Time and Work Questions in Gujarati

(A) અહીં આપેલ છે કે $M_1 = 18$ છોકરાઓ,$D_1 = 24$ દિવસ,અને $M_2 = 27$ છોકરાઓ.
કામ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$,જ્યાં $M$ એ માણસો (અથવા છોકરાઓ) ની સંખ્યા છે અને $D$ એ દિવસોની સંખ્યા છે.
કિંમતો મૂકતા: $18 \times 24 = 27 \times D_2$.
$D_2$ માટે ગણતરી કરતા: $D_2 = \frac{18 \times 24}{27}$.
$D_2 = \frac{432}{27} = 16$ દિવસ.
આમ,$27$ છોકરાઓ તે કામ $16$ દિવસમાં પૂર્ણ કરી શકશે.

(A) ધારો કે $1648$ વ્યક્તિઓને ડેમ બનાવતા $x$ દિવસ લાગે છે.
કાર્યના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ કાર્ય અચળ રહે છે,તેથી $M_{1} \times D_{1} = M_{2} \times D_{2}$.
અહીં,$M_{1} = 1648$,$D_{1} = x$,$M_{2} = 721$,અને $D_{2} = 48$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1648 \times x = 721 \times 48$.
$x = \frac{721 \times 48}{1648}$.
$x = \frac{34608}{1648} = 21$.
તેથી,$1648$ વ્યક્તિઓને ડેમ બનાવતા $21$ દિવસ લાગશે.

(A) કુલ કાર્યનું સૂત્ર છે: $\text{કાર્ય} = \text{વ્યક્તિઓ} \times \text{કાર્યક્ષમતા} \times \text{સમય}$.
ધારો કે પ્રથમ જૂથમાં એક વ્યક્તિની કાર્યક્ષમતા $E$ છે. કુલ કાર્ય $10 \times E \times 20 = 200E$ થશે.
બીજા કિસ્સામાં,$20$ વ્યક્તિઓ છે જેમની કાર્યક્ષમતા બમણી એટલે કે $2E$ છે.
ધારો કે લાગતો સમય $T$ દિવસ છે.
કાર્યને સરખાવતા: $200E = 20 \times (2E) \times T$.
$200E = 40E \times T$.
$T = \frac{200E}{40E} = 5$ દિવસ.

(D) $A$ દ્વારા $1 \, \text{દિવસ}$ માં થયેલું કામ $= \frac{1}{6}$.
$B$ દ્વારા $1 \, \text{દિવસ}$ માં થયેલું કામ $= \frac{1}{12}$.
$A$ અને $B$ દ્વારા $1 \, \text{દિવસ}$ માં થયેલું સંયુક્ત કામ $= \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
તેથી, $A$ અને $B$ સાથે મળીને તે કામ $4 \, \text{દિવસ}$ માં પૂરું કરશે.

(B) કુલ કામ = $12 \text{ માણસો} \times 12 \text{ દિવસ} = 144 \text{ મેન-ડેઝ}$.
$12$ માણસો દ્વારા $6$ દિવસમાં થયેલું કામ = $12 \times 6 = 72 \text{ મેન-ડેઝ}$.
બાકી રહેલું કામ = $144 - 72 = 72 \text{ મેન-ડેઝ}$.
$6$ માણસો કામ છોડી દે પછી,બાકી રહેલા માણસોની સંખ્યા = $12 - 6 = 6$ માણસો.
બાકીનું કામ પૂર્ણ કરવા માટે $6$ માણસોને લાગતો સમય = $\frac{72 \text{ મેન-ડેઝ}}{6 \text{ માણસો}} = 12 \text{ દિવસ}$.
કુલ લાગતો સમય = $6 \text{ દિવસ (શરૂઆતના)} + 12 \text{ દિવસ (બાકીના)} = 18 \text{ દિવસ}$.
જરૂરી વધારાના દિવસો = $18 - 12 = 6 \text{ દિવસ}$.

(C) નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12}$.
$B$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{15}$.
$A$ અને $B$ દ્વારા $4$ દિવસમાં થયેલું કામ $= 4 \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{15}) = 4 \times (\frac{5+4}{60}) = 4 \times \frac{9}{60} = \frac{3}{5}$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
બાકીનું કામ પૂર્ણ કરવા માટે $B$ ને લાગતો સમય $= \frac{2}{5} \times 15 = 6$ દિવસ.

(D) કોઈપણ વ્યક્તિની કાર્યક્ષમતા એ કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે લાગતા સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
જો $A$ અને $B$ ની કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર $E_A : E_B = 3 : 4$ હોય,તો તેમના દ્વારા લેવાયેલ સમયનો ગુણોત્તર $T_A : T_B$ એ કાર્યક્ષમતાના ગુણોત્તરનો વ્યસ્ત હશે.
તેથી,$T_A : T_B = \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ $12$ ($3$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી) વડે ગુણતા,આપણને $T_A : T_B = 4 : 3$ મળે છે.

(B) $MDH$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}$
જ્યાં:
$M_1 = 5$ (પુરુષો),$D_1 = 6$ (દિવસ),$H_1 = 6$ (કલાક),$W_1 = 10$ (કાર્ય/રમકડાં)
$M_2 = 12$ (પુરુષો),$D_2 = ?$ (દિવસ),$H_2 = 8$ (કલાક),$W_2 = 16$ (કાર્ય/રમકડાં)
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{5 \times 6 \times 6}{10} = \frac{12 \times D_2 \times 8}{16}$
$\frac{180}{10} = \frac{96 \times D_2}{16}$
$18 = 6 \times D_2$
$D_2 = \frac{18}{6} = 3$ દિવસ.

(B) આપેલ છે:
$(A+B)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{18}$
$(A+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12}$
$(B+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{9}$
ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(A+B+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{18} + \frac{1}{12} + \frac{1}{9} = \frac{2 + 3 + 4}{36} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
તેથી,$(A+B+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{8}$
$B$ નું $1$ દિવસનું કામ શોધવા માટે,$(A+B+C)$ ના $1$ દિવસના કામમાંથી $(A+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ બાદ કરો:
$B$ નું $1$ દિવસનું કામ $= (A+B+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $- (A+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ
$B$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3 - 2}{24} = \frac{1}{24}$
આમ,$B$ એકલો તે કામ $24$ દિવસમાં પૂર્ણ કરી શકે છે.

(A) ધારો કે કુલ કામ $11$ એકમ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$(P + Q)$ એ $7$ એકમ કામ પૂર્ણ કર્યું છે.
તેથી,$R$ બાકીનું કામ પૂર્ણ કરશે,જે $11 - 7 = 4$ એકમ છે.
$R$ નો હિસ્સો તેણે કરેલા કામના પ્રમાણમાં હશે.
$R$ નો હિસ્સો $= \frac{4}{11} \times 550 = 4 \times 50 = Rs. 200$.

(A) ધારો કે કુલ કામ $1$ એકમ છે.
$P$ અને $Q$ સાથે મળીને કામનો $\frac{5}{7}$ ભાગ કરે છે.
$R$ દ્વારા કરવામાં આવેલ બાકીનું કામ $= 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$ ભાગ.
મજૂરી (વેતન) કામના પ્રમાણમાં વહેંચવામાં આવે છે.
તેથી,$R$ નો હિસ્સો $= \frac{2}{7} \times 707$.
$R$ નો હિસ્સો $= 2 \times 101 = 202$.
આમ,$R$ ને $Rs. 202$ મળવા જોઈએ.

(D) કુલ રકમ $= 30000$.
$A$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{15}$.
$B$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{10}$.
તેમની કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર એ કુલ ચૂકવણીમાં તેમના હિસ્સાનો ગુણોત્તર છે.
ગુણોત્તર $= \frac{1}{15} : \frac{1}{10} = 2 : 3$ ($15$ અને $10$ નો લ.સા.અ. $30$ લેતા).
ગુણોત્તરનો સરવાળો $= 2 + 3 = 5$.
$A$ નો હિસ્સો $= \frac{2}{5} \times 30000 = 12000$.
આમ,$A$ નો હિસ્સો $Rs. 12000$ થશે.

(B) મહત્તમ સંભવિત દૈનિક વેતન શોધવા માટે,આપણે $5750$ અને $5000$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(H.C.F.)$ શોધવો પડશે.
પગલું $1$: $5750$ ના અવિભાજ્ય અવયવો:
$5750 = 10 \times 575 = 2 \times 5 \times 5 \times 115 = 2 \times 5^3 \times 23$.
પગલું $2$: $5000$ ના અવિભાજ્ય અવયવો:
$5000 = 5 \times 1000 = 5 \times 10^3 = 5 \times (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^4$.
પગલું $3$: સામાન્ય અવિભાજ્ય અવયવોની સૌથી નાની ઘાત લઈને $H.C.F.$ શોધો:
$H.C.F. = 2^1 \times 5^3 = 2 \times 125 = 250$.
તેથી,તેનું મહત્તમ સંભવિત દૈનિક વેતન $Rs. 250$ છે.

(C) દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{9}$ અને $C$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{12}$ છે.
$(B + C)$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{9} + \frac{1}{12} = \frac{4 + 3}{36} = \frac{7}{36}$ થાય.
$(B + C)$ દ્વારા $3$ દિવસમાં થયેલું કામ $= 3 \times \frac{7}{36} = \frac{7}{12}$ થાય.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ છે.
$A$ આખું કામ $24$ દિવસમાં પૂરું કરી શકે છે,તેથી $A$ $1$ દિવસમાં $\frac{1}{24}$ ભાગનું કામ કરે છે.
બાકીનું કામ પૂરું કરવા માટે $A$ ને લાગતો સમય $= \frac{5/12}{1/24} = \frac{5}{12} \times 24 = 10$ દિવસ.

(C) આપેલ છે કે $3$ પુરુષો = $6$ સ્ત્રીઓ,જેનો અર્થ છે કે $1$ પુરુષ = $2$ સ્ત્રીઓ.
આપણે $12$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓ દ્વારા લેવાયેલ સમય શોધવાનો છે.
સમૂહને સ્ત્રીઓમાં રૂપાંતરિત કરતા: $12$ પુરુષો + $8$ સ્ત્રીઓ = $(12 \times 2)$ સ્ત્રીઓ + $8$ સ્ત્રીઓ = $24$ સ્ત્રીઓ + $8$ સ્ત્રીઓ = $32$ સ્ત્રીઓ.
$M_1 D_1 = M_2 D_2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$6$ સ્ત્રીઓ $\times 16$ દિવસ = $32$ સ્ત્રીઓ $\times D_2$ દિવસ.
$D_2 = \frac{6 \times 16}{32} = \frac{96}{32} = 3$ દિવસ.
તેથી,$12$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓ તે કામ $3$ દિવસમાં પૂર્ણ કરી શકશે.

(A) નું એક દિવસનું કામ $= 1/15$.
$B$ નું એક દિવસનું કામ $= 1/20$.
$(A + B)$ નું એક દિવસનું કામ $= 1/15 + 1/20 = (4 + 3) / 60 = 7/60$.
$(A + B)$ નું $4 \text{ દિવસ}$ નું કામ $= 4 \times (7/60) = 7/15$.
બાકી રહેલા કામનો અપૂર્ણાંક $= 1 - 7/15 = 8/15$.

(C) ચોક્કસ કામ પૂરું કરવા માટે જરૂરી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $(M)$ અને દિવસોની સંખ્યા $(D)$ વચ્ચેનો સંબંધ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$.
આપેલ છે:
$M_1 = 270$
$D_1 = 10$ દિવસ
$M_2 = 180$
$D_2 = x$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$270 \times 10 = 180 \times x$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{270 \times 10}{180}$
$x = \frac{2700}{180}$
$x = 15$ દિવસ.
આમ,$180$ વ્યક્તિઓ તે કામ $15$ દિવસમાં પૂરું કરશે.

(D) અમે સૂત્ર $\frac{M_1 \times D_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2}{W_2}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $M$ એ વણનારાઓની સંખ્યા છે,$D$ એ દિવસોની સંખ્યા છે અને $W$ એ વણેલી સાદડીઓની સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $M_1 = 4, D_1 = 4, W_1 = 4$.
આપણે $M_2 = 8$ અને $D_2 = 8$ માટે $W_2$ શોધવાનું છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4 \times 4}{4} = \frac{8 \times 8}{W_2}$
$4 = \frac{64}{W_2}$
$W_2 = \frac{64}{4} = 16$.
તેથી,$8$ સાદડી વણનારાઓ $8$ દિવસમાં $16$ સાદડી વણી શકશે.

(C) નું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{6}$.
$B$ નું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{12}$.
$(A+B)$ નું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2+1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
$(A+B)$ નું $3$ દિવસનું કામ $= 3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
બાકીનું કામ પૂર્ણ કરવા માટે $B$ ને લાગતો સમય $= \text{બાકી રહેલું કામ} \times B$ નો કુલ સમય $= \frac{1}{4} \times 12 = 3$ દિવસ.
કુલ દિવસોની સંખ્યા $= 3$ (સાથે કરેલા દિવસો) $+ 3$ ($B$ એ એકલા કરેલા દિવસો) $= 6$ દિવસ.

$A$ નું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{18}$.
$B$ નું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{15}$.
$B$ દ્વારા $10 \, \text{દિવસમાં}$ થયેલ કામનો ભાગ $= 10 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{3}$.
બાકી રહેલ કામ $= 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$A$ દ્વારા બાકીનું કામ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{1}{3} \times 18 = 6 \, \text{દિવસ}$.

(B) અમે કાર્ય સમાનતા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{M_1 \times D_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2}{W_2}$,જ્યાં $M$ એ માણસોની સંખ્યા છે,$D$ એ દિવસોની સંખ્યા છે,અને $W$ એ કરેલું કાર્ય છે.
આપેલ છે:
$M_1 = 10$,$D_1 = 8$,$W_1 = 20 \, \text{એકર}$
$M_2 = x$,$D_2 = 10$,$W_2 = 100 \, \text{એકર}$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{10 \times 8}{20} = \frac{x \times 10}{100}$
$\frac{80}{20} = \frac{10x}{100}$
$4 = \frac{x}{10}$
$x = 40$
તેથી,$40$ માણસોની જરૂર પડશે.

(A) નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{20}$ છે.
$A$ નું $4$ દિવસનું કામ $= \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ થાય.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
$(A+B)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{20} + \frac{1}{12} = \frac{3+5}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ થાય.
$(A+B)$ દ્વારા બાકીનું $\frac{4}{5}$ કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{4/5}{2/15} = \frac{4}{5} \times \frac{15}{2} = 6$ દિવસ.
આમ,કામ કુલ $4 + 6 = 10$ દિવસ ચાલ્યું.

(A) નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12}$.
$B$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{15}$.
$A$ અને $B$ નું સાથે મળીને $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.
$A$ અને $B$ દ્વારા $5$ દિવસમાં થયેલું કામ $= 5 \times \frac{3}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$A$ ને બાકીનું $\frac{1}{4}$ કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{1}{4} \times 12 = 3$ દિવસ.

(B) $(A+B)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12}$ .....$(i)$
$(B+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{15}$ .....$(ii)$
$(C+A)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{20}$ .....$(iii)$
સમીકરણ $(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(A+B+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{5+4+3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$
તેથી,$(A+B+C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{5 \times 2} = \frac{1}{10}$
આમ,$A, B$ અને $C$ સાથે મળીને તે કામ $10$ દિવસમાં પૂર્ણ કરશે.

(A) $18$ સ્ત્રીઓનું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{12}$ .....$(i)$
$12$ પુરુષોનું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{9}$ .....$(ii)$
$(i)$ પરથી,$1$ સ્ત્રીનું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{18 \times 12} = \frac{1}{216}$.
$(ii)$ પરથી,$1$ પુરુષનું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{12 \times 9} = \frac{1}{108}$.
હવે,$8$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓનું એક દિવસનું કામ $= 8 \times (\frac{1}{108}) + 8 \times (\frac{1}{216}) = \frac{8}{108} + \frac{8}{216} = \frac{16+8}{216} = \frac{24}{216} = \frac{1}{9}$.
તેથી,$8$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓ તે કામ $9$ દિવસમાં પૂરું કરશે.

(D) ધારો કે કુલ કામ $12, 8,$ અને $6$ નો લ.સા.અ. $(LCM)$ છે, જે $24$ એકમ છે.
$(A+B)$ ની કાર્યક્ષમતા $= 24/12 = 2$ એકમ/દિવસ.
$(B+C)$ ની કાર્યક્ષમતા $= 24/8 = 3$ એકમ/દિવસ.
$(C+A)$ ની કાર્યક્ષમતા $= 24/6 = 4$ એકમ/દિવસ.
આ બધાનો સરવાળો કરતા, $2(A+B+C) = 2+3+4 = 9$ એકમ/દિવસ મળે છે.
તેથી, $(A+B+C) = 9/2 = 4.5$ એકમ/દિવસ.
$B$ ની કાર્યક્ષમતા શોધવા માટે, આપણે $(A+B+C)$ ની કુલ કાર્યક્ષમતામાંથી $(C+A)$ ની કાર્યક્ષમતા બાદ કરીશું:
$B$ ની કાર્યક્ષમતા $= (A+B+C) - (C+A) = 4.5 - 4 = 0.5$ એકમ/દિવસ.
$B$ દ્વારા કામ પૂરું કરવા માટે લાગતો સમય $= \text{કુલ કામ} / B \text{ ની કાર્યક્ષમતા} = 24 / 0.5 = 48$ દિવસ.

(B) ધારો કે પુરુષોની મૂળ સંખ્યા $x$ છે.
કામના સૂત્ર મુજબ, $M_1 D_1 = M_2 D_2$, જ્યાં $M$ એ પુરુષોની સંખ્યા છે અને $D$ એ દિવસોની સંખ્યા છે.
શરૂઆતમાં, $M_1 = x$ અને $D_1 = 10$.
પાંચ પુરુષો ગેરહાજર રહ્યા પછી, $M_2 = (x - 5)$ અને $D_2 = 12$.
થયેલા કામને સરખાવતા: $10x = 12(x - 5)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $10x = 12x - 60$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $12x - 10x = 60$.
$2x = 60$.
$x = 30$.
તેથી, પુરુષોની મૂળ સંખ્યા $30$ હતી.

(A) ધારો કે $B$ એકલો કામ પૂરું કરવા માટે $x$ દિવસ લે છે.
$A$ એ $B$ કરતા $50 \%$ વધુ સમય લે છે,તેથી $A$ ને $x + 0.5x = 1.5x = \frac{3x}{2}$ દિવસ લાગે છે.
$B$ દ્વારા એક દિવસમાં થયેલું કામ $\frac{1}{x}$ છે અને $A$ દ્વારા $\frac{2}{3x}$ છે.
સાથે મળીને,તેઓ $18$ દિવસમાં કામ પૂરું કરે છે,તેથી તેમનું એક દિવસનું સંયુક્ત કામ $\frac{1}{18}$ છે.
આમ,$\frac{1}{x} + \frac{2}{3x} = \frac{1}{18}$.
$3x$ વડે ગુણતા,આપણને $3 + 2 = \frac{3x}{18}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $5 = \frac{x}{6}$ થાય છે.
તેથી,$x = 30$ દિવસ. આમ,$B$ ને કામ પૂરું કરવામાં $30$ દિવસ લાગે છે.

(A) નું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{4}$
$B$ નું એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{6}$
$A$ અને $B$ નું સાથે મળીને એક દિવસનું કામ $= \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$
સાથે મળીને કામ પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી કુલ દિવસો $= \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5} = 2 \frac{2}{5} \text{ દિવસ}$.

(C) $(A + B)$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{18}$ .....$(i)$
$(B + C)$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{24}$ .....$(ii)$
$(C + A)$ દ્વારા $1$ દિવસમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{36}$ .....$(iii)$
સમીકરણ $(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(A + B + C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{18} + \frac{1}{24} + \frac{1}{36}$
$= \frac{4 + 3 + 2}{72} = \frac{9}{72} = \frac{1}{8}$
તેથી,$(A + B + C)$ નું $1$ દિવસનું કામ $= \frac{1}{8 \times 2} = \frac{1}{16}$
આમ,$A, B,$ અને $C$ સાથે મળીને $16$ દિવસમાં કામ પૂરું કરી શકે છે.

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ સાથે મળીને $x$ દિવસ કામ કરે છે.
$A$ નું એક દિવસનું કામ $1/20$ છે અને $B$ નું એક દિવસનું કામ $1/30$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$A$ એ $(x + 10)$ દિવસ કામ કર્યું અને $B$ એ $x$ દિવસ કામ કર્યું.
કુલ કામ $1$ છે:
$(x + 10)/20 + x/30 = 1$
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(60)$ વડે ગુણતા:
$3(x + 10) + 2x = 60$
$3x + 30 + 2x = 60$
$5x = 30$
$x = 6$ દિવસ.
આમ,$B$ એ $6$ દિવસ કામ કર્યું.

(B) ની કાર્યક્ષમતા $1/6$ કામ પ્રતિ દિવસ છે.
$B$ ની કાર્યક્ષમતા $1/5$ કામ પ્રતિ દિવસ છે.
તેમની કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર $(1/6) : (1/5) = 5 : 6$ છે.
કુલ $Rs. 220$ ની રકમ તેમની કાર્યક્ષમતાના ગુણોત્તરમાં વહેંચવામાં આવશે.
ગુણોત્તરના ભાગોનો સરવાળો $= 5 + 6 = 11$.
$B$ નો હિસ્સો $= (6 / 11) \times 220 = 6 \times 20 = Rs. 120$.

(C) કુલ કામને $1$ એકમ ગણવામાં આવે છે.
$P$ અને $Q$ સાથે મળીને કામનો $8/11$ ભાગ કરે છે.
$R$ દ્વારા કરવામાં આવેલ બાકીનું કામ $1 - 8/11 = 3/11$ ભાગ છે.
મજૂરીની વહેંચણી કામના પ્રમાણમાં કરવામાં આવે છે.
$R$ નો હિસ્સો $= (3/11) \times 660$.
$R$ નો હિસ્સો $= 3 \times 60 = 180$.
તેથી,$R$ ને $Rs. 180$ મળવા જોઈએ.

(B) આપેલ છે:
દરરોજ લેવાતો સમય $(H_1)$ = $6 \text{ કલાક}$
દિવસોની સંખ્યા $(D_1)$ = $18 \text{ દિવસ}$
લક્ષ્યાંક દિવસોની સંખ્યા $(D_2)$ = $12 \text{ દિવસ}$
ધારો કે જરૂરી કલાક પ્રતિ દિવસ $H_2$ છે.
કુલ કામ સમાન રહેતું હોવાથી,આપણે આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$H_1 \times D_1 = H_2 \times D_2$
કિંમતો મૂકતા:
$6 \times 18 = H_2 \times 12$
$108 = H_2 \times 12$
$H_2 = \frac{108}{12}$
$H_2 = 9 \text{ કલાક પ્રતિ દિવસ}$.

(B) નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ $= \frac{1}{6}$ ભાગ.
$(A + B)$ નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ $= \frac{1}{2}$ ભાગ.
$B$ નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ $= (A + B)$ નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ $- A$ નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ.
$B$ નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ $= \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ભાગ.
તેથી,$B$ એકલો તે કામ $3 \, \text{દિવસમાં}$ પૂર્ણ કરી શકે છે.

(B) ધારો કે એક પુરુષની કાર્યક્ષમતા $M$ છે અને એક છોકરાની કાર્યક્ષમતા $B$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$(6M + 8B) \times 10 = (26M + 48B) \times 2$
બંને બાજુ $2$ વડે ભાગતા:
$(6M + 8B) \times 5 = 26M + 48B$
$30M + 40B = 26M + 48B$
$4M = 8B \implies M = 2B$.
હવે,કુલ કામને છોકરાઓના સંદર્ભમાં દર્શાવો:
કુલ કામ $= (6M + 8B) \times 10 = (6(2B) + 8B) \times 10 = (12B + 8B) \times 10 = 20B \times 10 = 200B$ એકમ.
આપણે $15$ પુરુષો અને $20$ છોકરાઓ દ્વારા લેવાયેલ સમય શોધવાનો છે:
$15M + 20B = 15(2B) + 20B = 30B + 20B = 50B$.
લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ કામ}}{\text{કાર્યક્ષમતા}} = \frac{200B}{50B} = 4$ દિવસ.

(A) આપેલ છે કે $10$ પુરુષો = $20$ છોકરાઓ.
તેથી,$1$ પુરુષ = $2$ છોકરાઓ.
હવે,$8$ પુરુષો અને $4$ છોકરાઓ = $(8 \times 2) + 4$ છોકરાઓ = $16 + 4 = 20$ છોકરાઓ.
કારણ કે $20$ છોકરાઓ $20$ દિવસમાં $260$ શર્ટ બનાવી શકે છે,અને આપણે ગણતરી કરી છે કે $8$ પુરુષો અને $4$ છોકરાઓ એ $20$ છોકરાઓ જેટલા જ છે,તેથી તેઓ પણ $20$ દિવસમાં $260$ શર્ટ બનાવશે.

(C) દ્વારા $3$ દિવસમાં થયેલું કામ $= 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
હવે,$(A + B)$ નું $1$ દિવસનું સંયુક્ત કામ $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5 + 4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.
બાકીનું કામ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{બાકી રહેલું કામ}}{\text{સંયુક્ત કાર્ય દર}} = \frac{3/4}{3/20} = \frac{3}{4} \times \frac{20}{3} = 5$ દિવસ.

(D) માણસ અને છોકરાની કાર્યક્ષમતાનો ગુણોત્તર $3:1$ છે.
વેતન કામના પ્રમાણમાં (કાર્યક્ષમતા મુજબ) વહેંચવામાં આવે છે,તેથી કુલ $Rs. 800$ ના વેતનને $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વહેંચવામાં આવશે.
કુલ વેતનમાં છોકરાનો હિસ્સો $= \frac{1}{3+1} \times 800 = \frac{1}{4} \times 800 = Rs. 200$.
છોકરાએ $5$ દિવસના કામ માટે $Rs. 200$ મેળવ્યા હોવાથી,તેનું દૈનિક વેતન નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
છોકરાનું દૈનિક વેતન $= \frac{200}{5} = Rs. 40$.

(A) દ્વારા $1 \text{ દિવસ}$ માં થયેલું કામ $= \frac{1}{30}$.
$B$ દ્વારા $1 \text{ દિવસ}$ માં થયેલું કામ $= \frac{1}{60}$.
$(A+B)$ નું $1 \text{ દિવસનું કામ} = \left(\frac{1}{30} + \frac{1}{60}\right) = \frac{2+1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$.
તેથી,બંને સાથે મળીને કામ $20 \text{ દિવસ}$ માં પૂર્ણ કરી શકે છે.

(D) ધારો કે માણસોની મૂળ સંખ્યા $x$ છે.
આપેલ છે કે $x$ માણસો દ્વારા કામ $18 \, \text{દિવસ}$ માં પૂરું થાય છે.
જ્યારે $6$ માણસો રજા પર જાય છે,ત્યારે માણસોની સંખ્યા $(x - 6)$ થાય છે અને લાગતો સમય $20 \, \text{દિવસ}$ છે.
કુલ કામ સમાન રહેતું હોવાથી,આપણે $M_{1} \times D_{1} = M_{2} \times D_{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કિંમતો મૂકતા: $x \times 18 = (x - 6) \times 20$.
$18x = 20x - 120$.
$120 = 20x - 18x$.
$2x = 120$.
$x = 60$.
તેથી,શરૂઆતમાં $60$ માણસો હતા.

(A) ધારો કે $1$ પુરુષની દૈનિક મજૂરી $M$ છે અને $1$ સ્ત્રીની દૈનિક મજૂરી $W$ છે.
આપેલ છે: $3(5M + 5W) = 660 \Rightarrow 5M + 5W = 220$ ...$(i)$
આપેલ છે: $5(10M + 20W) = 3500 \Rightarrow 10M + 20W = 700$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $2$ વડે ગુણતા: $10M + 10W = 440$ ...$(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $(10M + 20W) - (10M + 10W) = 700 - 440 \Rightarrow 10W = 260 \Rightarrow W = 26$.
$W = 26$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $5M + 5(26) = 220 \Rightarrow 5M + 130 = 220 \Rightarrow 5M = 90 \Rightarrow M = 18$.
$6$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓની દૈનિક કમાણી $= 6(18) + 4(26) = 108 + 104 = 212$.
$Rs. 1060$ કમાવવા માટે જરૂરી દિવસોની સંખ્યા $= \frac{1060}{212} = 5$ દિવસ.

(NONE) આપેલ છે કે $7\, \text{પુરુષો} = 10\, \text{સ્ત્રીઓ}$, તેથી $1\, \text{પુરુષ} = \frac{10}{7}\, \text{સ્ત્રીઓ}$.
હવે, $14\, \text{પુરુષો} + 20\, \text{સ્ત્રીઓની}$ કુલ કાર્યક્ષમતા સ્ત્રીઓના સંદર્ભમાં ગણો:
$14\, \text{પુરુષો} + 20\, \text{સ્ત્રીઓ} = \left(\frac{10}{7} \times 14 + 20\right)\, \text{સ્ત્રીઓ} = (20 + 20)\, \text{સ્ત્રીઓ} = 40\, \text{સ્ત્રીઓ}$.
કાર્ય-સમયના સૂત્ર $\frac{M_1 D_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2}{W_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં, $M_1 = 10\, \text{સ્ત્રીઓ}$, $D_1 = 70\, \text{દિવસ}$, $W_1 = 100\, \text{m}$.
$M_2 = 40\, \text{સ્ત્રીઓ}$, $D_2 = ?$, $W_2 = 600\, \text{m}$.
$\frac{10 \times 70}{100} = \frac{40 \times D_2}{600}$
$7 = \frac{40 \times D_2}{600}$
$7 = \frac{D_2}{15}$
$D_2 = 7 \times 15 = 105\, \text{દિવસ}$.

(B) ધારો કે કુલ કામ $1$ એકમ છે.
$A$ અને $B$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા દરરોજ $\frac{1}{3}$ કામ છે.
$2$ દિવસમાં,$A$ અને $B$ સાથે મળીને $2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ કામ પૂર્ણ કરે છે.
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
આ બાકી રહેલું $\frac{1}{3}$ કામ $A$ દ્વારા વધુ $2$ દિવસમાં પૂર્ણ કરવામાં આવે છે.
તેથી,$A$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1/3}{2} = \frac{1}{6}$ કામ પ્રતિ દિવસ.
કારણ કે $(A + B)$ ની કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{3}$ છે અને $A$ ની કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{6}$ છે,તેથી $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ કામ પ્રતિ દિવસ.
આમ,$B$ એકલો તે કામ $\frac{1}{1/6} = 6$ દિવસમાં પૂર્ણ કરી શકે છે.

(B) કોણ સૌથી પહેલા કામ પૂર્ણ કરશે તે જાણવા માટે,આપણે દરેક વ્યક્તિ દ્વારા આખું કામ ($1$ એકમ કામ) પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો કુલ સમય શોધીશું.
$P$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 10 \div \frac{1}{4} = 10 \times 4 = 40$ દિવસ.
$Q$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 15 \div \frac{40}{100} = 15 \div \frac{2}{5} = 15 \times \frac{5}{2} = 37.5$ દિવસ.
$R$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 13 \div \frac{1}{3} = 13 \times 3 = 39$ દિવસ.
$S$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= 7 \div \frac{1}{6} = 7 \times 6 = 42$ દિવસ.
સમયની સરખામણી કરતા: $37.5 < 39 < 40 < 42$.
આમ,$Q$ સૌથી ઓછો સમય ($37.5$ દિવસ) લે છે,તેથી $Q$ સૌથી પહેલા કામ પૂર્ણ કરશે.

$A$ નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ $= \frac{1}{20}$
$B$ નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ $= \frac{1}{40}$
$(A+B)$ નું $1 \, \text{દિવસનું}$ કામ $= \frac{1}{20} + \frac{1}{40} = \frac{2+1}{40} = \frac{3}{40}$
$(A+B)$ નું $5 \, \text{દિવસનું}$ કામ $= 5 \times \frac{3}{40} = \frac{3}{8}$
બાકી રહેલું કામ $= 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

(B) ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{20}$ કામ/દિવસ.
$C$ એ $(A+B)$ ના કામના અડધા કામ જેટલું કામ તેટલા જ સમયમાં કરતું હોવાથી,$(A+B)$ ની કાર્યક્ષમતા $= 2 \times C$ ની કાર્યક્ષમતા = $2 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{10}$ કામ/દિવસ.
આપેલ છે કે $A$ એ $B$ કરતા $50\%$ કાર્યક્ષમ છે,એટલે કે $A = 0.5B$ અથવા $B = 2A$.
$(A+B)$ ની કાર્યક્ષમતામાં $B$ ની કિંમત મૂકતા: $A + 2A = \frac{1}{10} \implies 3A = \frac{1}{10} \implies A = \frac{1}{30}$ કામ/દિવસ.
$B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 2 \times \frac{1}{30} = \frac{1}{15}$ કામ/દિવસ.
$(A+B+C)$ ની કુલ કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{30} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{2 + 4 + 3}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$ કામ/દિવસ.
$(A+B+C)$ દ્વારા સાથે મળીને લેવાયેલ સમય $= \frac{1}{3/20} = \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} \text{ દિવસ}$.

(A) આપેલ છે કે $12$ પુરુષો $= 18$ સ્ત્રીઓ.
$6$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $2$ પુરુષો $= 3$ સ્ત્રીઓ.
તેથી,$8$ પુરુષો $= 4 \times (2 \text{ પુરુષો}) = 4 \times (3 \text{ સ્ત્રીઓ}) = 12$ સ્ત્રીઓ.
હવે,$8$ પુરુષો અને $16$ સ્ત્રીઓનું જૂથ એ $12$ સ્ત્રીઓ $+ 16$ સ્ત્રીઓ $= 28$ સ્ત્રીઓ બરાબર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $18$ સ્ત્રીઓ દીવાલ $14$ દિવસમાં બનાવી શકે છે.
સૂત્ર $M_1 D_1 = M_2 D_2$ નો ઉપયોગ કરતા (જ્યાં $M$ એ કામદારોની સંખ્યા છે અને $D$ એ દિવસોની સંખ્યા છે):
$18 \times 14 = 28 \times x$
$x = \frac{18 \times 14}{28}$
$x = \frac{18}{2} = 9$ દિવસ.
આમ,તેઓ દીવાલ પૂર્ણ કરવા માટે $9$ દિવસ લેશે.

(D) ધારો કે પુરુષોની મૂળ સંખ્યા $x$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, કુલ કામ સમાન રહે છે.
કામ = $\text{પુરુષોની સંખ્યા} \times \text{લીધેલ સમય}$.
શરૂઆતમાં, કામ = $x \times 160$.
જો $38$ પુરુષો વધુ હોત, તો પુરુષોની સંખ્યા = $(x + 38)$ અને લીધેલ સમય = $(160 - 20) = 140\, \text{દિવસ}$.
તેથી, $160x = 140(x + 38)$.
$160x = 140x + 5320$.
$20x = 5320$.
$x = 266$.
નોંધ: આપેલ વિકલ્પો મુજબ, જો વધારાના પુરુષોની સંખ્યા $18$ હોય, તો $x = 126$ મળે છે.

(A) $35$ પુરુષો બાકીનું કામ $=(38-25-1) = 12$ દિવસમાં પૂરું કરે છે.
$30$ પુરુષો બાકીનું કામ $=\frac{12 \times 35}{30} = 14$ દિવસમાં કરી શકે.
આમ,કામ $25+14 = 39$ દિવસમાં પૂરું થયું હોત,એટલે કે નિર્ધારિત સમય કરતાં $39-38 = 1$ દિવસ મોડું થયું હોત.