IIT JEE 1963 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना $T_n$ $n$-वाँ पद है और $S_n$ $n$ पदों तक का योग है।
$S_n = 1 + 3 + 7 + 15 + 31 + \dots + T_n$
हम $n$-वें पद को $T_n = 2^n - 1$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=1}^{n} 2^k = 2(2^n - 1) / (2 - 1) = 2^{n+1} - 2$.
इसलिए,$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$.

(D) दिया गया है $\sec x \cos 5x + 1 = 0$,अतः $\cos 5x = -\cos x = \cos(\pi - x)$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ के लिए व्यापक हल $2n\pi \pm \alpha$ है।
स्थिति $1$: $5x = 2n\pi + (\pi - x)$ $\Rightarrow 6x = (2n + 1)\pi$ $\Rightarrow x = \frac{(2n + 1)\pi}{6}$.
$n=0, 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए,$x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.
स्थिति $2$: $5x = 2n\pi - (\pi - x)$ $\Rightarrow 4x = 2n\pi - \pi$ $\Rightarrow x = \frac{(2n - 1)\pi}{4}$.
$n=1, 2, 3, 4$ के लिए,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
चूंकि दिए गए विकल्प पूर्ण हल से मेल नहीं खाते हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $2\sin^2 \theta = 3\cos \theta$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2(1 - \cos^2 \theta) = 3\cos \theta$
$2 - 2\cos^2 \theta = 3\cos \theta$
$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0$
माना $x = \cos \theta$. तब $2x^2 + 3x - 2 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करने पर:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$
इससे $x$ के दो मान प्राप्त होते हैं:
$x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ या $x = \frac{-3 - 5}{4} = -2$
चूंकि $-1 \le \cos \theta \le 1$,इसलिए हम $x = -2$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
अंतराल $0 \le \theta \le 2\pi$ में,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ का मान $\theta = \frac{\pi}{3}$ और $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ पर होता है।

(C) दिया गया है: $\sec 4\theta - \sec 2\theta = 2$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos 4\theta} - \frac{1}{\cos 2\theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$
$\Rightarrow \cos 2\theta - \cos 4\theta = 2 \cos 4\theta \cos 2\theta$
सूत्र $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow \cos 2\theta - \cos 4\theta = \cos 6\theta + \cos 2\theta$
$\Rightarrow - \cos 4\theta = \cos 6\theta$
$\Rightarrow \cos 6\theta + \cos 4\theta = 0$
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\Rightarrow 2 \cos 5\theta \cos \theta = 0$
स्थिति $1$: $\cos 5\theta = 0$ $\Rightarrow 5\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{10}$
स्थिति $2$: $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$
अतः,व्यापक हल $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ या $\theta = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$ है.

(C) सबसे पहले,रेखाओं $x - y + 1 = 0$ और $2x - 3y + 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। हल करने पर,हमें $x = 2$ और $y = 3$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 3)$ है।
$(2, 3)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $y - 3 = m(x - 2)$ है,जिसे $mx - y + (3 - 2m) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की बिंदु $(3, 2)$ से दूरी $\frac{7}{5}$ दी गई है। लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{|m(3) - 2 + 3 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{7}{5}$
$\frac{|m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{7}{5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $25(m^2 + 2m + 1) = 49(m^2 + 1)$
$24m^2 - 50m + 24 = 0$
$(3m - 4)(4m - 3) = 0$
अतः,$m = \frac{4}{3}$ या $m = \frac{3}{4}$ है।
$m = \frac{4}{3}$ के लिए,रेखा $4x - 3y + 1 = 0$ प्राप्त होती है।
$m = \frac{3}{4}$ के लिए,रेखा $3x - 4y + 6 = 0$ प्राप्त होती है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(a, b + c)$,$(b, c + a)$,और $(c, a + b)$ को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |a(c + a - (a + b)) + b(a + b - (b + c)) + c(b + c - (c + a))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |a(c - b) + b(a - c) + c(b - a)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |ac - ab + ba - bc + cb - ca|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0| = 0$।