GUJCET 2011 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) प्रत्यावर्ती धारा का $rms$ मान $I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $I_m = 5 \ A$ दिया गया है,इसलिए $I_{rms} = \frac{5}{1.414} \approx 3.536 \ A$ प्राप्त होता है।
शून्य से शिखर मान तक पहुँचने में लगा समय आवर्तकाल $T$ का एक-चौथाई होता है।
चूँकि $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{60} \ s$,इसलिए समय $t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4 \times 60} \ s$ होगा।
अतः,$t = \frac{1}{240} \ s \approx 0.004167 \ s = 4.167 \ ms$।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{\rho l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \times l$,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिरोध के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R = \frac{\rho l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$,इसलिए $V = \frac{m}{d}$ होता है।
अतः,$R = \frac{\rho l^2 d}{m}$।
समान पदार्थ के तारों के लिए,$\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{l^2}{m}$।
दिए गए अनुपात $m_1:m_2:m_3 = 1:3:5$ और $l_1:l_2:l_3 = 5:3:1$ हैं,इसलिए प्रतिरोधों का अनुपात:
$R_1: R_2: R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1: R_2: R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1: R_2: R_3 = 25 : 3 : 0.2$
भिन्न को हटाने के लिए $5$ से गुणा करने पर:
$R_1: R_2: R_3 = 125 : 15 : 1$।

(D) दिए गए परिपथ को व्हीटस्टोन ब्रिज संरचना के रूप में पहचान कर समझा जा सकता है। प्रतिरोधक बिंदु $A$ और $B$ के बीच नोड $C$ और $D$ के साथ एक ब्रिज बनाते हैं।
चूंकि सभी प्रतिरोधक $3 \ \Omega$ हैं,भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{3}{3} = \frac{3}{3}$ है,जो संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज की स्थिति को संतुष्ट करता है।
इसलिए,$C$ और $D$ के बीच जुड़े केंद्रीय प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। हम इस प्रतिरोधक को परिपथ से हटा सकते हैं।
केंद्रीय प्रतिरोधक को हटाने के बाद,परिपथ $A$ और $B$ के बीच जुड़ी दो समानांतर शाखाओं में सरल हो जाता है:
$1$. ऊपरी शाखा में श्रेणीक्रम में दो $3 \ \Omega$ के प्रतिरोधक हैं: $R_{ACB} = 3 + 3 = 6 \ \Omega$.
$2$. निचली शाखा में श्रेणीक्रम में दो $3 \ \Omega$ के प्रतिरोधक हैं: $R_{ADB} = 3 + 3 = 6 \ \Omega$.
$3$. $A$ और $B$ के बीच समानांतर में एक सीधा $3 \ \Omega$ का प्रतिरोधक भी जुड़ा हुआ है।
अब,हमारे पास $6 \ \Omega, 6 \ \Omega$ और $3 \ \Omega$ के तीन प्रतिरोधक समानांतर में जुड़े हुए हैं।
तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1 + 1 + 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$R_{eq} = \frac{3}{2} = 1.5 \ \Omega$.

(D) emf $\varepsilon$ और आंतरिक प्रतिरोध $r$ वाले सेल से जुड़े बाहरी प्रतिरोध $R$ में व्यय होने वाली शक्ति $P$ का सूत्र है:
$P = I^2 R = \left( \frac{\varepsilon}{R+r} \right)^2 R$
अधिकतम शक्ति ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dP}{dR} = \varepsilon^2 \left[ \frac{(R+r)^2(1) - R(2)(R+r)}{(R+r)^4} \right] = 0$
$(R+r)^2 - 2R(R+r) = 0$
$(R+r)(R+r - 2R) = 0$
$r - R = 0 \implies R = r$
अतः,व्यय होने वाली शक्ति तब अधिकतम होती है जब बाहरी प्रतिरोध आंतरिक प्रतिरोध के बराबर हो $(R = r)$।
शक्ति समीकरण में $R = r$ रखने पर:
$P_{\max} = \left( \frac{\varepsilon}{r+r} \right)^2 r = \left( \frac{\varepsilon}{2r} \right)^2 r = \frac{\varepsilon^2}{4r^2} \times r = \frac{\varepsilon^2}{4r}$

(A) आवेश $q_2$ के वृत्ताकार कक्षा में घूमने के लिए,$q_1$ और $q_2$ के बीच का स्थिर-वैद्युत बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{m v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ कक्षीय वेग है।
स्थिर-वैद्युत बल कूलम्ब के नियम के अनुसार $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{m v^2}{r} = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
चूंकि $v = r \omega$,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है,हमारे पास $\frac{m (r \omega)^2}{r} = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ है।
सरल करने पर,$m r \omega^2 = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$,जिससे $\omega^2 = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,जहाँ $T$ आवर्तकाल है,हमारे पास $\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$ है।
$\frac{4 \pi^2}{T^2} = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$.
अतः,$T^2 = \frac{4 \pi^2 m r^3}{k q_1 q_2}$.
वर्गमूल लेने पर,$T = \left[\frac{4 \pi^2 m r^3}{k q_1 q_2}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(C) सही उत्तर $C$ है।
गॉस के नियम का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की गणना करने के लिए,हम एक ऐसा गाऊसी पृष्ठ चुनते हैं ताकि पृष्ठ के प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र स्थिर रहे और विद्युत क्षेत्र सदिश तथा क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण स्थिर रहे।
यह आवेश वितरण की समरूपता को दर्शाने वाले एक सममित बंद पृष्ठ का चयन करके प्राप्त किया जाता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि पूरे पृष्ठ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण एक समान है।

(D) विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 1 \hat{j} \ N/C$ के रूप में दिया गया है।
चूंकि वर्ग $XY$-तल में रखा गया है,इसका क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}$,$XY$-तल के लंबवत यानी $Z$-अक्ष की दिशा में होगा।
इसलिए,$\vec{A} = 1 \hat{k} \ m^2$ है।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के अदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$
$\phi = (1 \hat{j}) \cdot (1 \hat{k})$
चूंकि लंबवत इकाई सदिशों का अदिश गुणनफल $\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$ होता है,इसलिए फ्लक्स:
$\phi = 0 \ Nm^2/C$ है।

(A) परिनालिका के स्व-प्रेरकत्व $(L)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
दिया गया है:
निर्वात की पारगम्यता $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
फेरों की संख्या $N = 10^3$
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 10^{-3} \ m^2$
लंबाई $l = 31.4 \ cm = 31.4 \times 10^{-2} \ m$
मान रखने पर:
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times (10^3)^2 \times 10^{-3}}{31.4 \times 10^{-2}}$
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 10^6 \times 10^{-3}}{31.4 \times 10^{-2}}$
$L = \frac{12.56 \times 10^{-4}}{31.4 \times 10^{-2}} = \frac{12.56}{31.4} \times 10^{-2} = 0.4 \times 10^{-2} \ H$
$L = 4 \times 10^{-3} \ H = 4 \ mH$

(B) कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ संबंध $\phi = L \cdot I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ स्व-प्रेरकत्व है और $I$ कुंडली से प्रवाहित होने वाली धारा है।
दिया गया है:
$\phi = 10 \ \mu Wb = 10 \times 10^{-6} \ Wb$
$I = 2 \ mA = 2 \times 10^{-3} \ A$
स्व-प्रेरकत्व $L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$L = \frac{\phi}{I}$
मान रखने पर:
$L = \frac{10 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-3}}$
$L = 5 \times 10^{-3} \ H$
$L = 5 \ mH$
अतः,कुंडली का स्व-प्रेरकत्व $5 \ mH$ है।

(A) हर्ट्ज़ के प्रयोग में,उच्च-वोल्टेज इंडक्शन कॉइल से जुड़ी दो धातु की छड़ें एक संधारित्र (capacitor) की प्लेटों के रूप में कार्य करती हैं। जब छड़ों के बीच विभवांतर पर्याप्त रूप से उच्च हो जाता है,तो उनके बीच की हवा का ब्रेकडाउन हो जाता है,जिससे गैप में चिंगारी (spark) उत्पन्न होती है। आवेश के इन दोलनों से विद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्पन्न होती हैं।

(C) किसी पथ के अनुदिश विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का रेखा समाकल दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V$ के रूप में परिभाषित होता है।
गणितीय रूप से,$V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{l}$ होता है।
विद्युत विभव $V$ का $SI$ मात्रक वोल्ट $(V)$ है,जिसे प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$1 \ V = 1 \ J C^{-1}$ होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र के रेखा समाकल द्वारा प्राप्त भौतिक राशि का मात्रक $J C^{-1}$ (या वोल्ट) है।

(C) दो बिंदु आवेशों के बीच की दूरी बदलने के लिए किया गया कार्य $W$ उनकी स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होता है।
दो आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $q_1 = 5 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$r_1 = 1 \ m$,$r_2 = 0.5 \ m$,और $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
किया गया कार्य $W = U_2 - U_1 = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$.
मान रखने पर:
$W = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (10 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{1} \right)$
$W = (9 \times 10^9) \times (50 \times 10^{-12}) \times (2 - 1)$
$W = 450 \times 10^{-3} \ J = 0.45 \ J = 45 \times 10^{-2} \ J$.

(A) एक आवेशित खोखले धातु के गोले के लिए,गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है $(E = 0)$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता है $(E = -dV/dr)$,यदि $E = 0$ है,तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहना चाहिए।
इसलिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर,केंद्र सहित,विभव उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि सतह पर विभव $80 \ V$ है,इसलिए गोले के केंद्र पर विभव $80 \ V$ होगा।

(A) प्रतिचुंबकीय पदार्थ चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा दुर्बल रूप से प्रतिकर्षित होते हैं। जब उन्हें एक असमान चुंबकीय क्षेत्र में रखा जाता है,तो प्रेरित चुंबकीय आघूर्ण लागू क्षेत्र की विपरीत दिशा में होता है। परिणामस्वरूप,पदार्थ एक ऐसे बल का अनुभव करता है जो उसे उच्च चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता वाले क्षेत्र (प्रबल भाग) से निम्न चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता वाले क्षेत्र (दुर्बल भाग) की ओर धकेलता है। इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) छड़ चुंबक के केंद्र से $Z$ दूरी पर उसकी अक्षीय रेखा पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2MZ}{(Z^2 - l^2)^2}$ होता है।
एक छोटे छड़ चुंबक के लिए,लंबाई $2l$ दूरी $Z$ की तुलना में बहुत कम है,अर्थात $Z \gg l$ है।
इसलिए,हम $(Z^2 - l^2)^2 \approx (Z^2)^2 = Z^4$ का अनुमान लगा सकते हैं।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2MZ}{Z^4} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{Z^3}$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,इसे $\vec{B} = \frac{2 \mu_0}{4 \pi} \frac{\vec{M}}{Z^3}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) एक आदर्श वोल्टमीटर को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि वह परिपथ से कोई भी धारा लिए बिना दो बिंदुओं के बीच विभवांतर को माप सके।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि वोल्टमीटर से कोई धारा प्रवाहित न हो,इसका प्रतिरोध अनंत होना चाहिए।
इसलिए,एक आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध अनंत होता है।

(B) $G = 99 \Omega$ प्रतिरोध वाले गैल्वेनोमीटर से कुल धारा $I$ का एक अंश भेजने के लिए आवश्यक शंट $S$ का सूत्र इस प्रकार है:
$S = \frac{G I_G}{I - I_G}$
यहाँ,गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I_G = 10 \% I = 0.1 I$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$S = \frac{99 \times 0.1 I}{I - 0.1 I}$
$S = \frac{9.9 I}{0.9 I}$
$S = \frac{9.9}{0.9} = 11 \Omega$
अतः,आवश्यक शंट का प्रतिरोध $11 \Omega$ है।