एक कण को हवा में एक सतह के साथ $\beta$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,जो सतह स्वयं क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण पर झुकी हुई है (चित्र)।
$(a)$ समतल सतह पर परास (range) के लिए एक व्यंजक ज्ञात कीजिए (प्रक्षेपण बिंदु से सतह पर उस बिंदु तक की दूरी जहाँ कण सतह से टकराएगा)।
$(b)$ उड़ान का समय (time of flight) ज्ञात कीजिए।
$(c)$ वह कोण $\beta$ ज्ञात कीजिए जिस पर परास अधिकतम होगी।

(N/A) संलग्न चित्र पर विचार करें।
निर्देशांक प्रणाली को इस प्रकार निर्धारित करें कि $X$-अक्ष झुकी हुई सतह के अनुदिश हो और $Y$-अक्ष उसके लंबवत हो।
प्रारंभिक वेग के घटक: $U_x = v_0 \cos \beta$,$U_y = v_0 \sin \beta$।
त्वरण के घटक: $a_x = -g \sin \alpha$,$a_y = -g \cos \alpha$।
$(b)$ उड़ान का समय $(T)$:
टकराव के बिंदु $P$ पर,$Y$-अक्ष पर विस्थापन $y = 0$ है।
$y = U_y T + \frac{1}{2} a_y T^2$ का उपयोग करने पर:
$0 = (v_0 \sin \beta) T - \frac{1}{2} (g \cos \alpha) T^2$
$T = \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha}$।
$(a)$ परास $(R)$:
परास समय $T$ पर $X$-अक्ष पर विस्थापन है।
$R = U_x T + \frac{1}{2} a_x T^2$
$R = (v_0 \cos \beta) \left( \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} \right) - \frac{1}{2} (g \sin \alpha) \left( \frac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} \right)^2$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta \cos \beta}{g \cos \alpha} - \frac{2 v_0^2 \sin^2 \beta \sin \alpha}{g \cos^2 \alpha}$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta}{g \cos^2 \alpha} [\cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha]$
$R = \frac{2 v_0^2 \sin \beta \cos(\alpha + \beta)}{g \cos^2 \alpha}$।
$(c)$ अधिकतम परास:
अधिकतम परास के लिए,$\frac{dR}{d\beta} = 0$।
सर्वसमिका $2 \sin \beta \cos(\alpha + \beta) = \sin(2\beta + \alpha) - \sin \alpha$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R = \frac{v_0^2}{g \cos^2 \alpha} [\sin(2\beta + \alpha) - \sin \alpha]$।
$R$ के अधिकतम होने के लिए,$\sin(2\beta + \alpha) = 1$,अतः $2\beta + \alpha = 90^\circ$।
$\beta = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$।