MathematicsQ1–4 of 4 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 1969
જો $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z}$ અને $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોય,તો $x, y, z$ શેમાં હશે?
A
$A.P.$
B
$G.P.$
C
$H.P.$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(A) ધારો કે $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z} = k$.
તેથી $a = k^x, b = k^y, c = k^z$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
$k$ ના પદોમાં $a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,$(k^y)^2 = k^x \cdot k^z$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $k^{2y} = k^{x+z}$ થાય.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$2y = x + z$ મળે.
આ શરત સૂચવે છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી $a = k^x, b = k^y, c = k^z$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
$k$ ના પદોમાં $a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,$(k^y)^2 = k^x \cdot k^z$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $k^{2y} = k^{x+z}$ થાય.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$2y = x + z$ મળે.
આ શરત સૂચવે છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે.
0 likesView Solution
2
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 1969
જો $x$ વાસ્તવિક હોય,તો પદાવલિ $\frac{x + 2}{2x^2 + 3x + 6}$ કયા અંતરાલમાં તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે?
A
$\left( \frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right)$
B
$\left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$
C
$\left( -\frac{1}{3}, \frac{1}{13} \right)$
D
આમાંથી કોઈ નહીં
Solution
(B) ધારો કે $y = \frac{x + 2}{2x^2 + 3x + 6}$.
તેથી $y(2x^2 + 3x + 6) = x + 2$,જેનું સાદું રૂપ $2yx^2 + (3y - 1)x + (6y - 2) = 0$ થાય છે.
જો $y = 0$ હોય,તો $x = -2$,જે વાસ્તવિક કિંમત છે.
જો $y \neq 0$ હોય,તો $x$ વાસ્તવિક હોવા માટે વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (3y - 1)^2 - 4(2y)(6y - 2) \ge 0$.
$9y^2 - 6y + 1 - 48y^2 + 16y \ge 0$.
$-39y^2 + 10y + 1 \ge 0$.
$39y^2 - 10y - 1 \le 0$.
અવયવ પાડતા: $(13y + 1)(3y - 1) \le 0$.
આ અસમતા $y \in \left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ માટે સાચી છે.
$y = 0$ આ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,વિસ્તાર $\left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ છે.
તેથી $y(2x^2 + 3x + 6) = x + 2$,જેનું સાદું રૂપ $2yx^2 + (3y - 1)x + (6y - 2) = 0$ થાય છે.
જો $y = 0$ હોય,તો $x = -2$,જે વાસ્તવિક કિંમત છે.
જો $y \neq 0$ હોય,તો $x$ વાસ્તવિક હોવા માટે વિવેચક $D \ge 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (3y - 1)^2 - 4(2y)(6y - 2) \ge 0$.
$9y^2 - 6y + 1 - 48y^2 + 16y \ge 0$.
$-39y^2 + 10y + 1 \ge 0$.
$39y^2 - 10y - 1 \le 0$.
અવયવ પાડતા: $(13y + 1)(3y - 1) \le 0$.
આ અસમતા $y \in \left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ માટે સાચી છે.
$y = 0$ આ અંતરાલમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,વિસ્તાર $\left[ -\frac{1}{13}, \frac{1}{3} \right]$ છે.
0 likesView Solution
3
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1969
$4x - 7y + 10 = 0$,$x + y = 5$ અને $7x + 4y = 15$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર શોધો.
A
$(1, 2)$
B
$(1, -2)$
C
$(-1, -2)$
D
$(-1, 2)$
Solution
(A) ધારો કે રેખાઓ $L_1: 4x - 7y + 10 = 0$,$L_2: x + y - 5 = 0$,અને $L_3: 7x + 4y - 15 = 0$ છે.
રેખાઓના ઢાળ તપાસતા:
$L_1$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $4/7$.
$L_3$ નો ઢાળ $(m_3)$ = $-7/4$.
અહીં $m_1 \times m_3 = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં કાટખૂણો $L_1$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુ પર બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
$4x - 7y = -10$ અને $7x + 4y = 15$ ને ઉકેલતા:
$x = 1$ અને $y = 2$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
રેખાઓના ઢાળ તપાસતા:
$L_1$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $4/7$.
$L_3$ નો ઢાળ $(m_3)$ = $-7/4$.
અહીં $m_1 \times m_3 = -1$ હોવાથી,રેખાઓ $L_1$ અને $L_3$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં કાટખૂણો $L_1$ અને $L_3$ ના છેદબિંદુ પર બને છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર એ કાટખૂણો બનાવતું શિરોબિંદુ હોય છે.
$4x - 7y = -10$ અને $7x + 4y = 15$ ને ઉકેલતા:
$x = 1$ અને $y = 2$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(1, 2)$ છે.
0 likesView Solution
4
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 1969
બે બિંદુઓ $A(2,0)$ અને $B(3,1)$ ને જોડતી રેખાને $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $15^\circ$ ના ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. નવી સ્થિતિમાં રેખાનું સમીકરણ શું હશે?
A
$\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$
B
$x - \sqrt{3}y - 2 = 0$
C
$\sqrt{3}x + y - 2\sqrt{3} = 0$
D
$x + \sqrt{3}y - 2 = 0$
Solution
(A) રેખા $AB$ નો ઢાળ $m = \frac{1-0}{3-2} = 1$ છે.
$m = \tan \theta = 1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
જ્યારે રેખાને $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $15^\circ$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta' = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m' = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ છે.
રેખા બિંદુ $A(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સમીકરણ $y - 0 = \sqrt{3}(x - 2)$ થશે.
$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$ મળે છે.
$m = \tan \theta = 1$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
જ્યારે રેખાને $A$ ની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $15^\circ$ ફેરવવામાં આવે,ત્યારે નવો ખૂણો $\theta' = 45^\circ + 15^\circ = 60^\circ$ થાય છે.
નવી રેખાનો ઢાળ $m' = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$ છે.
રેખા બિંદુ $A(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સમીકરણ $y - 0 = \sqrt{3}(x - 2)$ થશે.
$y = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\sqrt{3}x - y - 2\sqrt{3} = 0$ મળે છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in IIT JEE 1969?
There are 4 Mathematics questions from the IIT JEE 1969 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 1969 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 1969 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick IIT JEE 1969 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.