આકૃતિમાં,જો $\Delta ABE \cong \Delta ACD$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\Delta ADE \sim \Delta ABC.$

આકૃતિમાં,$O$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના અંદરના ભાગમાં આવેલું એક બિંદુ છે,$OD \perp BC$,$OE \perp AC$ અને $OF \perp AB$ છે. સાબિત કરો કે $OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} - OD^{2} - OE^{2} - OF^{2} = AF^{2} + BD^{2} + CE^{2}$.

આકૃતિમાં,$\frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR}$ અને $\angle 1 = \angle 2$ છે. સાબિત કરો કે $\Delta PQS \sim \Delta TQR$.

$\Delta ABC$ ની બાજુ $BC$ પર $A$ માંથી દોરેલો વેધ $BC$ ને $D$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $DB = 3CD$ થાય (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે $2AB^{2} = 2AC^{2} + BC^{2}$.

આકૃતિમાં,$ABC$ અને $DBC$ એ એક જ પાયા $BC$ પર આવેલા બે ત્રિકોણ છે. જો $AD$ એ $BC$ ને $O$ માં છેદે,તો સાબિત કરો કે $\frac{\operatorname{ar}(ABC)}{\operatorname{ar}(DBC)} = \frac{AO}{DO}$.

નાઝિમા એક ઝરણામાં ફ્લાય ફિશિંગ કરી રહી છે. તેની માછલી પકડવાની લાકડીની ટોચ પાણીની સપાટીથી $1.8 \, m$ ઉપર છે અને દોરીના છેડે રહેલી માખી લાકડીની ટોચની બરાબર નીચેના બિંદુથી $2.4 \, m$ દૂર પાણી પર છે. ધારો કે તેની દોરી (લાકડીની ટોચથી માખી સુધી) ખેંચાયેલી છે,તો તેણે કેટલી દોરી બહાર કાઢી છે? જો તે $5 \, cm$ પ્રતિ સેકન્ડના દરે દોરી ખેંચે,તો $12 \, \text{સેકન્ડ}$ પછી માખીનું તેનાથી આડું અંતર કેટલું હશે?