Concept of limits, Evaluation of algebric limits Questions in Gujarati

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત નિયમિત $n$-બાજુવાળા બહુકોણની પરિમિતિ $P_n = 2nR \sin(\frac{\pi}{n})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $n \to \infty$ થાય,ત્યારે આપણે મર્યાદા $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$x = \frac{\pi}{n}$ લેતા,જેમ $n \to \infty$,તેમ $x \to 0$ થાય છે.
આમ,$\lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} 2nR \sin(\frac{\pi}{n}) = \lim_{n \to \infty} 2\pi R \frac{\sin(\pi/n)}{\pi/n} = 2\pi R(1) = 2\pi R$.
તેથી,પરિમિતિ વર્તુળના પરિઘની નજીક પહોંચે છે,જે $2\pi R$ છે.

(D) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({e^x} - 1)}}{{1 - \cos x}}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1$ અને નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2(x/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({e^x} - 1)}}{{2 \sin^2(x/2)}}$.
$x$ અને $(x/2)^2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{e^x} - 1}}{x} \right) \cdot \frac{x^2}{2 \sin^2(x/2)}$.
$= 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2 (x/2)^2 \cdot (\frac{\sin(x/2)}{x/2})^2}$.
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{2 (x^2/4) \cdot 1^2} = \frac{1}{2/4} = 2$.

(D) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{|1 - x|}$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ ચકાસીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-} \frac{1}{|1 - x|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{|1 - (1 - h)|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{|h|} = \infty$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+} \frac{1}{|1 - x|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{|1 - (1 + h)|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{|-h|} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0^+} \frac{1}{h} = \infty$.
બંને બાજુના લક્ષ $\infty$ હોવાથી,આપેલ લક્ષ $\infty$ છે.

(C) આપણે લક્ષ્યની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{n{{(2n + 1)}^2}}}{{(n + 2)({n^2} + 3n - 1)}}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $n(2n+1)^2 = n(4n^2 + 4n + 1) = 4n^3 + 4n^2 + n$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $(n+2)(n^2 + 3n - 1) = n^3 + 3n^2 - n + 2n^2 + 6n - 2 = n^3 + 5n^2 + 5n - 2$.
હવે,લક્ષ્ય આ મુજબ થશે: $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4n^3 + 4n^2 + n}}{{n^3 + 5n^2 + 5n - 2}}$.
અંશ અને છેદ બંનેને $n^3$ વડે ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{4 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}}}{{1 + \frac{5}{n} + \frac{5}{n^2} - \frac{2}{n^3}}}$.
જેમ $n \to \infty$,તેમ છેદમાં $n$ વાળા તમામ પદો $0$ ની નજીક પહોંચશે:
$= \frac{{4 + 0 + 0}}{{1 + 0 + 0 - 0}} = 4$.

(B) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n + \sqrt {n + 1} }}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદ બંનેને $\sqrt{n}$ વડે ભાગો:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} + \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}$
જેમ $n \to \infty$,તેમ પદ $\frac{1}{n} \to 0$ થાય છે.
તેથી,લક્ષ $\frac{1}{1 + \sqrt{1 + 0}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) $\lim_{x \to 1} f(x)$ શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ શોધીશું.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x) = 1$
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2 - x) = 2 - 1 = 1$
કારણ કે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન છે,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $1$ છે.

(B) આપણે પ્રમાણિત લક્ષનું સૂત્ર જાણીએ છીએ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = n \cdot a^{n-1}$.
આપેલ પદાવલિ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^n} - {2^n}}}{{x - 2}} = 80$.
$a = 2$ સાથે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $n \cdot 2^{n-1} = 80$.
આપણે $80$ ને $5 \cdot 16 = 5 \cdot 2^4$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$n \cdot 2^{n-1} = 5 \cdot 2^4$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 5$ મળે છે.

(C) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x}} \right)^x} = e^a$.
આપેલ પદ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)^x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$ મળે છે.
તેથી,લક્ષનું મૂલ્ય $e^2$ છે.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{2x^2 + x - 3}$.
પ્રથમ,છેદના અવયવ પાડો: $2x^2 + x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$.
આને લક્ષમાં મૂકતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(x - 1)}$.
કારણ કે $(x - 1) = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$,પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(2x - 3)(\sqrt{x} - 1)}{(2x + 3)(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$.
સામાન્ય અવયવ $(\sqrt{x} - 1)$ ને દૂર કરતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2x - 3}{(2x + 3)(\sqrt{x} + 1)}$.
હવે,$x = 1$ મૂકતા: $\frac{2(1) - 3}{(2(1) + 3)(\sqrt{1} + 1)} = \frac{-1}{(5)(2)} = -\frac{1}{10}$.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1}$.
જમણી બાજુના લક્ષ માટે $(x \to 0^+)$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{e^{1/h} - 1}{e^{1/h} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1 - e^{-1/h}}{1 + e^{-1/h}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$.
ડાબી બાજુના લક્ષ માટે $(x \to 0^-)$:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{e^{1/x} - 1}{e^{1/x} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{e^{-1/h} - 1}{e^{-1/h} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(1)$ અને ડાબી બાજુનું લક્ષ $(-1)$ સમાન ન હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) સીમા ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો ડાબી બાજુની સીમા અને જમણી બાજુની સીમા સમાન હોય.
ડાબી બાજુની સીમા માટે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1$.
જમણી બાજુની સીમા માટે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1$.
કારણ કે ડાબી બાજુની સીમા $(-1)$ અને જમણી બાજુની સીમા $(1)$ સમાન નથી,તેથી સીમાનું અસ્તિત્વ નથી.

(C) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt x (\sqrt {x + 5} - \sqrt x )$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે પદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt x (\sqrt {x + 5} - \sqrt x ) \times \frac{\sqrt {x + 5} + \sqrt x}{\sqrt {x + 5} + \sqrt x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{\sqrt x (x + 5 - x)}{\sqrt {x + 5} + \sqrt x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{5\sqrt x}{\sqrt x(\sqrt {1 + 5/x} + 1)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{5}{\sqrt {1 + 5/x} + 1}$
જેમ $x \to \infty$,તેમ $5/x \to 0$,તેથી પદ $\frac{5}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{5}{2}$ થાય છે.

(C) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{2x^2 - 7x + 5}$.
$x = 1$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
છેદના અવયવ પાડતા: $2x^2 - 7x + 5 = (x - 1)(2x - 5)$.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x - 1}{(x - 1)(2x - 5)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2x - 5}$.
$x = 1$ મૂકતા: $\frac{1}{2(1) - 5} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(x - 1)}{\frac{d}{dx}(2x^2 - 7x + 5)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{4x - 7} = \frac{1}{4(1) - 7} = -\frac{1}{3}$.

(A) આપણે $\mathop {\lim }\limits_{x \to n + 0} (x - [x])$ લક્ષની કિંમત શોધીએ છીએ.
જ્યારે $x \to n + 0$,ત્યારે $x$ એ $n$ કરતા સહેજ મોટું છે.
કોઈપણ $x$ માટે જ્યાં $n < x < n + 1$,મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય $[x] = n$ થાય.
તેથી,$\mathop {\lim }\limits_{x \to n + 0} (x - [x]) = \mathop {\lim }\limits_{x \to n + 0} (x - n) = n - n = 0$.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{x}{|x| + x^2}$.
ડાબી બાજુની સીમા $(LHL)$ માટે:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{-h}{|-h| + (-h)^2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{-h}{h + h^2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{-1}{1 + h} = -1$.
જમણી બાજુની સીમા $(RHL)$ માટે:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{|h| + h^2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{h + h^2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{1 + h} = 1$.
અહીં $LHL \neq RHL$ હોવાથી,સીમાનું અસ્તિત્વ નથી.

(C) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $x^2 - a^2 = (x - a)(x + a)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^2} - {a^2}}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{(x - a)(x + a)}{x - a}$
કારણ કે $x \to a$,તેથી $x - a \neq 0$,તેથી આપણે $(x - a)$ પદને છેદ ઉડાડી શકીએ છીએ.
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (x + a) = a + a = 2a.$

(A) અમે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{x^n - a^n}}{{x - a}} = na^{n-1}$.
ધારો કે $u = x + 2$. જેમ $x \to a$,તેમ $u \to a + 2$.
પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $\mathop {\lim }\limits_{u \to a+2} \frac{{u^{5/3} - (a+2)^{5/3}}}{{u - (a+2)}}$.
$n = 5/3$ અને ચલ $u$ એ $a+2$ ને અનુલક્ષે છે તે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{5}{3}(a+2)^{(5/3) - 1} = \frac{5}{3}(a+2)^{2/3}$.

(C) $x = 3$ આગળ લક્ષ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ અલગથી મેળવીશું.
જમણી બાજુના લક્ષ $(x \to 3^+)$ માટે,આપણે $f(x) = 5 - x$ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5 - 3 = 2$.
ડાબી બાજુના લક્ષ $(x \to 3^-)$ માટે,આપણે $f(x) = \frac{2}{5-x}$ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \frac{2}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1$.
કારણ કે $2 \neq 1$,તેથી $\lim_{x \to 3^+} f(x) \neq \lim_{x \to 3^-} f(x)$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{\cot^2 \theta - 3}}{{\csc \theta - 2}}$.
નિત્યસમ $\cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{\csc^2 \theta - 1 - 3}}{{\csc \theta - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{\csc^2 \theta - 4}}{{\csc \theta - 2}}$.
અંશના અવયવ પાડતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} \frac{{(\csc \theta - 2)(\csc \theta + 2)}}{{\csc \theta - 2}}$.
સમાન પદ $(\csc \theta - 2)$ ને દૂર કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{\theta \to \pi /6} (\csc \theta + 2) = \csc(\pi /6) + 2$.
$\csc(\pi /6) = 2$ હોવાથી,$2 + 2 = 4$ મળે.

(C) પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\mathop {\lim }\limits_{u \to a} \frac{u^n - a^n}{u - a} = n a^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = 1 + x$. જ્યારે $x \to 0$,ત્યારે $u \to 1$.
પદાવલિ $\mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{u^5 - 1^5}{u^3 - 1^3}$ બને છે.
અંશ અને છેદને $(u - 1)$ વડે ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{u \to 1} \frac{(u^5 - 1^5)/(u - 1)}{(u^3 - 1^3)/(u - 1)} = \frac{5(1)^{5-1}}{3(1)^{3-1}} = \frac{5}{3}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}((1+x)^5 - 1)}{\frac{d}{dx}((1+x)^3 - 1)} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{5(1+x)^4}{3(1+x)^2} = \frac{5(1)^4}{3(1)^2} = \frac{5}{3}$.

(A) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{x^9} + {a^9}}}{{x + a}} = 9$
અહીં પદાવલિ $x = a$ આગળ સતત હોવાથી,આપણે સીધી કિંમત $x = a$ મૂકી શકીએ:
$\frac{{{a^9} + {a^9}}}{{a + a}} = 9$
$\frac{{2{a^9}}}{{2a}} = 9$
${a^8} = 9$
$a = \pm 9^{1/8}$

(A) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{x e^{1/x}}{1 + e^{1/x}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $e^{1/x}$ વડે ભાગીએ છીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{x}{\frac{1}{e^{1/x}} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \frac{x}{e^{-1/x} + 1}$
જેમ $x \to 0^ +$,તેમ $1/x \to \infty$,તેથી $e^{-1/x} \to 0$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0 + 1} = 0$ મળે છે.

(C) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [x]$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^-} [x] = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [1 - h] = 0$.
જમણી બાજુનું લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^+} [x] = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [1 + h] = 1$.
અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ $(0)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(1)$ સમાન ન હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(B) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} + bx + 4}}{{{x^2} + ax + 5}}} \right)$ શોધવા માટે,અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગો:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{1 + \frac{b}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}}}{{1 + \frac{a}{x} + \frac{5}{{{x^2}}}}}} \right)$
જેમ $x \to \infty$,તેમ પદો $\frac{b}{x}$,$\frac{4}{x^2}$,$\frac{a}{x}$,અને $\frac{5}{x^2}$ બધા $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,લક્ષ $\frac{1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 1$ થાય છે.

(B) અમને આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{x}$.
આને ઉકેલવા માટે,અંશમાં $1$ ઉમેરીએ અને બાદ કરીએ:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - 1 - ({b^x} - 1)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{a^x} - 1}}{x} - \frac{{{b^x} - 1}}{x} \right)$.
પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{k^x} - 1}}{x} = \log k$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \log a - \log b$.
લઘુગણકના ગુણધર્મ $\log m - \log n = \log \left( \frac{m}{n} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \log \left( \frac{a}{b} \right)$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સરવાળો $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ છે.
આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{{6{n^3}}}} \right]$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n}{n} \cdot \frac{(n + 1)}{n} \cdot \frac{(2n + 1)}{n} \cdot \frac{1}{6}$
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( 1 \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \cdot \frac{1}{6}$
$= 1 \cdot (1 + 0) \cdot (2 + 0) \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} - \sqrt {{x^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{x^2} + {c^2}} - \sqrt {{x^2} + {d^2}} }}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
અંશ અને છેદને તેમના અનુબદ્ધ પદો વડે ગુણતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{(\sqrt {x^2 + a^2} - \sqrt {x^2 + b^2})(\sqrt {x^2 + a^2} + \sqrt {x^2 + b^2})}{(\sqrt {x^2 + c^2} - \sqrt {x^2 + d^2})(\sqrt {x^2 + c^2} + \sqrt {x^2 + d^2})} \times \frac{(\sqrt {x^2 + c^2} + \sqrt {x^2 + d^2})}{(\sqrt {x^2 + a^2} + \sqrt {x^2 + b^2})} $
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{(x^2 + a^2) - (x^2 + b^2)}{(x^2 + c^2) - (x^2 + d^2)} \times \frac{\sqrt {x^2 + c^2} + \sqrt {x^2 + d^2}}{\sqrt {x^2 + a^2} + \sqrt {x^2 + b^2}} $
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{a^2 - b^2}{c^2 - d^2} \times \frac{x\sqrt {1 + c^2/x^2} + x\sqrt {1 + d^2/x^2}}{x\sqrt {1 + a^2/x^2} + x\sqrt {1 + b^2/x^2}} $
જેમ $x \to \infty$,તેમ $a^2/x^2, b^2/x^2, c^2/x^2, d^2/x^2$ પદો $0$ ને અનુલક્ષે છે.
$= \frac{a^2 - b^2}{c^2 - d^2} \times \frac{1 + 1}{1 + 1} = \frac{a^2 - b^2}{c^2 - d^2}$.

(A) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}{(\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x})(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}{(x - 2) - (4 - x)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}{2x - 6}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{(x - 3)(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x})}{2(x - 3)}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x}}{2}$
$= \frac{\sqrt{3 - 2} + \sqrt{4 - 3}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital નો નિયમ વાપરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{\frac{d}{dx}(x - 3)}{\frac{d}{dx}(\sqrt{x - 2} - \sqrt{4 - x})} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x - 2}} - \frac{-1}{2\sqrt{4 - x}}} = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 1$.

(C) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{(x - 1)(2x + 3)}}{{{x^2}}}$.
પ્રથમ,અંશનું વિસ્તરણ કરો: $(x - 1)(2x + 3) = 2x^2 + 3x - 2x - 3 = 2x^2 + x - 3$.
હવે,આ કિંમતને લક્ષમાં મૂકો: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2x^2 + x - 3}}{{x^2}}$.
અંશના દરેક પદને $x^2$ વડે ભાગો: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{{2x^2}}{{x^2}} + \frac{x}{{x^2}} - \frac{3}{{x^2}}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (2 + \frac{1}{x} - \frac{3}{{x^2}})$.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $\frac{1}{x} \to 0$ અને $\frac{3}{{x^2}} \to 0$.
તેથી,લક્ષની કિંમત $2 + 0 - 0 = 2$ છે.

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.
આ કિંમતને લક્ષના પદમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n^2(n^2 + 2n + 1)}{4n^4}$.
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4n^4}$.
અંશ અને છેદને $n^4$ વડે ભાગતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{4} = \frac{1 + 0 + 0}{4} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ પદ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{y^2}}}{x}$ જ્યાં ${y^2} = ax + b{x^2} + c{x^3}$.
લિમિટમાં ${y^2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ax + b{x^2} + c{x^3}}}{x}$
અંશના દરેક પદને $x$ વડે ભાગતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (a + bx + c{x^2})$
હવે,લિમિટ $x \to 0$ લાગુ પાડતા:
$a + b(0) + c(0)^2 = a$.

(B) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + 5x - 6}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $x = 1$ મૂકીને સ્વરૂપ તપાસીએ.
$x = 1$ મૂકતા $\frac{1^3 - 1}{1^2 + 5(1) - 6} = \frac{0}{0}$ મળે છે,જે અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
આપણે અંશ અને છેદના અવયવો પાડીએ:
અંશ: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$
છેદ: $x^2 + 5x - 6 = (x - 1)(x + 6)$
હવે,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 6)}$ બને છે.
સામાન્ય અવયવ $(x - 1)$ ને દૂર કરતા,આપણને $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 6}$ મળે છે.
$x = 1$ મૂકતા $\frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 6} = \frac{3}{7}$ મળે છે.

(A) આપેલ લક્ષ: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sqrt {a + 2x} - \sqrt {3x} }}{{\sqrt {3a + x} - 2\sqrt x }}$
અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{a - x}{3(a - x)} \times \frac{\sqrt {3a + x} + 2\sqrt x}{\sqrt {a + 2x} + \sqrt {3x}}$
$L = \frac{1}{3} \times \frac{2\sqrt{4a} + 2\sqrt{a}}{2\sqrt{3a}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ લક્ષ: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^{ - 1/3}}}}{{1 - {x^{ - 2/3}}}}$.
છેદને અવયવ પાડતા: $1 - {x^{ - 2/3}} = (1 - {x^{ - 1/3}})(1 + {x^{ - 1/3}})$.
લક્ષમાં કિંમત મુકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - {x^{ - 1/3}}}}{{(1 - {x^{ - 1/3}})(1 + {x^{ - 1/3}})}}$.
સામાન્ય પદ $(1 - {x^{ - 1/3}})$ ઉડાડતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{1 + {x^{ - 1/3}}}} = \frac{1}{{1 + 1^{ - 1/3}}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$L$-Hospital ના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(1 - x^{-1/3})}{\frac{d}{dx}(1 - x^{-2/3})} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{\frac{1}{3}x^{-4/3}}{\frac{2}{3}x^{-5/3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2}x^{1/3} = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ લક્ષ: $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{1 - \cos x}}$
પ્રમાણિત લક્ષો $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{2^x} - 1}}{x} = \log 2$ અને $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x({2^x} - 1)}}{{2\sin^2(\frac{x}{2})}}$
$L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{2^x} - 1}}{x} \right) \cdot \left( \frac{x^2}{2\sin^2(\frac{x}{2})} \right)$
$L = (\log 2) \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{2 \left( \frac{\sin(x/2)}{x} \right)^2}$
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x/2} = 1$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x/2)}{x} = \frac{1}{2}$:
$L = (\log 2) \cdot \frac{1}{2 \cdot (1/2)^2} = (\log 2) \cdot \frac{1}{2 \cdot (1/4)} = (\log 2) \cdot 2 = 2\log 2 = \log 4$.

(A) આપણી પાસે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}}$ છે.
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$ અને $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$ ના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(x + \frac{x^3}{3} + \dots) - (x - \frac{x^3}{6} + \dots)}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}}{{{x^3}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{3x^3}{6}}}{{{x^3}}} = \frac{1}{2}$.

(C) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin C - \sin D = 2 \cos \left( \frac{C+D}{2} \right) \sin \left( \frac{C-D}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $C = 2+x$ અને $D = 2-x$.
તેથી $\sin(2+x) - \sin(2-x) = 2 \cos \left( \frac{2+x+2-x}{2} \right) \sin \left( \frac{2+x-(2-x)}{2} \right) = 2 \cos(2) \sin(x)$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2 \cos 2 \sin x}{x} = 2 \cos 2 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$,તેથી પરિણામ $2 \cos 2 \cdot 1 = 2 \cos 2$ મળે છે.

(B) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $x$ ની મહત્તમ ઘાત,એટલે કે ${x^2}$ વડે ભાગીએ છીએ.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{2 - (3/x) + (1/{x^2})}}{{1 - (1/{x^2})}}$
જેમ $x \to \infty$,પદો $(3/x)$,$(1/{x^2})$,અને $(1/{x^2})$ એ $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,લક્ષ $\frac{{2 - 0 + 0}}{{1 - 0}} = \frac{2}{1} = 2$ થાય છે.

(C) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3{x^2} + 2x - 1}}{{2{x^2} - 3x - 3}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત એટલે કે $x^2$ વડે ભાગો.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{2 - \frac{3}{x} - \frac{3}{{{x^2}}}}}$
જેમ $x \to \infty$,તેમ પદો $\frac{2}{x}$,$\frac{1}{{{x^2}}}$,$\frac{3}{x}$,અને $\frac{3}{{{x^2}}}$ એ $0$ ની નજીક જાય છે.
તેથી,લક્ષ $\frac{{3 + 0 - 0}}{{2 - 0 - 0}} = \frac{3}{2}$ થાય છે.

(C) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{|x - 2|}{x - 2}$ શોધવા માટે,આપણે ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ મેળવીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^-} \frac{|x - 2|}{x - 2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|2 - h - 2|}{2 - h - 2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|-h|}{-h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{-h} = -1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^+} \frac{|x - 2|}{x - 2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|2 + h - 2|}{2 + h - 2} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{|h|}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$.
અહીં ડાબી બાજુનું લક્ષ $(-1)$ અને જમણી બાજુનું લક્ષ $(1)$ સમાન નથી,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(C) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{(2x + 1)}^{40}}{{(4x - 1)}^5}}}{{{{(2x + 3)}^{45}}}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે દરેક પદમાંથી $x$ ની મહત્તમ ઘાત સામાન્ય કાઢીશું:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{[x(2 + \frac{1}{x})]}^{40}}{{[x(4 - \frac{1}{x})]}^5}}}{{{{[x(2 + \frac{3}{x})]}^{45}}}}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{x^{45}}{{(2 + \frac{1}{x})}^{40}}{{(4 - \frac{1}{x})}^5}}}{{{x^{45}}{{(2 + \frac{3}{x})}^{45}}}}$
$= \frac{{{2^{40}} \cdot {4^5}}}{{{2^{45}}}} = \frac{{{2^{40}} \cdot {2^{10}}}}{{{2^{45}}}} = {2^5} = 32$

(B) ધારો કે $\tan^{-1} 2x = \theta$.
તેથી $2x = \tan \theta$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{2} \tan \theta$.
જેમ $x \to 0$,તેમ $\theta \to 0$.
આ કિંમતોને લક્ષમાં મૂકતા:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{\tan^{-1} 2x} = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\frac{1}{2} \tan \theta}{\theta} = \frac{1}{2} \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta}$.
કારણ કે $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{\tan \theta}{\theta} = 1$,તેથી પરિણામ $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\theta = \pi - 2x$. જેમ $x \to \frac{\pi}{2}$,તેમ $\theta \to 0$.
તેથી $2x = \pi - \theta$,તેથી $\cos 2x = \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$.
પદાવલિ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$ બને છે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\frac{\theta}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2(\frac{\theta}{2})}{\theta^2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2(\frac{\theta}{2})}{4(\frac{\theta}{2})^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(A) આપણે લક્ષની કિંમત શોધવાની છે: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /2} \frac{\tan 3x}{x}$.
જેમ $x \to \pi /2$,અંશ $\tan 3x$ એ $\tan(3\pi / 2)$ તરફ જાય છે,જે અવ્યાખ્યાયિત છે.
છેદ $x$ એ $\pi / 2$ તરફ જાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {3 + x} - \sqrt {3 - x} }}{x}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશનું સંમેયીકરણ કરીશું:
અંશ અને છેદને $(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})$ વડે ગુણતા:
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x})(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}{x(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{(3+x) - (3-x)}{x(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2x}{x(\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x})}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{\sqrt{3+x} + \sqrt{3-x}}$
$= \frac{2}{\sqrt{3+0} + \sqrt{3-0}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \log x$. તો $f'(x) = \frac{1}{x}$.
પ્રથમ લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\log (a + x) - \log a}}{x} = f'(a) = \frac{1}{a}$ છે.
બીજું લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\log x - 1}}{{x - e}}$ છે. કારણ કે $\log e = 1$,આ $\mathop {\lim }\limits_{x \to e} \frac{{\log x - \log e}}{{x - e}} = f'(e) = \frac{1}{e}$ થાય.
આ કિંમતો આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{a} + k \cdot \frac{1}{e} = 1$.
$\frac{k}{e} = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a - 1}{a}$.
તેથી,$k = e \left( \frac{a - 1}{a} \right) = e \left( 1 - \frac{1}{a} \right)$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\sqrt{\frac{1}{2}(2 \sin^2 x)} = \sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$ મળે છે.
આમ,લક્ષ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x}$ બને છે.
જમણી બાજુના લક્ષ માટે $(x \to 0^+)$,$|\sin x| = \sin x$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$.
ડાબી બાજુના લક્ષ માટે $(x \to 0^-)$,$|\sin x| = -\sin x$,તેથી $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ અને જમણી બાજુનું લક્ષ સમાન ન હોવાથી,લક્ષનું અસ્તિત્વ નથી.

(D) આપણે પ્રમાણિત લક્ષના સૂત્ર $\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\alpha x}} - {e^{\beta x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\alpha x}} - 1 - ({e^{\beta x}} - 1)}}{x}$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \frac{{{e^{\alpha x}} - 1}}{x} - \frac{{{e^{\beta x}} - 1}}{x} \right)$
$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( \alpha \cdot \frac{{{e^{\alpha x}} - 1}}{{\alpha x}} - \beta \cdot \frac{{{e^{\beta x}} - 1}}{{\beta x}} \right)$
$= \alpha(1) - \beta(1) = \alpha - \beta$.