Basic concepts Questions in Gujarati

(D) આદર્શ વાયુ માટે,એન્થાલ્પી $H$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે,એટલે કે $H = f(T)$.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,તાપમાન અચળ રહે છે,તેથી $\Delta T = 0$.
એન્થાલ્પીમાં ફેરફાર $\Delta H = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta T = 0$ હોવાથી,એન્થાલ્પી ફેરફાર $\Delta H = 0 \ kJ$ થાય છે.

(B) એન્થાલ્પીમાં થતો ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$.
$\Delta H$ અને $\Delta U$ સમાન હોવા માટે,$\Delta n_g$ ની કિંમત $0$ હોવી જોઈએ.
$\Delta n_g$ એ વાયુરૂપ નીપજો અને વાયુરૂપ પ્રક્રિયકોના તત્વયોગમિતિય સહગુણકોના સરવાળા વચ્ચેનો તફાવત છે.
વિકલ્પ $(B)$ માટે: $C_{(s)} + O_{2(g)} \rightarrow CO_{2(g)}$,$\Delta n_g = 1 - 1 = 0$.
તેથી,આ પ્રક્રિયા માટે $\Delta H = \Delta U$ થાય છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $H = E + PV$.
આદર્શ વાયુ માટે,$PV = nRT$.
તેથી,$H = E + nRT$.
અચળ તાપમાન $T$ પર બે અલગ-અલગ અવસ્થાઓ માટે: $H_1 = E_1 + n_1RT$ અને $H_2 = E_2 + n_2RT$.
પ્રથમ સમીકરણને બીજામાંથી બાદ કરતા: $(H_2 - H_1) = (E_2 - E_1) + (n_2RT - n_1RT)$.
આને ફરીથી ગોઠવતા મળે છે: $H_2 - H_1 - E_2 + E_1 = n_2RT - n_1RT$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણ $(q_{p})$ અને અચળ કદ $(q_{v})$ પર પ્રક્રિયાની ઉષ્મા એન્થાલ્પી ફેરફારના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે.
કારણ કે $\Delta H = \Delta E + \Delta n RT$ અને $\Delta H = q_{p}$ (અચળ દબાણે) અને $\Delta E = q_{v}$ (અચળ કદે),
તેથી,$q_{p} = q_{v} + \Delta n RT$.

(D) સિસ્ટમના જે ગુણધર્મોનું મૂલ્ય સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર હોય છે તેને તીવ્ર (intensive) ગુણધર્મો કહેવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$temperature$ (તાપમાન),$viscosity$ (સ્નિગ્ધતા),$surface \ tension$ (પૃષ્ઠતાણ),$pressure$ (દબાણ),$density$ (ઘનતા) વગેરે.
આપેલા તમામ વિકલ્પો પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર હોવાથી,તે બધા તીવ્ર ગુણધર્મો છે.

(C) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta U)$ વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$.
$\Delta H = \Delta U$ સાચું હોવા માટે,$\Delta n_g$ પદ $0$ ની બરાબર હોવું જોઈએ.
$\Delta n_g$ એ વાયુરૂપ નીપજો અને વાયુરૂપ પ્રક્રિયકોના તત્વયોગમિતીય સહગુણકોના સરવાળા વચ્ચેનો તફાવત છે.
પ્રક્રિયા $2HI_{(g)} \rightleftharpoons H_{2(g)} + I_{2(g)}$ માટે:
$\Delta n_g = (1 + 1) - 2 = 0$.
તેથી,આ પ્રક્રિયા માટે $\Delta H = \Delta U$ થાય છે.

(D) આપેલ છે: $n = 2 \ mol$,$V_1 = 1 \ L$,$V_2 = 10 \ L$,$T = 300 \ K$,$R = 0.0083 \ kJ \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
પ્રતિવર્તી સમતાપી વિસ્તરણ માટે કાર્યનું સૂત્ર:
$W = -2.303 \ nRT \log \frac{V_2}{V_1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = -2.303 \times 2 \times 0.0083 \times 300 \times \log \frac{10}{1}$.
$W = -2.303 \times 2 \times 0.0083 \times 300 \times 1$.
$W = -11.47 \ kJ \approx -11.5 \ kJ$.
તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $11.5 \ kJ$ છે.

(A) વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = -P_{ext} \Delta V$ છે.
વાયુ બાહ્ય દબાણ વિરુદ્ધ વિસ્તરણ પામે છે,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = P_{ext} \Delta V$ થશે.
અહીં $P_{ext} = 10^{5} \ Nm^{-2}$,$V_{1} = 1 \ m^{3}$,અને $V_{2} = 2 \ m^{3}$ આપેલ છે.
$\Delta V = V_{2} - V_{1} = 2 \ m^{3} - 1 \ m^{3} = 1 \ m^{3}$.
$W = 10^{5} \ Nm^{-2} \times 1 \ m^{3} = 10^{5} \ J$.
કિલોજૂલમાં રૂપાંતર કરતા,$10^{5} \ J = 100 \ kJ = 10^{2} \ kJ$.

(C) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta U)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta H = \Delta U + \Delta(PV)$
વાયુરૂપ પ્રતિક્રિયાઓ માટે,આ સમીકરણ આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે:
$\Delta H = \Delta U + \Delta n_{g}RT$
જ્યાં $\Delta n_{g}$ એ વાયુરૂપ નીપજો અને પ્રક્રિયકોના મોલની સંખ્યામાં થતો ફેરફાર છે.

(D) $I$) કાર્ય એ પથ વિધેય છે કારણ કે તે પ્રારંભિક સ્થિતિમાંથી અંતિમ સ્થિતિ સુધી પહોંચવા માટે લીધેલા માર્ગ પર આધાર રાખે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$II$) એન્થાલ્પી $(H)$ એ જથ્થાત્મક ગુણધર્મ છે કારણ કે તે તંત્રમાં હાજર દ્રવ્યના જથ્થા પર આધાર રાખે છે. આ વિધાન સાચું છે.
$III$) આયનીય સંયોજનોની લેટીસ એન્થાલ્પી બોર્ન-હેબર ચક્રનો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય છે,જે લેટીસ એન્થાલ્પીને આયનીકરણ ઉર્જા,ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્તિ એન્થાલ્પી અને ઉર્ધ્વપાતન ઉર્જા જેવા અન્ય થર્મોડાયનેમિક ડેટા સાથે જોડે છે. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,બધા વિધાનો $I, II,$ અને $III$ સાચા છે.

(D) વિસ્તૃત ગુણધર્મો સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે. જેમાં સમાવેશ થાય છે: એન્થાલ્પી,દળ અને કદ. (કુલ = $3$)
તીવ્ર ગુણધર્મો સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર છે. જેમાં સમાવેશ થાય છે: ઘનતા,તાપમાન અને દબાણ. (કુલ = $3$)
તેથી,વિસ્તૃત અને તીવ્ર ગુણધર્મોની સંખ્યા અનુક્રમે $3$ અને $3$ છે.

(C) વિસ્તૃત ગુણધર્મો (Extensive properties) તે છે જે સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે.
આપેલ યાદીમાંથી:
$1$. એન્થાલ્પી $(H)$: વિસ્તૃત ગુણધર્મ.
$2$. ઘનતા $(d)$: તીવ્ર ગુણધર્મ (દળ અને કદનો ગુણોત્તર).
$3$. કદ $(V)$: વિસ્તૃત ગુણધર્મ.
$4$. આંતરિક ઉર્જા $(U)$: વિસ્તૃત ગુણધર્મ.
$5$. તાપમાન $(T)$: તીવ્ર ગુણધર્મ.
તેથી,વિસ્તૃત ગુણધર્મો એન્થાલ્પી,કદ અને આંતરિક ઉર્જા છે.
વિસ્તૃત ગુણધર્મોની કુલ સંખ્યા $3$ છે.

(C) વિસ્તૃત ગુણધર્મો સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે,જેમ કે $Internal \ energy$,$enthalpy$,$Mass$,$volume$,$Heat \ capacity$,અને $Gibbs \ energy$.
તીવ્ર (Intensive) ગુણધર્મો પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર હોય છે,જેમ કે $Density$ અને $pressure$.
તેથી,એવી જોડી જેમાં બંને વિસ્તૃત ગુણધર્મો નથી (એટલે કે,બંને તીવ્ર ગુણધર્મો છે) તે $Density$ અને $pressure$ છે.

(C) વિસ્તૃત (Extensive) ગુણધર્મો સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે. આ છે: $\text{દળ}$,$\text{એન્થાલ્પી}$,$\text{ઉષ્મા ક્ષમતા}$,અને $\text{આંતરિક ઉર્જા}$. (કુલ = $4$)
તીવ્ર (Intensive) ગુણધર્મો સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર છે. આ છે: $\text{તાપમાન}$,$\text{દબાણ}$,અને $\text{ઘનતા}$. (કુલ = $3$)
તેથી,વિસ્તૃત અને તીવ્ર ગુણધર્મોની સંખ્યા અનુક્રમે $4$ અને $3$ છે.

(A) વિસ્તૃત ગુણધર્મો તે છે જે સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા અથવા કદ પર આધાર રાખે છે. જો પદાર્થનો જથ્થો બદલાય તો તેમના મૂલ્યો બદલાય છે.
આપેલ ગુણધર્મોમાંથી:
$1$. કદ: વિસ્તૃત
$2$. એન્થાલ્પી: વિસ્તૃત
$3$. ઘનતા: તીવ્ર (intensive) (દળ અને કદનો ગુણોત્તર)
$4$. તાપમાન: તીવ્ર
$5$. ઉષ્મા ધારિતા: વિસ્તૃત
$6$. દબાણ: તીવ્ર
$7$. આંતરિક ઉર્જા: વિસ્તૃત
વિસ્તૃત ગુણધર્મો કદ,એન્થાલ્પી,ઉષ્મા ધારિતા અને આંતરિક ઉર્જા છે.
તેથી,વિસ્તૃત ગુણધર્મોની કુલ સંખ્યા $4$ છે.

(A) વિસ્તૃત ગુણધર્મો એવા ગુણધર્મો છે જેનું મૂલ્ય સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા અથવા કદ પર આધાર રાખે છે.
$(A)$ ઉષ્મા ધારિતા: વિસ્તૃત ગુણધર્મ.
$(B)$ એન્ટ્રોપી: વિસ્તૃત ગુણધર્મ.
$(C)$ ગિબ્સ ઉર્જા: વિસ્તૃત ગુણધર્મ.
$(D)$ સાંદ્રતા: તીવ્ર ગુણધર્મ (intensive property) (પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર).
$(E)$ બાષ્પ દબાણ: તીવ્ર ગુણધર્મ (intensive property) (પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર).
તેથી,$A, B$ અને $C$ વિસ્તૃત ગુણધર્મો છે.

(B) સ્ટેટ ફંક્શન એ થર્મોડાયનેમિક ગુણધર્મો છે જે ફક્ત સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે,તે અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે લીધેલા માર્ગ પર નહીં.
$Internal \ Energy$,$Enthalpy$,અને $Entropy$ એ સ્ટેટ ફંક્શન છે.
$Work$ અને $Heat$ એ પાથ ફંક્શન છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના મૂલ્યો લીધેલા પ્રક્રિયાના માર્ગ પર આધાર રાખે છે.

(D) વિસ્તૃત ગુણધર્મો તે છે જે સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા અથવા દળ પર આધાર રાખે છે.
$I$. મોલર એન્ટ્રોપી એ તીવ્ર ગુણધર્મ છે કારણ કે તે પ્રતિ મોલ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$II$. વિશિષ્ટ કદ એ તીવ્ર ગુણધર્મ છે કારણ કે તે પ્રતિ એકમ દળ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$III$. ઉષ્મા ધારિતા એ વિસ્તૃત ગુણધર્મ છે કારણ કે તે પદાર્થના કુલ દળ પર આધાર રાખે છે.
$IV$. કદ એ વિસ્તૃત ગુણધર્મ છે કારણ કે તે પદાર્થના કુલ જથ્થા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,$III$ અને $IV$ વિસ્તૃત ગુણધર્મો છે.

(B) જથ્થાત્મક ગુણધર્મો એવા ગુણધર્મો છે જે સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે,જેમ કે $\text{કદ}$,$\text{દળ}$ અને $\text{એન્થાલ્પી}$.
તીવ્ર (intensive) ગુણધર્મો પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર હોય છે,જેમ કે $\text{તાપમાન}$,$\text{દબાણ}$ અને $\text{ઘનતા}$.
$\text{ઘનતા} = \frac{\text{દળ}}{\text{કદ}} = \frac{\text{જથ્થાત્મક ગુણધર્મ}}{\text{જથ્થાત્મક ગુણધર્મ}} = \text{તીવ્ર ગુણધર્મ}$.
તેથી,$\text{કદ}$ એ જથ્થાત્મક ગુણધર્મ છે.

(D) સ્ટેટ ફંક્શન પથથી સ્વતંત્ર હોય છે,જેમ કે એન્થાલ્પી $(H)$,આંતરિક ઉર્જા $(U)$ અને મુક્ત ઉર્જા $(G)$.
કાર્ય $(W)$ એ પથ પર આધારિત વિધેય છે અને તે સ્ટેટ ફંક્શન નથી.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,એન્થાલ્પી $H$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે,એટલે કે $H = f(T)$.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = 0$ છે.
તેથી,એન્થાલ્પીમાં થતો ફેરફાર $\Delta H = nC_p\Delta T = 0$ થાય.

(C) $P-V$ આલેખમાં,થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્ય કદ અક્ષ ($V$-અક્ષ) પરના વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow E$ માટે,થયેલ કાર્ય એ વક્ર $BE$,શિરોલંબ રેખાઓ $BC$ અને $ED$,અને કદ અક્ષ $CD$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ છે.
આ વક્ર $BE$ ની નીચેના $BCDE$ પ્રદેશના ક્ષેત્રફળને અનુરૂપ છે.

(C) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta U)$ વચ્ચેનો સામાન્ય સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta H = \Delta U + \Delta n_g RT$
$1 \text{ mole}$ આદર્શ વાયુ માટે,જ્યાં $\Delta n_g = 1$ હોય,ત્યારે સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$\Delta H = \Delta U + RT$
$\Delta U$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta U = \Delta H - RT$
તેથી,$\Delta U = \Delta H - R \Delta T$.

(B) સમતાપી પ્રતિવર્તી વિસ્તરણમાં થયેલ કાર્યનું સૂત્ર $W_{rev} = -2.303 nRT \log \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ છે.
આપેલ છે: $n = 2 \ mol$,$V_1 = 5 \ L$,$V_2 = 50 \ L$,$W = -189.1 \ L \ atm$,અને $R = 0.082 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $-189.1 = -2.303 \times 2 \times 0.082 \times T \times \log \left(\frac{50}{5}\right)$.
$-189.1 = -2.303 \times 2 \times 0.082 \times T \times 1$.
$T = \frac{-189.1}{-2.303 \times 2 \times 0.082} \approx 500 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T(^{\circ}C) = 500 - 273 = 227^{\circ}C$.

(C) અચળ બાહ્ય દબાણ સામે વિસ્તરણ દરમિયાન તંત્ર દ્વારા થતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = -P_{ext} \times (V_2 - V_1)$.
આપેલ છે: $P_{ext} = 2 \ atm$,$V_1 = 5 \ L$,$V_2 = X \ L$,અને $W = -2,026.4 \ J$.
પ્રથમ,કાર્યને જૂલમાંથી $L \cdot atm$ માં રૂપાંતરિત કરો,રૂપાંતરણ અવયવ $1 \ L \cdot atm = 101.32 \ J$ નો ઉપયોગ કરીને:
$W = \frac{-2,026.4 \ J}{101.32 \ J \cdot L^{-1} \cdot atm^{-1}} = -20 \ L \cdot atm$.
હવે,કિંમતોને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકો:
$-20 \ L \cdot atm = -2 \ atm \times (X - 5) \ L$.
બંને બાજુને $-2 \ atm$ વડે ભાગતા:
$10 = X - 5$.
તેથી,$X = 15 \ L$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = q + W$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય થતો નથી,તેથી $q = 0$. આમ,$\Delta U = W_{\text{adiabatic}}$. વિધાન $I$ સાચું છે.
કાર્ય એ પાથ ફંક્શન છે કારણ કે કરવામાં આવેલ કાર્યનું મૂલ્ય બે અવસ્થાઓ વચ્ચે લેવાયેલા ચોક્કસ માર્ગ પર આધાર રાખે છે,માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થા પર નહીં. વિધાન $II$ સાચું છે.
માત્રાત્મક ગુણધર્મ (extensive property) એવો ગુણધર્મ છે જેનું મૂલ્ય સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે. કદ એ પદાર્થના જથ્થાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી તે માત્રાત્મક ગુણધર્મ છે. વિધાન $III$ સાચું છે.
તેથી,વિધાનો $I, II$ અને $III$ ત્રણેય સાચા છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અચળ દબાણ $P$ માટે,તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ એ $P \Delta V = nR \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
અચળ દબાણે થતું કાર્ય $W$ એ $W = P \Delta V$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$P \Delta V$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $W = nR \Delta T$ મળે છે.
અહીં $n = 2$ મોલ અને $\Delta T = 20 \ K$ આપેલ હોવાથી,કાર્ય $W = 2 \times R \times 20 = 40R$ થશે.

(B) દબાણ $P = 10^7 \ N \cdot m^{-2}$.
પ્રારંભિક કદ $V_i = 5 \ m^3$.
અંતિમ કદ $V_f = 10 \ m^3$.
કદમાં ફેરફાર $\Delta V = V_f - V_i = 10 \ m^3 - 5 \ m^3 = 5 \ m^3$.
અચળ બાહ્ય દબાણ વિરુદ્ધ વાયુના વિસ્તરણ દરમિયાન વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = -P_{ext} \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = -(10^7 \ N \cdot m^{-2}) \times (5 \ m^3) = -50 \times 10^6 \ J$.
$1 \ MJ = 10^6 \ J$ હોવાથી,આપણને $W = -50 \ MJ$ મળે છે.

(B) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા એ એવી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં સિસ્ટમ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી.
તેથી,એડિયાબેટિક ફેરફાર માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $(q)$ શૂન્ય હોય છે $(q = 0)$.

(C) વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્યનું સૂત્ર $W = p \Delta V$ છે.
સમકદ પ્રક્રિયા (isochoric process) એવી પ્રક્રિયા છે જેમાં કદ અચળ રહે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta V = 0$.
આ કિંમત કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $W = p \times 0 = 0$ મળે છે.
તેથી,અચળ કદ પર આદર્શ વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $0$ છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(B) આદર્શ વાયુના સમતાપી પ્રતિવર્તી વિસ્તરણ માટે,થયેલ કાર્ય $(w)$ નું સૂત્ર: $w = -2.303 \ nRT \ \log(\frac{V_f}{V_i})$ છે.
$PV = nRT$ હોવાથી,આપણે $nRT$ ને $P_i V_i$ (પ્રારંભિક સ્થિતિ) વડે બદલી શકીએ છીએ:
$w = -2.303 \ P_i V_i \ \log(\frac{V_f}{V_i})$.
આપેલ છે: $w = -184.24 \ L \ atm$,$P_i = 10 \ atm$,$V_i = 4 \ L$.
કિંમતો મૂકતા:
$-184.24 = -2.303 \times (10 \times 4) \times \log(\frac{V_f}{4})$.
$-184.24 = -2.303 \times 40 \times \log(\frac{V_f}{4})$.
$-184.24 = -92.12 \times \log(\frac{V_f}{4})$.
$\log(\frac{V_f}{4}) = \frac{-184.24}{-92.12} = 2$.
$\frac{V_f}{4} = 10^2 = 100$.
$V_f = 100 \times 4 = 400 \ L$.

(D) ગરમી દરમિયાન એન્થાલ્પી ફેરફાર માટેનું સૂત્ર $\Delta H = n C_p \Delta T$ છે।
આપેલ છે:
$C_p = 75 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$
$T_1 = 10^{\circ}C = 283 \ K$
$T_2 = 20^{\circ}C = 293 \ K$
$\Delta T = 293 - 283 = 10 \ K$
મોલની સંખ્યા $(n)$ = $\frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{9 \ g}{18 \ g \ mol^{-1}} = 0.5 \ mol$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta H = 0.5 \ mol \times 75 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1} \times 10 \ K$
$\Delta H = 375 \ J$.

(A) આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે.
અવસ્થા વિધેયો માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે અને અંતિમ અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે લીધેલા માર્ગથી સ્વતંત્ર હોય છે.
બંને પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ માં,સિસ્ટમ અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે અને અવસ્થા $B$ પર સમાપ્ત થાય છે.
તેથી,બંને પ્રક્રિયાઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન છે: $\Delta U_1 = U_B - U_A$ અને $\Delta U_2 = U_B - U_A$.
આમ,$\Delta U_1 = \Delta U_2$.

(A) તીવ્ર (intensive) ગુણધર્મો એવા ગુણધર્મો છે જે પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખતા નથી.
આપેલ યાદીનું વિશ્લેષણ:
$I$. મોલર કદ: તીવ્ર (મોલ દીઠ કદ).
$II$. દળ: વિસ્તૃત (extensive).
$III$. આંતરિક ઉર્જા: વિસ્તૃત.
$IV$. કદ: વિસ્તૃત.
$V$. એન્થાલ્પી: વિસ્તૃત.
$VI$. તાપમાન: તીવ્ર.
$VII$. ઘનતા: તીવ્ર (એકમ કદ દીઠ દળ).
તેથી,તીવ્ર ગુણધર્મો $I, VI,$ અને $VII$ છે.

(A) તીવ્ર (intensive) ગુણધર્મ એ એક ભૌતિક રાશિ છે જેનું મૂલ્ય પદાર્થના જથ્થા પર આધારિત નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,પાણીનું ગલનબિંદુ $0^{\circ} C$ છે,પછી ભલે તમે $100 \ mL$ પાણી લો કે $1 \ kg$ પાણી.
વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ અને વક્રીભવનાંક એ તીવ્ર ગુણધર્મોના અન્ય ઉદાહરણો છે.
એન્ટ્રોપી એ તીવ્ર ગુણધર્મ નથી,પરંતુ તે વિસ્તૃત (extensive) ગુણધર્મ છે,કારણ કે તેનું મૂલ્ય પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે.
જેમ પદાર્થનો જથ્થો વધે છે,તેમ એન્ટ્રોપી પણ વધે છે.

(D) વિસ્તૃત ગુણધર્મ એ દ્રવ્યનો એવો ગુણધર્મ છે જે દ્રવ્યના જથ્થા સાથે બદલાય છે. ઉદાહરણ તરીકે,કદ,એન્ટ્રોપી,અને અચળ કદે ઉષ્મા ધારિતા.
તેનાથી વિપરીત,અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા એ વિસ્તૃત ગુણધર્મ નથી કારણ કે તે $1 \ mol$ પદાર્થ માટે નિશ્ચિત હોય છે,જે તેને તીવ્ર (intensive) ગુણધર્મ બનાવે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(B) સ્ટેટ ફંક્શન એ સિસ્ટમનો એવો ગુણધર્મ છે જે માત્ર તેની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે,તે અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે લીધેલા માર્ગ પર નહીં.
આંતરિક ઉર્જા $(U)$,એન્ટ્રોપી $(S)$ અને મુક્ત ઉર્જા $(G)$ એ સ્ટેટ ફંક્શનના ઉદાહરણો છે.
કાર્ય $(w)$ એ પ્રક્રિયા દરમિયાન સિસ્ટમ દ્વારા અનુસરવામાં આવતા માર્ગ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે પાથ ફંક્શન છે.

(A) આદર્શ વાયુના સમતાપી પ્રતિવર્તી વિસ્તરણ માટે,થયેલ કાર્ય $(w)$ નું સૂત્ર: $w = -nRT \ln(\frac{P_1}{P_2})$ છે.
આપેલ છે: $n = 1 \ mol$,$T = 300 \ K$,$P_1 = 20 \ atm$,$P_2 = 2 \ atm$,અને $R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $w = -1 \times 8.3 \times 300 \times \ln(\frac{20}{2})$.
$w = -2490 \times \ln(10)$.
$\ln(10) \approx 2.303$ લેતા: $w = -2490 \times 2.303 = -5734.47 \ J \ mol^{-1}$.
$kJ \ mol^{-1}$ માં ફેરવતા: $w = -5.734 \ kJ \ mol^{-1}$.
કારણ કે કાર્ય $-x \ kJ \ mol^{-1}$ છે,તેથી $-x = -5.734$,એટલે કે $x = 5.73$.

(A) આપેલ છે: $n = 1 \ mol$,$T = 61 \ K$,$V_1 = 1.0 \ L$,$V_2 = 10.0 \ L$,$R = 0.0821 \ L \ atm \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
સમતાપી પ્રતિવર્તી વિસ્તરણ માટે કાર્યનું સૂત્ર:
$W = -nRT \ln(V_2 / V_1)$
કિંમતો મૂકતા:
$W = -(1) \times (0.0821) \times (61) \times \ln(10 / 1)$
$W = -5.0081 \times 2.303$
$W \approx -11.53 \ L \ atm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,થયેલું કાર્ય $-11.52 \ L \ atm$ છે.

(D) પ્રતિવર્તી સમતાપી વિસ્તરણ માટે,કાર્યનું સૂત્ર: $W = -nRT \ln \frac{P_1}{P_2} = -2.303 nRT \log \frac{P_1}{P_2}$ છે.
આપેલ છે: $n = 2 \ mol$,$P_1 = 10 \ atm$,$P_2 = 1 \ atm$,$R = 8.3 \ J \ K^{-1} \ mol^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = -2.303 \times 2 \times 8.3 \times T \times \log \frac{10}{1}$.
$\log 10 = 1$ હોવાથી,$W = -2.303 \times 2 \times 8.3 \times T \times 1 = -38.2298 \times T \ J$.
$kJ$ માં ફેરવવા માટે,$1000$ વડે ભાગતા: $W = -38.2298 \times 10^{-3} \times T \ kJ \approx -3.82 \times 10^{-2} \times T \ kJ$.

(B) $P-V$ આલેખમાં કરેલું કાર્ય એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આલેખમાં,માર્ગની નીચેનું ક્ષેત્રફળ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય દર્શાવે છે.
ત્રણ માર્ગો હેઠળના ક્ષેત્રફળની સરખામણી કરતા,માર્ગ $3$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ માર્ગ $2$ આવે છે,અને માર્ગ $1$ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું છે.
તેથી,કરેલા કાર્ય માટેનો સંબંધ $W_1 < W_2 < W_3$ છે.

(A) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta U)$ વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ $\Delta H = \Delta U + P\Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘન અને પ્રવાહી માટે,કદમાં થતો ફેરફાર $(\Delta V)$ અત્યંત નાનો હોય છે,જેના કારણે $P\Delta V$ પદ અવગણ્ય બને છે.
તેથી,ઘન અને પ્રવાહી માટે $\Delta H \approx \Delta U$.
તેનાથી વિપરીત,વાયુઓ માટે $\Delta V$ નોંધપાત્ર હોય છે અને $P\Delta V = \Delta n_g RT$ અવગણી શકાતું નથી.
આમ,$(i)$ ઘન પદાર્થો અને $(iv)$ પ્રવાહીઓ માટે તફાવત નોંધપાત્ર નથી.

(B) એન્થાલ્પી ફેરફાર $(\Delta H)$ અને આંતરિક ઉર્જા ફેરફાર $(\Delta U)$ વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ: $\Delta H = \Delta U + P\Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$0^{\circ} C$ અને $1 \ bar$ પર,$1 \ g$ પાણીના ઠારણ માટે કદમાં થતો ફેરફાર $(\Delta V)$ અત્યંત નાનો અને અવગણ્ય છે.
તેથી,$\Delta H \approx \Delta U$.
આપેલ છે કે $1 \ g$ પાણીના ઠારણ માટે એન્થાલ્પી ફેરફાર $334 \ J$ છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર પણ આશરે $334 \ J$ થશે.

(C) એન્થાલ્પી $(H)$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરી શકાતું નથી. માત્ર પ્રક્રિયા દરમિયાન એન્થાલ્પીમાં થતો ફેરફાર $(\Delta H)$ માપી શકાય છે. તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે.

(A, B, C) વિસ્તૃત ગુણધર્મ પદાર્થના જથ્થા પર આધાર રાખે છે,જ્યારે તીવ્ર ગુણધર્મ પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર છે.
$1$. તીવ્ર ગુણધર્મ $(x)$ અને વિસ્તૃત ગુણધર્મ $(X)$ નો ગુણાકાર વિસ્તૃત હોય છે ($xX$ વિસ્તૃત છે).
$2$. તીવ્ર ગુણધર્મ $(x)$ અને વિસ્તૃત ગુણધર્મ $(X)$ નો ગુણોત્તર તીવ્ર હોય છે ($\frac{x}{X}$ તીવ્ર છે).
$3$. વિસ્તૃત ગુણધર્મ $(X)$ અને તીવ્ર ગુણધર્મ $(x)$ નો ગુણોત્તર વિસ્તૃત હોય છે ($\frac{X}{x}$ વિસ્તૃત છે).
$4$. વિસ્તૃત ગુણધર્મમાં ફેરફાર $(dX)$ અને તીવ્ર ગુણધર્મમાં ફેરફાર $(dx)$ નો ગુણોત્તર વિસ્તૃત હોય છે ($\frac{dX}{dx}$ વિસ્તૃત છે).
તેથી,વિધાનો $A$,$B$ અને $C$ સાચા છે.

(A, C, D) વિસ્તૃત ગુણધર્મો તે છે જેમના મૂલ્યો સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા અથવા કદ પર આધાર રાખે છે.
$H$ (એન્થાલ્પી),$E$ (આંતરિક ઉર્જા),અને $V$ (કદ) એ બધા વિસ્તૃત ગુણધર્મો છે કારણ કે તે પદાર્થના જથ્થા સાથે બદલાય છે.
$p$ (દબાણ) એ તીવ્ર (intensive) ગુણધર્મ છે કારણ કે તે પદાર્થના જથ્થાથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,$H$,$E$,અને $V$ એ વિસ્તૃત ચલ છે.

(C) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,$Q = 0$.
મુક્ત વિસ્તરણમાં,બાહ્ય દબાણ $P_{ext} = 0$ હોવાથી,કાર્ય $W = P_{ext} \Delta V = 0$ થાય છે.
આ કિંમતો પ્રથમ નિયમમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + 0$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = 0$.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાનનું વિધેય છે $(U = f(T))$.
$\Delta U = 0$ હોવાથી,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 0$ થાય,એટલે કે તાપમાન અચળ રહે છે.
તેથી,આ પ્રક્રિયા સમતાપી (Isothermal) છે.

(A) ગિબ્સ મુક્ત ઉર્જા $G = H - TS$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
વિકલન લેતા,આપણને $dG = dH - TdS - SdT$ મળે છે.
$H = U + PV$ હોવાથી,તેનું વિકલન $dH = dU + PdV + VdP$ થાય છે.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dU = TdS - PdV$.
$dH$ ના સમીકરણમાં $dU$ ની કિંમત મૂકતા,$dH = (TdS - PdV) + PdV + VdP = TdS + VdP$ મળે છે.
હવે,$dG$ ના સમીકરણમાં $dH$ ની કિંમત મૂકતા:
$dG = (TdS + VdP) - TdS - SdT$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $dG = VdP - SdT$ મળે છે.