Pipes and Cistern Questions in Gujarati

(B) પાઇપ દ્વારા ટાંકી ભરવા માટે લાગતો કુલ સમય $6 \ h$ છે.
કારણ કે પાઇપ $6 \ h$ માં આખી ટાંકી (જે $1$ સંપૂર્ણ એકમ દર્શાવે છે) ભરે છે,તેથી $1 \ h$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ કુલ કાર્યને કુલ સમય વડે ભાગીને મેળવી શકાય છે.
$1 \ h$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= 1/6$.

(D) પાઇપ $1 \ h$ માં ટાંકીનો $\frac{1}{8}$ ભાગ ભરે છે.
આખી ટાંકી (જે $1$ સંપૂર્ણ ભાગ છે) ભરવા માટે લાગતો સમય શોધવો જરૂરી છે.
આખી ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{1 \ h}{1/8} = 1 \times 8 = 8 \ h$.
તેથી,ખાલી ટાંકી ભરવા માટે પાઇપને $8 \ h$ લાગશે.

(B) આખી ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો કુલ સમય $3$ $h$ છે.
ટાંકીનો $\frac{2}{3}$ ભાગ ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે,આપણે કુલ સમયને ખાલી કરવાના ભાગ સાથે ગુણીશું.
લાગતો સમય $= 3 \times \frac{2}{3} = 2$ $h$.
તેથી,પાઇપ ટાંકીનો બે-તૃતીયાંશ ભાગ $2$ $h$ માં ખાલી કરશે.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
નળ $A$ અને નળ $B$ સાથે મળીને કામ કરે ત્યારે તેનો દર $= \frac{1}{40}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
નળ $A$ એકલો કામ કરે ત્યારે તેનો દર $= \frac{1}{60}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
ધારો કે નળ $B$ ને એકલાને ટાંકી ભરતા $x$ મિનિટ લાગે છે.
તેથી,નળ $B$ નો દર $\frac{1}{x}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે: $(A \text{ નો દર}) + (B \text{ નો દર}) = \text{સંયુક્ત દર}$.
$\frac{1}{60} + \frac{1}{x} = \frac{1}{40}$.
$\frac{1}{x} = \frac{1}{40} - \frac{1}{60}$.
$40$ અને $60$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $120$ છે:
$\frac{1}{x} = \frac{3 - 2}{120} = \frac{1}{120}$.
આમ,$x = 120$ મિનિટ.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $10$ અને $6$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે, જે $30$ એકમ છે.
ભરતી પાઇપની કાર્યક્ષમતા $= 30 / 10 = 3$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ખાલી કરતી પાઇપની કાર્યક્ષમતા $= 30 / 6 = 5$ એકમ પ્રતિ કલાક.
જ્યારે બંને પાઇપ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે, ત્યારે ટાંકી ખાલી થવાનો ચોખ્ખો દર $= 5 - 3 = 2$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ટાંકી ખાલી કરવામાં લાગતો સમય $= \text{કુલ ક્ષમતા} / \text{ચોખ્ખો દર} = 30 / 2 = 15 \, h$.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $3, 4$ અને $5$ નો લ.સા.અ. છે, જે $60 \, \text{units}$ છે.
પ્રથમ નળની કાર્યક્ષમતા $(A) = \frac{60}{3} = 20 \, \text{units/h}$.
બીજા નળની કાર્યક્ષમતા $(B) = \frac{60}{4} = 15 \, \text{units/h}$.
ત્રીજા નળની કાર્યક્ષમતા $(C) = -\frac{60}{5} = -12 \, \text{units/h}$ (કારણ કે તે ટાંકી ખાલી કરે છે).
જ્યારે ત્રણેય નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે, ત્યારે કુલ કાર્યક્ષમતા $= 20 + 15 - 12 = 23 \, \text{units/h}$.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ ક્ષમતા}}{\text{કુલ કાર્યક્ષમતા}} = \frac{60}{23} \, h$.
આને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા, આપણને $2 \frac{14}{23} \, h$ મળે છે.

(A) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $30, 10$ અને $40$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $120$ એકમ છે.
પાઈપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા = $120 / 30 = 4 \text{ એકમ/મિનિટ}$.
પાઈપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા = $120 / 10 = 12 \text{ એકમ/મિનિટ}$.
પાઈપ $C$ ની કાર્યક્ષમતા = $120 / 40 = 3 \text{ એકમ/મિનિટ}$ (ખાલી કરે છે,તેથી ઋણ).
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા = $4 + 12 - 3 = 13 \text{ એકમ/મિનિટ}$.
ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી સમય = $\frac{\text{કુલ ક્ષમતા}}{\text{ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા}} = \frac{120}{13} \text{ મિનિટ}$.
મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા: $120 / 13 = 9 \frac{3}{13} \text{ મિનિટ}$.

(B) ધારો કે નળ $A, B,$ અને $C$ દ્વારા $1$ $min$ માં કરવામાં આવેલ કાર્ય અનુક્રમે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b},$ અને $\frac{1}{c}$ છે.
આપેલ છે કે ત્રણેય નળ સાથે મળીને ટાંકીને $10$ $min$ માં ભરે છે,તેથી $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{10}$.
આપેલ છે કે નળ $A$ એકલો તેને $30$ $min$ માં ભરે છે,તેથી $\frac{1}{a} = \frac{1}{30}$.
આપેલ છે કે નળ $B$ એકલો તેને $40$ $min$ માં ભરે છે,તેથી $\frac{1}{b} = \frac{1}{40}$.
આ કિંમતોને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{30} + \frac{1}{40} + \frac{1}{c} = \frac{1}{10}$.
$\frac{1}{c} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} - \frac{1}{40}$.
$10, 30,$ અને $40$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $120$ લેતા:
$\frac{1}{c} = \frac{12 - 4 - 3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$.
તેથી,નળ $C$ એકલો ટાંકી ભરતા $24$ $min$ લેશે.

(A) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $300$ એકમ છે ($60, 75, 50$ નો લસાઅ).
પાઈપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા = $300 / 60 = 5$ એકમ/મિનિટ.
પાઈપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા = $300 / 75 = 4$ એકમ/મિનિટ.
પાઈપ $A, B,$ અને $C$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા = $300 / 50 = 6$ એકમ/મિનિટ.
ધારો કે આઉટલેટ $C$ ની કાર્યક્ષમતા $x$ એકમ/મિનિટ છે.
તેથી, $5 + 4 - x = 6$.
$9 - x = 6 \Rightarrow x = 3$ એકમ/મિનિટ.
સંપૂર્ણ ટાંકી ખાલી કરવા માટે $C$ દ્વારા લેવાયેલ સમય = $\text{કુલ ક્ષમતા} / C \text{ ની કાર્યક્ષમતા} = 300 / 3 = 100$ મિનિટ.

(D) ધારો કે પાઈપ $A, B$ અને $C$ દ્વારા ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે.
આપેલ છે:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{12}$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12}$
$2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{10 + 6 + 5}{60} = \frac{21}{60} = \frac{7}{20}$
તેથી,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{7}{40}$
$A, B$ અને $C$ દ્વારા ટાંકી ભરવા માટે લાગતો કુલ સમય એ સંયુક્ત કાર્ય દરનો વ્યસ્ત છે:
સમય $= \frac{40}{7} \text{ h} = 5 \frac{5}{7} \text{ h}$.

(B) ધારો કે ઇનલેટ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $1$ યુનિટ/મિનિટ છે. ઇનલેટ $A$ ચાર ગણું ઝડપી હોવાથી,તેની કાર્યક્ષમતા $4$ યુનિટ/મિનિટ છે.
આપેલ છે કે ઇનલેટ $A$ ટાંકીને $15$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $4 \times 15 = 60$ યુનિટ છે.
જ્યારે બંને પાઇપ $A$ અને $B$ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $4 + 1 = 5$ યુનિટ/મિનિટ થાય છે.
બંને પાઇપ દ્વારા ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય = $\frac{\text{કુલ ક્ષમતા}}{\text{સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા}} = \frac{60}{5} = 12$ મિનિટ.

(C) પાઇપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{16}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
પાઇપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{10}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
$2 \text{ h}$ ના ચક્રમાં (પહેલા $A$ માટે $1 \text{ h}$,પછી $B$ માટે $1 \text{ h}$),ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{16} + \frac{1}{10} = \frac{5+8}{80} = \frac{13}{80}$ છે.
આવા $6$ ચક્રમાં $(12 \text{ h})$,ભરાયેલ ભાગ $= 6 \times \frac{13}{80} = \frac{78}{80} = \frac{39}{40}$ છે.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40}$ છે.
હવે,બાકીનો ભાગ ભરવા માટે પાઇપ $A$ નો વારો છે.
$A$ દ્વારા $\frac{1}{40}$ ભાગ ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{1/40}{1/16} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} \text{ h}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $= 12 \text{ h} + \frac{2}{5} \text{ h} = 12 \frac{2}{5} \text{ h}$.

(D) પાઇપને આખી ટાંકી (એટલે કે $1$ ભાગ) ખાલી કરતા $27$ $\text{કલાક}$ લાગે છે.
ટાંકીનો $\frac{2}{3}$ ભાગ ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય શોધવા માટે,આપણે કુલ સમયને જરૂરી અપૂર્ણાંક સાથે ગુણીશું.
લાગતો સમય $= 27 \times \frac{2}{3} \text{ કલાક}$.
લાગતો સમય $= 9 \times 2 = 18 \text{ કલાક}$.
આમ,પાઇપ $18$ $\text{કલાકમાં}$ ટાંકીનો $\frac{2}{3}$ ભાગ ખાલી કરશે.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પાઇપ $A$ નો દર (ભરવાનો) $= \frac{1}{10}$ એકમ/મિનિટ.
પાઇપ $B$ નો દર (ખાલી કરવાનો) $= \frac{1}{6}$ એકમ/મિનિટ.
ખાલી કરવાનો દર ભરવાના દર કરતા વધારે હોવાથી,ટાંકી ખાલી થશે.
ખાલી કરવાનો ચોખ્ખો દર $= \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ એકમ/મિનિટ.
આનો અર્થ એ છે કે ટાંકી દર મિનિટે કુલ ક્ષમતાના $\frac{1}{15}$ ભાગના દરે ખાલી થાય છે.
ટાંકીનો $\frac{2}{3}$ ભાગ ખાલી કરવા માટે જરૂરી સમય $= \frac{\text{ખાલી કરવાનો જથ્થો}}{\text{ચોખ્ખો દર}} = \frac{2/3}{1/15} = \frac{2}{3} \times 15 = 10$ મિનિટ.

(C) પ્રથમ નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો દર દર કલાકે $\frac{1}{8}$ ભાગ છે.
બીજા નળ દ્વારા ટાંકી ખાલી કરવાનો દર દર કલાકે $\frac{1}{16}$ ભાગ છે.
જ્યારે બંને નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ટાંકી ભરવાનો ચોખ્ખો દર $\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$ ભાગ પ્રતિ કલાક થાય છે.
તેથી,ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી સમય એ ચોખ્ખા દરનો વ્યસ્ત છે,જે $16$ $\text{કલાક}$ છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $15$ અને $10$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે, જે $30$ એકમ છે.
પ્રથમ પાઇપની કાર્યક્ષમતા $= 30 / 15 = 2$ એકમ પ્રતિ કલાક.
બીજી પાઇપની કાર્યક્ષમતા $= 30 / 10 = 3$ એકમ પ્રતિ કલાક.
બંને પાઇપની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $= 2 + 3 = 5$ એકમ પ્રતિ કલાક.
સંપૂર્ણ ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $= \text{કુલ ક્ષમતા} / \text{સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા} = 30 / 5 = 6$ $hrs$.

(C) પાઇપ $A$ ટાંકીને $20$ $minutes$ માં ભરે છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{20}$ ભાગ પ્રતિ $minute$ છે.
પાઇપ $B$ ટાંકીને $25$ $minutes$ માં ભરે છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{25}$ ભાગ પ્રતિ $minute$ છે.
જ્યારે બંનેને સાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{20} + \frac{1}{25} = \frac{5+4}{100} = \frac{9}{100}$ ભાગ પ્રતિ $minute$ થાય છે.
$5$ $minutes$ માં ભરાયેલ ભાગ $5 \times \frac{9}{100} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ ભાગ છે.
બાકી રહેલો ભાગ $1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$ ભાગ છે.
પાઇપ $B$ બંધ હોવાથી,પાઇપ $A$ બાકીનો $\frac{11}{20}$ ભાગ ભરશે.
પાઇપ $A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $= \frac{\text{બાકી રહેલો ભાગ}}{\text{પાઇપ } A \text{ \text{ની કાર્યક્ષમતા}}} = \frac{11/20}{1/20} = 11$ $minutes$.

(C) કાર્ય-સમયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}$
આપેલ છે:
$M_1 = 12$ (પંપની સંખ્યા)
$D_1 = 15$ (દિવસ)
$H_1 = 6$ (દરરોજના કલાક)
$W_1 = 1$ (જળાશય)
બીજા કિસ્સા માટે:
$M_2 = x$ (પંપની સંખ્યા)
$D_2 = 12$ (દિવસ)
$H_2 = 9$ (દરરોજના કલાક)
$W_2 = 1$ (તે જ જળાશય)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$12 \times 15 \times 6 = x \times 12 \times 9$
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{12 \times 15 \times 6}{12 \times 9}$
$x = \frac{15 \times 6}{9}$
$x = \frac{90}{9} = 10$
તેથી,$10$ પંપની જરૂર પડશે.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $C$ લિટર છે.
લીકેજનો દર $= \frac{C}{8}$ લિટર પ્રતિ કલાક.
નળનો દર $= 6 \times 60 = 360$ લિટર પ્રતિ કલાક.
જ્યારે બંને ચાલુ હોય,ત્યારે ખાલી થવાનો ચોખ્ખો દર $\frac{C}{12}$ લિટર પ્રતિ કલાક છે.
સમીકરણ: $\frac{C}{8} - 360 = \frac{C}{12}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{C}{8} - \frac{C}{12} = 360$.
$\frac{3C - 2C}{24} = 360$.
$\frac{C}{24} = 360$.
$C = 360 \times 24 = 8640$ લિટર.
તેથી,ટાંકીમાં $8640$ લિટર પાણી સમાય છે.

(A) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પ્રથમ નળનો દર (ભરવાનો) $= \frac{1}{8}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
બીજા નળનો દર (ખાલી કરવાનો) $= \frac{1}{16}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
જ્યારે બંને નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે ભરવાનો ચોખ્ખો દર $= \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ચોખ્ખો દર $= \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ ક્ષમતા}}{\text{ચોખ્ખો દર}} = \frac{1}{1/16} = 16$ કલાક.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $5$ અને $4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $20$ એકમ છે.
ભરતી પાઇપ $(A)$ ની કાર્યક્ષમતા $= 20 / 5 = 4$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ખાલી કરતી પાઇપ $(B)$ ની કાર્યક્ષમતા $= 20 / 4 = 5$ એકમ પ્રતિ કલાક.
જ્યારે બંને પાઇપ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ટાંકીમાં પ્રતિ કલાક થતો ચોખ્ખો ફેરફાર $= 4 - 5 = -1$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ઋણ ચિહ્ન દર્શાવે છે કે ટાંકી ખાલી થઈ રહી છે.
ટાંકી પહેલેથી જ ભરેલી ($20$ એકમ) હોવાથી,તેને ખાલી કરવામાં લાગતો સમય $= 20 / 1 = 20$ કલાક.

(A) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $15, 12,$ અને $20$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $60$ એકમ છે.
પ્રથમ પાઇપની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 15 = 4$ એકમ/કલાક.
બીજી પાઇપની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 12 = 5$ એકમ/કલાક.
ત્રીજી પાઇપની કાર્યક્ષમતા (ખાલી કરવા માટે) $= - (60 / 20) = -3$ એકમ/કલાક.
જ્યારે ત્રણેય પાઇપ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 4 + 5 - 3 = 6$ એકમ/કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= \text{કુલ ક્ષમતા} / \text{ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા} = 60 / 6 = 10$ કલાક.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $60$ અને $70$ નો લસાઅ $(LCM)$ છે,જે $420$ એકમ છે.
પાઈપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા = $420 / 60 = 7$ એકમ/મિનિટ.
પાઈપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા = $420 / 70 = 6$ એકમ/મિનિટ.
ધારો કે ત્રીજી પાઈપ (ખાલી કરનાર પાઈપ) ની કાર્યક્ષમતા $x$ એકમ/મિનિટ છે.
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા = $7 + 6 - x = 13 - x$ એકમ/મિનિટ.
ટાંકી $60$ મિનિટમાં ભરાય છે,તેથી ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા = $420 / 60 = 7$ એકમ/મિનિટ.
બંનેને સરખાવતા: $13 - x = 7$,જે $x = 6$ એકમ/મિનિટ આપે છે.
ત્રીજી પાઈપ દ્વારા આખી ટાંકી ખાલી કરવામાં લાગતો સમય = કુલ ક્ષમતા / ત્રીજી પાઈપની કાર્યક્ષમતા = $420 / 6 = 70$ મિનિટ.

(D) પાઈપ $A$ ટાંકીને $37 \frac{1}{2} = 75/2$ મિનિટમાં ભરે છે. તેથી,પાઈપ $A$ નો દર $2/75$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
પાઈપ $B$ ટાંકીને $45$ મિનિટમાં ભરે છે. તેથી,પાઈપ $B$ નો દર $1/45$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
ધારો કે પાઈપ $B$ ને $x$ મિનિટ પછી બંધ કરવામાં આવે છે. પાઈપ $A$ આખી $30$ મિનિટ માટે ખુલ્લી રહે છે.
પાઈપ $A$ અને પાઈપ $B$ દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $1$ (આખી ટાંકી) હોવું જોઈએ.
$30$ મિનિટમાં $A$ દ્વારા થયેલ કાર્ય + $x$ મિનિટમાં $B$ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $1$.
$30 \times (2/75) + x \times (1/45) = 1$.
$(60/75) + x/45 = 1$.
$4/5 + x/45 = 1$.
$x/45 = 1 - 4/5 = 1/5$.
$x = 45/5 = 9$ મિનિટ.
આમ,પાઈપ $B$ ને $9$ મિનિટ પછી બંધ કરવી જોઈએ.

(B) ધારો કે ટેન્કર ભરવા માટે જરૂરી કુલ સમય $x$ મિનિટ છે.
નળ $A$ નો દર $\frac{1}{60}$ ટેન્કર પ્રતિ મિનિટ છે.
નળ $B$ નો દર $\frac{1}{40}$ ટેન્કર પ્રતિ મિનિટ છે.
નળ $A$ અને $B$ નો સંયુક્ત દર $\frac{1}{60} + \frac{1}{40} = \frac{2+3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ ટેન્કર પ્રતિ મિનિટ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નળ $B$ નો ઉપયોગ $\frac{x}{2}$ મિનિટ માટે થાય છે અને બાકીની $\frac{x}{2}$ મિનિટ માટે નળ $A$ અને $B$ બંનેનો ઉપયોગ થાય છે.
નળ $B$ દ્વારા થયેલ કાર્ય + $(A+B)$ દ્વારા થયેલ કાર્ય = $1$ (આખું ટેન્કર).
$\frac{x}{2} \times \frac{1}{40} + \frac{x}{2} \times \frac{1}{24} = 1$
$\frac{x}{80} + \frac{x}{48} = 1$
$80$ અને $48$ નો લસાઅ $240$ લેતા:
$\frac{3x + 5x}{240} = 1$
$\frac{8x}{240} = 1$
$\frac{x}{30} = 1$
$x = 30$ મિનિટ.

(A) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $15$ અને $18$ નો લ.સા.અ. એટલે કે $90$ એકમ છે.
નળ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= 90 / 15 = 6$ એકમ/મિનિટ.
નળ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 90 / 18 = 5$ એકમ/મિનિટ.
$A$ અને $B$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $= 6 + 5 = 11$ એકમ/મિનિટ.
$6$ મિનિટમાં,નળ $A$ અને $B$ દ્વારા ભરાયેલ પાણી $= 11 \times 6 = 66$ એકમ.
ધારો કે ત્રીજા નળની કાર્યક્ષમતા (ખાલી કરવાની) $E$ એકમ/મિનિટ છે.
ત્રીજો નળ ખોલ્યા પછી,ચોખ્ખો દર $(11 - E)$ એકમ/મિનિટ છે.
ત્રીજો નળ ખોલ્યા પછી $16.5$ મિનિટમાં ટાંકી ખાલી થાય છે,એટલે કે $66$ એકમ પાણી $(E - 11)$ ના દરે ખાલી થાય છે.
$66 = (E - 11) \times 16.5$
$E - 11 = 66 / 16.5 = 4$
$E = 15$ એકમ/મિનિટ.
ત્રીજા નળ દ્વારા આખી ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $= 90 / 15 = 6$ મિનિટ.

(C) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પાઇપ $A, B$ અને $C$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{6}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
$2$ કલાકમાં, $A, B$ અને $C$ દ્વારા ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આ બાકી રહેલો $\frac{2}{3}$ ભાગ $A$ અને $B$ દ્વારા $7$ કલાકમાં ભરવામાં આવે છે.
તેથી, $A$ અને $B$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $\frac{2/3}{7} = \frac{2}{21}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
પાઇપ $C$ ની કાર્યક્ષમતા $= (A+B+C \text{ \text{ની કાર્યક્ષમતા}}) - (A+B \text{ \text{ની કાર્યક્ષમતા}})$.
$C$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{6} - \frac{2}{21} = \frac{7 - 4}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
આમ, પાઇપ $C$ એકલા ટાંકીને $14$ કલાકમાં ભરી શકે છે.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $4, 6$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $12$ એકમ છે.
નળ $A$ ની કાર્યક્ષમતા = $12 / 4 = 3$ એકમ/કલાક.
નળ $B$ ની કાર્યક્ષમતા = $12 / 6 = 2$ એકમ/કલાક.
નળ $C$ ની કાર્યક્ષમતા = $-12 / 3 = -4$ એકમ/કલાક (કારણ કે તે ટાંકી ખાલી કરે છે).
જ્યારે ત્રણેય નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા = $3 + 2 - 4 = 1$ એકમ/કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય = કુલ ક્ષમતા / ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા = $12 / 1 = 12$ કલાક.

(B) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $6$ અને $5$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $30$ એકમ છે.
નળ $A$ ની કાર્યક્ષમતા (ભરવા માટે) $= 30 / 6 = 5$ એકમ/કલાક.
નળ $B$ ની કાર્યક્ષમતા (ખાલી કરવા માટે) $= 30 / 5 = 6$ એકમ/કલાક.
જ્યારે બંને નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે ચોખ્ખો પ્રવાહ દર $= 5 - 6 = -1$ એકમ/કલાક.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ટાંકી ખાલી થઈ રહી છે.
ચોખ્ખો દર $1$ એકમ/કલાક (ખાલી થવાનો) હોવાથી,સંપૂર્ણ ભરેલી ટાંકીને ખાલી કરવામાં લાગતો સમય $= 30 / 1 = 30$ કલાક છે.

(C) પંપની સંખ્યા $(P)$,સમય $(T)$,અને ક્ષમતા $(C)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\frac{P_1 \times T_1}{C_1} = \frac{P_2 \times T_2}{C_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 18, T_1 = 5 \text{ કલાક}, C_1 = 1440 \text{ kilo liter}$.
$P_2 = 8, C_2 = 1920 \text{ kilo liter}, T_2 = x$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{18 \times 5}{1440} = \frac{8 \times x}{1920}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{18 \times 5 \times 1920}{1440 \times 8}$.
$x = \frac{90 \times 1920}{11520}$.
$x = \frac{172800}{11520} = 15 \text{ કલાક}$.

(D) બે પાઇપ દ્વારા $1 \text{ h}$ માં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ = $\frac{1}{14} + \frac{1}{16} = \frac{8 + 7}{112} = \frac{15}{112}$.
લીકેજ વગર ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય = $\frac{112}{15} \text{ h} = \frac{112}{15} \times 60 \text{ min} = 448 \text{ min}$.
લીકેજને કારણે,ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય = $448 + 92 = 540 \text{ min} = 9 \text{ h}$.
ધારો કે લીકેજ ટાંકીને $x \text{ h}$ માં ખાલી કરે છે.
$1 \text{ h}$ માં થયેલું ચોખ્ખું કાર્ય = $\frac{1}{9}$.
તેથી,$\frac{15}{112} - \frac{1}{x} = \frac{1}{9}$.
$\frac{1}{x} = \frac{15}{112} - \frac{1}{9} = \frac{135 - 112}{1008} = \frac{23}{1008}$.
$x = \frac{1008}{23} = 43 \frac{19}{23} \text{ h}$.

(C) પાઇપ $P$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{12}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
પાઇપ $R$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{15}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
પાઇપ $M$ ની કાર્યક્ષમતા $= -\frac{1}{6}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ (ખાલી કરવા માટે).
$5$ મિનિટમાં $P$ અને $R$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $= 5 \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{15}) = 5 \times (\frac{5+4}{60}) = 5 \times \frac{9}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ ટાંકી.
જ્યારે ત્રણેય પાઇપ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - \frac{1}{6} = \frac{5+4-10}{60} = -\frac{1}{60}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ટાંકી $\frac{1}{60}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટના દરે ખાલી થઈ રહી છે.
ટાંકીનો $\frac{3}{4}$ ભાગ ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{3/4}{1/60} = \frac{3}{4} \times 60 = 45$ મિનિટ.

(C) નળમાંથી પાણીનો પ્રવાહ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે.
નળ વર્તુળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ થાય.
તેથી,પ્રવાહનો દર વ્યાસના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે $(Rate \propto d^2)$.
ધારો કે પ્રથમ નળનો દર $R_1$ છે અને બીજા નળનો દર $R_2$ છે.
$R_1 \propto d^2$ અને $R_2 \propto (2d)^2 = 4d^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $R_2 = 4R_1$,જે દર્શાવે છે કે બીજો નળ પ્રથમ નળ કરતા $4$ ગણો ઝડપી છે.
લીધેલ સમય એ પ્રવાહના દરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(Time \propto 1/Rate)$.
જો પ્રથમ નળ $T_1 = 40$ $min$ લેતો હોય,તો બીજો નળ $T_2 = T_1 / 4$ સમય લેશે.
$T_2 = 40 / 4 = 10$ $min$.

(A) ધારો કે ઝડપી પાઈપ ટાંકીને $x$ $h$ માં ભરે છે. તો,ધીમી પાઈપ તેને $(x + 10)$ $h$ માં ભરશે.
બંને પાઈપનો સંયુક્ત દર $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12}$ છે.
$12x(x + 10)$ વડે ગુણતા: $12(x + 10) + 12x = x(x + 10)$.
$12x + 120 + 12x = x^2 + 10x$.
$24x + 120 = x^2 + 10x$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $x^2 - 14x - 120 = 0$.
અવયવ પાડતા: $x^2 - 20x + 6x - 120 = 0$.
$x(x - 20) + 6(x - 20) = 0$.
$(x - 20)(x + 6) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 20$.
આમ,ઝડપી પાઈપને ટાંકી ભરતા $20$ $h$ લાગે છે.

(B) પાઇપ $A$ ટાંકીને $15 \text{ min}$ માં ભરે છે,તેથી તેનો દર પ્રતિ મિનિટ ટાંકીનો $\frac{1}{15}$ ભાગ છે.
પાઇપ $B$ ટાંકીને $20 \text{ min}$ માં ભરે છે,તેથી તેનો દર પ્રતિ મિનિટ ટાંકીનો $\frac{1}{20}$ ભાગ છે.
બંને પાઇપ $2 \text{ min}$ માટે ખોલવામાં આવે છે. $2 \text{ min}$ માં બંને પાઇપ દ્વારા થયેલું કામ $2 \times (\frac{1}{15} + \frac{1}{20}) = 2 \times (\frac{4+3}{60}) = 2 \times \frac{7}{60} = \frac{7}{30}$ છે.
પાઇપ $B$ દ્વારા ભરવાનું બાકી રહેલું કામ $1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30}$ છે.
બાકીનો ભાગ ભરવા માટે પાઇપ $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $\frac{23/30}{1/20} = \frac{23}{30} \times 20 = \frac{46}{3} \text{ min}$ છે.
કુલ સમય = (બંને પાઇપ ખુલ્લા હતા તે સમય) + (પાઇપ $B$ એકલો ખુલ્લો હતો તે સમય) = $2 + \frac{46}{3} = \frac{6+46}{3} = \frac{52}{3} \text{ min}$.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $24$ અને $32$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $96$ એકમ છે.
પાઇપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= 96 / 24 = 4$ એકમ/મિનિટ.
પાઇપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 96 / 32 = 3$ એકમ/મિનિટ.
ધારો કે પાઇપ $B$ ને $x$ મિનિટ પછી બંધ કરવામાં આવે છે. પાઇપ $A$ આખી $9$ મિનિટ માટે ખુલ્લી રહે છે.
પાઇપ $A$ દ્વારા $9$ મિનિટમાં થયેલું કાર્ય $= 9 \times 4 = 36$ એકમ.
પાઇપ $B$ દ્વારા બાકી રહેલું કાર્ય $= 96 - 36 = 60$ એકમ.
પાઇપ $B$ દ્વારા $60$ એકમ કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $= 60 / 3 = 20$ મિનિટ.
તેથી,પાઇપ $B$ ને $20$ મિનિટ પછી બંધ કરી દેવી જોઈએ.

(C) $A, B$ અને $C$ દ્વારા $3 \text{ min}$ ના ચક્રમાં થયેલું કાર્ય:
$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = \frac{3 + 2 - 4}{60} = \frac{1}{60}$ ભાગ ટાંકી ભરાય છે.
છેલ્લે ટાંકી ખાલી ન થાય તે માટે,આપણે ક્ષમતાની નજીક પહોંચવા માટેનો સમય ગણીએ. ધારો કે $n$ ચક્રની સંખ્યા છે.
$3n$ મિનિટમાં,ભરાયેલી ટાંકી $\frac{n}{60}$ છે.
આપણે ખાતરી કરવી પડશે કે $A$ અને $B$ કામ કર્યા પછી ટાંકી ભરાઈ જાય. છેલ્લા બે પગલાં પહેલાં ભરવાની ક્ષમતા $1 - (\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) = 1 - \frac{5}{60} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ છે.
$\frac{n}{60} \approx \frac{11}{12} \implies n = 55$.
$55 \times 3 = 165 \text{ min}$ માં,$\frac{55}{60} = \frac{11}{12}$ ભાગ ટાંકી ભરાય છે.
બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$.
$166$ મી મિનિટમાં,પાઇપ $A$ એ $\frac{1}{20}$ ભાગ ભર્યો. બાકી $= \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5-3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$.
$167$ મી મિનિટમાં,પાઇપ $B$ બાકીનો $\frac{1}{30}$ ભાગ ભરે છે.
કુલ સમય $= 165 + 1 + 1 = 167 \text{ min}$.

(D) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
નળ $A$ નો સામાન્ય દર $= \frac{1}{25}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
નળ $B$ નો સામાન્ય દર $= \frac{1}{20}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
અયોગ્ય રીતે ખોલવાને કારણે,નળ $A$ નો વાસ્તવિક દર $= \frac{1}{25} \times \frac{5}{6} = \frac{1}{30}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
નળ $B$ નો વાસ્તવિક દર $= \frac{1}{20} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{30}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
બંને નળનો સંયુક્ત દર $= \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
તેથી,ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{1}{1/15} = 15$ $min$.

(B) નળ $A$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{20}$ છે.
નળ $B$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{15}$ છે.
નળ $C$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{12}$ છે.
જ્યારે ત્રણેય નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે $1$ મિનિટમાં ભરાતો ટાંકીનો કુલ ભાગ $\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 4 + 5}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે આખી ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી કુલ સમય $5$ મિનિટ છે.
ટાંકીનો $40 \%$ ભાગ ભરવા માટે જરૂરી સમય $5 \times \frac{40}{100} = 5 \times 0.4 = 2$ મિનિટ છે.

(D) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $4, 5,$ અને $2$ નો લ.સા.અ. એટલે કે $20$ એકમ છે.
પાઇપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= 20/4 = 5$ એકમ/$min$.
પાઇપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 20/5 = 4$ એકમ/$min$.
પાઇપ $C$ (ખાલી કરનાર) ની કાર્યક્ષમતા $= 20/2 = 10$ એકમ/$min$.
પ્રથમ $2$ $min$ માં,પાઇપ $A$ અને $B$ ખુલ્લી છે. કુલ થયેલ કાર્ય $= (5 + 4) \times 2 = 18$ એકમ.
જ્યારે ત્રીજી પાઇપ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 5 + 4 - 10 = -1$ એકમ/$min$.
આનો અર્થ એ છે કે ટાંકી $1$ એકમ/$min$ ના દરે ખાલી થઈ રહી છે.
$18$ એકમ ખાલી કરવામાં લાગતો સમય $= 18 / 1 = 18$ $min$.

(C) જ્યારે બધા નળ ખુલ્લા હોય ત્યારે ટાંકીમાં પાણીનો ચોખ્ખો પ્રવાહ દર ઇનલેટ નળના દરનો સરવાળો કરીને અને આઉટલેટ નળના દરને બાદ કરીને ગણવામાં આવે છે.
ચોખ્ખો દર $= 42 \ L/h + 56 \ L/h - 48 \ L/h = 50 \ L/h$.
આ ચોખ્ખા દરે ટાંકી $16 \ h$ માં ભરાતી હોવાથી,ટાંકીની કુલ ક્ષમતા એ ચોખ્ખા દર અને લીધેલા સમયનો ગુણાકાર છે.
ક્ષમતા $= 50 \ L/h \times 16 \ h = 800 \ L$.

(C) છોકરા દ્વારા પાણી રેડવાનો દર $\frac{4}{3}$ લિટર પ્રતિ મિનિટ છે.
છોકરી દ્વારા પાણી રેડવાનો દર $\frac{3}{4}$ લિટર પ્રતિ મિનિટ છે.
છોકરા અને છોકરીનો સંયુક્ત દર = $\frac{4}{3} + \frac{3}{4}$ લિટર પ્રતિ મિનિટ.
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,સામાન્ય છેદ $12$ લેતા: $\frac{16}{12} + \frac{9}{12} = \frac{25}{12}$ લિટર પ્રતિ મિનિટ.
ભરવાનું કુલ કદ = $100$ લિટર.
જરૂરી સમય = $\frac{\text{કુલ કદ}}{\text{સંયુક્ત દર}} = \frac{100}{\frac{25}{12}} = 100 \times \frac{12}{25} = 4 \times 12 = 48$ મિનિટ.

(A) ધારો કે ઇનલેટ પાઇપ ટાંકીને $x$ કલાકમાં ભરે છે.
લીકેજ એ ઇનફ્લોના અડધા જેટલું છે,તેથી ભરવાનો અસરકારક દર $1 - 1/2 = 1/2$ જેટલો થાય છે.
લીકેજ સાથે ટાંકી ભરવામાં લાગતો સમય = $2x$ કલાક.
પ્રશ્ન મુજબ,લીકેજને કારણે ટાંકી ભરવામાં $36$ કલાક વધુ લાગે છે:
$2x - x = 36$
$x = 36$ કલાક.
તેથી,ઇનલેટ પાઇપ એકલી ટાંકીને $36$ કલાકમાં ભરી શકે છે.

(D) કાઢી લેવામાં આવેલા પાણીનું કદ $11 \ \text{લિટર}$ છે. $1 \ \text{લિટર} = 1000 \ \text{cm}^3$ હોવાથી,કાઢેલું કદ $11000 \ \text{cm}^3$ થાય.
નળાકારના કદનું સૂત્ર $V = \pi r^2 h$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ પાણીના સ્તરમાં થયેલો ઘટાડો છે.
વ્યાસ $25 \ \text{cm}$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 25/2 \ \text{cm}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $11000 = (22/7) \times (25/2)^2 \times h$.
$11000 = (22/7) \times (625/4) \times h$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h = (11000 \times 7 \times 4) / (22 \times 625)$.
$h = 308000 / 13750 = 22.4 \ \text{cm}$.
$22.4 \ \text{cm}$ ને $22 \frac{2}{5} \ \text{cm}$ તરીકે લખી શકાય.

(C) પાઈપ $A$ દ્વારા $1$ $hour$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{36}$ છે.
પાઈપ $B$ દ્વારા $1$ $hour$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{45}$ છે.
જ્યારે બંને પાઈપ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે $1$ $hour$ માં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{36} + \frac{1}{45}$ થશે.
$36$ અને $45$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $180$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{5 + 4}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$.
તેથી,ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી કુલ સમય $1$ $hour$ માં થયેલા કાર્યનો વ્યસ્ત છે,જે $20$ $hours$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ પાઈપોના વ્યાસ $d_1 = 1 \text{ cm}$,$d_2 = 4/3 \text{ cm}$ અને $d_3 = 2 \text{ cm}$ છે.
પાણીનો પ્રવાહ વ્યાસના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,પ્રવાહનો દર $R$ આ મુજબ છે: $R_1 \propto 1^2$,$R_2 \propto (4/3)^2 = 16/9$,અને $R_3 \propto 2^2 = 4$.
આપેલ છે કે સૌથી મોટી પાઈપ $(d_3 = 2 \text{ cm})$ ટાંકીને $61 \text{ મિનિટમાં}$ ભરે છે,તેથી તેનો દર $R_3 = 1/61$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
$R_3 = k \cdot 4 = 1/61$ હોવાથી,અચળાંક $k = 1/(61 \times 4)$.
તેથી,$R_1 = 1 \times k = 1/(61 \times 4) = 1/244$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
$R_2 = (16/9) \times k = (16/9) \times (1/244) = 4/(9 \times 61) = 4/549$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
સાથે ચલાવતા કુલ દર: $R_{total} = R_1 + R_2 + R_3 = \frac{1}{244} + \frac{4}{549} + \frac{1}{61}$.
સામાન્ય છેદ લેતા ($244 = 4 \times 61$ અને $549 = 9 \times 61$): $R_{total} = \frac{9 + 16 + 36}{36 \times 61} = \frac{61}{36 \times 61} = \frac{1}{36}$.
તેથી,ટાંકી $36 \text{ મિનિટમાં}$ ભરાઈ જશે.

(C) બંને પાઈપ દ્વારા $1$ $hr$ માં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ = $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ ભાગ.
ટાંકીનો $\frac{1}{3}$ ભાગ ભરવા માટે લાગતો સમય = $\frac{1/3}{1/12} = 4$ $hrs$.
જ્યારે ટાંકી $\frac{1}{3}$ ભરાઈ જાય છે,ત્યારે લીકેજ થાય છે. લીકેજ બંને પાઈપ દ્વારા પ્રતિ કલાક મળતા પાણીનો $\frac{1}{3}$ ભાગ બહાર કાઢે છે.
લીકેજ પછી ભરવાનો ચોખ્ખો દર = $(\text{બંને પાઈપનો દર}) - (\text{લીકેજનો દર}) = \frac{1}{12} - (\frac{1}{3} \times \frac{1}{12}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{36} = \frac{3-1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ ભાગ પ્રતિ કલાક.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ = $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
બાકીનો $\frac{2}{3}$ ભાગ ભરવા માટે લાગતો સમય = $\frac{2/3}{1/18} = \frac{2}{3} \times 18 = 12$ $hrs$.
કુલ સમય = $4$ $hrs + 12$ $hrs = 16$ $hrs$.

(B) પાઇપ $A$ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{4}$ છે.
પાઇપ $B$ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{6}$ છે.
પાઇપ $C$ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ખાલી થતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{8}$ છે.
જ્યારે ત્રણેય પાઇપ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે $1 \text{ કલાક}$ માં ભરાતો ચોખ્ખો ભાગ $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$ થશે.
$4, 6$ અને $8$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $24$ છે:
$1 \text{ કલાક}$ માં ભરાતો ચોખ્ખો ભાગ $= \frac{6 + 4 - 3}{24} = \frac{7}{24}$.
તેથી,ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી કુલ સમય એ $1 \text{ કલાક}$ માં ભરાતા ભાગનો વ્યસ્ત છે:
$\text{સમય} = \frac{24}{7} = 3 \frac{3}{7} \text{ કલાક}$.

(B) ધારો કે ઝડપી પાઇપ જળાશયને $x$ કલાકમાં ભરે છે.
તેથી,ધીમો પાઇપ તેને $(x + 5)$ કલાકમાં ભરશે.
આપેલ છે કે જ્યારે બંને પાઇપ એકસાથે કામ કરે છે,ત્યારે જળાશય $6$ કલાકમાં ભરાય છે.
તેથી,ઝડપી પાઇપનો દર $1/x$ છે અને ધીમા પાઇપનો દર $1/(x + 5)$ છે.
સંયુક્ત દર $1/x + 1/(x + 5) = 1/6$ છે.
સમીકરણ ઉકેલતા: $(x + 5 + x) / (x(x + 5)) = 1/6$.
$6(2x + 5) = x^2 + 5x$.
$12x + 30 = x^2 + 5x$.
$x^2 - 7x - 30 = 0$.
$(x - 10)(x + 3) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 10$.
આમ,ઝડપી પાઇપને જળાશય ભરતા $10$ કલાક લાગે છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પાઈપ $A, B$ અને $C$ નો સંયુક્ત દર $\frac{1}{6}$ એકમ પ્રતિ કલાક છે.
$2$ કલાકમાં,$A, B$ અને $C$ દ્વારા સાથે ભરાયેલ ભાગ $2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ એકમ છે.
બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ એકમ.
આ બાકીનો $\frac{2}{3}$ ભાગ $A$ અને $B$ દ્વારા $8$ કલાકમાં ભરવામાં આવે છે.
તેથી,$(A + B)$ નો દર $= \frac{2/3}{8} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$ એકમ પ્રતિ કલાક.
કારણ કે $(A + B + C)$ નો દર $= \frac{1}{6}$ અને $(A + B) = \frac{1}{12}$ છે,તેથી પાઈપ $C$ નો દર $\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2-1}{12} = \frac{1}{12}$ એકમ પ્રતિ કલાક થાય.
આમ,પાઈપ $C$ એકલા ટાંકીને $12$ કલાકમાં ભરી શકે છે.