Pipes and Cistern Questions in Hindi

(B) पाइप द्वारा टंकी को भरने में लिया गया कुल समय $6 \ h$ है।
चूंकि पाइप $6 \ h$ में पूरी टंकी (जो $1$ पूर्ण इकाई का प्रतिनिधित्व करती है) को भरता है,इसलिए $1 \ h$ में भरा गया टंकी का भाग कुल कार्य को कुल समय से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
$1 \ h$ में भरा गया टंकी का भाग $= 1/6$।

(D) पाइप $1 \ h$ में टैंक का $\frac{1}{8}$ भाग भरता है।
पूरे टैंक (जो $1$ पूर्ण भाग है) को भरने के लिए आवश्यक समय की गणना करनी होगी।
पूरे टैंक को भरने में लगा समय $= \frac{1 \ h}{1/8} = 1 \times 8 = 8 \ h$.
अतः,खाली टैंक को भरने में पाइप को $8 \ h$ का समय लगेगा।

(B) पूरी टंकी को खाली करने में लगा कुल समय $3$ $h$ है।
टंकी के $\frac{2}{3}$ भाग को खाली करने में लगा समय ज्ञात करने के लिए,हम कुल समय को खाली किए जाने वाले भाग से गुणा करेंगे।
लगा समय $= 3 \times \frac{2}{3} = 2$ $h$.
अतः,पाइप टंकी के दो-तिहाई भाग को $2$ $h$ में खाली कर देगा।

(D) मान लीजिए कि टंकी की कुल क्षमता $1$ इकाई है।
नल $A$ और नल $B$ के एक साथ काम करने की दर $= \frac{1}{40}$ टंकी प्रति मिनट है।
नल $A$ के अकेले काम करने की दर $= \frac{1}{60}$ टंकी प्रति मिनट है।
मान लीजिए कि नल $B$ को अकेले टंकी भरने में $x$ मिनट लगते हैं।
इसलिए,नल $B$ की दर $\frac{1}{x}$ टंकी प्रति मिनट है।
हम जानते हैं कि: $(A \text{ की दर}) + (B \text{ की दर}) = \text{संयुक्त दर}$.
$\frac{1}{60} + \frac{1}{x} = \frac{1}{40}$.
$\frac{1}{x} = \frac{1}{40} - \frac{1}{60}$.
$40$ और $60$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $120$ है:
$\frac{1}{x} = \frac{3 - 2}{120} = \frac{1}{120}$.
अतः,$x = 120$ मिनट।

(B) माना टंकी की क्षमता $10$ और $6$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है, जो $30$ इकाई है。
भरने वाले पाइप की कार्यक्षमता $= 30 / 10 = 3$ इकाई प्रति घंटा。
खाली करने वाले पाइप की कार्यक्षमता $= 30 / 6 = 5$ इकाई प्रति घंटा。
जब दोनों पाइप एक साथ खोले जाते हैं, तो टंकी खाली करने की शुद्ध दर $= 5 - 3 = 2$ इकाई प्रति घंटा。
टंकी को खाली करने में लगा समय $= \text{कुल क्षमता} / \text{शुद्ध दर} = 30 / 2 = 15 \, h$।

(B) माना टंकी की क्षमता $3, 4$ और $5$ का ल.स.प. है, जो $60 \, \text{units}$ है।
पहले नल की दक्षता $(A) = \frac{60}{3} = 20 \, \text{units/h}$ है।
दूसरे नल की दक्षता $(B) = \frac{60}{4} = 15 \, \text{units/h}$ है।
तीसरे नल की दक्षता $(C) = -\frac{60}{5} = -12 \, \text{units/h}$ है (क्योंकि यह टंकी को खाली करता है)।
जब तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं, तो कुल दक्षता $= 20 + 15 - 12 = 23 \, \text{units/h}$ होगी।
टंकी को भरने में लगा समय $= \frac{\text{कुल क्षमता}}{\text{कुल दक्षता}} = \frac{60}{23} \, h$ है।
इसे मिश्रित भिन्न में बदलने पर, हमें $2 \frac{14}{23} \, h$ प्राप्त होता है।

(A) माना टंकी की कुल क्षमता $30, 10$ और $40$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $120$ इकाई है।
पाइप $A$ की दक्षता = $120 / 30 = 4 \text{ इकाई/मिनट}$।
पाइप $B$ की दक्षता = $120 / 10 = 12 \text{ इकाई/मिनट}$।
पाइप $C$ की दक्षता = $120 / 40 = 3 \text{ इकाई/मिनट}$ (खाली कर रहा है,इसलिए ऋणात्मक)।
जब सभी पाइप एक साथ खोले जाते हैं,तो कुल दक्षता = $4 + 12 - 3 = 13 \text{ इकाई/मिनट}$।
टंकी को भरने में लगा समय = $\frac{\text{कुल क्षमता}}{\text{कुल दक्षता}} = \frac{120}{13} \text{ मिनट}$।
मिश्रित भिन्न में बदलने पर: $120 / 13 = 9 \frac{3}{13} \text{ मिनट}$।

(B) माना कि नलों $A, B,$ और $C$ द्वारा $1$ $min$ में किया गया कार्य क्रमशः $\frac{1}{a}, \frac{1}{b},$ और $\frac{1}{c}$ है।
दिया गया है कि तीनों नल मिलकर टंकी को $10$ $min$ में भरते हैं,इसलिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{10}$।
दिया गया है कि नल $A$ अकेले इसे $30$ $min$ में भरता है,इसलिए $\frac{1}{a} = \frac{1}{30}$।
दिया गया है कि नल $B$ अकेले इसे $40$ $min$ में भरता है,इसलिए $\frac{1}{b} = \frac{1}{40}$।
इन मानों को पहले समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{30} + \frac{1}{40} + \frac{1}{c} = \frac{1}{10}$।
$\frac{1}{c} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} - \frac{1}{40}$।
$10, 30,$ और $40$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $120$ लेने पर:
$\frac{1}{c} = \frac{12 - 4 - 3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$।
अतः,नल $C$ अकेले टंकी को भरने में $24$ $min$ का समय लेगा।

(A) माना टंकी की क्षमता $300$ इकाई है ($60, 75, 50$ का ल.स.प.).
पाइप $A$ की दक्षता = $300 / 60 = 5$ इकाई/मिनट.
पाइप $B$ की दक्षता = $300 / 75 = 4$ इकाई/मिनट.
पाइप $A, B,$ और $C$ की संयुक्त दक्षता = $300 / 50 = 6$ इकाई/मिनट.
माना आउटलेट $C$ की दक्षता $x$ इकाई/मिनट है.
अतः, $5 + 4 - x = 6$.
$9 - x = 6 \Rightarrow x = 3$ इकाई/मिनट.
पूरी टंकी को खाली करने में $C$ द्वारा लिया गया समय = $\text{कुल क्षमता} / C \text{ की दक्षता} = 300 / 3 = 100$ मिनट.

(D) माना पाइप $A, B$ और $C$ द्वारा टंकी को भरने में लिया गया समय क्रमशः $a, b$ और $c$ है।
दिया गया है:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{10}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{12}$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12}$
$2 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{10 + 6 + 5}{60} = \frac{21}{60} = \frac{7}{20}$
अतः,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{7}{40}$
$A, B$ और $C$ द्वारा मिलकर टंकी को भरने में लिया गया समय संयुक्त कार्य दर का व्युत्क्रम है:
समय $= \frac{40}{7} \text{ h} = 5 \frac{5}{7} \text{ h}$.

(B) मान लीजिए इनलेट $B$ की दक्षता $1$ यूनिट/मिनट है। चूंकि इनलेट $A$ चार गुना तेज है,इसलिए इसकी दक्षता $4$ यूनिट/मिनट है।
यह दिया गया है कि इनलेट $A$ टैंक को $15$ मिनट में भरता है,इसलिए टैंक की कुल क्षमता $4 \times 15 = 60$ यूनिट है।
जब दोनों पाइप $A$ और $B$ एक साथ खोले जाते हैं,तो उनकी संयुक्त दक्षता $4 + 1 = 5$ यूनिट/मिनट होती है।
दोनों पाइपों द्वारा टैंक को भरने में लगा समय = $\frac{\text{कुल क्षमता}}{\text{संयुक्त दक्षता}} = \frac{60}{5} = 12$ मिनट।

(C) पाइप $A$ की कार्यक्षमता $= \frac{1}{16}$ टैंक प्रति घंटा।
पाइप $B$ की कार्यक्षमता $= \frac{1}{10}$ टैंक प्रति घंटा।
$2 \text{ h}$ के एक चक्र में (पहले $A$ के लिए $1 \text{ h}$,फिर $B$ के लिए $1 \text{ h}$),भरा गया टैंक का भाग $= \frac{1}{16} + \frac{1}{10} = \frac{5+8}{80} = \frac{13}{80}$ है।
ऐसे $6$ चक्रों में $(12 \text{ h})$,भरा गया भाग $= 6 \times \frac{13}{80} = \frac{78}{80} = \frac{39}{40}$ है।
टैंक का शेष भाग $= 1 - \frac{39}{40} = \frac{1}{40}$ है।
अब,शेष भाग को भरने के लिए पाइप $A$ की बारी है।
$A$ द्वारा $\frac{1}{40}$ भाग भरने में लगा समय $= \frac{1/40}{1/16} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} \text{ h}$ है।
कुल लगा समय $= 12 \text{ h} + \frac{2}{5} \text{ h} = 12 \frac{2}{5} \text{ h}$।

(D) पाइप को पूरी टंकी (अर्थात $1$ भाग) खाली करने में $27$ $\text{घंटे}$ का समय लगता है।
टंकी का $\frac{2}{3}$ भाग खाली करने में लगने वाला समय ज्ञात करने के लिए,हम कुल समय को आवश्यक भिन्न से गुणा करेंगे।
लिया गया समय $= 27 \times \frac{2}{3} \text{ घंटे}$.
लिया गया समय $= 9 \times 2 = 18 \text{ घंटे}$.
अतः,पाइप $18$ $\text{घंटे}$ में टंकी का $\frac{2}{3}$ भाग खाली कर देगा।

(D) माना टंकी की कुल क्षमता $1$ इकाई है।
पाइप $A$ की दर (भरने की) $= \frac{1}{10}$ इकाई/मिनट।
पाइप $B$ की दर (खाली करने की) $= \frac{1}{6}$ इकाई/मिनट।
चूंकि खाली करने की दर भरने की दर से अधिक है,इसलिए टंकी खाली हो जाएगी।
खाली करने की शुद्ध दर $= \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ इकाई/मिनट।
इसका अर्थ है कि टंकी प्रति मिनट कुल क्षमता के $\frac{1}{15}$ भाग की दर से खाली हो रही है।
टंकी के $\frac{2}{3}$ भाग को खाली करने के लिए आवश्यक समय $= \frac{\text{खाली की जाने वाली मात्रा}}{\text{शुद्ध दर}} = \frac{2/3}{1/15} = \frac{2}{3} \times 15 = 10$ मिनट।

(C) पहले नल द्वारा टंकी को भरने की दर प्रति घंटा $\frac{1}{8}$ भाग है।
दूसरे नल द्वारा टंकी को खाली करने की दर प्रति घंटा $\frac{1}{16}$ भाग है।
जब दोनों नलों को एक साथ खोला जाता है,तो भरने की शुद्ध दर $\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$ भाग प्रति घंटा होती है।
अतः,टंकी को भरने में लगने वाला समय शुद्ध दर का व्युत्क्रम है,जो $16$ $\text{घंटे}$ है।

(B) माना टंकी की क्षमता $15$ और $10$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है, जो $30$ इकाई है。
पहले पाइप की दक्षता $= 30 / 15 = 2$ इकाई प्रति घंटा。
दूसरे पाइप की दक्षता $= 30 / 10 = 3$ इकाई प्रति घंटा。
दोनों पाइपों की संयुक्त दक्षता $= 2 + 3 = 5$ इकाई प्रति घंटा。
पूरी टंकी को खाली करने में लगा समय $= \text{कुल क्षमता} / \text{संयुक्त दक्षता} = 30 / 5 = 6$ $hrs$。

(C) पाइप $A$ टंकी को $20$ $minutes$ में भरता है,इसलिए इसकी कार्यक्षमता $\frac{1}{20}$ भाग प्रति $minute$ है।
पाइप $B$ टंकी को $25$ $minutes$ में भरता है,इसलिए इसकी कार्यक्षमता $\frac{1}{25}$ भाग प्रति $minute$ है।
जब दोनों को एक साथ खोला जाता है,तो संयुक्त कार्यक्षमता $\frac{1}{20} + \frac{1}{25} = \frac{5+4}{100} = \frac{9}{100}$ भाग प्रति $minute$ होती है।
$5$ $minutes$ में भरा गया भाग $5 \times \frac{9}{100} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ भाग है।
शेष भाग $1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$ भाग है।
चूंकि पाइप $B$ बंद कर दिया गया है,पाइप $A$ शेष $\frac{11}{20}$ भाग को भरेगा।
पाइप $A$ द्वारा लिया गया समय $= \frac{\text{शेष भाग}}{\text{पाइप } A \text{ \text{की कार्यक्षमता}}} = \frac{11/20}{1/20} = 11$ $minutes$.

(C) कार्य-समय सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{M_1 D_1 H_1}{W_1} = \frac{M_2 D_2 H_2}{W_2}$
दिया गया है:
$M_1 = 12$ (पंपों की संख्या)
$D_1 = 15$ (दिन)
$H_1 = 6$ (प्रतिदिन घंटे)
$W_1 = 1$ (जलाशय)
दूसरे मामले के लिए:
$M_2 = x$ (पंपों की संख्या)
$D_2 = 12$ (दिन)
$H_2 = 9$ (प्रतिदिन घंटे)
$W_2 = 1$ (वही जलाशय)
सूत्र में मान रखने पर:
$12 \times 15 \times 6 = x \times 12 \times 9$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{12 \times 15 \times 6}{12 \times 9}$
$x = \frac{15 \times 6}{9}$
$x = \frac{90}{9} = 10$
अतः,$10$ पंपों की आवश्यकता होगी।

(C) माना टंकी की क्षमता $C$ लीटर है।
रिसाव की दर $= \frac{C}{8}$ लीटर प्रति घंटा।
नल की दर $= 6 \times 60 = 360$ लीटर प्रति घंटा।
जब दोनों खुले हों,तो खाली होने की शुद्ध दर $\frac{C}{12}$ लीटर प्रति घंटा है।
समीकरण: $\frac{C}{8} - 360 = \frac{C}{12}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{C}{8} - \frac{C}{12} = 360$।
$\frac{3C - 2C}{24} = 360$।
$\frac{C}{24} = 360$।
$C = 360 \times 24 = 8640$ लीटर।
अतः,टंकी में $8640$ लीटर पानी आता है।

(A) मान लीजिए टंकी की क्षमता $1$ इकाई है।
पहले नल की दर (भरने की) $= \frac{1}{8}$ इकाई प्रति घंटा।
दूसरे नल की दर (खाली करने की) $= \frac{1}{16}$ इकाई प्रति घंटा।
जब दोनों नलों को एक साथ खोला जाता है,तो भरने की शुद्ध दर $= \frac{1}{8} - \frac{1}{16}$ इकाई प्रति घंटा।
शुद्ध दर $= \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$ इकाई प्रति घंटा।
टंकी को भरने में लगा समय $= \frac{\text{कुल क्षमता}}{\text{शुद्ध दर}} = \frac{1}{1/16} = 16$ घंटे।

(C) मान लीजिए कि टंकी की क्षमता $5$ और $4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $20$ इकाई है।
भरने वाले पाइप $(A)$ की दक्षता $= 20 / 5 = 4$ इकाई प्रति घंटा।
खाली करने वाले पाइप $(B)$ की दक्षता $= 20 / 4 = 5$ इकाई प्रति घंटा।
जब दोनों पाइप खोले जाते हैं,तो प्रति घंटा टंकी में शुद्ध परिवर्तन $= 4 - 5 = -1$ इकाई प्रति घंटा।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि टंकी खाली हो रही है।
चूंकि टंकी पहले से ही भरी हुई ($20$ इकाई) है,इसलिए इसे खाली करने में लगा समय $= 20 / 1 = 20$ घंटे।

(A) माना टंकी की कुल क्षमता $15, 12,$ और $20$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $60$ इकाई है।
पहले पाइप की कार्यक्षमता $= 60 / 15 = 4$ इकाई/घंटा।
दूसरे पाइप की कार्यक्षमता $= 60 / 12 = 5$ इकाई/घंटा।
तीसरे पाइप की कार्यक्षमता (खाली करने के लिए) $= - (60 / 20) = -3$ इकाई/घंटा।
जब तीनों पाइप एक साथ खोले जाते हैं,तो कुल कार्यक्षमता $= 4 + 5 - 3 = 6$ इकाई/घंटा।
टंकी को भरने में लगा समय $= \text{कुल क्षमता} / \text{कुल कार्यक्षमता} = 60 / 6 = 10$ घंटे।

(B) मान लीजिए टंकी की क्षमता $60$ और $70$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $420$ इकाई है।
पाइप $A$ की दक्षता = $420 / 60 = 7$ इकाई/मिनट।
पाइप $B$ की दक्षता = $420 / 70 = 6$ इकाई/मिनट।
मान लीजिए तीसरी पाइप (खाली करने वाली पाइप) की दक्षता $x$ इकाई/मिनट है।
जब तीनों पाइप खुले होते हैं,तो शुद्ध दक्षता = $7 + 6 - x = 13 - x$ इकाई/मिनट।
टंकी $60$ मिनट में भर जाती है,इसलिए शुद्ध दक्षता = $420 / 60 = 7$ इकाई/मिनट।
दोनों को बराबर करने पर: $13 - x = 7$,जिससे $x = 6$ इकाई/मिनट प्राप्त होता है।
तीसरी पाइप द्वारा पूरी टंकी को खाली करने में लगा समय = कुल क्षमता / तीसरी पाइप की दक्षता = $420 / 6 = 70$ मिनट।

(D) पाइप $A$ टंकी को $37 \frac{1}{2} = 75/2$ मिनट में भरता है। अतः,पाइप $A$ की दर $2/75$ टंकी प्रति मिनट है।
पाइप $B$ टंकी को $45$ मिनट में भरता है। अतः,पाइप $B$ की दर $1/45$ टंकी प्रति मिनट है।
मान लीजिए कि पाइप $B$ को $x$ मिनट बाद बंद कर दिया जाता है। पाइप $A$ पूरे $30$ मिनट के लिए खुला रहता है।
पाइप $A$ और पाइप $B$ द्वारा किया गया कुल कार्य $1$ (पूरी टंकी) के बराबर होना चाहिए।
$30$ मिनट में $A$ द्वारा किया गया कार्य + $x$ मिनट में $B$ द्वारा किया गया कार्य = $1$.
$30 \times (2/75) + x \times (1/45) = 1$.
$(60/75) + x/45 = 1$.
$4/5 + x/45 = 1$.
$x/45 = 1 - 4/5 = 1/5$.
$x = 45/5 = 9$ मिनट।
अतः,पाइप $B$ को $9$ मिनट बाद बंद कर देना चाहिए।

(B) माना टैंकर को भरने में लगा कुल समय $x$ मिनट है।
नल $A$ की दर $\frac{1}{60}$ टैंकर प्रति मिनट है।
नल $B$ की दर $\frac{1}{40}$ टैंकर प्रति मिनट है।
नल $A$ और $B$ की संयुक्त दर $\frac{1}{60} + \frac{1}{40} = \frac{2+3}{120} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$ टैंकर प्रति मिनट है।
प्रश्न के अनुसार,नल $B$ का उपयोग $\frac{x}{2}$ मिनट के लिए किया जाता है और शेष $\frac{x}{2}$ मिनट के लिए नल $A$ और $B$ दोनों का उपयोग किया जाता है।
नल $B$ द्वारा किया गया कार्य + $(A+B)$ द्वारा किया गया कार्य = $1$ (पूरा टैंकर)।
$\frac{x}{2} \times \frac{1}{40} + \frac{x}{2} \times \frac{1}{24} = 1$
$\frac{x}{80} + \frac{x}{48} = 1$
$80$ और $48$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $240$ लेने पर:
$\frac{3x + 5x}{240} = 1$
$\frac{8x}{240} = 1$
$\frac{x}{30} = 1$
$x = 30$ मिनट।

(A) माना टंकी की क्षमता $15$ और $18$ का ल.स.प. है,जो $90$ इकाई है।
नल $A$ की दक्षता $= 90 / 15 = 6$ इकाई/मिनट।
नल $B$ की दक्षता $= 90 / 18 = 5$ इकाई/मिनट।
$A$ और $B$ की संयुक्त दक्षता $= 6 + 5 = 11$ इकाई/मिनट।
$6$ मिनट में,नल $A$ और $B$ द्वारा भरा गया पानी $= 11 \times 6 = 66$ इकाई।
माना तीसरे नल की दक्षता (खाली करने की) $E$ इकाई/मिनट है।
तीसरा नल खुलने के बाद,शुद्ध दर $(11 - E)$ इकाई/मिनट है।
तीसरा नल खुलने के $16.5$ मिनट बाद टंकी खाली हो जाती है,जिसका अर्थ है कि $66$ इकाई पानी $(E - 11)$ की दर से खाली किया जाता है।
$66 = (E - 11) \times 16.5$
$E - 11 = 66 / 16.5 = 4$
$E = 15$ इकाई/मिनट।
तीसरे नल द्वारा पूरी टंकी को खाली करने में लगा समय $= 90 / 15 = 6$ मिनट।

(C) माना टंकी की कुल क्षमता $1$ इकाई है।
पाइप $A, B$ और $C$ की संयुक्त दक्षता $\frac{1}{6}$ टंकी प्रति घंटा है।
$2$ घंटे में, $A, B$ और $C$ द्वारा भरा गया टंकी का भाग $2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ है।
टंकी का शेष भाग $= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
यह शेष $\frac{2}{3}$ भाग $A$ और $B$ द्वारा $7$ घंटे में भरा जाता है।
इसलिए, $A$ और $B$ की संयुक्त दक्षता $\frac{2/3}{7} = \frac{2}{21}$ टंकी प्रति घंटा है।
पाइप $C$ की दक्षता $= (A+B+C \text{ \text{की दक्षता}}) - (A+B \text{ \text{की दक्षता}})$.
$C$ की दक्षता $= \frac{1}{6} - \frac{2}{21} = \frac{7 - 4}{42} = \frac{3}{42} = \frac{1}{14}$ टंकी प्रति घंटा है।
अतः, पाइप $C$ अकेले टंकी को $14$ घंटे में भर सकता है।

(D) माना टंकी की कुल क्षमता $4, 6$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $12$ इकाई है।
नल $A$ की कार्यक्षमता = $12 / 4 = 3$ इकाई/घंटा।
नल $B$ की कार्यक्षमता = $12 / 6 = 2$ इकाई/घंटा।
नल $C$ की कार्यक्षमता = $-12 / 3 = -4$ इकाई/घंटा (क्योंकि यह टंकी को खाली करता है)।
जब तीनों नल एक साथ खोले जाते हैं,तो कुल कार्यक्षमता = $3 + 2 - 4 = 1$ इकाई/घंटा।
टंकी को भरने में लगा समय = कुल क्षमता / कुल कार्यक्षमता = $12 / 1 = 12$ घंटे।

(B) माना कि टंकी की कुल क्षमता $6$ और $5$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $30$ इकाई है।
नल $A$ की कार्यक्षमता (भरने के लिए) $= 30 / 6 = 5$ इकाई/घंटा।
नल $B$ की कार्यक्षमता (खाली करने के लिए) $= 30 / 5 = 6$ इकाई/घंटा।
जब दोनों नलों को एक साथ खोला जाता है,तो शुद्ध प्रवाह दर $= 5 - 6 = -1$ इकाई/घंटा।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि टंकी खाली हो रही है।
चूंकि शुद्ध दर $1$ इकाई/घंटा (खाली होने की) है,इसलिए पूरी तरह भरी हुई टंकी को खाली करने में लगा समय $= 30 / 1 = 30$ घंटे है।

(C) पंपों की संख्या $(P)$,समय $(T)$,और क्षमता $(C)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{P_1 \times T_1}{C_1} = \frac{P_2 \times T_2}{C_2}$.
दिया गया है:
$P_1 = 18, T_1 = 5 \text{ घंटे}, C_1 = 1440 \text{ kilo liter}$.
$P_2 = 8, C_2 = 1920 \text{ kilo liter}, T_2 = x$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{18 \times 5}{1440} = \frac{8 \times x}{1920}$.
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = \frac{18 \times 5 \times 1920}{1440 \times 8}$.
$x = \frac{90 \times 1920}{11520}$.
$x = \frac{172800}{11520} = 15 \text{ घंटे}$.

(D) दो पाइपों द्वारा $1 \text{ h}$ में भरा गया टंकी का भाग = $\frac{1}{14} + \frac{1}{16} = \frac{8 + 7}{112} = \frac{15}{112}$.
बिना रिसाव के टंकी को भरने में लगा समय = $\frac{112}{15} \text{ h} = \frac{112}{15} \times 60 \text{ min} = 448 \text{ min}$.
रिसाव के कारण,टंकी को भरने में लगा समय = $448 + 92 = 540 \text{ min} = 9 \text{ h}$.
मान लीजिए कि रिसाव टंकी को $x \text{ h}$ में खाली कर देता है।
$1 \text{ h}$ में किया गया शुद्ध कार्य = $\frac{1}{9}$.
अतः,$\frac{15}{112} - \frac{1}{x} = \frac{1}{9}$.
$\frac{1}{x} = \frac{15}{112} - \frac{1}{9} = \frac{135 - 112}{1008} = \frac{23}{1008}$.
$x = \frac{1008}{23} = 43 \frac{19}{23} \text{ h}$.

(C) पाइप $P$ की दक्षता $= \frac{1}{12}$ टंकी प्रति मिनट।
पाइप $R$ की दक्षता $= \frac{1}{15}$ टंकी प्रति मिनट।
पाइप $M$ की दक्षता $= -\frac{1}{6}$ टंकी प्रति मिनट (खाली करने के लिए)।
$5$ मिनट में $P$ और $R$ द्वारा किया गया कार्य $= 5 \times (\frac{1}{12} + \frac{1}{15}) = 5 \times (\frac{5+4}{60}) = 5 \times \frac{9}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ टंकी।
जब तीनों पाइप खुले होते हैं,तो शुद्ध दक्षता $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} - \frac{1}{6} = \frac{5+4-10}{60} = -\frac{1}{60}$ टंकी प्रति मिनट।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि टंकी $\frac{1}{60}$ टंकी प्रति मिनट की दर से खाली हो रही है।
टंकी के $\frac{3}{4}$ भाग को खाली करने में लगा समय $= \frac{3/4}{1/60} = \frac{3}{4} \times 60 = 45$ मिनट।

(C) नल से पानी के प्रवाह की दर उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है।
चूंकि नल वृत्ताकार है,क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ होता है।
अतः,प्रवाह की दर व्यास के वर्ग के समानुपाती होती है $(Rate \propto d^2)$।
माना पहले नल की दर $R_1$ है और दूसरे नल की दर $R_2$ है।
$R_1 \propto d^2$ और $R_2 \propto (2d)^2 = 4d^2$।
इसका अर्थ है कि $R_2 = 4R_1$,जिसका तात्पर्य है कि दूसरा नल पहले नल की तुलना में $4$ गुना तेज है।
लिया गया समय प्रवाह की दर के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(Time \propto 1/Rate)$।
यदि पहला नल $T_1 = 40$ $min$ लेता है,तो दूसरा नल $T_2 = T_1 / 4$ समय लेगा।
$T_2 = 40 / 4 = 10$ $min$।

(A) माना कि तेज पाइप टंकी को $x$ $h$ में भरता है। तब,धीमा पाइप इसे $(x + 10)$ $h$ में भरेगा।
दोनों पाइपों की संयुक्त दर $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12}$ है।
$12x(x + 10)$ से गुणा करने पर: $12(x + 10) + 12x = x(x + 10)$.
$12x + 120 + 12x = x^2 + 10x$.
$24x + 120 = x^2 + 10x$.
द्विघात समीकरण में व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 14x - 120 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $x^2 - 20x + 6x - 120 = 0$.
$x(x - 20) + 6(x - 20) = 0$.
$(x - 20)(x + 6) = 0$.
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 20$.
अतः,तेज पाइप को टंकी भरने में $20$ $h$ का समय लगता है।

(B) पाइप $A$ टंकी को $15 \text{ min}$ में भरता है,इसलिए इसकी दर प्रति मिनट टंकी का $\frac{1}{15}$ भाग है।
पाइप $B$ टंकी को $20 \text{ min}$ में भरता है,इसलिए इसकी दर प्रति मिनट टंकी का $\frac{1}{20}$ भाग है।
दोनों पाइपों को $2 \text{ min}$ के लिए खोला जाता है। $2 \text{ min}$ में दोनों पाइपों द्वारा किया गया कार्य $2 \times (\frac{1}{15} + \frac{1}{20}) = 2 \times (\frac{4+3}{60}) = 2 \times \frac{7}{60} = \frac{7}{30}$ है।
पाइप $B$ द्वारा भरा जाने वाला शेष कार्य $1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30}$ है।
शेष भाग को भरने के लिए पाइप $B$ द्वारा लिया गया समय $\frac{23/30}{1/20} = \frac{23}{30} \times 20 = \frac{46}{3} \text{ min}$ है।
कुल समय = (दोनों पाइपों के खुले रहने का समय) + (पाइप $B$ के अकेले खुले रहने का समय) = $2 + \frac{46}{3} = \frac{6+46}{3} = \frac{52}{3} \text{ min}$.

(D) माना टंकी की कुल क्षमता $24$ और $32$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ है,जो $96$ इकाई है।
पाइप $A$ की कार्यक्षमता $= 96 / 24 = 4$ इकाई/मिनट।
पाइप $B$ की कार्यक्षमता $= 96 / 32 = 3$ इकाई/मिनट।
माना पाइप $B$ को $x$ मिनट बाद बंद कर दिया जाता है। पाइप $A$ पूरे $9$ मिनट के लिए खुला रहता है।
पाइप $A$ द्वारा $9$ मिनट में किया गया कार्य $= 9 \times 4 = 36$ इकाई।
पाइप $B$ द्वारा किया जाने वाला शेष कार्य $= 96 - 36 = 60$ इकाई।
पाइप $B$ द्वारा $60$ इकाई कार्य पूरा करने में लगा समय $= 60 / 3 = 20$ मिनट।
अतः,पाइप $B$ को $20$ मिनट बाद बंद कर दिया जाना चाहिए।

(C) $A, B$ और $C$ द्वारा $3 \text{ min}$ के चक्र में किया गया कार्य:
$\frac{1}{20} + \frac{1}{30} - \frac{1}{15} = \frac{3 + 2 - 4}{60} = \frac{1}{60}$ भाग टंकी भरती है।
अंत में टंकी खाली न हो,इसके लिए हम क्षमता के करीब पहुंचने का समय निकालते हैं। मान लीजिए $n$ चक्रों की संख्या है।
$3n$ मिनट में,भरी गई टंकी $\frac{n}{60}$ है।
हमें यह सुनिश्चित करना होगा कि $A$ और $B$ के काम करने के बाद टंकी भर जाए। अंतिम दो चरणों से पहले भरने की क्षमता $1 - (\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) = 1 - \frac{5}{60} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ है।
$\frac{n}{60} \approx \frac{11}{12} \implies n = 55$.
$55 \times 3 = 165 \text{ min}$ में,$\frac{55}{60} = \frac{11}{12}$ भाग टंकी भर जाती है।
शेष भाग $= 1 - \frac{11}{12} = \frac{1}{12}$.
$166$ वें मिनट में,पाइप $A$ ने $\frac{1}{20}$ भाग भरा। शेष $= \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5-3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$.
$167$ वें मिनट में,पाइप $B$ शेष $\frac{1}{30}$ भाग भरता है।
कुल समय $= 165 + 1 + 1 = 167 \text{ min}$.

(D) माना टंकी की क्षमता $1$ इकाई है।
नल $A$ की सामान्य दर $= \frac{1}{25}$ टंकी प्रति मिनट।
नल $B$ की सामान्य दर $= \frac{1}{20}$ टंकी प्रति मिनट।
गलत तरीके से खुलने के कारण,नल $A$ की वास्तविक दर $= \frac{1}{25} \times \frac{5}{6} = \frac{1}{30}$ टंकी प्रति मिनट।
नल $B$ की वास्तविक दर $= \frac{1}{20} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{30}$ टंकी प्रति मिनट।
दोनों नलों की संयुक्त दर $= \frac{1}{30} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ टंकी प्रति मिनट।
अतः,टंकी को भरने में लगा समय $= \frac{1}{1/15} = 15$ $min$।

(B) नल $A$ द्वारा $1$ मिनट में भरा गया टंकी का भाग $\frac{1}{20}$ है।
नल $B$ द्वारा $1$ मिनट में भरा गया टंकी का भाग $\frac{1}{15}$ है।
नल $C$ द्वारा $1$ मिनट में भरा गया टंकी का भाग $\frac{1}{12}$ है।
जब तीनों नलों को एक साथ खोला जाता है,तो $1$ मिनट में भरा गया टंकी का कुल भाग $\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 4 + 5}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$ है।
इसका अर्थ है कि पूरी टंकी को भरने में लगा कुल समय $5$ मिनट है।
टंकी का $40 \%$ भाग भरने के लिए आवश्यक समय $5 \times \frac{40}{100} = 5 \times 0.4 = 2$ मिनट है।

(D) मान लीजिए टंकी की क्षमता $4, 5,$ और $2$ का ल.स.प. है,जो $20$ इकाई है।
पाइप $A$ की दक्षता $= 20/4 = 5$ इकाई/$min$ है।
पाइप $B$ की दक्षता $= 20/5 = 4$ इकाई/$min$ है।
पाइप $C$ (खाली करने वाला) की दक्षता $= 20/2 = 10$ इकाई/$min$ है।
पहले $2$ $min$ में,पाइप $A$ और $B$ खुले हैं। कुल किया गया कार्य $= (5 + 4) \times 2 = 18$ इकाई है।
जब तीसरा पाइप खोला जाता है,तो शुद्ध दक्षता $= 5 + 4 - 10 = -1$ इकाई/$min$ होती है।
इसका मतलब है कि टंकी $1$ इकाई/$min$ की दर से खाली हो रही है।
$18$ इकाई को खाली करने में लगा समय $= 18 / 1 = 18$ $min$ है।

(C) जब सभी नल खुले होते हैं,तो टैंक में पानी के प्रवाह की शुद्ध दर इनलेट नलों की दर को जोड़कर और आउटलेट नल की दर को घटाकर निकाली जाती है।
शुद्ध दर $= 42 \ L/h + 56 \ L/h - 48 \ L/h = 50 \ L/h$.
चूंकि इस शुद्ध दर पर टैंक $16 \ h$ में भर जाता है,इसलिए टैंक की कुल क्षमता शुद्ध दर और लिए गए समय का गुणनफल है।
क्षमता $= 50 \ L/h \times 16 \ h = 800 \ L$.

(C) लड़के द्वारा पानी डालने की दर $\frac{4}{3}$ लीटर प्रति मिनट है।
लड़की द्वारा पानी डालने की दर $\frac{3}{4}$ लीटर प्रति मिनट है।
लड़के और लड़की की संयुक्त दर = $\frac{4}{3} + \frac{3}{4}$ लीटर प्रति मिनट।
इन भिन्नों को जोड़ने के लिए,सामान्य हर $12$ लेते हुए: $\frac{16}{12} + \frac{9}{12} = \frac{25}{12}$ लीटर प्रति मिनट।
भरने के लिए कुल आयतन = $100$ लीटर।
आवश्यक समय = $\frac{\text{कुल आयतन}}{\text{संयुक्त दर}} = \frac{100}{\frac{25}{12}} = 100 \times \frac{12}{25} = 4 \times 12 = 48$ मिनट।

(A) माना कि इनलेट पाइप टैंक को $x$ घंटों में भरता है।
रिसाव प्रवाह के आधे के बराबर है,इसलिए भरने की प्रभावी दर $1 - 1/2 = 1/2$ हो जाती है।
रिसाव के साथ टैंक को भरने में लगा समय = $2x$ घंटे।
प्रश्न के अनुसार,रिसाव के कारण टैंक को भरने में $36$ घंटे अतिरिक्त लगते हैं:
$2x - x = 36$
$x = 36$ घंटे।
अतः,इनलेट पाइप अकेले टैंक को $36$ घंटों में भर सकता है।

(D) निकाले गए पानी का आयतन $11 \ \text{लीटर}$ है। चूँकि $1 \ \text{लीटर} = 1000 \ \text{cm}^3$,इसलिए निकाला गया आयतन $11000 \ \text{cm}^3$ है।
बेलन के आयतन का सूत्र $V = \pi r^2 h$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है और $h$ पानी के स्तर में गिरावट है।
व्यास $25 \ \text{cm}$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $r = 25/2 \ \text{cm}$ है।
मान रखने पर: $11000 = (22/7) \times (25/2)^2 \times h$.
$11000 = (22/7) \times (625/4) \times h$.
$h$ के लिए हल करने पर: $h = (11000 \times 7 \times 4) / (22 \times 625)$.
$h = 308000 / 13750 = 22.4 \ \text{cm}$.
$22.4 \ \text{cm}$ को $22 \frac{2}{5} \ \text{cm}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) पाइप $A$ द्वारा $1$ $hour$ में भरा गया टंकी का भाग $\frac{1}{36}$ है।
पाइप $B$ द्वारा $1$ $hour$ में भरा गया टंकी का भाग $\frac{1}{45}$ है।
जब दोनों पाइपों को एक साथ खोला जाता है,तो $1$ $hour$ में भरा गया टंकी का भाग $\frac{1}{36} + \frac{1}{45}$ होगा।
$36$ और $45$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $180$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{5 + 4}{180} = \frac{9}{180} = \frac{1}{20}$.
अतः,टंकी को भरने में लगा कुल समय $1$ $hour$ में किए गए कार्य का व्युत्क्रम है,जो $20$ $hours$ है।

(C) माना तीन पाइपों के व्यास $d_1 = 1 \text{ cm}$,$d_2 = 4/3 \text{ cm}$ और $d_3 = 2 \text{ cm}$ हैं।
चूंकि पानी का प्रवाह व्यास के वर्ग के समानुपाती है,प्रवाह की दर $R$ इस प्रकार है: $R_1 \propto 1^2$,$R_2 \propto (4/3)^2 = 16/9$,और $R_3 \propto 2^2 = 4$.
दिया गया है कि सबसे बड़ा पाइप $(d_3 = 2 \text{ cm})$ टंकी को $61 \text{ मिनट}$ में भरता है,इसलिए इसकी दर $R_3 = 1/61$ टंकी प्रति मिनट है।
चूंकि $R_3 = k \cdot 4 = 1/61$,इसलिए स्थिरांक $k = 1/(61 \times 4)$ है।
अतः,$R_1 = 1 \times k = 1/(61 \times 4) = 1/244$ टंकी प्रति मिनट।
$R_2 = (16/9) \times k = (16/9) \times (1/244) = 4/(9 \times 61) = 4/549$ टंकी प्रति मिनट।
एक साथ चलाने पर कुल दर: $R_{total} = R_1 + R_2 + R_3 = \frac{1}{244} + \frac{4}{549} + \frac{1}{61}$।
समान हर लेने पर ($244 = 4 \times 61$ और $549 = 9 \times 61$): $R_{total} = \frac{9 + 16 + 36}{36 \times 61} = \frac{61}{36 \times 61} = \frac{1}{36}$।
अतः,टंकी $36 \text{ मिनट}$ में भर जाएगी।

(C) दोनों पाइपों द्वारा $1$ $hr$ में टंकी का भरा गया भाग = $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ भाग।
टंकी का $\frac{1}{3}$ भाग भरने में लगा समय = $\frac{1/3}{1/12} = 4$ $hrs$।
जब टंकी $\frac{1}{3}$ भर जाती है,तो रिसाव शुरू हो जाता है। रिसाव दोनों पाइपों द्वारा प्रति घंटे आपूर्ति किए गए पानी का $\frac{1}{3}$ हिस्सा बाहर निकाल देता है।
रिसाव के बाद भरने की शुद्ध दर = $(\text{दोनों पाइपों की दर}) - (\text{रिसाव की दर}) = \frac{1}{12} - (\frac{1}{3} \times \frac{1}{12}) = \frac{1}{12} - \frac{1}{36} = \frac{3-1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ भाग प्रति घंटा।
टंकी का शेष भाग जिसे भरना है = $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
शेष $\frac{2}{3}$ भाग को भरने में लगा समय = $\frac{2/3}{1/18} = \frac{2}{3} \times 18 = 12$ $hrs$।
कुल समय = $4$ $hrs + 12$ $hrs = 16$ $hrs$।

(B) पाइप $A$ द्वारा $1 \text{ घंटे}$ में भरा गया टंकी का भाग $\frac{1}{4}$ है।
पाइप $B$ द्वारा $1 \text{ घंटे}$ में भरा गया टंकी का भाग $\frac{1}{6}$ है।
पाइप $C$ द्वारा $1 \text{ घंटे}$ में खाली किया गया टंकी का भाग $\frac{1}{8}$ है।
जब तीनों पाइप एक साथ खोले जाते हैं,तो $1 \text{ घंटे}$ में भरा गया कुल भाग $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8}$ होगा।
$4, 6$ और $8$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $24$ है:
$1 \text{ घंटे}$ में भरा गया कुल भाग $= \frac{6 + 4 - 3}{24} = \frac{7}{24}$.
अतः,टंकी को भरने में लगा कुल समय $1 \text{ घंटे}$ में भरे गए भाग का व्युत्क्रम होगा:
$\text{समय} = \frac{24}{7} = 3 \frac{3}{7} \text{ घंटे}$.

(B) मान लीजिए कि तेज पाइप जलाशय को $x$ घंटों में भरता है।
तो,धीमा पाइप इसे $(x + 5)$ घंटों में भरेगा।
दिया गया है कि जब दोनों पाइप एक साथ काम करते हैं,तो जलाशय $6$ घंटों में भर जाता है।
इसलिए,तेज पाइप की दर $1/x$ है और धीमे पाइप की दर $1/(x + 5)$ है।
संयुक्त दर $1/x + 1/(x + 5) = 1/6$ है।
समीकरण को हल करने पर: $(x + 5 + x) / (x(x + 5)) = 1/6$.
$6(2x + 5) = x^2 + 5x$.
$12x + 30 = x^2 + 5x$.
$x^2 - 7x - 30 = 0$.
$(x - 10)(x + 3) = 0$.
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x = 10$.
अतः,तेज पाइप को जलाशय भरने में $10$ घंटे लगते हैं।

(B) माना टंकी की कुल क्षमता $1$ इकाई है।
पाइप $A, B$ और $C$ की संयुक्त दर $\frac{1}{6}$ इकाई प्रति घंटा है।
$2$ घंटों में,$A, B$ और $C$ द्वारा एक साथ भरा गया भाग $2 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ इकाई है।
शेष भाग $= 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ इकाई।
यह शेष $\frac{2}{3}$ भाग $A$ और $B$ द्वारा $8$ घंटों में भरा जाता है।
अतः,$(A + B)$ की दर $= \frac{2/3}{8} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$ इकाई प्रति घंटा।
चूंकि $(A + B + C)$ की दर $= \frac{1}{6}$ और $(A + B) = \frac{1}{12}$ है,इसलिए पाइप $C$ की दर $\frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2-1}{12} = \frac{1}{12}$ इकाई प्रति घंटा है।
इस प्रकार,पाइप $C$ अकेले टंकी को $12$ घंटों में भर सकता है।