MathematicsQ1–4 of 4 questions
Page 1 of 1 · Hindi
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MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 1969
यदि $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z}$ और $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,तो $x, y, z$ किसमें होंगे?
A
$A.P.$
B
$G.P.$
C
$H.P.$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) माना $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z} = k$.
तब $a = k^x, b = k^y, c = k^z$.
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$.
$a, b, c$ के मान $k$ के पदों में रखने पर,$(k^y)^2 = k^x \cdot k^z$ प्राप्त होता है।
यह $k^{2y} = k^{x+z}$ में सरल हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$2y = x + z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं।
तब $a = k^x, b = k^y, c = k^z$.
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$.
$a, b, c$ के मान $k$ के पदों में रखने पर,$(k^y)^2 = k^x \cdot k^z$ प्राप्त होता है।
यह $k^{2y} = k^{x+z}$ में सरल हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$2y = x + z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं।
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MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 1969
यदि $x$ वास्तविक है,तो व्यंजक $\frac{x + 2}{2x^2 + 3x + 6}$ किस अंतराल में सभी मान ग्रहण करता है?
A
$\left( \frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right)$
B
$\left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$
C
$\left( -\frac{1}{3}, \frac{1}{13} \right)$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) माना $y = \frac{x + 2}{2x^2 + 3x + 6}$.
तब $y(2x^2 + 3x + 6) = x + 2$,जो $2yx^2 + (3y - 1)x + (6y - 2) = 0$ में सरल हो जाता है।
यदि $y = 0$ है,तो $x = -2$,जो एक वास्तविक मान है।
यदि $y \neq 0$ है,तो $x$ के वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (3y - 1)^2 - 4(2y)(6y - 2) \ge 0$.
$9y^2 - 6y + 1 - 48y^2 + 16y \ge 0$.
$-39y^2 + 10y + 1 \ge 0$.
$39y^2 - 10y - 1 \le 0$.
गुणनखंड करने पर: $(13y + 1)(3y - 1) \le 0$.
यह असमिका $y \in \left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ के लिए सत्य है।
चूंकि $y = 0$ इस अंतराल में शामिल है,इसलिए परिसर $\left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ है।
तब $y(2x^2 + 3x + 6) = x + 2$,जो $2yx^2 + (3y - 1)x + (6y - 2) = 0$ में सरल हो जाता है।
यदि $y = 0$ है,तो $x = -2$,जो एक वास्तविक मान है।
यदि $y \neq 0$ है,तो $x$ के वास्तविक होने के लिए विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (3y - 1)^2 - 4(2y)(6y - 2) \ge 0$.
$9y^2 - 6y + 1 - 48y^2 + 16y \ge 0$.
$-39y^2 + 10y + 1 \ge 0$.
$39y^2 - 10y - 1 \le 0$.
गुणनखंड करने पर: $(13y + 1)(3y - 1) \le 0$.
यह असमिका $y \in \left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ के लिए सत्य है।
चूंकि $y = 0$ इस अंतराल में शामिल है,इसलिए परिसर $\left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ है।
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MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1969
$4x - 7y + 10 = 0$,$x + y = 5$ और $7x + 4y = 15$ रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का लंबकेंद्र ज्ञात कीजिए।
A
$(1, 2)$
B
$(1, -2)$
C
$(-1, -2)$
D
$(-1, 2)$
Solution
(A) माना रेखाएँ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$,और $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ हैं।
रेखाओं की प्रवणता (slopes) की जाँच करने पर:
$L_1$ की प्रवणता $(m_1)$ = $4/7$.
$L_3$ की प्रवणता $(m_3)$ = $-7/4$.
चूँकि $m_1 \times m_3 = -1$ है,इसलिए रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है जहाँ समकोण $L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनता है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
$4x - 7y = -10$ और $7x + 4y = 15$ को हल करने पर:
$x = 1$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(1, 2)$ है।
रेखाओं की प्रवणता (slopes) की जाँच करने पर:
$L_1$ की प्रवणता $(m_1)$ = $4/7$.
$L_3$ की प्रवणता $(m_3)$ = $-7/4$.
चूँकि $m_1 \times m_3 = -1$ है,इसलिए रेखाएँ $L_1$ और $L_3$ एक-दूसरे पर लंब हैं।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है जहाँ समकोण $L_1$ और $L_3$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनता है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है।
$4x - 7y = -10$ और $7x + 4y = 15$ को हल करने पर:
$x = 1$ और $y = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(1, 2)$ है।
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MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1969
दो बिंदुओं $A(2,0)$ और $B(3,1)$ को जोड़ने वाली रेखा को $A$ के परितः वामावर्त (anti-clockwise) दिशा में $15^\circ$ के कोण से घुमाया जाता है। नई स्थिति में रेखा का समीकरण क्या है?
A
$\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$
B
$x - \sqrt{3}y - 2 = 0$
C
$\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3} = 0$
D
$x + \sqrt{3}y - 2 = 0$
Solution
(A) रेखा $AB$ की ढाल $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ है।
चूंकि $m = \tan \theta = 1$,इसलिए झुकाव का कोण $\theta = 45^\circ$ है।
जब रेखा को $A$ के परितः वामावर्त दिशा में $15^\circ$ घुमाया जाता है,तो नया झुकाव कोण $\theta' = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$ हो जाता है।
नई रेखा की ढाल $m' = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ है।
रेखा बिंदु $A(2,0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए समीकरण $y - 0 = \sqrt{3}(x - 2)$ होगा।
$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m = \tan \theta = 1$,इसलिए झुकाव का कोण $\theta = 45^\circ$ है।
जब रेखा को $A$ के परितः वामावर्त दिशा में $15^\circ$ घुमाया जाता है,तो नया झुकाव कोण $\theta' = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$ हो जाता है।
नई रेखा की ढाल $m' = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ है।
रेखा बिंदु $A(2,0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए समीकरण $y - 0 = \sqrt{3}(x - 2)$ होगा।
$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।
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