$\lim _{x}$ ${\rightarrow -a} \frac{x^7+a^7}{x+a} = 7$ $\Rightarrow a = ?$

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{{{x^3} - {k^3}}}{{{x^2} - {k^2}}}$,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

अऋण पूर्णांक $a$ का वह अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\lim _{x \rightarrow 1}\left\{\frac{-a x+\sin (x-1)+a}{x+\sin (x-1)-1}\right\}^{\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}}=\frac{1}{4}$ है।

यदि $\lim _{x \rightarrow 5} \frac{x^{k}-5^{k}}{x-5}=500$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $k \in N$ है।

यदि $a_1 = 1$ और $a_{n+1} = \frac{4 + 3a_n}{3 + 2a_n}$,$n \ge 1$ के लिए,और यदि $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

$n$ का वह पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\cos x-1)(\cos x-e^x)}{x^n}$ एक परिमित शून्येतर वास्तविक संख्या है।