Time and Work Questions in Hindi

(D) $S$ की कार्यक्षमता $= 240/40 = 6$ इकाई/दिन।
$T$ की कार्यक्षमता $= 240/48 = 5$ इकाई/दिन।
$U$ की कार्यक्षमता $= 240/60 = 4$ इकाई/दिन।
माना कुल कार्य $240$ इकाई है।
माना कुल समय $x$ दिन है।
$S$ ने $x$ दिन कार्य किया,$T$ ने $(x-2)$ दिन कार्य किया और $U$ ने $(x-5)$ दिन कार्य किया।
कुल कार्य: $6x + 5(x-2) + 4(x-5) = 240$
$6x + 5x - 10 + 4x - 20 = 240$
$15x - 30 = 240$
$15x = 270 \Rightarrow x = 18$ दिन।
$S$ द्वारा किया गया कार्य $= 6 \times 18 = 108$ इकाई।
$S$ का हिस्सा $= (108/240) \times 10800 = 0.45 \times 10800 = Rs. 4860$।

(D) माना अमन की कार्यकुशलता $100$ इकाई/दिन है।
चूंकि रमन,अमन से $25\%$ अधिक कार्यकुशल है,इसलिए रमन की कार्यकुशलता $100 + 25 = 125$ इकाई/दिन होगी।
रमन और अमन की कार्यकुशलता का अनुपात $125 : 100 = 5 : 4$ है।
चूंकि लिया गया समय कार्यकुशलता के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए रमन और अमन द्वारा लिए गए समय का अनुपात $4 : 5$ होगा।
यह दिया गया है कि अमन काम पूरा करने में $25$ दिन लेता है,इसलिए $5$ इकाई समय $= 25$ दिन।
अतः,$1$ इकाई समय $= 5$ दिन।
रमन द्वारा लिया गया समय $4$ इकाई समय $= 4 \times 5 = 20$ दिन होगा।

(A) और $B$ की कार्यकुशलता का अनुपात $120:100$ है,जो सरल होकर $6:5$ हो जाता है।
चूंकि लिया गया समय कार्यकुशलता के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए $A$ और $B$ द्वारा लिए गए समय का अनुपात $5:6$ है।
यह दिया गया है कि $B$ कार्य को पूरा करने में $12$ दिन लेता है,इसलिए $6$ इकाई $= 12$ दिन।
अतः,$1$ इकाई $= 2$ दिन।
$A$ द्वारा लिया गया समय $= 5$ इकाई $= 5 \times 2 = 10$ दिन।
इस प्रकार,$A$ उस कार्य को $10$ दिनों में पूरा कर सकता है।

(B) बहन के केक बनाने की दर: $50 \text{ केक} / 25 \text{ घंटे} = 2 \text{ केक/घंटा}$।
बहन और मम्मी की संयुक्त दर: $75 \text{ केक} / 15 \text{ घंटे} = 5 \text{ केक/घंटा}$।
मम्मी के केक बनाने की दर: $5 \text{ केक/घंटा} - 2 \text{ केक/घंटा} = 3 \text{ केक/घंटा}$।
मम्मी द्वारा $15$ घंटों में बनाए जा सकने वाले केक की संख्या: $3 \text{ केक/घंटा} \times 15 \text{ घंटे} = 45 \text{ केक}$।

(C) यह पता लगाने के लिए कि कार्य सबसे पहले कौन पूरा करेगा,हम प्रत्येक व्यक्ति द्वारा $1$ पूर्ण कार्य पूरा करने में लिए गए कुल समय की गणना करते हैं:
$P$ के लिए: कार्य का $\frac{1}{4}$ भाग $10$ दिनों में पूरा होता है। अतः,$P$ द्वारा लिया गया कुल समय = $10 \times 4 = 40$ दिन।
$Q$ के लिए: कार्य का $40\%$ (या $\frac{2}{5}$) भाग $40$ दिनों में पूरा होता है। अतः,$Q$ द्वारा लिया गया कुल समय = $40 \times \frac{5}{2} = 100$ दिन।
$R$ के लिए: कार्य का $\frac{1}{3}$ भाग $13$ दिनों में पूरा होता है। अतः,$R$ द्वारा लिया गया कुल समय = $13 \times 3 = 39$ दिन।
लिए गए कुल समय की तुलना करने पर: $P = 40$ दिन,$Q = 100$ दिन,और $R = 39$ दिन।
चूंकि $39 < 40 < 100$ है,इसलिए $R$ सबसे पहले कार्य पूरा करेगा।

(C) अलमारी बनाने के लिए आवश्यक कुल समय $48 \, \text{घंटे}$ है。
$1 \, \text{घंटे}$ में, बढ़ई काम का $\frac{1}{48}$ भाग पूरा करता है。
$12 \, \text{घंटे}$ में, पूरा किया गया काम $12 \times \frac{1}{48} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$ भाग है。
अभी भी किया जाने वाला शेष काम $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है。
भिन्न $\frac{3}{4}$ को दशमलव में बदलने पर $0.75$ प्राप्त होता है。

$A$ कार्य को $12$ दिनों में और $B$ उसे $20$ दिनों में पूरा करता है।
$12$ और $20$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ लेने पर, कुल कार्य $60$ इकाई है।
$A$ की कार्यक्षमता $= 60 / 12 = 5$ इकाई/दिन।
$B$ की कार्यक्षमता $= 60 / 20 = 3$ इकाई/दिन।
$(A + B)$ की संयुक्त कार्यक्षमता $= 5 + 3 = 8$ इकाई/दिन।
$(A + B)$ द्वारा $5$ दिनों में किया गया कार्य $= 8 \times 5 = 40$ इकाई।
शेष कार्य $= 60 - 40 = 20$ इकाई।
$C$ शेष $20$ इकाई कार्य को $3$ दिनों में पूरा करता है, इसलिए $C$ की कार्यक्षमता $= 20 / 3$ इकाई/दिन।
$C$ द्वारा अकेले पूरे कार्य को पूरा करने में लिया गया समय $= \text{कुल कार्य} / C \text{ की कार्यक्षमता} = 60 / (20 / 3) = 60 \times (3 / 20) = 9$ दिन।

(D) मान लीजिए $B$ की कार्यक्षमता $1$ यूनिट/दिन है।
चूंकि $A$,$B$ से तीन गुना काम करता है,इसलिए $A$ की कार्यक्षमता $3$ यूनिट/दिन होगी।
$A$ और $B$ की संयुक्त कार्यक्षमता = $3 + 1 = 4$ यूनिट/दिन।
कुल कार्य = (संयुक्त कार्यक्षमता) $\times$ (कुल दिन) = $4 \times 9 = 36$ यूनिट।
$A$ द्वारा अकेले लिया गया समय = $\frac{\text{कुल कार्य}}{\text{A की कार्यक्षमता}} = \frac{36}{3} = 12$ दिन।

(D) मान लीजिए कि राम और हरि की दैनिक कार्य दर $R$ और $H$ $(kg/day)$ है।
दिया गया है: $(R + H) \times 2 = 12 \, kg \implies R + H = 6 \, kg/day$.
$5$ दिनों में, उन्होंने $5 \times 6 = 30 \, kg$ मेवे काटे।
शेष मेवे: $58 - 30 = 28 \, kg$.
राम ने इन $28 \, kg$ मेवों को $8$ दिनों में काटा, इसलिए राम की दर $R = \frac{28}{8} = 3.5 \, kg/day$ है।
चूंकि $R + H = 6$, इसलिए $H = 6 - 3.5 = 2.5 \, kg/day$ है।
हरि द्वारा $10 \, kg$ मेवे काटने में लिया गया समय $= \frac{10}{2.5} = 4 \, \text{दिन}$।

(A) माना कुल कार्य $5, 15$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $15$ इकाई है।
$A$ की कार्यक्षमता $= 15 / 5 = 3$ इकाई/दिन।
$B$ की कार्यक्षमता $= 15 / 15 = 1$ इकाई/दिन।
$(A + B + C)$ की कार्यक्षमता $= 15 / 3 = 5$ इकाई/दिन।
$C$ की कार्यक्षमता $= (A + B + C) - (A + B) = 5 - (3 + 1) = 1$ इकाई/दिन।
$A : B : C$ द्वारा किए गए कार्य का अनुपात $3 : 1 : 1$ है।
कुल राशि $Rs. 250$ है।
$C$ का हिस्सा $= (1 / (3 + 1 + 1)) \times 250 = (1 / 5) \times 250 = Rs. 50$।

(B) माना शशि की कार्यकुशलता $100$ इकाई/दिन है।
चूंकि तान्या,शशि से $25\%$ अधिक कार्यकुशल है,इसलिए तान्या की कार्यकुशलता $125$ इकाई/दिन होगी।
तान्या और शशि की कार्यकुशलता का अनुपात $125:100$ है,जिसे सरल करने पर $5:4$ प्राप्त होता है।
चूंकि लिया गया समय कार्यकुशलता के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए तान्या और शशि द्वारा लिए गए समय का अनुपात $4:5$ होगा।
यह दिया गया है कि शशि काम को पूरा करने में $20$ दिन लेता है,इसलिए $5$ इकाई समय $= 20$ दिन।
अतः,$1$ इकाई समय $= 4$ दिन।
तान्या द्वारा लिया गया समय $4$ इकाई समय $= 4 \times 4 = 16$ दिन है।

(A) मान लीजिए कि $1$ पुरुष द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $M$ है और $1$ लड़के द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $B$ है।
प्रश्न के अनुसार,दोनों स्थितियों में कुल कार्य समान है।
$(12M + 16B) \times 5 = (13M + 24B) \times 4$
$60M + 80B = 52M + 96B$
$M$ और $B$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$60M - 52M = 96B - 80B$
$8M = 16B$
$\frac{M}{B} = \frac{16}{8} = \frac{2}{1}$
अतः,एक पुरुष और एक लड़के द्वारा किए गए दैनिक कार्य का अनुपात $2:1$ है।

(C) मान लीजिए कुल कार्य $50$ इकाई है।
चूंकि एक श्रमिक $50$ दिनों में कार्य पूरा करता है,इसलिए एक श्रमिक की कार्यक्षमता $1$ इकाई प्रति दिन है।
$1$ले दिन,श्रमिकों की संख्या $1$ है,इसलिए किया गया कार्य = $1$ इकाई।
$2$रे दिन,श्रमिकों की संख्या $2$ है,इसलिए किया गया कार्य = $2$ इकाई।
$3$रे दिन,श्रमिकों की संख्या $3$ है,इसलिए किया गया कार्य = $3$ इकाई।
यह एक समांतर श्रेणी का पालन करता है जहाँ $n$वें दिन किया गया कार्य $n$ इकाई है।
$n$ दिनों में किया गया कुल कार्य प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग है: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$।
हमें $n$ का मान ज्ञात करना है ताकि $S_n \ge 50$ हो।
$\frac{n(n+1)}{2} \ge 50 \implies n(n+1) \ge 100$।
यदि $n = 9$ है,तो $9 \times 10 = 90 < 100$।
यदि $n = 10$ है,तो $10 \times 11 = 110 \ge 100$।
अतः,कार्य $10$वें दिन पूरा हो जाएगा।

(D) चरण $1$: $A$ द्वारा $9$ दिनों में किए गए कार्य की गणना करें।
$A$ कार्य का $\frac{2}{5}$ भाग $9$ दिनों में करता है।
अतः,$A$ की कार्यक्षमता $= \frac{2/5}{9} = \frac{2}{45}$ कार्य प्रति दिन।
चरण $2$: शेष कार्य की गणना करें।
शेष कार्य $= 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ भाग।
चरण $3$: $A$ और $B$ की संयुक्त कार्यक्षमता की गणना करें।
वे $\frac{3}{5}$ कार्य को $6$ दिनों में पूरा करते हैं।
संयुक्त कार्यक्षमता $(A+B) = \frac{3/5}{6} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$ कार्य प्रति दिन।
चरण $4$: $B$ की कार्यक्षमता की गणना करें।
$B$ की कार्यक्षमता $= (A+B) - A = \frac{1}{10} - \frac{2}{45}$।
$10$ और $45$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $90$ लेने पर:
$B$ की कार्यक्षमता $= \frac{9-4}{90} = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ कार्य प्रति दिन।
चरण $5$: $B$ द्वारा पूरे कार्य को समाप्त करने में लिए गए समय की गणना करें।
$B$ द्वारा लिया गया समय $= \frac{1}{1/18} = 18$ दिन।

(B) $1$. अक्का की केक बनाने की दर ज्ञात करें: अक्का $20$ घंटे में $100$ केक बनाती है,इसलिए उसकी दर $100 / 20 = 5$ केक प्रति घंटा है।
$2$. अक्का और ताई की संयुक्त दर ज्ञात करें: वे $10$ घंटे में $75$ केक बनाते हैं,इसलिए उनकी संयुक्त दर $75 / 10 = 7.5$ केक प्रति घंटा है।
$3$. ताई की केक बनाने की दर ज्ञात करें: ताई की दर = (संयुक्त दर) - (अक्का की दर) = $7.5 - 5 = 2.5$ केक प्रति घंटा।
$4$. ताई द्वारा $20$ घंटे में बनाए गए केक की संख्या ज्ञात करें: $2.5 \text{ केक/घंटा} \times 20 \text{ घंटे} = 50$ केक।

(B) मान लीजिए कि $A$ द्वारा काम पूरा करने में लिया गया समय $x \, \text{घंटे}$ है।
तब,$B$ द्वारा काम पूरा करने में लिया गया समय $(x + 10) \, \text{घंटे}$ है।
साथ मिलकर काम करते हुए,उनकी संयुक्त कार्य दर $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12}$ है।
$x$ के लिए हल करने पर: $\frac{x + 10 + x}{x(x + 10)} = \frac{1}{12} \implies 12(2x + 10) = x^2 + 10x$.
$24x + 120 = x^2 + 10x \implies x^2 - 14x - 120 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 20)(x + 6) = 0$.
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 20 \, \text{घंटे}$.
अतः,$B$ को पूरा काम करने में $x + 10 = 30 \, \text{घंटे}$ लगते हैं।
काम का $50 \%$ पूरा करने के लिए,$B$ को $30 \, \text{घंटे}$ का $50 \% = 15 \, \text{घंटे}$ लगेंगे।

(D) माना कि $1$ पुरुष का $1$ दिन का कार्य $M$ है और $1$ महिला का $1$ दिन का कार्य $W$ है।
कुल कार्य = $28 \times 15 \times M = 15 \times 24 \times W$.
$28 M = 24 W \implies \frac{M}{W} = \frac{24}{28} = \frac{6}{7}$.
$30$ पुरुषों द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य = $30 M$.
$18$ महिलाओं द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य = $18 W$.
अनुपात = $\frac{30 M}{18 W} = \frac{30}{18} \times \frac{M}{W} = \frac{5}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{5 \times 2}{7} = \frac{10}{7}$.
अतः,अनुपात $10:7$ है।

(C) कुल कार्य = $20 \times 16 = 320$ पुरुष-दिन।
$5$ दिनों में किया गया कार्य = $20 \times 5 = 100$ पुरुष-दिन।
शेष कार्य = $320 - 100 = 220$ पुरुष-दिन।
मान लीजिए कि $x$ पुरुष काम छोड़कर चले गए। बचे हुए पुरुष = $(20 - x)$।
शेष कार्य $18 \frac{1}{3} = \frac{55}{3}$ दिनों में पूरा होता है।
सूत्र $\text{कार्य} = \text{पुरुष} \times \text{दिन}$ का उपयोग करते हुए:
$220 = (20 - x) \times \frac{55}{3}$।
$220 \times \frac{3}{55} = 20 - x$।
$4 \times 3 = 20 - x$।
$12 = 20 - x$।
$x = 20 - 12 = 8$।
अतः,$8$ पुरुष काम छोड़कर चले गए थे।

(C) की कार्यक्षमता $= 1/30$ इकाई प्रति दिन।
$B$ की कार्यक्षमता $= 1/36$ इकाई प्रति दिन।
मान लीजिए $A$ और $B$ एक साथ $x$ दिनों तक काम करते हैं।
$B$ द्वारा $25$ दिनों में अकेले किया गया कार्य $= 25 \times (1/36) = 25/36$।
$A$ और $B$ द्वारा एक साथ किया गया शेष कार्य $= 1 - 25/36 = 11/36$।
$A$ और $B$ की संयुक्त कार्यक्षमता $= 1/30 + 1/36 = (6+5)/180 = 11/180$।
$A$ और $B$ द्वारा $11/36$ कार्य को पूरा करने में लिया गया समय $= (11/36) / (11/180) = (11/36) \times (180/11) = 5$ दिन।
अतः,$A$ $5$ दिनों के बाद काम छोड़कर चला गया।

(B) माना कार्य पूरा करने में लगा कुल समय $x$ दिन है।
चूंकि $A$ ने पूरी अवधि तक काम किया,$B$ ने $8$ दिन पहले काम छोड़ा,और $C$ ने $6$ दिन पहले काम छोड़ा,तो उनका व्यक्तिगत कार्य योगदान इस प्रकार है:
$A$ द्वारा किया गया कार्य $= \frac{x}{16}$
$B$ द्वारा किया गया कार्य $= \frac{x-8}{32}$
$C$ द्वारा किया गया कार्य $= \frac{x-6}{48}$
उनके कार्य का योग $1$ (पूरा कार्य) के बराबर है:
$\frac{x}{16} + \frac{x-8}{32} + \frac{x-6}{48} = 1$
$16, 32,$ और $48$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $96$ लेने पर:
$\frac{6x + 3(x-8) + 2(x-6)}{96} = 1$
$6x + 3x - 24 + 2x - 12 = 96$
$11x - 36 = 96$
$11x = 132$
$x = \frac{132}{11} = 12$ दिन।
अतः,कार्य $12$ दिनों में पूरा हो जाता है।

(B) $(P+Q)$ का $1$ दिन का काम $= 1/6$ है।
$(Q+R)$ का $1$ दिन का काम $= 7/60$ है।
मान लीजिए $P$ अकेले काम पूरा करने में $x$ दिन लेता है।
प्रश्न के अनुसार,$P$ ने $3$ दिन काम किया और $(Q+R)$ ने कुल काम ($1$ इकाई) पूरा करने के लिए $6$ दिन काम किया।
अतः,$3/x + 6 \times (7/60) = 1$ है।
$3/x + 42/60 = 1$ है।
$3/x + 7/10 = 1$ है।
$3/x = 1 - 7/10 = 3/10$ है।
$x = 10$ दिन।
$Q$ का $1$ दिन का काम $= (P+Q) - P = 1/6 - 1/10 = (5-3)/30 = 2/30 = 1/15$ है।
$R$ का $1$ दिन का काम $= (Q+R) - Q = 7/60 - 1/15 = (7-4)/60 = 3/60 = 1/20$ है।
$R$ अकेले काम पूरा करने में $20$ दिन लेता है।
$R$ और $P$ द्वारा लिए गए दिनों का अंतर $20 - 10 = 10$ दिन है।

(C) माना कुल कार्य $8, 12,$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $24$ इकाई है।
$(A+B)$ की कार्यक्षमता = $24 / 8 = 3$ इकाई/दिन।
$(B+C)$ की कार्यक्षमता = $24 / 12 = 2$ इकाई/दिन।
$(A+B+C)$ की कार्यक्षमता = $24 / 6 = 4$ इकाई/दिन।
$B$ की कार्यक्षमता ज्ञात करने के लिए,हम इस समीकरण का उपयोग करते हैं: $(A+B) + (B+C) - (A+B+C) = B$।
$B$ की कार्यक्षमता = $3 + 2 - 4 = 1$ इकाई/दिन।
अब,$(A+C)$ की कार्यक्षमता ज्ञात करें:
$(A+C)$ की कार्यक्षमता = $(A+B+C) - B = 4 - 1 = 3$ इकाई/दिन।
$A$ और $C$ द्वारा कार्य पूरा करने में लगा समय = कुल कार्य / $(A+C)$ की कार्यक्षमता = $24 / 3 = 8$ दिन।

(D) की कार्यक्षमता $= \frac{1}{24}$ यूनिट/दिन।
$B$ की कार्यक्षमता $= \frac{1}{30}$ यूनिट/दिन।
$C$ की कार्यक्षमता $= \frac{1}{40}$ यूनिट/दिन।
कुल कार्य ($24, 30, 40$ का ल.स.) $= 120$ यूनिट।
$A$ की कार्यक्षमता $= 5$ यूनिट/दिन,$B = 4$ यूनिट/दिन,$C = 3$ यूनिट/दिन।
$(A+B+C)$ की संयुक्त कार्यक्षमता $= 5+4+3 = 12$ यूनिट/दिन।
माना कार्य पूरा करने में लगा कुल समय $x$ दिन है।
$C$ ने कार्य पूरा होने से $4$ दिन पहले काम छोड़ दिया,इसलिए $C$ ने $(x-4)$ दिन काम किया,जबकि $A$ और $B$ ने $x$ दिन काम किया।
समीकरण: $5x + 4x + 3(x-4) = 120$।
$9x + 3x - 12 = 120$।
$12x = 132$।
$x = 11$ दिन।
अतः,कुल कार्य $11$ दिनों में पूरा हुआ।

(B) चरण $1$: $A$ और $B$ द्वारा एक दिन में किए गए कार्य की गणना करें।
$A$ कार्य को $10 \text{ दिनों में}$ पूरा करता है,इसलिए $A$ का $1 \text{ दिन का}$ कार्य $= \frac{1}{10}$.
$B$ कार्य को $20 \text{ दिनों में}$ पूरा करता है,इसलिए $B$ का $1 \text{ दिन का}$ कार्य $= \frac{1}{20}$.
चरण $2$: $A$ और $B$ द्वारा एक दिन में किए गए संयुक्त कार्य की गणना करें।
$(A + B)$ का $1 \text{ दिन का}$ कार्य $= \frac{1}{10} + \frac{1}{20} = \frac{2+1}{20} = \frac{3}{20}$.
चरण $3$: $5 \text{ दिनों में}$ उनके द्वारा किए गए कार्य की गणना करें।
$5 \text{ दिनों में}$ किया गया कार्य $= 5 \times \frac{3}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
चरण $4$: शेष कार्य की गणना करें।
शेष कार्य $= 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

(A) माना कुल कार्य $30$ और $20$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $60$ इकाई है।
$(A + B)$ की कार्यक्षमता = $\frac{60}{30} = 2$ इकाई/दिन।
$(B + C)$ की कार्यक्षमता = $\frac{60}{20} = 3$ इकाई/दिन।
माना $A, B, C$ क्रमशः $A, B, C$ की कार्यक्षमताएँ हैं।
$A + B = 2$ $(i)$
$B + C = 3$ (ii)
कुल कार्य = $5A + 15B + 18C = 60$ है।
इसे $5(A + B) + 10B + 18C = 60$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(A + B) = 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5(2) + 10B + 18C = 60 \Rightarrow 10 + 10B + 18C = 60 \Rightarrow 10B + 18C = 50 \Rightarrow 5B + 9C = 25$ (iii)।
(ii) से,$B = 3 - C$ है। इसे (iii) में रखने पर:
$5(3 - C) + 9C = 25 \Rightarrow 15 - 5C + 9C = 25 \Rightarrow 4C = 10 \Rightarrow C = 2.5$ इकाई/दिन।
$C$ द्वारा अकेले काम पूरा करने में लगा समय = $\frac{\text{कुल कार्य}}{\text{C की कार्यक्षमता}} = \frac{60}{2.5} = 24$ दिन।

(B) मान लीजिए $C$ की कार्यक्षमता $k$ है। चूँकि $A, C$ से तीन गुना तेज़ है,इसलिए $A$ की कार्यक्षमता $3k$ है।
चूँकि $A, B$ से दोगुना तेज़ है,इसलिए $B$ की कार्यक्षमता $\frac{3k}{2} = 1.5k$ है।
$A, B,$ और $C$ की कुल कार्यक्षमता $3k + 1.5k + k = 5.5k$ है।
यह दिया गया है कि वे कार्य को $6$ दिनों में पूरा करते हैं,इसलिए कुल कार्य $6 \times 5.5k = 33k$ है।
$C$ द्वारा अकेले लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए,हम कुल कार्य को $C$ की कार्यक्षमता से विभाजित करते हैं:
$C$ द्वारा लिया गया समय $= \frac{33k}{k} = 33$ दिन।

(D) दिया गया है कि $A$ का $2$ दिन का काम $B$ के $3$ दिन के काम के बराबर है।
माना $A$ की कार्यक्षमता $E_A$ और $B$ की कार्यक्षमता $E_B$ है।
अतः,$2 \times E_A = 3 \times E_B$.
इसका अर्थ है कि उनकी कार्यक्षमता का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{2}$ है।
चूंकि लिया गया समय कार्यक्षमता के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए $A$ और $B$ द्वारा समान कार्य को पूरा करने में लिए गए समय का अनुपात $\frac{T_A}{T_B} = \frac{E_B}{E_A} = \frac{2}{3}$ होगा।
दिया गया है कि $A$ काम को $8$ दिनों में पूरा करता है $(T_A = 8)$।
मान रखने पर: $\frac{8}{T_B} = \frac{2}{3}$.
$2 \times T_B = 8 \times 3$.
$2 \times T_B = 24$.
$T_B = 12$ दिन।
अतः,$B$ को काम पूरा करने में $12$ दिन लगेंगे।

(D) माना कि एक पुरुष का एक दिन का काम $M$ है और एक महिला का एक दिन का काम $W$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$(4M + 6W) \times 8 = (2M + 9W) \times 8$
दोनों पक्षों को $8$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4M + 6W = 2M + 9W$
$2M = 3W$
इसका अर्थ है कि $2$ पुरुष $3$ महिलाओं के बराबर काम करते हैं।
अब,पहले मामले में $2M = 3W$ रखने पर:
$4M + 6W = 2(2M) + 6W = 2(3W) + 6W = 6W + 6W = 12W$।
अतः,$12$ महिलाएँ उस काम को $8$ दिनों में पूरा कर सकती हैं।
$18$ महिलाओं द्वारा लिए गए समय को ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $W_1 \times D_1 = W_2 \times D_2$ का उपयोग करते हैं:
$12 \times 8 = 18 \times D_2$
$D_2 = \frac{12 \times 8}{18} = \frac{96}{18} = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$ दिन।

(A) दिया गया है कि $4$ पुरुष काम को $15$ दिनों में कर सकते हैं,इसलिए $1$ पुरुष काम को $15 \times 4 = 60$ दिनों में कर सकता है।
अतः,$1$ पुरुष द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $\frac{1}{60}$ है।
इसी प्रकार,$8$ महिलाएँ काम को $15$ दिनों में कर सकती हैं,इसलिए $1$ महिला काम को $15 \times 8 = 120$ दिनों में कर सकती है।
अतः,$1$ महिला द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $\frac{1}{120}$ है।
अब,हमें $6$ पुरुषों और $12$ महिलाओं द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य ज्ञात करना है:
$6$ पुरुषों द्वारा किया गया कार्य $= 6 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{10}$.
$12$ महिलाओं द्वारा किया गया कार्य $= 12 \times \frac{1}{120} = \frac{1}{10}$.
$6$ पुरुषों और $12$ महिलाओं द्वारा $1$ दिन में किया गया कुल कार्य $= \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
इस प्रकार,कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय $5$ दिन है।

(B) कुल कार्य को $1$ इकाई माना जाता है।
दिया गया है कि $A$ और $C$ मिलकर कार्य का $\frac{19}{23}$ भाग पूरा करते हैं।
इसलिए,$B$ द्वारा किया गया कार्य $1 - \frac{19}{23} = \frac{23 - 19}{23} = \frac{4}{23}$ है।
मजदूरी का वितरण किए गए कार्य के अनुपात में किया जाता है।
अतः,$B$ का हिस्सा कुल राशि का $\frac{4}{23}$ भाग होगा।
$B$ का हिस्सा $= \frac{4}{23} \times 575 = 4 \times 25 = Rs. 100$.

(A) मान लीजिए कि एक लड़के की कार्यक्षमता $1$ इकाई/दिन है।
चूंकि एक महिला लड़के की तुलना में दोगुनी तेज है, इसलिए महिला की कार्यक्षमता $2$ इकाई/दिन है।
चूंकि एक पुरुष महिला की तुलना में दोगुना तेज है, इसलिए पुरुष की कार्यक्षमता $2 \times 2 = 4$ इकाई/दिन है।
पुरुष, महिला और लड़के की कुल कार्यक्षमता $= 4 + 2 + 1 = 7$ इकाई/दिन।
कुल कार्य $= \text{कुल कार्यक्षमता} \times \text{कुल दिन} = 7 \text{ इकाई/दिन} \times 7 \text{ दिन} = 49$ इकाई।
लड़के द्वारा अकेले काम पूरा करने में लिया गया समय $= \frac{\text{कुल कार्य}}{\text{लड़के की कार्यक्षमता}} = \frac{49}{1} = 49$ दिन।

(C) चरण $1$: $C$ द्वारा कार्य छोड़ने से पहले किया गया कार्य ज्ञात करें।
$C$ ने $\frac{1}{8}$ कार्य पूरा होने के बाद कार्य छोड़ दिया।
चरण $2$: शेष कार्य की गणना करें।
शेष कार्य $= 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
चरण $3$: $A$ और $B$ की संयुक्त कार्यक्षमता ज्ञात करें।
$A$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{6}$.
$B$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{12}$.
$(A + B)$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2 + 1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
चरण $4$: $A$ और $B$ द्वारा शेष कार्य को पूरा करने में लगा समय ज्ञात करें।
समय $= \frac{\text{शेष कार्य}}{\text{संयुक्त कार्यक्षमता}} = \frac{7/8}{1/4} = \frac{7}{8} \times 4 = \frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}$ दिन।

(B) हम कार्य समानता के सूत्र का उपयोग करते हैं: $M_{1} \times D_{1} \times T_{1} = M_{2} \times D_{2} \times T_{2}$
दिया गया है:
$M_{1} = 15$ पुरुष,$D_{1} = 20$ दिन,$T_{1} = 8$ घंटे/दिन
$M_{2} = 20$ पुरुष,$D_{2} = 12$ दिन,$T_{2} = ?$
सूत्र में मान रखने पर:
$15 \times 20 \times 8 = 20 \times 12 \times T_{2}$
$T_{2}$ के लिए हल करने पर:
$T_{2} = \frac{15 \times 20 \times 8}{20 \times 12}$
$T_{2} = \frac{15 \times 8}{12}$
$T_{2} = \frac{120}{12} = 10$ घंटे/दिन।

(D) $(\text{राज }+ \text{राम})$ द्वारा $1 \text{ दिन}$ में किया गया कार्य $= \frac{1}{10}$ है।
राज द्वारा $1 \text{ दिन}$ में किया गया कार्य $= \frac{1}{12}$ है।
अतः,राम द्वारा $1 \text{ दिन}$ में किया गया कार्य $= \frac{1}{10} - \frac{1}{12}$ होगा।
$10$ और $12$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $60$ लेने पर:
राम का $1 \text{ दिन का कार्य} = \frac{6 - 5}{60} = \frac{1}{60}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,राम अकेले उस काम को $60 \text{ दिनों में}$ पूरा करेगा।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक व्यक्ति द्वारा व्यतीत समय $T$ मिनट है।
$A$ की टाइपिंग दर $1/12$ पृष्ठ प्रति मिनट है।
$B$ की टाइपिंग दर $1/15$ पृष्ठ प्रति मिनट है।
$C$ की टाइपिंग दर $1/24$ पृष्ठ प्रति मिनट है।
चूंकि वे समान समय $T$ व्यतीत करते हैं,इसलिए $A, B,$ और $C$ द्वारा टाइप किए गए पृष्ठों की संख्या क्रमशः $T/12, T/15,$ और $T/24$ है।
कुल पृष्ठों की संख्या $506$ है,इसलिए:
$T/12 + T/15 + T/24 = 506$
$T$ का मान ज्ञात करने के लिए,$12, 15,$ और $24$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ ज्ञात करें,जो $120$ है।
$(10T + 8T + 5T) / 120 = 506$
$23T / 120 = 506$
$T = (506 \times 120) / 23 = 22 \times 120 = 2640$ मिनट।
$B$ द्वारा टाइप किए गए पृष्ठों की संख्या $T/15 = 2640 / 15 = 176$ पृष्ठ है।

(D) द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{m}$ है।
$B$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{n}$ है।
$A$ और $B$ दोनों द्वारा मिलकर $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{n+m}{mn}$ है।
अतः,$A$ और $B$ द्वारा मिलकर कार्य को पूरा करने में लगा कुल समय $1$ दिन में किए गए कार्य का व्युत्क्रम होता है।
लगा समय $= \frac{mn}{m+n}$ दिन।

(D) माना $A, B, C$ द्वारा एक साथ काम पूरा करने में लिया गया समय $t$ घंटे है।
अतः $A$ को $(t+6)$ घंटे,$B$ को $(t+1)$ घंटे और $C$ को $2t$ घंटे लगते हैं।
संयुक्त कार्य दर: $\frac{1}{t+6} + \frac{1}{t+1} + \frac{1}{2t} = \frac{1}{t}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2t}$ घटाने पर: $\frac{1}{t+6} + \frac{1}{t+1} = \frac{1}{2t}$.
$\frac{(t+1) + (t+6)}{(t+6)(t+1)} = \frac{1}{2t} \Rightarrow \frac{2t+7}{t^2+7t+6} = \frac{1}{2t}$.
$4t^2 + 14t = t^2 + 7t + 6 \Rightarrow 3t^2 + 7t - 6 = 0$.
$(3t-2)(t+3) = 0$. चूंकि समय धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t = 2/3$ घंटे।
अब,$A$ को $2/3 + 6 = 20/3$ घंटे और $B$ को $2/3 + 1 = 5/3$ घंटे लगते हैं।
$A$ और $B$ की संयुक्त कार्य दर = $\frac{3}{20} + \frac{3}{5} = \frac{3+12}{20} = \frac{15}{20} = 3/4$ कार्य प्रति घंटा।
$A$ और $B$ द्वारा लिया गया समय = $4/3$ घंटे।

(B) माना $(B+C)$ द्वारा लिया गया समय $x$ दिन है। तो $A$ द्वारा लिया गया समय $3x$ दिन है।
इसलिए,$(A+B+C)$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $\frac{1}{3x} + \frac{1}{x} = \frac{1+3}{3x} = \frac{4}{3x}$ है।
दिया गया है कि $(A+B+C)$ कार्य को $24$ दिनों में पूरा करते हैं,इसलिए $\frac{4}{3x} = \frac{1}{24}$ है।
$3x = 4 \times 24 = 96$,इसलिए $x = 32$ दिन।
अतः,$A$ को अकेले कार्य पूरा करने में $3x = 3 \times 32 = 96$ दिन लगेंगे।

(A) $P$ की कार्यकुशलता को $100\%$ मानने पर,चूंकि $Q$,$P$ से $50\%$ अधिक कार्यकुशल है,इसलिए $Q$ की कार्यकुशलता $150\%$ होगी।
$Q$ और $P$ की कार्यकुशलता का अनुपात $150 : 100$ है,जिसे सरल करने पर यह $3 : 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि लिया गया समय कार्यकुशलता के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए $Q$ और $P$ द्वारा लिए गए समय का अनुपात $2 : 3$ होगा।
दिया गया है कि $P$ को $9$ दिन लगते हैं,जो अनुपात में $3$ भाग के बराबर है।
अतः,$1$ भाग का मान $\frac{9}{3} = 3$ दिन होगा।
$Q$ को $2$ भाग समय लगता है,इसलिए $Q$ द्वारा लिया गया समय $2 \times 3 = 6$ दिन होगा।

(A) दिया गया है कि $16$ पुरुष काम को $15$ दिनों में पूरा करते हैं।
इसलिए,$8$ पुरुष उसी काम को $16 \times 15 / 8 = 30$ दिनों में पूरा करेंगे।
दिया गया है कि $24$ बच्चे काम को $20$ दिनों में पूरा करते हैं।
इसलिए,$8$ बच्चे उसी काम को $24 \times 20 / 8 = 60$ दिनों में पूरा करेंगे।
माना कुल कार्य $30$ और $60$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ यानी $60$ इकाई है।
$8$ पुरुषों की कार्यक्षमता $= 60 / 30 = 2$ इकाई/दिन।
$8$ बच्चों की कार्यक्षमता $= 60 / 60 = 1$ इकाई/दिन।
$8$ पुरुषों और $8$ बच्चों की संयुक्त कार्यक्षमता $= 2 + 1 = 3$ इकाई/दिन।
काम पूरा करने में लगा समय $= 60 / 3 = 20$ दिन।

(B) दिया गया है कि $A$ कार्य को $4 \, \text{दिनों}$ में पूरा करता है और $B$ इसे $12 \, \text{दिनों}$ में पूरा करता है।
कुल कार्य $4$ और $12$ का ल.स.प. $(LCM)$ है,जो $12 \, \text{इकाइयाँ}$ है।
$A$ की कार्यक्षमता $= \frac{12 \, \text{इकाइयाँ}}{4 \, \text{दिन}} = 3 \, \text{इकाइयाँ}/\text{दिन}$।
$B$ की कार्यक्षमता $= \frac{12 \, \text{इकाइयाँ}}{12 \, \text{दिन}} = 1 \, \text{इकाई}/\text{दिन}$।
$A$ और $B$ की संयुक्त कार्यक्षमता $= 3 + 1 = 4 \, \text{इकाइयाँ}/\text{दिन}$।
दोनों द्वारा एक साथ कार्य पूरा करने में लगा समय $= \frac{\text{कुल कार्य}}{\text{संयुक्त कार्यक्षमता}} = \frac{12}{4} = 3 \, \text{दिन}$।

(A) यदि $A$ कार्य का $\frac{1}{4}$ भाग $10$ दिनों में कर सकता है,तो $A$ पूरा कार्य $10 \times 4 = 40$ दिनों में पूरा कर सकता है।
यदि $B$ कार्य का $\frac{1}{3}$ भाग $20$ दिनों में कर सकता है,तो $B$ पूरा कार्य $20 \times 3 = 60$ दिनों में पूरा कर सकता है।
माना कुल कार्य $40$ और $60$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $120$ इकाई है।
$A$ की कार्यक्षमता $= \frac{120}{40} = 3$ इकाई/दिन।
$B$ की कार्यक्षमता $= \frac{120}{60} = 2$ इकाई/दिन।
$A$ और $B$ की संयुक्त कार्यक्षमता $= 3 + 2 = 5$ इकाई/दिन।
$A$ और $B$ द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लगा समय $= \frac{\text{कुल कार्य}}{\text{संयुक्त कार्यक्षमता}} = \frac{120}{5} = 24$ दिन।

(C) माना कुल कार्य $W = 1$ इकाई है।
$A$ और $B$ की संयुक्त कार्यक्षमता $(A+B) = \frac{1}{30}$ इकाई/दिन है।
$A$ और $B$ द्वारा $20$ दिनों में किया गया कार्य $= 20 \times \frac{1}{30} = \frac{2}{3}$ इकाई।
शेष कार्य $= 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ इकाई।
$A$ इस $\frac{1}{3}$ इकाई कार्य को $20$ दिनों में पूरा करता है।
अतः,$A$ की कार्यक्षमता $= \frac{1/3}{20} = \frac{1}{60}$ इकाई/दिन।
$A$ द्वारा अकेले कुल कार्य को पूरा करने में लिया गया समय $= \frac{1}{1/60} = 60$ दिन।

(C) कार्य के सूत्र के अनुसार,$M_{1} \times D_{1} = M_{2} \times D_{2}$,जहाँ $M$ पुरुषों की संख्या है और $D$ दिनों की संख्या है।
दिया गया है: $M_{1} = x$,$D_{1} = x$,$M_{2} = y$,और हमें $D_{2}$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $x \times x = y \times D_{2}$।
अतः,$D_{2} = \frac{x^{2}}{y}$ दिन।

(C) मान लीजिए कि $\text{पहले}$,$\text{दूसरे}$,$\text{तीसरे}$ और $\text{चौथे}$ व्यक्ति द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य क्रमशः $W_1, W_2, W_3$ और $W_4$ है।
$W_1 = 1/8$,$W_2 = 1/12$,$W_3 = 1/16$ है।
मान लीजिए कि $\text{चौथा}$ व्यक्ति काम को $x$ दिनों में पूरा करता है,इसलिए $W_4 = 1/x$ है।
चूंकि वे मिलकर $3$ दिनों में काम पूरा करते हैं:
$3(1/8 + 1/12 + 1/16 + 1/x) = 1$
$1/8 + 1/12 + 1/16 + 1/x = 1/3$
$1/x = 1/3 - (6+4+3)/48 = 1/3 - 13/48 = (16-13)/48 = 3/48 = 1/16$ है।
इस प्रकार,$3$ दिनों में $\text{चौथे}$ व्यक्ति का कार्य हिस्सा $3 \times (1/16) = 3/16$ है।
मजदूरी प्रत्येक व्यक्ति द्वारा किए गए कार्य के अनुपात में वितरित की जाती है।
$\text{चौथे}$ व्यक्ति का हिस्सा $= (3/16) \times 1200 = 3 \times 75 = 225$ $Rs.$

(B) माना $A$ अकेले कार्य को $x$ दिनों में और $B$ अकेले कार्य को $y$ दिनों में पूरा करता है।
प्रश्न के अनुसार,$A$ और $B$ द्वारा एक दिन में किया गया कार्य क्रमशः $1/x$ और $1/y$ है।
दिया गया है कि $A$ और $B$ मिलकर कार्य को $5$ दिनों में पूरा करते हैं,अतः: $1/x + 1/y = 1/5$ .....$(1)$
यदि $A$ दोगुनी कार्यक्षमता $(2/x)$ से और $B$ $1/3$ कार्यक्षमता $(1/(3y))$ से कार्य करे,तो वे कार्य को $3$ दिनों में पूरा करते हैं: $2/x + 1/(3y) = 1/3$ .....$(2)$
$x$ का मान ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करें: $6/x + 1/y = 1$ .....$(3)$
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर: $(6/x + 1/y) - (1/x + 1/y) = 1 - 1/5$
$5/x = 4/5$
$x = 25/4 = 6 \frac{1}{4}$ दिन।
अतः,$A$ को अकेले कार्य पूरा करने में $6 \frac{1}{4}$ दिन लगेंगे।

(C) द्वारा एक दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{20}$.
$B$ द्वारा एक दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{30}$.
$A$ और $B$ का एक दिन का संयुक्त कार्य $= \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$.
$A$ और $B$ द्वारा $7$ दिनों में किया गया कार्य $= 7 \times \frac{1}{12} = \frac{7}{12}$.
शेष कार्य $= 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
$C$ शेष $\frac{5}{12}$ कार्य को $10$ दिनों में पूरा करता है।
अतः,$C$ पूरे कार्य को $10 \times \frac{12}{5} = 24$ दिनों में समाप्त करेगा।

(D) सुनील का $1$ दिन का काम $= \frac{1}{4}$.
दिनेश का $1$ दिन का काम $= \frac{1}{6}$.
रमेश की कार्यक्षमता सुनील से $1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ गुना है।
अतः,रमेश का $1$ दिन का काम $= \frac{3}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$.
तीनों द्वारा $1$ दिन में किया गया कुल काम $= \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{3}{8}$.
$4, 6, 8$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $24$ लेने पर:
$= \frac{6 + 4 + 9}{24} = \frac{19}{24}$.
तीनों द्वारा काम पूरा करने में लगा समय $= \frac{24}{19} = 1 \frac{5}{19}$ दिन।

(B) कुल कार्य समान रहता है। मान लीजिए कि पहली स्थिति के लिए दिन और प्रतिदिन के घंटे $D_1$ और $T_1$ हैं,और दूसरी स्थिति के लिए $D_2$ और $T_2$ हैं।
कुल कार्य का सूत्र $D_1 \times T_1 = D_2 \times T_2$ है।
दिया गया है:
$D_1 = 18$ दिन
$T_1 = 6$ घंटे/दिन
$D_2 = 12$ दिन
मान रखने पर:
$18 \times 6 = 12 \times T_2$
$108 = 12 \times T_2$
$T_2 = \frac{108}{12} = 9$ घंटे/दिन।
अतः,किसान को प्रतिदिन $9$ घंटे काम करना होगा।

(A) $2$ पुरुषों द्वारा $x$ दिनों में किया गया कार्य $= 1$ इकाई है।
इसलिए,$1$ पुरुष द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{2x}$ है।
$y$ महिलाओं द्वारा $3$ दिनों में किया गया कार्य $= 1$ इकाई है।
इसलिए,$1$ महिला द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{3y}$ है।
$1$ पुरुष और $1$ महिला द्वारा किए गए कार्य का अनुपात $\frac{1}{2x} : \frac{1}{3y}$ है।
दोनों पक्षों को $6xy$ से गुणा करने पर,हमें $3y : 2x$ प्राप्त होता है।