GUJCET 2011 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ઓલ્ટરનેટિંગ કરંટનું $rms$ મૂલ્ય $I_{rms} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I_m = 5 \ A$ આપેલ છે,તેથી $I_{rms} = \frac{5}{1.414} \approx 3.536 \ A$ મળે.
શૂન્યથી મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળ $T$ નો ચોથો ભાગ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{1}{f} = \frac{1}{60} \ s$ હોવાથી,સમય $t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4 \times 60} \ s$ થાય.
તેથી,$t = \frac{1}{240} \ s \approx 0.004167 \ s = 4.167 \ ms$.

(B) તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ $V = A \times l$ હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{l}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho l^2}{V}$ મળે છે.
ઘનતા $d = \frac{m}{V}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{d}$ થાય.
આમ,$R = \frac{\rho l^2 d}{m}$.
સમાન દ્રવ્યના તાર માટે,$\rho$ અને $d$ અચળ છે,તેથી $R \propto \frac{l^2}{m}$.
આપેલ ગુણોત્તર $m_1:m_2:m_3 = 1:3:5$ અને $l_1:l_2:l_3 = 5:3:1$ છે,તેથી અવરોધનો ગુણોત્તર:
$R_1: R_2: R_3 = \frac{l_1^2}{m_1} : \frac{l_2^2}{m_2} : \frac{l_3^2}{m_3}$
$R_1: R_2: R_3 = \frac{5^2}{1} : \frac{3^2}{3} : \frac{1^2}{5}$
$R_1: R_2: R_3 = 25 : 3 : 0.2$
અપૂર્ણાંક દૂર કરવા માટે $5$ વડે ગુણતા:
$R_1: R_2: R_3 = 125 : 15 : 1$.

(D) આપેલ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની રચના તરીકે ઓળખીને સમજી શકાય છે. અવરોધો બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે નોડ $C$ અને $D$ સાથે બ્રિજ બનાવે છે.
બધા અવરોધો $3 \ \Omega$ હોવાથી,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{3}{3} = \frac{3}{3}$ થાય છે,જે સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$C$ અને $D$ વચ્ચે જોડાયેલા મધ્ય અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. આપણે આ અવરોધને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકીએ છીએ.
મધ્ય અવરોધને દૂર કર્યા પછી,પરિપથ $A$ અને $B$ વચ્ચે જોડાયેલી બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે:
$1$. ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $3 \ \Omega$ ના અવરોધો છે: $R_{ACB} = 3 + 3 = 6 \ \Omega$.
$2$. નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં બે $3 \ \Omega$ ના અવરોધો છે: $R_{ADB} = 3 + 3 = 6 \ \Omega$.
$3$. $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સમાંતરમાં એક સીધો $3 \ \Omega$ નો અવરોધ પણ જોડાયેલ છે.
હવે,આપણી પાસે $6 \ \Omega, 6 \ \Omega$ અને $3 \ \Omega$ ના ત્રણ અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1 + 1 + 2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$R_{eq} = \frac{3}{2} = 1.5 \ \Omega$.

(D) emf $\varepsilon$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા કોષ સાથે જોડાયેલા બાહ્ય અવરોધ $R$ માં વ્યય થતો પાવર $P$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = I^2 R = \left( \frac{\varepsilon}{R+r} \right)^2 R$
મહત્તમ પાવર શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $R$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય તરીકે લઈએ છીએ:
$\frac{dP}{dR} = \varepsilon^2 \left[ \frac{(R+r)^2(1) - R(2)(R+r)}{(R+r)^4} \right] = 0$
$(R+r)^2 - 2R(R+r) = 0$
$(R+r)(R+r - 2R) = 0$
$r - R = 0 \implies R = r$
આમ,જ્યારે બાહ્ય અવરોધ આંતરિક અવરોધ જેટલો હોય $(R = r)$ ત્યારે વ્યય થતો પાવર મહત્તમ હોય છે.
પાવરના સમીકરણમાં $R = r$ મૂકતા:
$P_{\max} = \left( \frac{\varepsilon}{r+r} \right)^2 r = \left( \frac{\varepsilon}{2r} \right)^2 r = \frac{\varepsilon^2}{4r^2} \times r = \frac{\varepsilon^2}{4r}$

(A) વિદ્યુતભાર $q_2$ ને વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરવા માટે,$q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ કક્ષીય વેગ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ મુજબ $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{m v^2}{r} = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
કારણ કે $v = r \omega$,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે,તેથી $\frac{m (r \omega)^2}{r} = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
સાદું રૂપ આપતા,$m r \omega^2 = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$,જે આપે છે $\omega^2 = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે,તેથી $\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^2 = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$.
$\frac{4 \pi^2}{T^2} = \frac{k q_1 q_2}{m r^3}$.
તેથી,$T^2 = \frac{4 \pi^2 m r^3}{k q_1 q_2}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$T = \left[\frac{4 \pi^2 m r^3}{k q_1 q_2}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરવા માટે,આપણે એવી ગૌસિયન સપાટી પસંદ કરીએ છીએ કે જેથી સપાટીના દરેક બિંદુ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર અચળ રહે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ તથા ક્ષેત્રફળ સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો અચળ રહે.
આ વીજભાર વિતરણની સંમિતિને અનુરૂપ એક સંમિત બંધ સપાટી પસંદ કરીને પ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય સમાન રહે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 1 \hat{j} \ N/C$ તરીકે આપેલ છે.
ચોરસ $XY$-સમતલમાં મૂકવામાં આવ્યો હોવાથી,તેનો ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ એ $XY$-સમતલને લંબ એટલે કે $Z$-અક્ષની દિશામાં હશે.
તેથી,$\vec{A} = 1 \hat{k} \ m^2$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ક્ષેત્રફળ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{A}$
$\phi = (1 \hat{j}) \cdot (1 \hat{k})$
કારણ કે લંબ એકમ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\hat{j} \cdot \hat{k} = 0$ થાય છે,તેથી ફ્લક્સ:
$\phi = 0 \ Nm^2/C$ થાય.

(A) સોલેનોઈડના આત્મ-પ્રેરકત્વ $(L)$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$
આપેલ છે:
શૂન્યાવકાશની પરમીએબિલિટી $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A$
આંટાની સંખ્યા $N = 10^3$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-3} \ m^2$
લંબાઈ $l = 31.4 \ cm = 31.4 \times 10^{-2} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times (10^3)^2 \times 10^{-3}}{31.4 \times 10^{-2}}$
$L = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 10^6 \times 10^{-3}}{31.4 \times 10^{-2}}$
$L = \frac{12.56 \times 10^{-4}}{31.4 \times 10^{-2}} = \frac{12.56}{31.4} \times 10^{-2} = 0.4 \times 10^{-2} \ H$
$L = 4 \times 10^{-3} \ H = 4 \ mH$

(B) કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ સંબંધ $\phi = L \cdot I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ છે અને $I$ એ કોઈલમાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
આપેલ છે:
$\phi = 10 \ \mu Wb = 10 \times 10^{-6} \ Wb$
$I = 2 \ mA = 2 \times 10^{-3} \ A$
આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ માટેના સૂત્રને ગોઠવતા:
$L = \frac{\phi}{I}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{10 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-3}}$
$L = 5 \times 10^{-3} \ H$
$L = 5 \ mH$
તેથી,કોઈલનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $5 \ mH$ છે.

(A) હર્ટ્ઝના પ્રયોગમાં,હાઈ-વોલ્ટેજ ઇન્ડક્શન કોઈલ સાથે જોડાયેલા બે ધાતુના સળિયા કેપેસિટરની પ્લેટો તરીકે કાર્ય કરે છે. જ્યારે સળિયા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પૂરતો ઊંચો થાય છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેની હવા આયનીકૃત થાય છે,જેના કારણે ગેપમાં તણખો (spark) ઉત્પન્ન થાય છે. વીજભારના આ દોલનોને કારણે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન થાય છે.

(C) કોઈ માર્ગ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ નું રેખા સંકલન એ બે બિંદુઓ વચ્ચેના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,$V = -\int \vec{E} \cdot d\vec{l}$.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નો $SI$ એકમ વોલ્ટ $(V)$ છે,જે એકમ ધન વિદ્યુતભાર દીઠ કરેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,$1 \ V = 1 \ J C^{-1}$.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રના રેખા સંકલન દ્વારા મળતી ભૌતિક રાશિનો એકમ $J C^{-1}$ (અથવા વોલ્ટ) છે.

(C) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર બદલવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તેમની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલું હોય છે.
બે વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $q_1 = 5 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$r_1 = 1 \ m$,$r_2 = 0.5 \ m$,અને $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = U_2 - U_1 = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (10 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{1} \right)$
$W = (9 \times 10^9) \times (50 \times 10^{-12}) \times (2 - 1)$
$W = 450 \times 10^{-3} \ J = 0.45 \ J = 45 \times 10^{-2} \ J$.

(A) વિદ્યુતભારિત પોલા ધાતુના ગોળા માટે,ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે $(E = 0)$.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનનો ઋણ પ્રચલન છે $(E = -dV/dr)$,જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહેવું જોઈએ.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,કેન્દ્ર સહિત,સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $80 \ V$ છે,તેથી ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $80 \ V$ થશે.

(A) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે. જ્યારે તેમને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રેરિત ચુંબકીય મોમેન્ટ લાગુ કરેલા ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. પરિણામે,પદાર્થ એક એવા બળનો અનુભવ કરે છે જે તેને વધુ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાવાળા વિસ્તાર (પ્રબળ ભાગ) થી ઓછા ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતાવાળા વિસ્તાર (નિર્બળ ભાગ) તરફ ધકેલે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ગજિયા ચુંબકના કેન્દ્રથી $Z$ અંતરે તેની અક્ષ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2MZ}{(Z^2 - l^2)^2}$ છે.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે,તેની લંબાઈ $2l$ એ અંતર $Z$ ની સાપેક્ષમાં ખૂબ જ નાની છે,એટલે કે $Z \gg l$.
તેથી,આપણે $(Z^2 - l^2)^2 \approx (Z^2)^2 = Z^4$ તરીકે લઈ શકીએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2MZ}{Z^4} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{2M}{Z^3}$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આને $\vec{B} = \frac{2 \mu_0}{4 \pi} \frac{\vec{M}}{Z^3}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આદર્શ વોલ્ટમીટર એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે તે પરિપથમાંથી કોઈ પણ પ્રવાહ ખેંચ્યા વગર બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત માપી શકે.
વોલ્ટમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી તેની ખાતરી કરવા માટે,તેનો અવરોધ અનંત હોવો જોઈએ.
તેથી,આદર્શ વોલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત હોય છે.

(B) $G = 99 \Omega$ અવરોધ ધરાવતા ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કુલ પ્રવાહ $I$ નો અમુક અંશ પસાર કરવા માટે જરૂરી શંટ $S$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S = \frac{G I_G}{I - I_G}$
અહીં,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_G = 10 \% I = 0.1 I$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$S = \frac{99 \times 0.1 I}{I - 0.1 I}$
$S = \frac{9.9 I}{0.9 I}$
$S = \frac{9.9}{0.9} = 11 \Omega$
આમ,જરૂરી શંટનો અવરોધ $11 \Omega$ છે.