \text{ N}$.
$d$ વ્યાસ ધરાવતા સળિયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \frac{d^2}{4}$ છે.
સૂત્ર $\sigma = \frac{F}{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{400}{\pi} \times 10^6 = \frac{484}{\pi \frac{d^2}{4}}$
$\frac{400}{\pi} \times 10^6 = \frac{484 \times 4}{\pi d^2}$
બંને બાજુથી $\pi$ દૂર કરતા:
$400 \times 10^6 = \frac{1936}{d^2}$
$d^2 = \frac{1936}{400 \times 10^6} = 4.84 \times 10^{-6} \text{ m}^2$
$d = \sqrt{4.84 \times 10^{-6}} = 2.2 \times 10^{-3} \text{ m} = 2.2 \text{ mm}$.

(A) ધારો કે સળિયાનો આડછેદ $a$ છે. નમેલા વિભાગ $AB$ નું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{a}{\sin \theta}$ થશે.
સળિયા પર લાગતા બળ $F$ ને વિભાગ $AB$ ની સાપેક્ષ બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$1$. લંબ ઘટક: $F_n = F \sin \theta$
$2$. સ્પર્શકીય (શીયરિંગ) ઘટક: $F_s = F \cos \theta$
શીયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau$ એ સ્પર્શકીય બળ અને વિભાગના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે:
$\tau = \frac{F_s}{A'} = \frac{F \cos \theta}{a / \sin \theta} = \frac{F \sin \theta \cos \theta}{a}$

(D) ધારો કે સળિયાની કુદરતી લંબાઈ $L_0$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\text{પ્રતિબળ} = Y \times \text{વિકૃતિ}$
$\frac{T}{A} = Y \frac{L - L_0}{L_0}$
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર માટે સમીકરણ:
$L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$
ધારો કે $k = \frac{L_0}{A Y}$,જે સળિયા માટે અચળાંક છે.
તેથી,$L = L_0 + k T$.
તણાવ $T_1$ માટે,$L_1 = L_0 + k T_1$ --- $(i)$
તણાવ $T_2$ માટે,$L_2 = L_0 + k T_2$ --- (ii)
સમીકરણ (ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$L_2 - L_1 = k(T_2 - T_1) \Rightarrow k = \frac{L_2 - L_1}{T_2 - T_1}$
$k$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$L_0 = L_1 - k T_1 = L_1 - \left( \frac{L_2 - L_1}{T_2 - T_1} \right) T_1$
$L_0 = \frac{L_1(T_2 - T_1) - T_1(L_2 - L_1)}{T_2 - T_1}$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_1 T_1 - T_1 L_2 + L_1 T_1}{T_2 - T_1}$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_2 T_1}{T_2 - T_1}$

(C) તારને તોડવા માટે જરૂરી બળ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે. તારનું તોડવાનું બળ એ તેના તોડવાના પ્રતિબળ (breaking stress) અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$F = \sigma \times A = \sigma \times (\pi R^2)$
અહીં પદાર્થ સમાન (તાંબુ) હોવાથી,તોડવાનું પ્રતિબળ $\sigma$ અચળ રહેશે.
તેથી,$F \propto R^2$.
જો $R_1 = R$ ત્રિજ્યા માટે બળ $F_1 = F$ હોય,અને $R_2 = 2R$ ત્રિજ્યા માટે બળ $F_2$ હોય,તો:
$\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2 = \left(\frac{2R}{R}\right)^2 = 4$
$F_2 = 4F_1 = 4F$.

(C) હૂકના નિયમ અનુસાર,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\text{પ્રતિબળ} = Y \times \text{વિકૃતિ}$
જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
$\frac{F}{A} = Y \times \frac{\Delta l}{L}$
અહીં,$F$ એ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta l$ એ લંબાઈમાં ફેરફાર છે અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
બળ $F$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$F = \frac{Y A}{L} \Delta l$
આપેલ તાર માટે $Y$,$A$ અને $L$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$F \propto \Delta l$
અહીં લંબાઈમાં ફેરફાર $l$ આપેલ હોવાથી:
$F \propto l$
તેથી,બળ એ $l$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) હૂકના નિયમ મુજબ,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l$ એ લાગુ પાડેલા બળ $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે દોરીની મૂળભૂત લંબાઈ $l_0$ છે અને બળ અચળાંક $k$ છે.
તણાવ $T$ હેઠળ લંબાઈ $l$ નું સૂત્ર $l = l_0 + \frac{T}{k}$ છે.
$T_1 = 80 \,N$ માટે,$l_1 = 101 \,mm = l_0 + \frac{80}{k}$ --- $(1)$
$T_2 = 100 \,N$ માટે,$l_2 = 102 \,mm = l_0 + \frac{100}{k}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $102 - 101 = \frac{100-80}{k} \implies 1 = \frac{20}{k} \implies k = 20 \,N/mm$.
$k$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $101 = l_0 + \frac{80}{20} \implies 101 = l_0 + 4 \implies l_0 = 97 \,mm$.
હવે,$T_3 = 160 \,N$ માટે,લંબાઈ $l_3 = l_0 + \frac{T_3}{k} = 97 + \frac{160}{20} = 97 + 8 = 105 \,mm$.
સેમીમાં રૂપાંતર કરતા: $105 \,mm = 10.5 \,cm$.

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,તારમાં થતો વધારો લાગુ પડેલા બળના પ્રમાણમાં હોય છે: $F = k(l - l_0)$,જ્યાં $l_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $k$ એ બળ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $F_1 = k(l_1 - l_0)$ -- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $F_2 = k(l_2 - l_0)$ -- $(2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{l_1 - l_0}{l_2 - l_0}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $F_1(l_2 - l_0) = F_2(l_1 - l_0)$
$F_1 l_2 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_2 l_0$
$F_2 l_0 - F_1 l_0 = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0(F_2 - F_1) = F_2 l_1 - F_1 l_2$
$l_0 = \frac{F_2 l_1 - F_1 l_2}{F_2 - F_1}$

(D) ધારો કે $L$ એ દોરીની મૂળ લંબાઈ છે અને $k$ એ દોરીનો બળ અચળાંક છે.
અંતિમ લંબાઈ = મૂળ લંબાઈ + વિસ્તરણ.
હૂકના નિયમ મુજબ,$\text{વિસ્તરણ} = \frac{F}{k}$.
તેથી,$L' = L + \frac{F}{k}$.
પ્રથમ સ્થિતિ માટે: $P = L + \frac{6}{k} \quad ...(i)$
બીજી સ્થિતિ માટે: $Q = L + \frac{8}{k} \quad ...(ii)$
$k$ ને દૂર કરવા માટે,સમીકરણ $(i)$ ને $4$ વડે અને સમીકરણ $(ii)$ ને $3$ વડે ગુણો:
$4P = 4L + \frac{24}{k} \quad ...(iii)$
$3Q = 3L + \frac{24}{k} \quad ...(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ માંથી સમીકરણ $(iv)$ બાદ કરતા:
$4P - 3Q = (4L - 3L) + (\frac{24}{k} - \frac{24}{k})$
$4P - 3Q = L$
આમ,દોરીની મૂળ લંબાઈ $4P - 3Q$ છે.

(A) વિકૃતિ એટલે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર.
$\text{વિકૃતિ} = \frac{\Delta \ell}{\ell}$
આપેલ છે:
મૂળ લંબાઈ $\ell = 40 \text{ cm}$
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta \ell = 0.1 \text{ cm}$
$\text{વિકૃતિ} = \frac{0.1}{40}$
$\text{વિકૃતિ} = \frac{1}{400} = 0.0025$
$\text{વિકૃતિ} = 25 \times 10^{-4}$

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં તારની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર તે લગાડવામાં આવેલા બળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $L$ એ તારની મૂળ લંબાઈ છે અને $K$ એ તારનો બળ અચળાંક છે.
$F_1$ બળ માટે,લંબાઈમાં વધારો $(L_1 - L)$ છે,તેથી $F_1 = K(L_1 - L)$ --- $(i)$
$F_2$ બળ માટે,લંબાઈમાં વધારો $(L_2 - L)$ છે,તેથી $F_2 = K(L_2 - L)$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{K(L_1 - L)}{K(L_2 - L)}$
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{L_1 - L}{L_2 - L}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$F_1(L_2 - L) = F_2(L_1 - L)$
$F_1 L_2 - F_1 L = F_2 L_1 - F_2 L$
$L$ માટે પદ ગોઠવતા:
$F_2 L - F_1 L = F_2 L_1 - F_1 L_2$
$L(F_2 - F_1) = F_2 L_1 - F_1 L_2$
$L = \frac{F_2 L_1 - F_1 L_2}{F_2 - F_1} = \frac{F_1 L_2 - F_2 L_1}{F_1 - F_2}$

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક દોરીનું વિસ્તરણ લાગુ પડેલા તણાવના પ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે દોરીની મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને બળ અચળાંક $k$ છે.
તણાવ $T$ હેઠળ દોરીની લંબાઈ $L = l + \frac{T}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_1 = 4 \ N$ માટે,$L_1 = a = l + \frac{4}{k} \implies \frac{4}{k} = a - l$ (સમીકરણ $1$).
$T_2 = 5 \ N$ માટે,$L_2 = b = l + \frac{5}{k} \implies \frac{5}{k} = b - l$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $\frac{5}{k} - \frac{4}{k} = (b - l) - (a - l) \implies \frac{1}{k} = b - a$.
સમીકરણ $1$ માં $\frac{1}{k}$ ની કિંમત મૂકતા: $a = l + 4(b - a) \implies a = l + 4b - 4a \implies l = 5a - 4b$.
હવે,$T_3 = 9 \ N$ માટે,લંબાઈ $x = l + \frac{9}{k}$ છે.
$l = 5a - 4b$ અને $\frac{1}{k} = b - a$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = (5a - 4b) + 9(b - a) = 5a - 4b + 9b - 9a = 5b - 4a$.

(D) ધારો કે દોરીની વાસ્તવિક લંબાઈ $L$ છે અને બળ અચળાંક $k = \frac{AY}{L_0}$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,વિસ્તરણ એ લાગુ કરેલા બળના પ્રમાણમાં હોય છે: $F = k \Delta L$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $F_1 = k(L_1 - L)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $F_2 = k(L_2 - L)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{F_1}{F_2} = \frac{L_1 - L}{L_2 - L}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $F_1(L_2 - L) = F_2(L_1 - L)$.
$F_1 L_2 - F_1 L = F_2 L_1 - F_2 L$.
$L$ માટે ગોઠવતા: $F_2 L - F_1 L = F_2 L_1 - F_1 L_2$.
$L(F_2 - F_1) = F_2 L_1 - F_1 L_2$.
તેથી,$L = \frac{F_2 L_1 - F_1 L_2}{F_2 - F_1}$.

(B) બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસને $\text{Stress} = \frac{F_{max}}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $F_{max} = \text{Stress} \times A$.
નીચેના તાર માટે:
$F_L = (12 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (0.004 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 480 \text{ N}$.
નીચેના તાર દ્વારા આધારિત વજન $(m_{pan} + 10)g = 480 \text{ N}$ છે.
$(m_{pan} + 10) \times 10 = 480 \Rightarrow m_{pan} + 10 = 48 \Rightarrow m_{pan} = 38 \text{ kg}$.
ઉપરના તાર માટે:
$F_U = (12 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (0.008 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 960 \text{ N}$.
ઉપરના તાર દ્વારા આધારિત વજન $(m_{pan} + 10 + 30)g = 960 \text{ N}$ છે.
$(m_{pan} + 40) \times 10 = 960 \Rightarrow m_{pan} + 40 = 96 \Rightarrow m_{pan} = 56 \text{ kg}$.
બંને તાર સુરક્ષિત રહે તે માટે,આપણે નાનું દળ પસંદ કરવું જોઈએ,જે $38 \text{ kg}$ છે.

(A) તારે લિફ્ટનું વજન અને પ્રવેગને કારણે લાગતું વધારાનું બળ સહન કરવું પડે છે. તારમાં તણાવ $T = m(g + a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રતિબળ $\sigma = 4 \times 10^8 \text{ N/m}^2$,દળ $m = 1600 \text{ kg}$,ત્રિજ્યા $r = 4 \text{ mm} = 4 \times 10^{-3} \text{ m}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$.
તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (4 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = 3.14 \times 16 \times 10^{-6} \text{ m}^2 = 50.24 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
તાર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T = \sigma \times A = (4 \times 10^8 \text{ N/m}^2) \times (50.24 \times 10^{-6} \text{ m}^2) = 20096 \text{ N}$.
ગતિના સમીકરણ $T = m(g + a)$ નો ઉપયોગ કરતા,$20096 = 1600(10 + a)$.
બંને બાજુ $1600$ વડે ભાગતા,$10 + a = \frac{20096}{1600} = 12.56$.
તેથી,$a = 12.56 - 10 = 2.56 \text{ m/s}^2$.