Pipes and Cistern Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ઝડપી પાઇપ ટાંકીને $x$ મિનિટમાં ભરે છે.
તેથી,ધીમી પાઇપ ટાંકીને $3x$ મિનિટમાં ભરશે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને પાઇપનો સંયુક્ત દર $\frac{1}{x} + \frac{1}{3x} = \frac{1}{36}$ છે.
$3x$ વડે ગુણતા,આપણને $3 + 1 = \frac{3x}{36}$ મળે છે.
$4 = \frac{x}{12}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 48$ મિનિટ.
ધીમી પાઇપને ટાંકી ભરવા માટે $3x$ મિનિટ લાગે છે.
તેથી,ધીમી પાઇપ દ્વારા લેવામાં આવતો સમય $3 \times 48 = 144$ મિનિટ છે.

(B) પાઇપ $A, B$ અને $C$ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો દર અનુક્રમે પ્રતિ મિનિટ $\frac{1}{30}, \frac{1}{20}$ અને $\frac{1}{10}$ ભાગ છે.
ત્રણેય પાઇપ દ્વારા એક મિનિટમાં ભરાયેલ ટાંકીનો કુલ ભાગ $\frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 3 + 6}{60} = \frac{11}{60}$ છે.
ટાંકીમાં છોડવામાં આવતા દ્રાવણ $P, Q$ અને $R$ ના કદનો ગુણોત્તર પાઇપના દરના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય છે: $\frac{1}{30} : \frac{1}{20} : \frac{1}{10} = 2 : 3 : 6$.
જેহেতু પાઇપ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે અને સમાન સમય ($3$ મિનિટ) માટે ચાલે છે,તેથી મિશ્રણમાં દરેક દ્રાવણનું પ્રમાણ કુલ ભરાયેલા જથ્થાને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન રહે છે.
તેથી,પ્રવાહીમાં દ્રાવણ $R$ નું પ્રમાણ $\frac{6}{2 + 3 + 6} = \frac{6}{11}$ છે.

(B) ધારો કે ટાંકી ભરવા માટેનો કુલ સમય $30$ મિનિટ છે.
ધારો કે પાઇપ $B$ ને $x$ મિનિટ પછી બંધ કરવામાં આવે છે.
પાઇપ $A$ આખી $30$ મિનિટ માટે કામ કરે છે,જ્યારે પાઇપ $B$ ફક્ત $x$ મિનિટ માટે કામ કરે છે.
પાઇપ $A$ નો દર $\frac{1}{37.5} = \frac{2}{75}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
પાઇપ $B$ નો દર $\frac{1}{45}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$\left(\frac{2}{75} \times 30\right) + \left(\frac{1}{45} \times x\right) = 1$
$\Rightarrow \frac{60}{75} + \frac{x}{45} = 1$
$\Rightarrow \frac{4}{5} + \frac{x}{45} = 1$
$\Rightarrow \frac{x}{45} = 1 - \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{x}{45} = \frac{1}{5}$
$\Rightarrow x = \frac{45}{5} = 9$ મિનિટ.
આમ,પાઇપ $B$ ને $9$ મિનિટ પછી બંધ કરવી જોઈએ.

(D) નળ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= \frac{1}{12}$ ટાંકી/કલાક,નળ $B = \frac{1}{15}$ ટાંકી/કલાક,અને નળ $C = \frac{1}{20}$ ટાંકી/કલાક છે.
પ્રથમ કલાકમાં,$A$ અને $B$ ખુલ્લા છે. ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$ ભાગ.
બીજા કલાકમાં,$A$ અને $C$ ખુલ્લા છે. ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{5+3}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ ભાગ.
આમ,$2$ કલાકના એક ચક્રમાં,ભરાયેલ કુલ ટાંકીનો ભાગ $= \frac{3}{20} + \frac{2}{15} = \frac{9+8}{60} = \frac{17}{60}$ ભાગ.
આવા $3$ ચક્રમાં ($6$ કલાકમાં),ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= 3 \times \frac{17}{60} = \frac{17}{20}$ ભાગ.
બાકી રહેલ ટાંકીનો ભાગ $= 1 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20}$ ભાગ.
$7$ મા કલાકમાં,$A$ અને $B$ ને ખોલવામાં આવે છે. તેઓ $\frac{3}{20}$ ભાગની ટાંકી બરાબર $1$ કલાકમાં ભરી દેશે.
તેથી,કુલ લાગતો સમય $= 6 + 1 = 7$ કલાક.

(B) ધારો કે પાઈપ $C$ ને એકલી ટાંકી ખાલી કરતા લાગતો સમય $x$ $minutes$ છે.
પાઈપ $A$ દ્વારા ભરાવાનો દર $1$ $minute$ માં ટાંકીનો $\frac{1}{60}$ ભાગ છે.
પાઈપ $B$ દ્વારા ભરાવાનો દર $1$ $minute$ માં ટાંકીનો $\frac{1}{75}$ ભાગ છે.
પાઈપ $C$ દ્વારા ખાલી થવાનો દર $1$ $minute$ માં ટાંકીનો $\frac{1}{x}$ ભાગ છે.
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ટાંકી ભરાવાનો ચોખ્ખો દર $1$ $minute$ માં $\frac{1}{50}$ ભાગ છે.
તેથી,સમીકરણ: $\frac{1}{60} + \frac{1}{75} - \frac{1}{x} = \frac{1}{50}$ થશે.
$\frac{1}{x}$ માટે ઉકેલતા:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{60} + \frac{1}{75} - \frac{1}{50}$.
$60, 75$ અને $50$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $300$ છે.
$\frac{1}{x} = \frac{5 + 4 - 6}{300} = \frac{3}{300} = \frac{1}{100}$.
આમ,$x = 100$ $minutes$.

(C) ધારો કે પાઇપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $1$ એકમ/કલાક છે.
પાઇપ $B$ એ $A$ કરતા બમણી ઝડપી હોવાથી,$B$ ની કાર્યક્ષમતા $2$ એકમ/કલાક છે.
પાઇપ $C$ એ $B$ કરતા બમણી ઝડપી હોવાથી,$C$ ની કાર્યક્ષમતા $4$ એકમ/કલાક છે.
ત્રણેય પાઇપની કુલ કાર્યક્ષમતા $(A + B + C) = 1 + 2 + 4 = 7$ એકમ/કલાક.
ટાંકી $5$ કલાકમાં ભરાય છે,તેથી ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $= 7 \times 5 = 35$ એકમ.
પાઇપ $A$ ને એકલાને ટાંકી ભરતા લાગતો સમય $= \frac{\text{કુલ ક્ષમતા}}{\text{A ની કાર્યક્ષમતા}} = \frac{35}{1} = 35$ કલાક.

(C) ધારો કે $A$ ને એકલા ટાંકી ભરતા $x$ કલાક લાગે છે.
તેથી,$B$ ને એકલા ટાંકી ભરતા $(x+6)$ કલાક લાગે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંનેનો સંયુક્ત દર $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}$ છે.
$4x(x+6)$ વડે ગુણતા,$4(x+6) + 4x = x(x+6)$ મળે.
$4x + 24 + 4x = x^2 + 6x$.
$8x + 24 = x^2 + 6x$.
$x^2 - 2x - 24 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x-6)(x+4) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 6$.
આમ,પાઈપ $A$ ને ટાંકી ભરવા માટે $6$ કલાક લાગશે.

(D) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પંપનો દર $1/2$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
લીકેજ સાથેનો અસરકારક દર $1 / (2 \frac{1}{3}) = 1 / (7/3) = 3/7$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
ધારો કે લીકેજનો દર $1/x$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે,જ્યાં $x$ એ ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય છે.
અસરકારક દર આ રીતે મળે છે: $\text{પંપનો દર} - \text{લીકેજનો દર} = \text{અસરકારક દર}$.
$1/2 - 1/x = 3/7$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $1/x = 1/2 - 3/7$.
$1/x = (7 - 6) / 14 = 1/14$.
તેથી,$x = 14$ કલાક.

(A) પાઇપ $A$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{10}$.
પાઇપ $B$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ખાલી થતો ટાંકીનો ભાગ $= \frac{1}{6}$.
અહીં પાઇપ $B$ નો ખાલી કરવાનો દર પાઇપ $A$ ના ભરવાના દર કરતા વધારે છે,તેથી બંને પાઇપ સાથે ખોલતા ટાંકી ખાલી થશે.
$1$ મિનિટમાં ખાલી થતો ચોખ્ખો ભાગ $= \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5 - 3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
આનો અર્થ એ છે કે ટાંકી દર મિનિટે તેની કુલ ક્ષમતાના $\frac{1}{15}$ ભાગ જેટલી ખાલી થાય છે.
ટાંકી હાલમાં $\frac{2}{5}$ ભરેલી હોવાથી,આ $\frac{2}{5}$ ભાગને ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય:
સમય $= \frac{\text{ખાલી કરવાનો ભાગ}}{\text{ખાલી કરવાનો દર}} = \frac{2/5}{1/15} = \frac{2}{5} \times 15 = 6$ મિનિટ.
તેથી,ટાંકીને ખાલી કરવામાં $6$ મિનિટ લાગશે.

(C) પાઈપ $A$ $1$ કલાકમાં ટાંકીનો $\frac{1}{5}$ ભાગ ભરી શકે છે.
પાઈપ $B$ $1$ કલાકમાં ટાંકીનો $\frac{1}{6}$ ભાગ ભરી શકે છે.
પાઈપ $C$ $1$ કલાકમાં ટાંકીનો $\frac{1}{12}$ ભાગ ખાલી કરી શકે છે.
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ $A, B$ અને $C$ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે $1$ કલાકમાં ભરાતો ટાંકીનો કુલ ભાગ:
$= \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12}$
$5, 6$ અને $12$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $60$ છે:
$= \frac{12 + 10 - 5}{60} = \frac{17}{60}$ ભાગ પ્રતિ કલાક.
તેથી,ટાંકી ભરવા માટે લાગતો કુલ સમય:
$= \frac{1}{17/60} = \frac{60}{17} \text{ કલાક} = 3 \frac{9}{17} \text{ કલાક}$.

(A) પાઈપ $A$ ટાંકીને $20$ $minutes$ માં ભરે છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા પ્રતિ $minute$ ટાંકીનો $\frac{1}{20}$ ભાગ છે.
પાઈપ $B$ ટાંકીને $30$ $minutes$ માં ભરે છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા પ્રતિ $minute$ ટાંકીનો $\frac{1}{30}$ ભાગ છે.
જ્યારે બંને પાઈપ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે તેમની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ પ્રતિ $minute$ થાય છે.
તેથી,બંને પાઈપ દ્વારા ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય સંયુક્ત કાર્યક્ષમતાનો વ્યસ્ત છે,જે $12$ $minutes$ છે.

(C) પાઈપ $A$ નો ભરવાનો દર $\frac{1}{5}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
પાઈપ $B$ નો ભરવાનો દર $\frac{1}{10}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
પાઈપ $C$ નો ભરવાનો દર $\frac{1}{30}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે સંયુક્ત ભરવાનો દર:
$\text{સંયુક્ત દર} = \frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{30}$
આ અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરવા માટે,$5, 10$ અને $30$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ શોધો,જે $30$ છે.
$\text{સંયુક્ત દર} = \frac{6}{30} + \frac{3}{30} + \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
તેથી,ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય એ સંયુક્ત દરનો વ્યસ્ત છે:
$\text{સમય} = \frac{1}{1/3} = 3$ $hours$.

(D) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
ભરવા માટેના નળનો દર $1/4$ એકમ પ્રતિ કલાક છે.
ખાલી કરવા માટેના નળનો દર $1/9$ એકમ પ્રતિ કલાક છે.
જ્યારે બંને નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ભરવાનો ચોખ્ખો દર $\left(1/4 - 1/9\right)$ એકમ પ્રતિ કલાક થાય છે.
ચોખ્ખો દર $= (9 - 4) / 36 = 5/36$ એકમ પ્રતિ કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય એ ચોખ્ખા દરનો વ્યસ્ત છે.
સમય $= 1 / (5/36) = 36/5 = 7.2$ $\text{કલાક}$.

(B) અને $B$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= (1/18 + 1/9) = (1+2)/18 = 3/18 = 1/6$ છે.
$A$ અને $B$ દ્વારા $4$ મિનિટમાં ભરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $= 4 \times (1/6) = 2/3$ છે.
જ્યારે $A, B$ અને $C$ ત્રણેય ખુલ્લા હોય,ત્યારે ટાંકી ખાલી થવાનો ચોખ્ખો દર $= (1/18 + 1/9) - 1/5 = 1/6 - 1/5 = (5-6)/30 = -1/30$ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ટાંકી દર મિનિટે $1/30$ ભાગના દરે ખાલી થઈ રહી છે.
$2/3$ ભરાયેલી ટાંકીને ખાલી કરવામાં લાગતો સમય $= (2/3) / (1/30) = (2/3) \times 30 = 20$ મિનિટ.

(C) ટાંકીની ક્ષમતા = $10 \times 12 = 120$ લિટર.
જ્યારે દરેક ડોલની ક્ષમતા $8$ લિટર હોય ત્યારે જરૂરી ડોલની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ટાંકીની કુલ ક્ષમતાને નવી ડોલની ક્ષમતા વડે ભાગીશું.
ડોલની સંખ્યા = $\frac{120}{8} = 15$.
તેથી,$15$ ડોલની જરૂર પડશે.

(A) ધારો કે પ્રથમ નળનો દર $R_1 = \frac{1}{2}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે.
ધારો કે બીજા નળનો દર $R_2 = -\frac{1}{3}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક છે (કારણ કે તે ટાંકી ખાલી કરે છે).
જ્યારે બંને નળ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે ટાંકી ભરાવાનો ચોખ્ખો દર $R_{net} = R_1 + R_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$ ટાંકી પ્રતિ કલાક થાય છે.
તેથી,ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય એ ચોખ્ખા દરનો વ્યસ્ત છે,જે $6$ $\text{કલાક}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો સમય $X = 25$ $minutes$ છે અને બીજા નળ દ્વારા ટાંકી ખાલી કરવાનો સમય $Y = 50$ $minutes$ છે.
જ્યારે બંને નળ ચાલુ હોય ત્યારે $1$ $minute$ માં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ:
$\frac{1}{X} - \frac{1}{Y} = \frac{1}{25} - \frac{1}{50} = \frac{2 - 1}{50} = \frac{1}{50}$.
પરિણામ ધન હોવાથી,ટાંકી ભરાશે.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો કુલ સમય એ ચોખ્ખા દરનો વ્યસ્ત છે:
$\text{કુલ સમય} = \frac{1}{1/50} = 50$ $minutes$.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પાઇપ $A$ ટાંકીને $10$ મિનિટમાં ભરે છે,તેથી તેનો દર $\frac{1}{10}$ એકમ/મિનિટ છે.
પાઇપ $B$ ટાંકીને $6$ મિનિટમાં ખાલી કરે છે,તેથી તેનો દર $-\frac{1}{6}$ એકમ/મિનિટ છે.
જ્યારે બંને પાઇપ ખુલ્લા હોય,ત્યારે ચોખ્ખો દર $\frac{1}{10} - \frac{1}{6} = \frac{3-5}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$ એકમ/મિનિટ થાય છે.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે ટાંકી ખાલી થઈ રહી છે.
ટાંકી હાલમાં $\frac{2}{5}$ ભરેલી છે.
$\frac{2}{5}$ ભાગ ખાલી કરવામાં લાગતો સમય = $\frac{\text{ખાલી કરવાનો જથ્થો}}{\text{ચોખ્ખો દર}} = \frac{2/5}{1/15} = \frac{2}{5} \times 15 = 6$ મિનિટ.
તેથી,ટાંકીને ખાલી કરવામાં $6$ મિનિટ લાગશે.

(B) ધારો કે નળ $A$ દ્વારા લેવામાં આવતો સમય $X = 10$ $\text{કલાક}$ છે અને નળ $B$ દ્વારા લેવામાં આવતો સમય $Y = 15$ $\text{કલાક}$ છે.
નળ $A$ દ્વારા $1$ $\text{કલાક}$ માં થયેલું કાર્ય $1/10$ છે.
નળ $B$ દ્વારા $1$ $\text{કલાક}$ માં થયેલું કાર્ય $1/15$ છે.
જ્યારે બંને નળ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે $1$ $\text{કલાક}$ માં થયેલું કુલ કાર્ય:
$(1/10 + 1/15) = (3+2)/30 = 5/30 = 1/6$ થાય.
તેથી,ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય એ $1$ $\text{કલાક}$ માં થયેલા કાર્યનો વ્યસ્ત છે,જે $6$ $\text{કલાક}$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્ર $\frac{X \times Y}{X + Y}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{10 \times 15}{10 + 15} = \frac{150}{25} = 6$ $\text{કલાક}$.

(C) ધારો કે પાઈપ $A$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $X = 12 \text{ કલાક}$ અને પાઈપ $B$ દ્વારા લેવાયેલ સમય $Y = 15 \text{ કલાક}$ છે.
પાઈપ $A$ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ખાલી કરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{12}$ છે.
પાઈપ $B$ દ્વારા $1 \text{ કલાક}$ માં ખાલી કરાયેલ ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{15}$ છે.
જ્યારે બંને પાઈપ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે $1 \text{ કલાક}$ માં ખાલી થતો ટાંકીનો ભાગ $\left(\frac{1}{12} + \frac{1}{15}\right) = \frac{5+4}{60} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$ થાય.
તેથી,ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો કુલ સમય એ $1 \text{ કલાક}$ માં થયેલા કાર્યનો વ્યસ્ત છે,જે $\frac{20}{3} \text{ કલાક}$ છે.
$\frac{20}{3} \text{ કલાક} = 6 \text{ કલાક } + \frac{2}{3} \times 60 \text{ મિનિટ} = 6 \text{ કલાક } 40 \text{ મિનિટ}$.

(A) ધારો કે ત્રણ પાઈપનો દર અનુક્રમે $A, B,$ અને $C$ છે.
પાઈપ $A$ નો દર $= 1/10$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
પાઈપ $B$ નો દર $= 1/12$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
પાઈપ $C$ (ખાલી કરનાર) નો દર $= -1/20$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ એકસાથે ચાલુ હોય,ત્યારે ભરવાનો ચોખ્ખો દર:
$(1/10 + 1/12 - 1/20) \text{ ટાંકી પ્રતિ કલાક}$.
$10, 12,$ અને $20$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $60$ છે:
ચોખ્ખો દર $= (6/60 + 5/60 - 3/60) = 8/60 = 2/15$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો સમય $= 1 / (2/15) = 15/2 = 7.5$ કલાક.
$7.5$ કલાક એટલે $7$ કલાક અને $30$ મિનિટ.

(A) ધારો કે પાઇપ $A$,$B$ અને $C$ દ્વારા લેવામાં આવતો સમય અનુક્રમે $X = 10$,$Y = 12$ અને $Z = 15$ $\text{કલાક}$ છે.
પાઇપ $A$ દ્વારા $1$ $\text{કલાકમાં}$ થયેલું કામ $= 1/10$.
પાઇપ $B$ દ્વારા $1$ $\text{કલાકમાં}$ થયેલું કામ $= 1/12$.
પાઇપ $C$ દ્વારા $1$ $\text{કલાકમાં}$ થયેલું કામ $= 1/15$.
ત્રણેય પાઇપ દ્વારા $1$ $\text{કલાકમાં}$ થયેલું કુલ કામ $= (1/10 + 1/12 + 1/15)$.
$10, 12, 15$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $60$ લેતા:
$1$ $\text{કલાકમાં}$ થયેલું કુલ કામ $= (6 + 5 + 4) / 60 = 15 / 60 = 1/4$.
તેથી,જ્યારે ત્રણેય પાઇપ એકસાથે ખોલવામાં આવે ત્યારે ટાંકી ભરવા માટે લાગતો કુલ સમય એ $1$ $\text{કલાકમાં}$ થયેલા કુલ કામનો વ્યસ્ત છે,જે $4$ $\text{કલાક}$ છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $24, 30$ અને $20$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $120$ એકમ છે.
પાઇપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= 120 / 24 = 5$ એકમ/મિનિટ.
પાઇપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 120 / 30 = 4$ એકમ/મિનિટ.
$(A + B - C)$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $= 120 / 20 = 6$ એકમ/મિનિટ.
અહીં,$C$ એ આઉટલેટ પાઇપ છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા બાદ કરવામાં આવે છે.
$5 + 4 - \text{C ની કાર્યક્ષમતા} = 6$.
$9 - \text{C ની કાર્યક્ષમતા} = 6$.
$\text{C ની કાર્યક્ષમતા} = 9 - 6 = 3$ એકમ/મિનિટ.
$C$ દ્વારા સંપૂર્ણ ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $= \text{કુલ ક્ષમતા} / \text{C ની કાર્યક્ષમતા} = 120 / 3 = 40$ મિનિટ.

(C) ધારો કે ઇનલેટ પાઇપનો દર પ્રતિ કલાક ટાંકીના $1/8$ ભાગનો છે.
લીકેજને કારણે,અસરકારક દર $1/(8+2) = 1/10$ પ્રતિ કલાક થાય છે.
ધારો કે લીકેજનો દર પ્રતિ કલાક ટાંકીના $1/L$ ભાગનો છે.
ચોખ્ખો દર આ મુજબ છે: (ઇનલેટનો દર) - (લીકેજનો દર) = (અસરકારક દર).
$1/8 - 1/L = 1/10$.
$1/L = 1/8 - 1/10$.
$1/L = (5-4)/40 = 1/40$.
તેથી,લીકેજ સંપૂર્ણ ટાંકીને $40$ $\text{કલાક}$ માં ખાલી કરશે.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $C$ $\text{લિટર}$ છે.
લીકેજનો દર $= \frac{C}{8}$ $\text{લિટર}/\text{કલાક}$.
નળનો દર $= 6 \times 60 = 360$ $\text{લિટર}/\text{કલાક}$.
જ્યારે બંને ચાલુ હોય,ત્યારે ખાલી થવાનો ચોખ્ખો દર $\frac{C}{12}$ $\text{લિટર}/\text{કલાક}$ છે.
ચોખ્ખો દર એ (લીકેજનો દર - નળનો દર) દ્વારા પણ મળે છે.
તેથી,$\frac{C}{8} - 360 = \frac{C}{12}$.
$\frac{C}{8} - \frac{C}{12} = 360$.
$\frac{3C - 2C}{24} = 360$.
$\frac{C}{24} = 360$.
$C = 360 \times 24 = 8640$ $\text{લિટર}$.

(D) ધારો કે ધીમો પાઇપ જળાશય ભરવા માટે $x$ કલાક લે છે.
તેથી,ઝડપી પાઇપ $(x - 10)$ કલાક લે છે.
બંને પાઇપનો એક કલાકનો દર $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} = \frac{1}{12}$ છે.
સમીકરણ ઉકેલતા: $12(x - 10 + x) = x(x - 10)$.
$12(2x - 10) = x^2 - 10x$.
$24x - 120 = x^2 - 10x$.
$x^2 - 34x + 120 = 0$.
$(x - 30)(x - 4) = 0$.
અહીં $x = 30$ લેતા,ઝડપી પાઇપનો સમય $x - 10 = 20$ કલાક મળે છે.
આપેલ વિકલ્પોમાં $20$ નથી,તેથી સાચો જવાબ $\text{આમાંથી કોઈ નહીં}$ છે.

(D) ધારો કે પાઇપ $B$ ને ટાંકી ભરતા $x$ મિનિટ લાગે છે.
પાઇપ $A$ એ પાઇપ $B$ કરતા $3$ ગણી ઝડપી હોવાથી,પાઇપ $A$ ને ટાંકી ભરતા $\frac{x}{3}$ મિનિટ લાગે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પાઇપ $A$ એ પાઇપ $B$ કરતા $32$ મિનિટ ઓછો સમય લે છે:
$x - \frac{x}{3} = 32$
$\frac{2x}{3} = 32$
$x = 32 \times \frac{3}{2} = 48 \text{ મિનિટ}$.
તેથી,પાઇપ $B$ ને $48$ મિનિટ અને પાઇપ $A$ ને $48 / 3 = 16$ મિનિટ લાગે છે.
પાઇપ $A$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં થયેલું કામ = $\frac{1}{16}$.
પાઇપ $B$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં થયેલું કામ = $\frac{1}{48}$.
બંને પાઇપ દ્વારા $1$ મિનિટમાં થયેલું કામ = $\frac{1}{16} + \frac{1}{48} = \frac{3+1}{48} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12}$.
તેથી,બંને પાઇપ સાથે મળીને ટાંકીને $12$ મિનિટમાં ભરી દેશે.

(A) પાઈપ $A$ $1$ મિનિટમાં ટાંકીનો $\frac{1}{4}$ ભાગ ભરે છે.
પાઈપ $B$ $1$ મિનિટમાં ટાંકીનો $\frac{1}{6}$ ભાગ ભરે છે.
$2$ મિનિટના ચક્રમાં (પહેલા $A$ પછી $B$),ભરાયેલો ભાગ $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3+2}{12} = \frac{5}{12}$ છે.
$4$ મિનિટમાં (આવા બે ચક્રમાં),ભરાયેલો ભાગ $2 \times \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ છે.
બાકી રહેલો ભાગ $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ છે.
$5$ મી મિનિટમાં,પાઈપ $A$ કાર્ય કરે છે. પાઈપ $A$ $60$ સેકન્ડમાં $\frac{1}{4}$ ભાગ ભરે છે,તેથી તે $\frac{1}{6}$ ભાગ $\frac{1/6}{1/4} \times 60 = \frac{4}{6} \times 60 = 40$ સેકન્ડમાં ભરશે.
કુલ સમય = $4$ મિનિટ + $40$ સેકન્ડ = $4 \, \text{min} \, 40 \, \text{s}$.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $1$ એકમ છે.
પ્રથમ નળનો દર $\frac{1}{10}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
બીજા નળનો દર $\frac{1}{12}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
ધારો કે ત્રીજા નળનો (ખાલી કરવાનો) દર $x$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
જ્યારે ત્રણેય નળ ખુલ્લા હોય,ત્યારે ચોખ્ખો દર $\frac{1}{15}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ છે.
તેથી,$\frac{1}{10} + \frac{1}{12} - x = \frac{1}{15}$.
સરવાળો ગણતા: $\frac{6+5}{60} - x = \frac{1}{15} \implies \frac{11}{60} - x = \frac{4}{60}$.
આમ,$x = \frac{11}{60} - \frac{4}{60} = \frac{7}{60}$ ટાંકી પ્રતિ મિનિટ.
ત્રીજા નળ દ્વારા આખી ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $\frac{1}{x} = \frac{60}{7}$ મિનિટ છે.
$\frac{60}{7} \text{ મિનિટ} = 8 \frac{4}{7} \text{ મિનિટ} \approx 8 \text{ મિનિટ અને } 34 \text{ સેકન્ડ}$.

(A) પાઈપ $A$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{15}$.
પાઈપ $B$ દ્વારા $1$ મિનિટમાં થયેલું કામ $= \frac{1}{18}$.
પાઈપ $(A+B)$ દ્વારા $6$ મિનિટમાં થયેલું કામ $= 6 \times (\frac{1}{15} + \frac{1}{18}) = 6 \times (\frac{6+5}{90}) = 6 \times \frac{11}{90} = \frac{11}{15}$.
આમ,$6$ મિનિટમાં ટાંકીનો $\frac{11}{15}$ ભાગ ભરાઈ જાય છે.
હવે,ત્રણેય પાઈપ $(A+B+C)$ ખોલવામાં આવે છે. $1$ મિનિટમાં થયેલું ચોખ્ખું કામ $= \frac{1}{15} + \frac{1}{18} - \frac{1}{6} = \frac{6+5-15}{90} = \frac{-4}{90} = -\frac{2}{45}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ટાંકી $\frac{2}{45}$ ના દરે પ્રતિ મિનિટ ખાલી થઈ રહી છે.
ટાંકીનો $\frac{11}{15}$ ભાગ ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{11/15}{2/45} = \frac{11}{15} \times \frac{45}{2} = \frac{33}{2} = 16 \frac{1}{2}$ મિનિટ.

(A) ધારો કે $A$ એકલું જળાશય $x$ કલાકમાં ભરે છે.
તો,$B$ એકલું જળાશય $(x+5)$ કલાકમાં ભરી શકે.
$A$ દ્વારા ભરવાનો દર $\frac{1}{x}$ જળાશય પ્રતિ કલાક છે.
$B$ દ્વારા ભરવાનો દર $\frac{1}{x+5}$ જળાશય પ્રતિ કલાક છે.
બંને સાથે મળીને $6$ કલાકમાં જળાશય ભરે છે,તેથી તેમનો સંયુક્ત દર $\frac{1}{6}$ જળાશય પ્રતિ કલાક છે.
સમીકરણ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$.
$6x(x+5)$ વડે ગુણતા: $6(x+5) + 6x = x(x+5)$.
$6x + 30 + 6x = x^2 + 5x$.
$12x + 30 = x^2 + 5x$.
$x^2 - 7x - 30 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 10)(x + 3) = 0$.
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x = 10$ કલાક.
આમ,પાઈપ $A$ એકલું જળાશય $10$ કલાકમાં ભરશે.

(A) નળ $A$ દ્વારા ભરવાનો દર પ્રતિ મિનિટ ટાંકીનો $\frac{1}{20}$ ભાગ છે.
નળ $B$ દ્વારા ભરવાનો દર પ્રતિ મિનિટ ટાંકીનો $\frac{1}{25}$ ભાગ છે.
જ્યારે બંને નળ ખુલ્લા હોય ત્યારે ભરવાનો સંયુક્ત દર $\frac{1}{20} + \frac{1}{25} = \frac{5+4}{100} = \frac{9}{100}$ ભાગ પ્રતિ મિનિટ છે.
$5$ $minutes$ માં ભરાયેલ ભાગ $\frac{9}{100} \times 5 = \frac{9}{20}$ છે.
બાકી રહેલો ભાગ $1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$ છે.
નળ $B$ બંધ હોવાથી,નળ $A$ બાકીનો ભાગ ભરશે.
નળ $A$ દ્વારા $\frac{11}{20}$ ભાગ ભરવા માટે લાગતો સમય $\frac{11}{20} \div \frac{1}{20} = \frac{11}{20} \times 20 = 11$ $minutes$ છે.

(B) પાઈપ $A$ $1$ કલાકમાં ટાંકીનો $\frac{1}{6}$ ભાગ ભરે છે,અને પાઈપ $B$ $1$ કલાકમાં ટાંકીનો $\frac{1}{8}$ ભાગ ભરે છે.
$A$ અને $B$ નું $1$ કલાકનું સંયુક્ત કામ $= \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{4+3}{24} = \frac{7}{24}$.
બંને પાઈપ દ્વારા $1 \frac{1}{2}$ કલાક (અથવા $\frac{3}{2}$ કલાક) માં થયેલું કામ $= \frac{7}{24} \times \frac{3}{2} = \frac{7}{16}$.
ટાંકીનો બાકી રહેલો ભાગ $= 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$.
પાઈપ $A$ બંધ હોવાથી,બાકીનો $\frac{9}{16}$ ભાગ પાઈપ $B$ ભરશે.
પાઈપ $B$ દ્વારા $\frac{9}{16}$ ભાગ ભરવા માટે લાગતો સમય $= \frac{9/16}{1/8} = \frac{9}{16} \times 8 = \frac{9}{2} = 4.5$ કલાક.
ટાંકી ભરવા માટે લાગતો કુલ સમય $= 1.5$ કલાક (શરૂઆતનું) $+ 4.5$ કલાક (બાકીનું) $= 6$ કલાક.

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $12, 15$ અને $20$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી (LCM) છે, જે $60$ એકમ છે।
પ્રથમ નળની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 12 = 5$ એકમ/મિનિટ।
બીજા નળની કાર્યક્ષમતા $= 60 / 15 = 4$ એકમ/મિનિટ।
જ્યારે બધા નળ ખુલ્લા હોય, ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $= 60 / 20 = 3$ એકમ/મિનિટ।
ધારો કે નકામી પાઇપની કાર્યક્ષમતા $x$ એકમ/મિનિટ છે।
તેથી,
$5 + 4 - x = 3$
$9 - x = 3$
$x = 6$ એકમ/મિનિટ।
નકામી પાઇપ દ્વારા આખી ટાંકી ખાલી કરવામાં લાગતો સમય
$= \text{કુલ ક્ષમતા} / \text{નકામી પાઇપની કાર્યક્ષમતા} = 60 / 6 = 10$ મિનિટ।

(B) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $10, 15$ અને $18$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે,જે $90$ એકમ છે.
પ્રથમ નળની કાર્યક્ષમતા = $90 / 10 = 9$ એકમ/મિનિટ.
બીજા નળની કાર્યક્ષમતા = $90 / 15 = 6$ એકમ/મિનિટ.
બંને નળની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા = $9 + 6 = 15$ એકમ/મિનિટ.
જ્યારે નકામી પાઇપ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા = $90 / 18 = 5$ એકમ/મિનિટ.
નકામી પાઇપની કાર્યક્ષમતા = (નળની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા) - (ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા) = $15 - 5 = 10$ એકમ/મિનિટ.
નકામી પાઇપ દ્વારા આખી ટાંકી ખાલી કરવા માટે લાગતો સમય = $90 / 10 = 9$ મિનિટ.

(C) પાઈપ $X$ ની કાર્યક્ષમતા = $\frac{1}{20}$ એકમ/કલાક.
પાઈપ $Y$ ની કાર્યક્ષમતા = $\frac{1}{35}$ એકમ/કલાક.
ટાંકીની કુલ ક્ષમતા = $LCM(20, 35) = 140$ એકમ.
$X$ ની કાર્યક્ષમતા = $7$ એકમ/કલાક અને $Y$ ની કાર્યક્ષમતા = $4$ એકમ/કલાક.
તેઓ $Y$ થી શરૂ કરીને વારાફરતી કામ કરે છે:
$2$ કલાકનું ચક્ર ($Y$ પછી $X$) = $4 + 7 = 11$ એકમ.
$12$ ચક્રમાં ($24$ કલાક),થયેલું કામ = $12 \times 11 = 132$ એકમ.
બાકી રહેલું કામ = $140 - 132 = 8$ એકમ.
$25$ મા કલાકે,પાઈપ $Y$ કામ કરે છે અને $4$ એકમ ભરે છે. બાકી રહેલું કામ = $8 - 4 = 4$ એકમ.
$26$ મા કલાકે,પાઈપ $X$ કામ કરે છે. $X$ દ્વારા $4$ એકમ ભરવા માટે લાગતો સમય = $\frac{4}{7}$ કલાક.
કુલ સમય = $25 + \frac{4}{7} = \frac{175 + 4}{7} = \frac{179}{7}$ કલાક.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $C$ $\text{ગેલન}$ છે.
પ્રથમ ઇનલેટ પાઇપનો દર $= \frac{C}{10}$ $\text{ગેલન}/\text{કલાક}$.
બીજા ઇનલેટ પાઇપનો દર $= \frac{C}{12}$ $\text{ગેલન}/\text{કલાક}$.
આઉટલેટ પાઇપનો દર $= -80$ $\text{ગેલન}/\text{કલાક}$.
જ્યારે ત્રણેય પાઇપ એકસાથે કામ કરે છે,ત્યારે ચોખ્ખો દર $\frac{C}{20}$ $\text{ગેલન}/\text{કલાક}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{C}{10} + \frac{C}{12} - 80 = \frac{C}{20}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{C}{10} + \frac{C}{12} - \frac{C}{20} = 80$.
$10, 12, 20$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $60$ છે:
$\frac{6C + 5C - 3C}{60} = 80$.
$\frac{8C}{60} = 80$.
$\frac{2C}{15} = 80$.
$C = 80 \times \frac{15}{2} = 600$.
આમ,ટાંકીની ક્ષમતા $600$ $\text{ગેલન}$ છે.

(B) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $10$ અને $12$ નો લ.સા.અ. એટલે કે $60$ યુનિટ છે.
નળ $A$ ની કાર્યક્ષમતા = $60 / 10 = 6$ યુનિટ/કલાક.
નળ $B$ ની કાર્યક્ષમતા = $60 / 12 = 5$ યુનિટ/કલાક.
$10 \text{ am}$ થી $4 \text{ pm}$ સુધીનો કુલ સમય $6$ કલાક છે.
નળ $B$ આખા $6$ કલાક માટે ચાલુ રહે છે,તેથી નળ $B$ દ્વારા થયેલું કામ = $5 \times 6 = 30$ યુનિટ.
નળ $A$ દ્વારા કરવાનું બાકી રહેલું કામ = $60 - 30 = 30$ યુનિટ.
નળ $A$ ને જેટલા સમય માટે ચાલુ રાખવો પડે = $30 / 6 = 5$ કલાક.
નળ $A$ સવારે $10$ વાગ્યે ખોલવામાં આવ્યો હતો,તેથી તેને $5$ કલાક પછી એટલે કે બપોરે $3 \text{ pm}$ વાગ્યે બંધ કરવો જોઈએ.

(A) પાઇપ $P$ ટાંકીને $p$ કલાકમાં ભરે છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા (દર કલાકે થતું કાર્ય) $\frac{1}{p}$ છે.
પાઇપ $Q$ ટાંકીને $q$ કલાકમાં ખાલી કરે છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા $-\frac{1}{q}$ છે (ઋણ કારણ કે તે પાણી બહાર કાઢે છે).
જ્યારે બંને પાઇપ એકસાથે ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે દર કલાકે થતું ચોખ્ખું કાર્ય $\frac{1}{p} - \frac{1}{q}$ થાય છે.
જો ટાંકી $r$ કલાકમાં ભરાતી હોય,તો ચોખ્ખી કાર્યક્ષમતા $\frac{1}{r}$ પણ થાય.
તેથી,$\frac{1}{r} = \frac{1}{p} - \frac{1}{q}$.

(C) પાઈપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= 1/6$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
પાઈપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 1/8$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
પાઈપ $A$ અને $B$ ની સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $= (1/6 + 1/8) = (4+3)/24 = 7/24$ ટાંકી પ્રતિ કલાક.
$2$ કલાકમાં,બંને પાઈપ દ્વારા થયેલું કામ $= 2 \times (7/24) = 7/12$ ટાંકી.
બાકી રહેલી ટાંકી ભરવાની $= 1 - 7/12 = 5/12$ ટાંકી.
પાઈપ $B$ $1$ કલાકમાં $1/8$ ટાંકી ભરે છે.
$5/12$ ટાંકી ભરવા માટે પાઈપ $B$ ને લાગતો સમય $= (5/12) / (1/8) = (5/12) \times 8 = 40/12 = 10/3 = 3 \frac{1}{3}$ કલાક.

(A) પાઈપ $A$ ટાંકીને $4$ કલાકમાં ભરે છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા $12/4 = 3$ યુનિટ/કલાક છે.
પાઈપ $B$ ટાંકીને $6$ કલાકમાં ભરે છે,તેથી તેની કાર્યક્ષમતા $12/6 = 2$ યુનિટ/કલાક છે.
ટાંકીની કુલ ક્ષમતા = $\text{LCM}(4, 6) = 12$ યુનિટ.
પ્રથમ કલાકમાં,પાઈપ $A$ $3$ યુનિટ ભરે છે.
બીજા કલાકમાં,પાઈપ $B$ $2$ યુનિટ ભરે છે.
આમ,$2$ કલાકના ચક્રમાં,કુલ કામ $3 + 2 = 5$ યુનિટ થાય છે.
$2$ ચક્ર ($4$ કલાક) પછી,કુલ કામ $5 \times 2 = 10$ યુનિટ થાય છે.
બાકી રહેલું કામ = $12 - 10 = 2$ યુનિટ.
$5$મા કલાકમાં,પાઈપ $A$ કામ કરે છે. પાઈપ $A$ $1$ કલાકમાં $3$ યુનિટ ભરે છે,તેથી બાકીના $2$ યુનિટ ભરવા માટે તેને $2/3$ કલાક લાગશે.
કુલ સમય = $4 + 2/3 = 4 \frac{2}{3}$ કલાક.

(B) ધારો કે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા $30, 45$ અને $36$ નો લ.સા.અ. છે,જે $180$ એકમ છે.
$A$ ની કાર્યક્ષમતા $= 180 / 30 = 6$ એકમ/મિનિટ.
$B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 180 / 45 = 4$ એકમ/મિનિટ.
$C$ ની કાર્યક્ષમતા $= 180 / 36 = -5$ એકમ/મિનિટ (કારણ કે તે ટાંકી ખાલી કરે છે).
પ્રથમ $12$ મિનિટમાં,$A$ અને $B$ સાથે મળીને કામ કરે છે: $(6 + 4) \times 12 = 10 \times 12 = 120$ એકમ ભરાય છે.
બાકી રહેલી ક્ષમતા $= 180 - 120 = 60$ એકમ.
$12$ મિનિટ પછી,$C$ ખોલવામાં આવે છે,તેથી ત્રણેય પાઇપ સાથે કામ કરે છે: કાર્યક્ષમતા $= 6 + 4 - 5 = 5$ એકમ/મિનિટ.
બાકીના $60$ એકમ ભરવા માટે લાગતો સમય $= 60 / 5 = 12$ મિનિટ.
કુલ સમય $= 12$ (શરૂઆતનો) $+ 12$ (બાકીનો) $= 24$ મિનિટ.

(D) $1$. $30, 45,$ અને $36$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $180$ એકમ છે,જે ટાંકીની કુલ ક્ષમતા દર્શાવે છે.
$2$. પાઇપ $A$ ની કાર્યક્ષમતા $= 180 / 30 = 6$ એકમ/મિનિટ.
$3$. પાઇપ $B$ ની કાર્યક્ષમતા $= 180 / 45 = 4$ એકમ/મિનિટ.
$4$. પાઇપ $C$ ની કાર્યક્ષમતા $= -180 / 36 = -5$ એકમ/મિનિટ (ખાલી કરતી હોવાથી ઋણ).
$5$. પાઇપ $A$ અને $B$ એ $12$ મિનિટ સુધી સાથે કામ કર્યું: $(6 + 4) \times 12 = 120$ એકમ.
$6$. બાકી રહેલું કામ $= 180 - 120 = 60$ એકમ.
$7$. જ્યારે $C$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે સંયુક્ત કાર્યક્ષમતા $A + B + C = 6 + 4 - 5 = 5$ એકમ/મિનિટ થાય છે.
$8$. બાકીના $60$ એકમ ભરવા માટે લાગતો સમય $= 60 / 5 = 12$ મિનિટ.
$9$. કુલ સમય $= 12 + 12 = 24$ મિનિટ.

(B) કરેલું કાર્ય (ટાંકી ભરવી) અચળ છે. નળની સંખ્યા અને લીધેલ સમય વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $M_1 = 9$ નળ અને $T_1 = 20$ મિનિટ.
ધારો કે $T_2 = 15$ મિનિટમાં ટાંકી ભરવા માટે જરૂરી નળની સંખ્યા $M_2$ છે.
વ્યસ્ત પ્રમાણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $M_1 \times T_1 = M_2 \times T_2$
$9 \times 20 = M_2 \times 15$
$180 = M_2 \times 15$
$M_2 = \frac{180}{15} = 12$
તેથી,$15$ મિનિટમાં ટાંકી ભરવા માટે $12$ નળની જરૂર પડશે.

(D) નળના ટપકવાનો દર $= 1 \text{ ટીપું/સેકન્ડ}$ છે.
$1$ દિવસમાં સેકન્ડની સંખ્યા $= 24 \times 60 \times 60 = 86400 \text{ સેકન્ડ}$.
$1$ દિવસમાં કુલ ટીપાં $= 86400 \text{ ટીપાં}$.
આપેલ છે કે $600 \text{ ટીપાં} = 100 \text{ ml}$,તેથી $1 \text{ ટીપું} = \frac{100}{600} \text{ ml} = \frac{1}{6} \text{ ml}$.
$1$ દિવસમાં બગડતું પાણી $= 86400 \times \frac{1}{6} \text{ ml} = 14400 \text{ ml}$.
$1000 \text{ ml} = 1 \text{ લિટર}$ હોવાથી,$14400 \text{ ml} = 14.4 \text{ લિટર}$.
$300$ દિવસમાં બગડતું પાણી $= 14.4 \times 300 = 4320 \text{ લિટર}$.

(B) ધારો કે પ્રથમ પાઈપ દ્વારા લેવાયેલ સમય $x$ કલાક છે.
તેથી,બીજી પાઈપ દ્વારા લેવાયેલ સમય $(x - 5)$ કલાક છે.
ત્રીજી પાઈપ દ્વારા લેવાયેલ સમય $(x - 5) - 4 = (x - 9)$ કલાક છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પ્રથમ અને બીજી પાઈપ સાથે મળીને પૂલને તેટલા જ સમયમાં ભરે છે જેટલા સમયમાં ત્રીજી પાઈપ એકલી ભરે છે:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 5} = \frac{1}{x - 9}$
$(2x - 5)(x - 9) = x(x - 5)$
$x^2 - 18x + 45 = 0$
$(x - 15)(x - 3) = 0$
અહીં $x = 15$ લેતા (કારણ કે $x > 9$ હોવું જોઈએ).
પ્રથમ પાઈપનો સમય = $15$ કલાક,બીજી પાઈપ = $10$ કલાક,ત્રીજી પાઈપ = $6$ કલાક.
બીજી અને ત્રીજી પાઈપનો સંયુક્ત દર = $\frac{1}{10} + \frac{1}{6} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ પૂલ પ્રતિ કલાક.
સમય = $\frac{15}{4} = 3.75$ કલાક.

(D) પૂલ અચળ દરે ભરવામાં આવે છે.
તેની ક્ષમતાના $\frac{3}{5}$ ભાગને ભરવા માટે $8$ કલાક લાગે છે.
બાકી રહેલો ભાગ જે ભરવાનો છે = $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ ભાગ.
ધારો કે પૂલને સંપૂર્ણ ભરવા માટે લાગતો વધારાનો સમય $x$ કલાક છે.
અચળ દર હોવાથી,સમય એ ભરેલા ભાગના પ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{3}{5}$ ભાગ $\rightarrow 8$ કલાક
$\frac{2}{5}$ ભાગ $\rightarrow x$ કલાક
ગુણોત્તરની રીત મુજબ: $x = \frac{8 \times (2/5)}{3/5} = \frac{8 \times 2}{3} = \frac{16}{3}$ કલાક.
$\frac{16}{3}$ કલાક = $5 \frac{1}{3}$ કલાક.
$1$ કલાક = $60$ મિનિટ હોવાથી,$\frac{1}{3}$ કલાક = $\frac{1}{3} \times 60 = 20$ મિનિટ.
તેથી,બાકીનો સમય $5$ કલાક $20$ મિનિટ થશે.

(D) પંપ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો દર $1$ $\text{કલાકમાં}$ $\frac{1}{2}$ ભાગ છે.
લીકેજને કારણે,ટાંકી ભરવાનો અસરકારક દર $\frac{1}{2 \frac{1}{3}} = \frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}$ ભાગ પ્રતિ $\text{કલાક}$ થાય છે.
લીકેજ દ્વારા ટાંકી ખાલી થવાનો દર એ પંપના દર અને અસરકારક દર વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{લીકેજનો દર} = \frac{1}{2} - \frac{3}{7} = \frac{7 - 6}{14} = \frac{1}{14}$ ભાગ પ્રતિ $\text{કલાક}$.
તેથી,લીકેજ $14$ $\text{કલાકમાં}$ આખી ટાંકી ખાલી કરી શકે છે.

(A) પાઇપ $A$ દ્વારા $1$ $\text{કલાક}$ માં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{3}$ છે.
પાઇપ $B$ દ્વારા $1$ $\text{કલાક}$ માં ભરાતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{5}$ છે.
પાઇપ $C$ દ્વારા $1$ $\text{કલાક}$ માં ખાલી થતો ટાંકીનો ભાગ $\frac{1}{2}$ છે.
જ્યારે ત્રણેય પાઇપ એકસાથે ખોલવામાં આવે,ત્યારે $1$ $\text{કલાક}$ માં ભરાતો ચોખ્ખો ભાગ:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{2} = \frac{10 + 6 - 15}{30} = \frac{1}{30}$.
આમ,$1$ $\text{કલાક}$ માં ટાંકીનો $\frac{1}{30}$ ભાગ ભરાય છે,તેથી ટાંકીને સંપૂર્ણ ભરવા માટે $30$ $\text{કલાક}$ લાગશે.

(C) ધારો કે ટાંકીની ક્ષમતા $C$ લિટર છે.
પ્રથમ પાઈપનો દર $= \frac{C}{24}$ લિટર/મિનિટ.
બીજી પાઈપનો દર $= \frac{C}{40}$ લિટર/મિનિટ.
નકામી પાઈપનો દર $= -30$ લિટર/મિનિટ.
જ્યારે ત્રણેય પાઈપ ખુલ્લી હોય,ત્યારે ટાંકી $1$ કલાક ($60$ મિનિટ) માં ભરાય છે.
તેથી,ચોખ્ખો ભરવાનો દર $\frac{C}{60}$ લિટર/મિનિટ છે.
સમીકરણ: $\frac{C}{24} + \frac{C}{40} - 30 = \frac{C}{60}$.
પદોને ગોઠવતા: $\frac{C}{24} + \frac{C}{40} - \frac{C}{60} = 30$.
$24, 40,$ અને $60$ નો લસાઅ $120$ લેતા:
$\frac{5C + 3C - 2C}{120} = 30$.
$\frac{6C}{120} = 30$.
$\frac{C}{20} = 30$.
$C = 30 \times 20 = 600$ લિટર.
આમ,ટાંકીની ક્ષમતા $600$ લિટર છે.