निम्नलिखित में से कौन सा $AP$ (समांतर श्रेणी) बनाता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।
$(i)$ $-1, -1, -1, -1, \ldots$
$(ii)$ $0, 2, 0, 2, \ldots$
$(iii)$ $1, 1, 2, 2, 3, 3, \ldots$

(A) $(i)$ यहाँ,$t_{1} = -1, t_{2} = -1, t_{3} = -1$ और $t_{4} = -1$ है।
$t_{2} - t_{1} = -1 - (-1) = 0$
$t_{3} - t_{2} = -1 - (-1) = 0$
$t_{4} - t_{3} = -1 - (-1) = 0$
चूँकि सार्व अंतर $d = 0$ समान है,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ बनाती है।
$(ii)$ यहाँ,$t_{1} = 0, t_{2} = 2, t_{3} = 0$ और $t_{4} = 2$ है।
$t_{2} - t_{1} = 2 - 0 = 2$
$t_{3} - t_{2} = 0 - 2 = -2$
चूँकि $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ नहीं बनाती है।
$(iii)$ यहाँ,$t_{1} = 1, t_{2} = 1, t_{3} = 2$ और $t_{4} = 2$ है।
$t_{2} - t_{1} = 1 - 1 = 0$
$t_{3} - t_{2} = 2 - 1 = 1$
चूँकि $t_{2} - t_{1} \neq t_{3} - t_{2}$,इसलिए दी गई संख्याओं की सूची $AP$ नहीं बनाती है।