बिंदु $P$ आयत $ABCD$ के आंतरिक भाग में स्थित है। सिद्ध कीजिए कि $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$ है।
(N/A) मान लीजिए कि आयत $ABCD$ कार्तीय तल में स्थित है। मान लीजिए $A = (0, b)$,$B = (a, b)$,$C = (a, 0)$,और $D = (0, 0)$ है।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,दूरियों के वर्ग इस प्रकार हैं:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PC^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$PB^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PD^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
अब,योग की गणना करते हैं:
$PA^2 + PC^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
$PB^2 + PD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
चूंकि दोनों योग समान हैं,इसलिए $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$ सिद्ध होता है।
मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,दूरियों के वर्ग इस प्रकार हैं:
$PA^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PC^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
$PB^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
$PD^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
अब,योग की गणना करते हैं:
$PA^2 + PC^2 = (x^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
$PB^2 + PD^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) + (x^2 + y^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$
चूंकि दोनों योग समान हैं,इसलिए $PA^2 + PC^2 = PB^2 + PD^2$ सिद्ध होता है।
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| भाग $I$ | भाग $II$ |
|---|---|
| $1.$ $\Delta ABC$ में,$\angle B$ समकोण है और $\overline{BM}$ माध्यिका है। | $a. AB^2 + BC^2 = 2(BD^2 + CD^2)$ |
| $2.$ $\Delta ABC$ में,$\angle A$ समकोण है और $\overline{AD}$ शीर्षलंब है। | $b. BC = \frac{1}{2} AB$ |
| $3.$ $\Delta ABC$ में,$m\angle C = 90^\circ$ और $m\angle A = 30^\circ$ है। | $c. AC^2 = CD \cdot BC$ |
| $4.$ $\Delta ABC$ में,$\overline{BD}$ माध्यिका है। | $d. BM = \frac{1}{2} AC$ |
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