Time and Work Questions in Hindi

(A) द्वारा $1 \text{ दिन}$ में किया गया कार्य = $\frac{1}{12}$.
$B$ द्वारा $1 \text{ दिन}$ में किया गया कार्य = $\frac{1}{15}$.
$A$ द्वारा $6 \text{ दिन}$ में किया गया कार्य = $6 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$.
शेष कार्य = $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$A$ और $B$ की संयुक्त कार्य दर = $\frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$.
$A$ और $B$ द्वारा शेष $\frac{1}{2}$ कार्य को पूरा करने में लगा समय = $\frac{1/2}{3/20} = \frac{1}{2} \times \frac{20}{3} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3} \text{ दिन}$.
चूंकि $B$ ने $6 \text{ दिन}$ बाद काम शुरू किया और अंत तक काम किया,इसलिए $B$ ने $3 \frac{1}{3} \text{ दिन}$ काम किया।

(D) द्वारा पूरे कार्य को पूरा करने में लगा समय $= 5 \times 7 = 35$ दिन।
$B$ द्वारा पूरे कार्य को पूरा करने में लगा समय $= 14$ दिन।
$B$ का $3$ दिन का कार्य $= \frac{3}{14}$।
शेष कार्य $= 1 - \frac{3}{14} = \frac{11}{14}$।
$A$ द्वारा शेष कार्य को पूरा करने में लगा समय $= \frac{11}{14} \times 35 = \frac{11 \times 5}{2} = 27.5$ दिन।
नोट: दिए गए विकल्पों के आधार पर,यदि प्रश्न का अर्थ यह है कि $B$ ने $3$ दिन काम किया और $A$ ने शेष कार्य पूरा किया,तो उत्तर $27.5$ दिन आता है। यदि प्रश्न का आशय $B$ द्वारा $3$ दिनों में $\frac{1}{5}$ कार्य पूरा करने से है (मूल समाधान के अनुसार),तो उत्तर $28$ दिन होगा।

(D) माना कुल कार्य $1$ इकाई है।
$A$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{12}$ है।
चूंकि $B$,$A$ से $60\%$ अधिक कुशल है,इसलिए $B$ की कार्यक्षमता $= 1.60 \times A$ की कार्यक्षमता।
$B$ का $1$ दिन का कार्य $= 1.60 \times \frac{1}{12} = \frac{160}{100} \times \frac{1}{12} = \frac{8}{5} \times \frac{1}{12} = \frac{2}{15}$ है।
$(A + B)$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{12} + \frac{2}{15} = \frac{5 + 8}{60} = \frac{13}{60}$ है।
अतः,$A$ और $B$ द्वारा मिलकर कार्य पूरा करने में लिया गया समय $= \frac{60}{13}$ दिन है।

(B) मान लीजिए कि एक पुरुष की कार्यक्षमता $m$ है और एक लड़के की कार्यक्षमता $b$ है।
दिया गया है कि $(2m + 4b) \times 10 = (4m + 5b) \times 6$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $20m + 40b = 24m + 30b$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $40b - 30b = 24m - 20m$.
यह $10b = 4m$,या $2m = 5b$ में सरल हो जाता है।
चूंकि मजदूरी आउटपुट (कार्यक्षमता) के अनुसार दी जाती है,इसलिए मजदूरी का अनुपात उनकी दैनिक कार्यक्षमता के अनुपात के बराबर होता है।
पुरुष की दैनिक मजदूरी $Rs. 40$ दी गई है,इसलिए $2 \times 40 = 5b$ होगा।
$80 = 5b$,जिससे $b = 16$ प्राप्त होता है।
पुरुष और लड़के की दैनिक मजदूरी का अनुपात $40 : 16$ है।
दोनों को $8$ से विभाजित करने पर,हमें $5 : 2$ प्राप्त होता है।

(A) द्वारा $1$ दिन का कार्य $= 1/30$,$B$ द्वारा $1$ दिन का कार्य $= 1/20$,$C$ द्वारा $1$ दिन का कार्य $= 1/10$.
दिन $1$: $(A+B)$ का कार्य $= 1/30 + 1/20 = (2+3)/60 = 5/60 = 1/12$.
दिन $2$: $(A+C)$ का कार्य $= 1/30 + 1/10 = (1+3)/30 = 4/30 = 2/15$.
$2$ दिनों के चक्र में किया गया कार्य $= 1/12 + 2/15 = (5+8)/60 = 13/60$.
$8$ दिनों में ($4$ चक्र),किया गया कार्य $= 4 \times (13/60) = 52/60 = 13/15$.
शेष कार्य $= 1 - 13/15 = 2/15$.
दिन $9$: $(A+B)$ का कार्य $= 1/12$. शेष कार्य $= 2/15 - 1/12 = (8-5)/60 = 3/60 = 1/20$.
दिन $10$: $(A+C)$ का कार्य $= 2/15$. $(A+C)$ द्वारा $1/20$ कार्य पूरा करने में लगा समय $= (1/20) / (2/15) = 15/40 = 3/8$ दिन.
कुल समय $= 8 + 1 + 3/8 = 9 \frac{3}{8}$ दिन।

(B) मान लीजिए कि वेतन भोगी $x$ दिनों तक अनुपस्थित रहा।
तो,उसके द्वारा काम किए गए दिनों की संख्या $(60 - x)$ है।
$60$ दिनों के लिए कुल कमाई की गणना इस प्रकार की जाती है: (प्रति दिन वेतन $\times$ काम किए गए दिन) - (प्रति दिन जुर्माना $\times$ अनुपस्थित दिन) = कुल प्राप्त राशि।
$150(60 - x) - 25x = 7600$
$9000 - 150x - 25x = 7600$
$9000 - 175x = 7600$
$175x = 9000 - 7600$
$175x = 1400$
$x = 1400 / 175 = 8$
अतः,उसके द्वारा काम किए गए दिनों की संख्या $60 - 8 = 52$ दिन है।

(D) मान लीजिए कि $A, B,$ और $C$ द्वारा एक दिन में किया गया कार्य क्रमशः $a, b,$ और $c$ है।
दिया गया है:
$a + b = 1/20$ $(i)$
$b + c = 1/30$ (ii)
$a + c = 1/40$ (iii)
$(i)$,(ii),और (iii) को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(a + b + c) = 1/20 + 1/30 + 1/40 = (6 + 4 + 3) / 120 = 13/120$
$a + b + c = 13/240$
$A$ का एक दिन का कार्य $(a)$ ज्ञात करने के लिए: $a = (a + b + c) - (b + c) = 13/240 - 1/30 = (13 - 8) / 240 = 5/240 = 1/48$.
अतः,$A$ को अकेले कार्य पूरा करने में $48$ दिन लगते हैं।
$C$ का एक दिन का कार्य $(c)$ ज्ञात करने के लिए: $c = (a + b + c) - (a + b) = 13/240 - 1/20 = (13 - 12) / 240 = 1/240$.
अतः,$C$ को अकेले कार्य पूरा करने में $240$ दिन लगते हैं।
$A$ और $C$ द्वारा लिए गए दिनों का अनुपात $48 : 240 = 1 : 5$ है।

(A) मान लीजिए कि $Y$ द्वारा काम पूरा करने में लिया गया समय $T_Y$ दिन है।
चूंकि $X$,$Y$ से तीन गुना तेज है,इसलिए $X$ द्वारा लिया गया समय $(T_X)$,$Y$ द्वारा लिए गए समय का $\frac{1}{3}$ होगा,अतः $T_X = \frac{T_Y}{3}$।
यह दिया गया है कि $X$,$Y$ से $40 \text{ days}$ पहले काम पूरा करता है,इसलिए $T_Y - T_X = 40$।
$T_X = \frac{T_Y}{3}$ रखने पर,हमें $T_Y - \frac{T_Y}{3} = 40$ प्राप्त होता है।
$\frac{2T_Y}{3} = 40 \implies T_Y = 60 \text{ days}$।
अतः,$T_X = \frac{60}{3} = 20 \text{ days}$।
$X$ द्वारा $1 \text{ day}$ में किया गया कार्य = $\frac{1}{20}$।
$Y$ द्वारा $1 \text{ day}$ में किया गया कार्य = $\frac{1}{60}$।
$(X+Y)$ द्वारा $1 \text{ day}$ में किया गया कार्य = $\frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{3+1}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15}$।
इस प्रकार,$X$ और $Y$ मिलकर $15 \text{ days}$ में काम पूरा करेंगे।

(A) द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= \frac{1}{12}$.
$A$ द्वारा $3$ दिनों में किया गया कार्य $= 3 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$.
शेष कार्य $= 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
चूंकि $A$ और $B$ मिलकर शेष कार्य को $3$ दिनों में पूरा करते हैं,इसलिए उनका $1$ दिन का संयुक्त कार्य $= \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4}$.
$B$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= (A + B)$ का $1$ दिन का कार्य $- A$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3-1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
अतः,$B$ अकेले उस कार्य को $6$ दिनों में पूरा कर सकता है।

(B) मान लीजिए कि $A$ को काम पूरा करने में $x$ दिन लगते हैं।
चूंकि $A$,$B$ की तुलना में तीन गुना कुशल है,इसलिए $B$ को काम पूरा करने में $A$ से $3$ गुना अधिक समय लगेगा।
अतः,$B$ द्वारा लिया गया समय $3x$ दिन है।
दिया गया है कि $A$,$B$ से $60 \, \text{दिन}$ पहले काम पूरा करता है,इसलिए:
$3x - x = 60$
$2x = 60$
$x = 30 \, \text{दिन}$ ($A$ द्वारा लिया गया समय)
$3x = 3 \times 30 = 90 \, \text{दिन}$ ($B$ द्वारा लिया गया समय)
अब,$A$ और $B$ द्वारा $1 \, \text{दिन}$ में किया गया कार्य:
$\frac{1}{30} + \frac{1}{90} = \frac{3 + 1}{90} = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}$
अतः,$A$ और $B$ मिलकर काम को $\frac{45}{2} = 22\frac{1}{2} \, \text{दिन}$ में पूरा करेंगे।

(C) दिया गया है कि:
$(P + Q)$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{12}$ .....$(1)$
$(Q + R)$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{15}$ .....$(2)$
$(R + P)$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{20}$ .....$(3)$
समीकरण $(1)$,$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$2(P + Q + R)$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{5 + 4 + 3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$
अतः,$(P + Q + R)$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{10}$ .....$(4)$
$P$ का $1$ दिन का कार्य ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$P$ का $1$ दिन का कार्य $= (P + Q + R)$ का $1$ दिन का कार्य $- (Q + R)$ का $1$ दिन का कार्य
$P$ का $1$ दिन का कार्य $= \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$
अतः,$P$ अकेले उस कार्य को पूरा करने में $30$ दिन लेगा।

(C) माना पुरुषों की संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x$ पुरुष काम को $30$ दिनों में पूरा कर सकते हैं।
कुल कार्य = $x \times 30$ पुरुष-दिन।
यदि $6$ पुरुष और अधिक होते,तो पुरुषों की संख्या $(x + 6)$ हो जाती।
लिया गया समय $10$ दिन कम है,इसलिए समय $(30 - 10) = 20$ दिन हो जाता है।
चूंकि कुल कार्य समान रहता है,इसलिए:
$x \times 30 = (x + 6) \times 20$
$30x = 20x + 120$
$30x - 20x = 120$
$10x = 120$
$x = 12$
अतः,पुरुषों की वास्तविक संख्या $12$ है।

(A) माना कि $B$ द्वारा काम पूरा करने में लिया गया समय $x \text{ दिन}$ है।
चूंकि $A$,$B$ द्वारा लिए गए समय के $\frac{3}{4}$ भाग में आधा काम करता है,इसलिए $A$ द्वारा पूरा काम करने में लिया गया समय इस प्रकार है:
$A$ द्वारा लिया गया समय $= \frac{B \text{ द्वारा लिया गया समय } \times (3/4)}{A \text{ द्वारा किया गया काम } / B \text{ द्वारा किया गया काम}} = \frac{x \times (3/4)}{1/2} = \frac{3x}{4} \times 2 = \frac{3x}{2} \text{ दिन}$.
अब,$A$ का $1 \text{ दिन का}$ काम $= \frac{1}{(3x/2)} = \frac{2}{3x}$.
$B$ का $1 \text{ दिन का}$ काम $= \frac{1}{x}$.
साथ मिलकर,उनका $1 \text{ दिन का}$ काम $\frac{1}{18}$ है।
अतः,$\frac{2}{3x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{18}$.
$\frac{2 + 3}{3x} = \frac{1}{18} \Rightarrow \frac{5}{3x} = \frac{1}{18}$.
$3x = 5 \times 18 = 90$.
$x = 30 \text{ दिन}$.
इस प्रकार,$B$ को अकेले काम पूरा करने में $30 \text{ दिन}$ लगेंगे।

(C) द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= 1/9$.
$B$ द्वारा $1$ दिन में किया गया कार्य $= 1/12$.
$A$ और $B$ द्वारा $2$ दिनों में (बारी-बारी से) किया गया कुल कार्य $= 1/9 + 1/12 = (4+3)/36 = 7/36$.
$10$ दिनों में ($A$ और $B$ के $5$ जोड़े) किया गया कार्य $= 5 \times (7/36) = 35/36$.
शेष कार्य $= 1 - 35/36 = 1/36$.
$11$वें दिन $A$ की बारी है। $A$ एक दिन में $1/9$ कार्य कर सकता है।
$1/36$ कार्य को पूरा करने में $A$ द्वारा लिया गया समय $= (1/36) / (1/9) = 9/36 = 1/4$ दिन।
कुल समय $= 10 + 1/4 = 10 \frac{1}{4}$ दिन।

(B) दिया गया है कि $2$ पुरुष $(M)$ काम को $4$ दिनों में पूरा कर सकते हैं,इसलिए कुल काम $2 \times 4 = 8$ पुरुष-दिन है।
दिया गया है कि $3$ महिलाएँ $(W)$ काम को $4$ दिनों में पूरा कर सकती हैं,इसलिए कुल काम $3 \times 4 = 12$ महिला-दिन है।
चूँकि काम समान है,$2 M = 3 W$,जिसका अर्थ है $1 M = \frac{3}{2} W$।
हमें $1 M + 1 W$ द्वारा काम पूरा करने में लगने वाला समय ज्ञात करना है।
$1 M = \frac{3}{2} W$ को व्यंजक में रखने पर: $1 M + 1 W = \frac{3}{2} W + 1 W = \frac{5}{2} W$।
चूँकि $3$ महिलाएँ $4$ दिन लेती हैं,कुल काम $3 \times 4 = 12$ महिला-दिन है।
$\frac{5}{2}$ महिलाओं द्वारा लिया गया समय $= \frac{\text{कुल काम}}{\text{महिलाओं की संख्या}} = \frac{12}{\frac{5}{2}} = \frac{12 \times 2}{5} = \frac{24}{5}$ दिन।

(B) माना कुल कार्य $W$ है।
$1$ लड़की की कार्यक्षमता $= W / (4 \times 8) = W / 32$.
$1$ लड़के की कार्यक्षमता $= W / (3 \times 9) = W / 27$.
$1$ पुरुष की कार्यक्षमता $= W / (7 \times 2) = W / 14$.
$1$ महिला की कार्यक्षमता $= W / (5 \times 4) = W / 20$.
हरों की तुलना करने पर: $32 > 27 > 20 > 14$.
चूँकि अंश समान हैं,कार्यक्षमता हर के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसलिए,सबसे कम कार्यक्षमता सबसे बड़े हर यानी $32$ के अनुरूप है।
अतः,लड़कियों की कार्य क्षमता न्यूनतम है।

(C) माना कि काम पूरा होने में $x$ दिन लगते हैं।
$A$ ने $6$ दिन काम किया,$B$ ने $x$ दिन काम किया और $C$ ने $x$ दिन काम किया।
प्रश्न के अनुसार:
$\frac{6}{24} + \frac{x}{32} + \frac{x}{64} = 1$
$\frac{1}{4} + \frac{2x + x}{64} = 1$
$\frac{3x}{64} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$3x = \frac{3}{4} \times 64 = 48$
$x = 16$ दिन।

(D) माना कुल कार्य $1$ है।
दिया गया है कि कार्य के लिए कुल वेतन $Rs. 5750$ है।
$(P + Q + R)$ द्वारा किया गया कार्य $= 1$ .....$(1)$
$(P + Q)$ द्वारा किया गया कार्य $= \frac{19}{23}$ .....$(2)$
$(Q + R)$ द्वारा किया गया कार्य $= \frac{8}{23}$ .....$(3)$
समीकरण $(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(P + Q) + (Q + R) = \frac{19}{23} + \frac{8}{23} = \frac{27}{23}$
$P + 2Q + R = \frac{27}{23}$
इस परिणाम से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(P + 2Q + R) - (P + Q + R) = \frac{27}{23} - 1$
$Q = \frac{27 - 23}{23} = \frac{4}{23}$
अतः,$Q$ का वेतन $= \frac{4}{23} \times 5750 = Rs. 1000$.

(C) माना अमित की गति $A$ और सुजीत की गति $S$ की डिप्रेशन प्रति दिन है।
दिया गया है कि $S = 0.8A = \frac{4}{5}A$,इसलिए उनकी गति का अनुपात $S:A = 4:5$ है।
चूंकि वे एक साथ $5$ दिनों तक काम करते हैं,इसलिए कुल कार्य $(S + A) \times 5 = 5,76,000$ है।
$S = \frac{4}{5}A$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\frac{4}{5}A + A) \times 5 = 5,76,000$ प्राप्त होता है।
$(\frac{9}{5}A) \times 5 = 5,76,000$,जो सरल होकर $9A = 5,76,000$ हो जाता है।
$A = \frac{5,76,000}{9} = 64,000$ की डिप्रेशन प्रति दिन।
चूंकि वे प्रतिदिन $8$ घंटे काम करते हैं,इसलिए अमित की की डिप्रेशन प्रति घंटे की गति $\frac{64,000}{8} = 8,000$ है।

(C) सूत्र $\frac{M_{1} D_{1} H_{1}}{W_{1}} = \frac{M_{2} D_{2} H_{2}}{W_{2}}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $M$ परीक्षकों की संख्या है,$D$ दिनों की संख्या है,$H$ प्रतिदिन के घंटे हैं और $W$ कार्य की मात्रा (उत्तर पुस्तिकाओं की संख्या) है।
दिया गया है:
$M_{1} = 4, D_{1} = 10, H_{1} = 5, W_{1} = 1$
$M_{2} = 2, D_{2} = 20, H_{2} = ?, W_{2} = 2$
मान रखने पर:
$\frac{4 \times 10 \times 5}{1} = \frac{2 \times 20 \times H_{2}}{2}$
$\Rightarrow 200 = 20 \times H_{2}$
$\Rightarrow H_{2} = \frac{200}{20} = 10$ घंटे।
अतः,$2$ परीक्षकों को प्रतिदिन $10$ घंटे काम करना होगा।

(B) दिया गया है कि $2$ पुरुष काम को $4$ दिनों में पूरा कर सकते हैं और $3$ महिलाएँ उसी काम को $4$ दिनों में पूरा कर सकती हैं।
चूंकि लिया गया समय समान है,कार्य क्षमता के संदर्भ में $2$ पुरुष $= 3$ महिलाएँ हैं।
इसलिए,$1$ पुरुष $= \frac{3}{2}$ महिलाएँ।
अब,हमें $1$ पुरुष और $1$ महिला द्वारा मिलकर लिए गए समय को ज्ञात करना है।
महिलाओं के संदर्भ में कुल कार्य क्षमता $= 1$ पुरुष $+ 1$ महिला $= \frac{3}{2}$ महिलाएँ $+ 1$ महिला $= \frac{5}{2}$ महिलाएँ।
सूत्र $M_1 D_1 = M_2 D_2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $M$ श्रमिकों की संख्या है और $D$ दिनों की संख्या है:
$3$ महिलाएँ $\times 4$ दिन $= \frac{5}{2}$ महिलाएँ $\times D_2$.
$12 = \frac{5}{2} \times D_2$.
$D_2 = \frac{12 \times 2}{5} = \frac{24}{5}$ दिन।

(C) हम सूत्र $\frac{M_1 \times D_1 \times H_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2 \times H_2}{W_2}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $M$ परीक्षकों की संख्या है,$D$ दिनों की संख्या है,$H$ प्रति दिन घंटों की संख्या है,और $W$ कार्य की मात्रा (उत्तर पुस्तिकाओं की संख्या) है।
दिया गया है:
$M_1 = 4, D_1 = 10, H_1 = 5, W_1 = 1$
$M_2 = 2, D_2 = 20, H_2 = x, W_2 = 2$
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{4 \times 10 \times 5}{1} = \frac{2 \times 20 \times x}{2}$
समीकरण को सरल करने पर:
$200 = 20x$
$x = \frac{200}{20} = 10$ घंटे प्रतिदिन।
अतः,$2$ परीक्षकों को प्रतिदिन $10$ घंटे काम करना होगा।

(D) मान लीजिए कि $A$ और $B$ मिलकर काम को $x$ दिनों में पूरा करते हैं।
तो,$A$ द्वारा लिया गया समय = $(x + 4)$ दिन।
और,$B$ द्वारा लिया गया समय = $(x + 16)$ दिन।
कार्य-दर के सूत्र के अनुसार,उनकी व्यक्तिगत कार्य दरों का योग उनकी संयुक्त कार्य दर के बराबर होता है:
$\frac{1}{x+4} + \frac{1}{x+16} = \frac{1}{x}$
$\frac{(x+16) + (x+4)}{(x+4)(x+16)} = \frac{1}{x}$
$\frac{2x + 20}{x^2 + 20x + 64} = \frac{1}{x}$
$x(2x + 20) = x^2 + 20x + 64$
$2x^2 + 20x = x^2 + 20x + 64$
$x^2 = 64$
$x = 8$ दिन।
अतः,वे दोनों मिलकर काम को पूरा करने में $8$ दिन लेंगे।

(C) काम पूरा करने का सूत्र $M_{1} \times D_{1} \times T_{1} = M_{2} \times D_{2} \times T_{2}$ है,जहाँ $M$ पुरुषों की संख्या है,$D$ दिनों की संख्या है और $T$ प्रतिदिन काम के घंटे हैं।
दिया गया है:
$M_{1} = 250$,$D_{1} = 20$,$T_{1} = 5$
$D_{2} = 10$,$T_{2} = 8$
मान रखने पर:
$250 \times 20 \times 5 = M_{2} \times 10 \times 8$
$25000 = M_{2} \times 80$
$M_{2} = \frac{25000}{80} = 312.5$
चूंकि पुरुषों की संख्या एक पूर्ण संख्या होनी चाहिए,इसलिए काम को निर्धारित समय के भीतर पूरा करने के लिए हम इसे अगले पूर्णांक तक बढ़ा देंगे।
अतः,आवश्यक पुरुषों की न्यूनतम संख्या $313$ है।

(A) मान लीजिए कि $1$ पुरुष की कार्यक्षमता $M$ है और $1$ महिला की कार्यक्षमता $W$ है।
प्रश्न के अनुसार:
$(2M + 5W) \times 12 = (5M + 2W) \times 9$
दोनों पक्षों को $3$ से विभाजित करने पर:
$(2M + 5W) \times 4 = (5M + 2W) \times 3$
$8M + 20W = 15M + 6W$
$14W = 7M$
$M = 2W$
अब,कुल कार्य की गणना महिलाओं के संदर्भ में करते हैं:
कुल कार्य = $(2M + 5W) \times 12 = (2(2W) + 5W) \times 12 = (4W + 5W) \times 12 = 9W \times 12 = 108W$ इकाइयाँ।
$3$ महिलाओं द्वारा कार्य पूरा करने में लगा समय = $\frac{108W}{3W} = 36$ दिन।

(C) कार्य,पुरुषों और दिनों के सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{M_1 \times D_1}{W_1} = \frac{M_2 \times D_2}{W_2}$.
दिया गया है:
$M_1 = 7$,$D_1 = 12$,$W_1 = 1$ इकाई कार्य।
$M_2 = x$,$D_2 = 8$,$W_2 = 2$ इकाई कार्य।
मान रखने पर:
$\frac{7 \times 12}{1} = \frac{x \times 8}{2}$
$84 = \frac{8x}{2}$
$84 = 4x$
$x = \frac{84}{4} = 21$.
अतः,कार्य को पूरा करने के लिए कुल $21$ पुरुषों की आवश्यकता है।
आवश्यक अतिरिक्त पुरुषों की संख्या = $21 - 7 = 14$.

(A) चरण $1$: पुरुषों,महिलाओं और बच्चों की कार्यक्षमता का अनुपात ज्ञात करें।
$6M \times 12 = 72$ यूनिट,$8W \times 18 = 144$ यूनिट,$15C \times 10 = 150$ यूनिट।
अनुपात $72:144:150$ यानी $12:24:25$ है।
चरण $2$: $4$ पुरुष $+ 12$ महिलाएं $+ 20$ बच्चों द्वारा $2$ दिनों में किया गया कार्य ज्ञात करें।
इस गणना के अनुसार,शेष कार्य को $1$ दिन में पूरा करने के लिए $36$ पुरुषों की आवश्यकता होगी।

(A) दिया गया है कि $8$ पुरुष काम को $20$ दिनों में पूरा करते हैं,कुल कार्य $= 8 \times 20 = 160$ पुरुष-दिन।
दिया गया है कि $8$ महिलाएँ काम को $32$ दिनों में पूरा करती हैं,कुल कार्य $= 8 \times 32 = 256$ महिला-दिन।
चूँकि कार्य समान है,$160$ पुरुष-दिन $= 256$ महिला-दिन।
इसलिए,$1$ पुरुष $= \frac{256}{160} = 1.6$ महिलाएँ।
अब,$5$ पुरुष $+ 8$ महिलाएँ $= (5 \times 1.6) + 8 = 8 + 8 = 16$ महिलाएँ।
महिलाओं के लिए सूत्र $M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2$ का उपयोग करने पर:
$8 \times 32 = 16 \times D_2$.
$D_2 = \frac{8 \times 32}{16} = 16$ दिन।
अतः,$5$ पुरुष और $8$ महिलाएँ मिलकर उस काम को $16$ दिनों में पूरा करेंगे।

(B) माना कुल कार्य $1$ इकाई है।
$A$ कार्य को $12$ दिनों में पूरा करता है,इसलिए $A$ की दक्षता (प्रति दिन किया गया कार्य) $= \frac{1}{12}$ इकाई/दिन है।
$B$,$A$ से $60\%$ अधिक कुशल है। इसलिए,$B$ की दक्षता $= A$ की दक्षता $+ A$ की दक्षता का $60\%$ है।
$B$ की दक्षता $= \frac{1}{12} + \left(\frac{60}{100} \times \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{12} + \left(\frac{3}{5} \times \frac{1}{12}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{20}$ है।
$12$ और $20$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $60$ लेने पर,$B$ की दक्षता $= \frac{5+3}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ इकाई/दिन है।
$B$ द्वारा कार्य पूरा करने में लिया गया समय $= \frac{\text{कुल कार्य}}{\text{B की दक्षता}} = \frac{1}{2/15} = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$ दिन है।

(D) माना कि $A, B$ और $C$ का एक दिन का काम क्रमशः $a, b$ और $c$ है।
दिया गया है:
$a + b = \frac{1}{12}$ .....$(1)$
$b + c = \frac{1}{15}$ .....$(2)$
$a = 2c$ .....$(3)$
समीकरण $(3)$ से $a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2c + b = \frac{1}{12}$ .....$(4)$
अब,समीकरण $(4)$ में से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(2c + b) - (b + c) = \frac{1}{12} - \frac{1}{15}$
$c = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60}$
अब,$c$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$b + \frac{1}{60} = \frac{1}{15}$
$b = \frac{1}{15} - \frac{1}{60} = \frac{4 - 1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
अतः,$B$ अकेले उस काम को $20$ दिनों में पूरा करेगा।

(D) माना कि $1$ पुरुष एक दिन में $x$ भाग काम करता है और $1$ महिला एक दिन में $y$ भाग काम करती है।
प्रश्न के अनुसार:
$4x + 6y = \frac{1}{8}$ ... $(1)$
$3x + 7y = \frac{1}{10}$ ... $(2)$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,समीकरण $(1)$ को $3$ से और समीकरण $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर:
$12x + 18y = \frac{3}{8}$
$12x + 28y = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
दूसरे समीकरण में से पहले को घटाने पर:
$10y = \frac{2}{5} - \frac{3}{8} = \frac{16 - 15}{40} = \frac{1}{40}$
$y = \frac{1}{400}$
इसका अर्थ है कि $1$ महिला $1$ दिन में काम का $\frac{1}{400}$ भाग पूरा करती है।
अतः,$20$ महिलाएँ $1$ दिन में $20 \times \frac{1}{400} = \frac{1}{20}$ भाग काम पूरा करेंगी।
इस प्रकार,$20$ महिलाओं द्वारा पूरा काम करने में लगा समय $20$ दिन है।