IIT JEE 1963 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે $T_n$ એ $n$-મું પદ છે અને $S_n$ એ $n$ પદો સુધીનો સરવાળો છે.
$S_n = 1 + 3 + 7 + 15 + 31 + \dots + T_n$
આપણે $n$-મું પદ $T_n = 2^n - 1$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$.
$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$.
ભૌમિતિક શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sum_{k=1}^{n} 2^k = 2(2^n - 1) / (2 - 1) = 2^{n+1} - 2$.
તેથી,$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$.

(D) આપેલ છે $\sec x \cos 5x + 1 = 0$,તેથી $\cos 5x = -\cos x = \cos(\pi - x)$.
$\cos \theta = \cos \alpha$ માટે વ્યાપક ઉકેલ $2n\pi \pm \alpha$ છે.
કિસ્સો $1$: $5x = 2n\pi + (\pi - x)$ $\Rightarrow 6x = (2n + 1)\pi$ $\Rightarrow x = \frac{(2n + 1)\pi}{6}$.
$n=0, 1, 2, 3, 4, 5$ માટે,$x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}$.
કિસ્સો $2$: $5x = 2n\pi - (\pi - x)$ $\Rightarrow 4x = 2n\pi - \pi$ $\Rightarrow x = \frac{(2n - 1)\pi}{4}$.
$n=1, 2, 3, 4$ માટે,$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$.
આપેલા વિકલ્પો સંપૂર્ણ ઉકેલ સાથે મેળ ખાતા ન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $2\sin^2 \theta = 3\cos \theta$
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(1 - \cos^2 \theta) = 3\cos \theta$
$2 - 2\cos^2 \theta = 3\cos \theta$
$2\cos^2 \theta + 3\cos \theta - 2 = 0$
ધારો કે $x = \cos \theta$. તેથી $2x^2 + 3x - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$
આનાથી $x$ ની બે કિંમતો મળે છે:
$x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ અથવા $x = \frac{-3 - 5}{4} = -2$
કારણ કે $-1 \le \cos \theta \le 1$,તેથી આપણે $x = -2$ ને અવગણીએ છીએ.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
અંતરાલ $0 \le \theta \le 2\pi$ માં,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ એ $\theta = \frac{\pi}{3}$ અને $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ પર થાય છે.

(C) આપેલ છે: $\sec 4\theta - \sec 2\theta = 2$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos 4\theta} - \frac{1}{\cos 2\theta} = 2$
$\Rightarrow \frac{\cos 2\theta - \cos 4\theta}{\cos 4\theta \cos 2\theta} = 2$
$\Rightarrow \cos 2\theta - \cos 4\theta = 2 \cos 4\theta \cos 2\theta$
સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \cos 2\theta - \cos 4\theta = \cos 6\theta + \cos 2\theta$
$\Rightarrow - \cos 4\theta = \cos 6\theta$
$\Rightarrow \cos 6\theta + \cos 4\theta = 0$
સૂત્ર $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow 2 \cos 5\theta \cos \theta = 0$
કિસ્સો $1$: $\cos 5\theta = 0$ $\Rightarrow 5\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{10}$
કિસ્સો $2$: $\cos \theta = 0 \Rightarrow \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2} = n\pi + \frac{\pi}{2}$
આમ,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ અથવા $\theta = \frac{n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$ છે.

(C) પ્રથમ,$x - y + 1 = 0$ અને $2x - 3y + 5 = 0$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો. ઉકેલતા,આપણને $x = 2$ અને $y = 3$ મળે છે. છેદબિંદુ $(2, 3)$ છે.
$(2, 3)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 2)$ છે,જે $mx - y + (3 - 2m) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાનું બિંદુ $(3, 2)$ થી અંતર $\frac{7}{5}$ આપેલું છે. લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{|m(3) - 2 + 3 - 2m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{7}{5}$
$\frac{|m + 1|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{7}{5}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25(m^2 + 2m + 1) = 49(m^2 + 1)$
$24m^2 - 50m + 24 = 0$
$(3m - 4)(4m - 3) = 0$
તેથી,$m = \frac{4}{3}$ અથવા $m = \frac{3}{4}$.
$m = \frac{4}{3}$ માટે,રેખા $4x - 3y + 1 = 0$ મળે છે.
$m = \frac{3}{4}$ માટે,રેખા $3x - 4y + 6 = 0$ મળે છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(a, b + c)$,$(b, c + a)$,અને $(c, a + b)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |a(c + a - (a + b)) + b(a + b - (b + c)) + c(b + c - (c + a))|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |a(c - b) + b(a - c) + c(b - a)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |ac - ab + ba - bc + cb - ca|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0| = 0$.