निम्नलिखित में से किन स्थितियों में,संख्याओं की सूची $AP$ (समांतर श्रेणी) बनाती है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$(i)$ एक स्कूल द्वारा पूरे सत्र के लिए एक छात्र से हर महीने ली जाने वाली फीस,जब मासिक फीस $Rs. 400$ है।
$(ii)$ कक्षा $I$ से $XII$ तक एक स्कूल द्वारा हर महीने ली जाने वाली फीस,जब कक्षा $I$ के लिए मासिक फीस $Rs. 250$ है और यह अगली उच्च कक्षा के लिए $Rs. 50$ बढ़ जाती है।
$(iii)$ हर साल के अंत में वरुण के खाते में जमा राशि,जब $Rs. 1000$ को $10\%$ प्रति वर्ष के साधारण ब्याज पर जमा किया जाता है।
$(iv)$ हर सेकंड के बाद किसी खाद्य पदार्थ में बैक्टीरिया की संख्या,जब वे हर सेकंड में दोगुने हो जाते हैं।

(A) $(i)$ एक छात्र से हर महीने ली जाने वाली फीस $400, 400, 400, 400, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 400 - 400 = 0$ स्थिर है।
$(ii)$ कक्षा $I$ से $XII$ के लिए ली जाने वाली फीस $250, (250+50), (250+2 \times 50), (250+3 \times 50), \ldots$ अर्थात $250, 300, 350, 400, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 300 - 250 = 50$ स्थिर है।
$(iii)$ एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज $\frac{1000 \times 10 \times 1}{100} = 100$ है। हर साल के अंत में खाते में राशि $1000, (1000+100), (1000+200), (1000+300), \ldots$ अर्थात $1000, 1100, 1200, 1300, \ldots$ है। यह एक $AP$ बनाती है क्योंकि सार्व अंतर $(d) = 1100 - 1000 = 100$ स्थिर है।
$(iv)$ मान लीजिए बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या $x$ है। चूंकि वे हर सेकंड में दोगुने हो जाते हैं,इसलिए अनुक्रम $x, 2x, 4x, 8x, \ldots$ है। यहाँ,$t_2 - t_1 = x$ और $t_3 - t_2 = 2x$ है। चूंकि अंतर समान नहीं है,इसलिए यह $AP$ नहीं बनाती है।